francesca fattori speranza - bozza febbraio 2018 LIMITI applicati allo studio di funzione

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1 francesca fattori speranza - bozza febbraio 2018 LIMITI applicati allo studio di funzione In questa trattazione si affrontano solo alcuni esempi di funzioni: polinomiali, fratte irrazionale con argomento polinomiale Calcolare il ite di una funzione significa valutare cosa accade alla y - cioè, ai valori assunti dalla funzione - quando la x si avvicina a un certo valore. Il primo passo della procedura che bisogna fare è sostituire questo valore al posto della x nella funzione. Posso avere diversi risultati: numero finito l R, ± ; n ; ; ; Quali sono i iti che bisogna fare nello studio di funzione? 1) ite di x che tende agli estremi del dominio, dopo aver fatto la condizione di esistenza (C.E.). 2) ite di x che tende a ± Vedremo passo passo come trattare questi casi. a) Funzioni polinomiali y = x 3 + 2x 2 1 Il C.E. di questa funzione è sempre (tutta la retta reale). 1) questo punto va saltato perché il dominio è sempre (non ha estremi finiti). 2) dobbiamo svolgere i due iti ± separatamente. x 3 + 2x 2 1 = ( ) 3 + 2( ) 2 1 ( ) 3 = ( elevato al cubo è ancora ; un numero infinto elevato a potenza è ancora più grande, quindi infinto)

2 x 3 + 2x 2 1 = ( ) 3 + 2( ) 2 1 ( ) 3 = Evitando la dimostrazione matematica, osserviamo che abbiamo considerato solo la potenza più grande: il segno dipende dalla potenza. Si veda appendice 1 per una spiegazione numerica. Osserviamo questi risultati e confrontiamoli con il grafico: si vede che la funzione verso destra diventa sempre più grande (ite a ), mentre a sinistra diventa sempre più piccola (ite a ). b) Funzioni fratte. Abbiamo 3 casi: I) grado del numeratore uguale al grado del denominatore; II) grado del numeratore maggiore del grado del denominatore; III) grado del numeratore minore del grado del denominatore. I) Grado del numeratore uguale al grado del denominatore y = 2x 1 3x 7 Il C.E. di questa funzione è x 7/3 (denominatore diverso da zero). L asse verticale blu rappresenta l asintoto verticale x = 7/3, ovvero il valore di x in cui la funzione non è definita (non esiste). 1) Limite di x che tende agli estremi del dominio: dato che x = 7/3 non appartiene al dominio, so che la funzione tende ad infinito. Bisogna valutare il segno, dal grafico dello studio del segno della funzione. 2x 1 x 7/3 SX 3x 7 = Infatti, vediamo dal grafico che la funzione a sinistra di x = 7/3 è negativa. 2x 1 x 7/3 DX 3x 7 = + Infatti, vediamo dal grafico che la funzione a destra di x = 7/3 è positiva.

3 2) Dobbiamo svolgere i due iti ± separatamente. 2x 1 3x 7 = 2 3 2x 1 3x 7 = 2 3 Evitando la dimostrazione matematica, in generale quando il grado del polinomio al numeratore è uguale al grado del polinomio al denominatore, il ite è uguale a il rapporto dei coefficienti della x di grado massimo del numeratore e del denominatore. Osserviamo questi risultati e confrontiamoli con il grafico: si vede che la funzione sia verso destra sia verso sinistra si avvicina sempre di più alla retta orizzontale y = 2 2 (ite. Non 3 3 è importante se ci si avvicina da sopra o da sotto e può anche intersecare tale retta). II) Grado del numeratore maggiore al grado del denominatore y = x2 3 2x 8 Il C.E. di questa funzione è x 4 (denominatore diverso da zero). L asse verticale blu rappresenta l asintoto verticale x = 4, ovvero il valore di x in cui la funzione non è definita (non esiste). 1) Limite di x che tende agli estremi del dominio: dato che x = 4 non appartiene al dominio, so che la funzione tende ad infinito. Bisogna valutare il segno, dal grafico dello studio del segno della funzione. x 2 3 x 4 SX 2x 8 = Infatti, vediamo dal grafico che la funzione a sinistra di x = 4 è negativa.

4 x 2 3 x 4 DX 2x 8 = + Infatti, vediamo dal grafico che la funzione a destra di x = 4 è positiva. 2) Dobbiamo svolgere i due iti ± separatamente. x 2 3 2x 8 = x 2 x = x = x 2 3 2x 8 = x 2 x = x = Evitando la dimostrazione matematica, in generale quando il grado del polinomio al numeratore è maggiore al grado del polinomio al denominatore, il ite è uguale al ite del rapporto delle x di grado massimo del numeratore e del denominatore. Osserviamo questi risultati e confrontiamoli con il grafico: si vede che la funzione verso destra diventa sempre più grande (ite a ), mentre a sinistra diventa sempre più piccola (ite a ). III) Grado del numeratore minore al grado del denominatore y = x2 x Il C.E. di questa funzione è x 1 (denominatore diverso da zero). L asse verticale blu rappresenta l asintoto verticale x = 1, ovvero il valore di x in cui la funzione non è definita (non esiste). 1) Limite di x che tende agli estremi del dominio: dato che x = 1 non appartiene al dominio, so che la funzione tende ad infinito. Bisogna valutare il segno, dal grafico dello studio del segno della funzione.

