A. Di Gerlando R. Perini. Dispensa di Macchine Elettriche

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1 A. Di Gerlando R. Perini Dispensa di Macchine Elettriche I

2 1. INTRODUZIONE RICHIAMI SUI SISTEMI TRIFASE Generalità sui sistemi trifase.... Potenza nei sistemi trifase Sistemi trifase in regime sinusoidale Sistemi trifase a tre fili, simmetrici ed equilibrati Carico equilibrato connesso a stella Carico equilibrato connesso a triangolo Studio delle reti trifase a tre fili simmetriche ed equilibrate Sistemi trifase a tre fili simmetrici e squilibrati Sistemi trifase a quattro fili Sistemi trifase a quattro fili, con quarto filo di impedenza nulla Sistemi trifasi a quattro fili, con quarto filo di impedenza non nulla RICHIAMI SUL CAMPO MAGNETICO Generalità Circuiti magnetici Legge di Hopkinson (o legge di Ohm magnetica) Calcolo di riluttanze e studio dei circuiti magnetici La legge della induzione elettromagnetica Flusso del campo e flusso concatenato Induttanza (o autoinduttanza) Mutua induttanza F.e.m. indotte di auto e mutua induzione: sistemi lineari Richiami riguardanti le azioni meccaniche sui sostegni del campo magnetico CENNI SUI MATERIALI IMPIEGATI NELLE MACCHINE ELETTRICHE Materiali Conduttori Dipendenza della resistività dalla temperatura Materiali Magnetici... 4 Ciclo di isteresi Perdita per isteresi Perdite per correnti parassite Materiali Isolanti Rigidità dielettrica Dipendenza dalla temperatura delle proprietà isolanti IL TRASFORMATORE Generalità Principi di funzionamento; cenni costruttivi Studio del trasformatore con le equazioni degli induttori mutuamente accoppiati Il trasformatore ideale Il trasformatore reale con nucleo magnetico senza perdite Proprietà elettriche e magnetiche intrinseche del trasformatore ideale Perdite nel materiale magnetico e loro rappresentazione circuitale Funzionamento in regime sinusoidale. Circuiti equivalenti semplificati Grandezze nominali Funzionamento a vuoto. Trasformatori di misura voltmetrici (TV) Funzionamento in corto circuito. Trasformatori di misura amperometrici (TA) Dati di targa Variazione di tensione nel passaggio da vuoto a carico Corrente di corto circuito Perdite e rendimento Autotrasformatore ideale Trasformatore ideale a tre avvolgimenti Trasformatori trifase CAMPO MAGNETICO ROTANTE Il campo magnetico monofase Campo di f.m.m. al traferro prodotto da un avvolgimento trifase percorso da corrente alternata sinusoidale II

3 Campo di f.m.m. a due poli prodotto da un avvolgimento bifase percorso da corrente alternata sinusoidale Avvolgimenti a più coppie polari. Angolo meccanico e elettrico F.m.m. e flusso di un polo F.e.m. indotta in un avvolgimento da un campo di f.m.m MACCHINA SINCRONA Generalità e caratteristiche costruttive Funzionamento con solo induttore percorso da corrente Funzionamento con solo indotto percorso da corrente Effetti delle correnti di statore F.m.m., flussi e f.e.m. di indotto Diagramma vettoriale delle grandezze nel funzionamento con solo indotto alimentato Funzionamento a carico Reazione di indotto (o di armatura) Diagramma vettoriale della macchina isotropa e circuito equivalente Energetica delle grandezze meccaniche Stabilità statica MACCHINA A INDUZIONE (ASINCRONA) Cenni costruttivi e generalità Funzionamento con avvolgimento secondario aperto e rotore fermo Il campo rotante e le f.e.m. indotte Rappresentazione vettoriale sul piano della macchina Funzionamento con avvolgimento secondario chiuso e rotore fermo Effetti delle f.m.m. agenti al traferro Circuito equivalente a rotore bloccato Funzionamento con avvolgimento secondario aperto e rotore in movimento Funzionamento con avvolgimento secondario chiuso e rotore in movimento Velocità dei campi rotanti Circuiti equivalenti e trasformazione di frequenza Circuiti equivalenti per lo studio del funzionamento Interpretazione magnetica ed energetica della trasformazione di frequenza Potenza e coppia trasmesse al traferro Circuito equivalente semplificato della macchina asincrona Significati di scorrimento e modi di funzionamento della macchina asincrona Caratteristica meccanica della macchina asincrona trifase Funzionamento della macchina asincrona con scorrimento nel campo s > 1 (freno) Funzionamento della macchina asincrona con scorrimento nel campo s < 0 (generatore) Avviamento ( spunto ) dei motori asincroni Inversione del moto Grandezze nominali Controllo scalare di una macchina asincrona (regolazione V/f) MACCHINE CON COLLETTORE A LAMELLE (A CORRENTE CONTINUA) Generalità e caratteristiche costruttive Principio di funzionamento Struttura della macchina a collettore Funzionamento a vuoto Funzionamento a carico Coppia elettromagnetica ed equazioni di funzionamento Reazione di indotto: effetti e rimedi. (*) Modi di eccitazione della macchina a c.c Caratteristiche della macchina a c.c. nel funzionamento come generatore Caratteristiche della macchina a c.c. nel funzionamento come motore Caratteristica meccanica del motore a c.c. con eccitazione indipendente Regolazione di armatura e campo di un motore in c.c. ad eccitazione separata Equazioni rappresentative della macchina in c.c. ad eccitazione separata in regime dinamico Motore a c.c. con eccitazione serie Caratteristica meccanica in assenza di saturazione Caratteristica meccanica in condizioni di saturazione magnetica III

4 10. CARATTERIZZAZIONE DINAMICA DI UN SERVOMOTORE IN CORRENTE CONTINUA A MAGNETI PERMANENTI Costanti di tempo elettrica e meccanica Avviamento a carico, potenza transitoria e scelta del rapporto ingranaggi IV

5 1. INTRODUZIONE. Si definisce macchina elettrica un dispositivo per la conversione dell energia da: elettrica elettrica (con diversi valori della tensione e della corrente) elettrica meccanica basato sulle due seguenti leggi: 1. legge dell induzione elettromagnetica (di Faraday Neumann): e t c t : flusso concatenato con una bobina; e(t): forza elettromotrice indotta nella bobina.. Legge delle azioni elettrodinamiche: t d c, dt F i x B, F : forza che agisce su un conduttore, di lunghezza, percorso dalla corrente i e posto in un campo magnetico di induzione B. Il termine x indica il prodotto vettoriale. Si consideri un raddrizzatore statico (ponte di Graetz), fig. 01. Esso converte energia elettrica dalla tensione alternata alla tensione continua. Il suo funzionamento non si basa sulle due leggi sopra enunciate, ma sulla proprietà dei diodi di condurre la corrente in modo unidirezionale. NON è quindi una macchina elettrica. Si consideri un elettromagnete (fig. 0). Alimentando l avvolgimento, si crea un campo magnetico che attira l ancora mobile verso il nucleo. Il funzionamento si basa sulle leggi prima enunciate. D altra parte questo dispositivo comporta solo un piccolo spostamento dell ancora mobile, per poi trattenerla nella posizione finale. Il suo scopo non è una continua conversione di energia elettrica in meccanica e quindi NON può essere definito una macchina elettrica. Fig. 01. Un convertitore statico NON è una macchina elettrica, poiché non basa il suo funzionamento sulle leggi dell induzione elettromagnetica e delle azioni elettrodinamiche. Fig. 0. Un elettromagnete NON è una in macchina elettrica, poiché non effettua una CONTINUA CONVERSIONE dell energia elettrica meccanica, ma solo un piccolo spostamento dell ancora mobile, mantenendola poi in posizione. Le macchine elettriche sono: trasformatore: macchina statica che converte l'energia elettrica con valori diversi di tensione e corrente; 1

6 macchine sincrona, asincrona ed in corrente continua: si tratta di macchina rotanti che possono funzionare sia da motore che da generatore. Premesse. Saranno esposti i seguenti argomenti: il sistema trifase, in quanto la maggioranza delle macchine elettriche è di tipo trifase; alcuni richiami sul campo magnetico e sui concetti di auto induttanza e mutua induttanza; cenni sui materiali impiegati nelle macchine elettriche; il trasformatore; il campo magnetico rotante; la macchina sincrona; la macchina asincrona (ad induzione); la macchina in corrente continua. Si fa presente che le grandezze costanti sono indicate con la lettera maiuscola (es. V), mentre le grandezze variabili nel tempo con la lettera minuscola (es. v). Per le grandezze sinusoidali, la lettera maiuscola indica il valore efficace; il fasore ed il suo coniugato sono indicati rispettivamente con la sopralineatura (V ) e sottolineatura (V ).