5 x 2 x 1 SX x = Infatti, vediamo dal grafico che la funzione a sinistra di x = 1 è positiva. x 2 x 1 DX x = Infatti, vediamo dal grafico che la funzione a destra di x = 1 è negativa. 2) Dobbiamo svolgere i due iti ± separatamente. Evitando la dimostrazione matematica, in generale quando il grado del polinomio al numeratore è minore del grado del polinomio al denominatore, il ite è uguale a 0. Osserviamo questi risultati e confrontiamoli con il grafico: si vede che la funzione sia verso destra sia verso sinistra si avvicina sempre di più alla retta orizzontale y = 0 (ite 0. Non è importante se ci si avvicina da sopra o da sotto e può anche intersecare tale retta). c) Irrazionali con argomento intero. e il suo grafico x 2 x = 0 x 2 x = 0 y = x 1 Questa funzione è definita per quei valori di x per cui l argomento della radice è positivo o uguale a 0:

6 C. E. x 1 0 x 1 1) Ci chiediamo cosa succede quando la x si avvicina al valore estremo del dominio 1. x 1 x 1 Però se guardiamo la figura, osserviamo che possiamo avvicinarci a x = 1 da destra, ma non possiamo avvicinarci a x = 1 da sinistra perché la funzione a sinistra di 1 non esiste. SX DX x 1 SX x 1 = NONESISTE (basta sostituire il valore 1 alla x). x 1 = 1 1 = 0 x 1 DX 2) Dobbiamo svolgere i due iti ± separatamente. x 1 = NONESISTE x 1 = Evitando la dimostrazione matematica, in generale una funzione irrazionale con argomento polinomiale tende a infinito. Il segno lo decide lo studio del segno della funzione e lo ricavo dal grafico. Osserviamo questi risultati e confrontiamoli con il grafico: si vede che la funzione verso destra tende a valori sempre più grandi (ite ), mentre a sinistra non esiste.

7 Appendice 1 Limite di una funzione polinomiale per x ± Evitando la dimostrazione matematica, osserviamo che abbiamo considerato solo la potenza più grande: possiamo convincerci che è quella che conta con un esempio numerico: prendiamo x = 10 e calcoliamo la fuzione x 3 + 2x 2 1 = ; dei tre termini quello più pesante è il primo. vediamo un altro esempio: x = 100 e calcoliamo la fuzione x 3 + 2x 2 1 = Un ultimo esempio: x = 1000 e calcoliamo la fuzione x 3 + 2x 2 1 = Osserviamo che il primo è sempre il più grande. In particolare, osserviamo che nel primo caso 1000 ha uno zero in più di 200; nel secondo caso ha due zeri in più di 20000; ne terzo caso ha tre zeri in più di Questo vuol dire che non solo il primo termine pesa di più, ma che man a mano che x diventa più grande il suo peso aumenta rispetto agli altri. Questa non è la dimostrazione matematica, ma solo un esempio semplificato per rendersi conto che dobbiamo considerare solo la potenza più grande del polinomio. Appendice 2 Limite di una funzione fratta per x agli estremi del C.E. Esempio di funzione: Il C.E. è x 0 5 Vogliamo calcolare. Perché proprio 0? x 0 x 2 x 3 + 2x 2 1 = ( ) 3 + 2( ) 2 1 ( ) 3 = x 3 + 2x 2 1 = (+ ) 3 + 2(+ ) 2 1 (+ ) 3 = + x + y = 5 x 2 Perché x = 0 è il valore che annulla il denominatore ovvero, il punto che non appartiene al dominio della funzione. Il primo passo è sempre calcolare la funzione sostituendo il valore al posto della x: y = Vediamo che succede alla funzione subito prima di 0 (per valori di x vicini allo 0 ma non proprio 0). Guardiamo l asse delle x: chi c è prima dello 0? ad esempio -1; ancora più vicino: -0.1; avviciniamoci ancora: -0.01; più vicino: e così via. x 0 5 x 2 = 5 0 = impossibile

8 Per questi 4 valori cha abbiamo scritto calcoliamo quanto vale la y (fai i calcoli con la calcolatrice e convinciti che la y viene così). Per chiarezza riportiamo i valori in una tabella: x Possiamo vedere che: il modulo (solo il numero) della y diventa sempre più grande (ma la y diventa sempre più piccola perché i numeri sono negativi): riesci ad immaginare che se continuo ad avvicinarmi allo zero con la x ottengo per il modulo della y assume valori sempre più grandi? (10000, , , etc. infinito). Quindi la funzione tende a (meno infinito). y Come si vede nell intorno di zero (vicino a zero) la funzione cresce sempre, diventa sempre più grande, man a mano che il valore delle x si avvicina all asse verticale. In realtà dovremmo provare che succede quando ci avviciniamo a 0 da sinistra e da destra. Vediamo dal grafico sotto perché:

9 Questo è il grafico della funzione Seguiamo il suo andamento al seguente link WGqgmf5m dal menù a sinistra premi il tasto. y = 4 x 3 Il punto A comincia a muoversi verso destra seguendo l andamento della funzione. Sempre sul menù a sinistra puoi vedere i valori che la funzione assume (yvalue) al variare della x (xvalue). Puoi vedere che fin quando i valori delle x sono negativi, la funzione cresce verso il valori negativi assumendo valori sempre più grandi (ma con il segno, sempre più piccoli) quindi tende a (meno infinito). Si vede che non arriva mai a toccare o intersecare l asse verticale: vi si avvicina sempre di più ma non lo tocca (asintoto verticale). A un certo punto salta l asse verticale, senza intersecarlo. Quando si trova vicino all asintoto, il valore della funzione è altissimo, cioè tende a + (più infinito). Man a mano che si allontana dall asse verticale, il valore della funzione (yvalue) diminuisce. Quindi abbiamo visto che a sinistra e a destra di 0 la funzione ha due comportamenti opposti. Vuol dire che ogni volta dobbiamo fare sia il ite di sinistra e il ite di destra.