7 . RICHIAMI SUI SISTEMI TRIFASE. 1. Generalità sui sistemi trifase. Si consideri una linea costituita da tre conduttori (1,, in fig. 01): supponendo l'energia fluente da sinistra verso destra, si può immaginare la linea come connessione tra una rete di generazione (G) e una di utilizzazione (U), entrambe collegate alla linea tramite tre morsetti. Fig. 01. Linea trifase a tre fili che connette una rete di generazione G ad una di utilizzazione U. Se si misurano i valori istantanei contemporanei delle correnti nei tre fili come indicato in figura, si ha (legge di Kirchhoff delle correnti): i 1 i i 0. Le correnti che percorrono i fili sono chiamate correnti di linea. Le tensioni misurate fra ciascuna coppia di conduttori (v 1, v, v 1 ), come indicato in fig.01, sono dette tensioni di linea o tensioni concatenate: si noti che il primo indice individua il verso di misura della tensione (morsetto contrassegnato del voltmetro a valori istantanei). Per la legge di Kirchhoff delle tensioni vale la relazione: v 1 v v1 0 ; anche per le tensioni concatenate si può osservare che ciascuna di esse è pari alla somma, cambiata di segno, delle altre due: v v ; v v ; v v 1 v1 1 v1 1 1 v. Oltre alle tensioni di linea, in un sistema trifase si definiscono le tensioni di fase, differenza fra il potenziale di ciascun filo di linea e il potenziale di un punto 0 (v. fig. 01), in generale esterno alla linea trifase: v 10, v 0, v 0. Applicando anche in questo caso la legge delle tensioni, si deducono i seguenti legami fra tensioni di fase e di linea: v 1 v10 v0 ; v v0 v0 ; v1 v0 v10 ;

8 . Potenza nei sistemi trifase. Si consideri un sistema trifase a tre fili: le correnti di linea istantanee contemporanee siano i 1 t, i t, i t e le tensioni concatenate istantanee contemporanee siano v 1 t, v t, v 1 t. La corrente nel terzo conduttore è interpretabile come la somma, cambiata di segno, delle altre due: i i1 i. Pertanto, il sistema trifase a tre fili può essere immaginato come costituito da due sistemi monofase aventi come filo di andata i fili 1 e ed il filo come ritorno in comune. Si consideri un generico punto esterno 0 e le tensioni di fase istantanee contemporanee v 10, v 0, v 0. La potenza istantanea che transita sulla linea trifase può essere vista come la potenza associata alle due linee monofase di cui si è detto. Essa vale: Elaborando questa espressione si ottiene: p t v1 i1 v i. p t v1 i1 v i v10 v0 i1 v0 v0 i v10 i1 v0 i v0 i1 i v10 i1 v0 i v0 i, cioè la potenza trifase è pari alla somma delle potenze di ciascun filo. In definitiva la potenza istantanea di una rete trifase (e le potenze che da essa si deducono) è la somma delle potenze associate a ciascun conduttore, qualunque sia il centro 0 rispetto al quale si valutano le tensioni di fase; in particolare, tale centro può cadere su uno dei tre conduttori. Questo suggerisce una procedura molto vantaggiosa per la misura della potenza trifase, nota come inserzione Aron: la potenza trifase può essere misurata con l'impiego di due soli wattmetri, inseriti come mostrato in fig. 0. Naturalmente tale inserzione è valida per il rilievo non solo della potenza istantanea, ma anche della potenza attiva. Le considerazioni svolte riguardo ad un sistema a tre fili possono essere generalizzate nel caso di una linea ad N fili: preso uno dei fili come conduttore di ritorno comune per i rimanenti (N- 1), la potenza trasmessa lungo tale linea è pari alla somma delle potenze delle (N-1) reti monofasi che hanno quel filo come conduttore di ritorno in comune. Fig. 0. Misura della potenza transitante lungo la linea (inserzione Aron). 4

9 . Sistemi trifase in regime sinusoidale. Se il sistema trifase funziona in regime alternato sinusoidale, le grandezze elettriche sono rappresentabili con i corrispondenti vettori (tensioni di linea: V 1, V, V 1 ; tensioni di fase: V 10, V 0, V 0 ; correnti di linea: I 1, I, I ). Agli effetti della definizione delle tensioni di linea, verrà nel seguito utilizzata la seguente convenzione per l'assegnazione del nome ai tre fili: identificato ad arbitrio uno qualsiasi dei conduttori con il N 1, si chiama il conduttore tale che la tensione V 1 è in anticipo sulla tensione V e questa sulla tensione V 1. Complessivamente, le relazioni precedentemente considerate per i valori istantanei contemporanei delle tensioni e delle correnti si possono scrivere: V 1 V10 V0 V V V 0 ; 1 1 ; V V0 V0 ; V1 V0 V10 ; I I I 0. 1 Pertanto i vettori tensione di linea ed i vettori corrente di linea costituiscono i lati di due triangoli (fig. 0): infatti una poligonale chiusa di vettori concorrenti (in particolare un triangolo) è caratterizzata dall'avere risultante nulla. Se in un sistema trifase a tre fili i vettori tensione di linea formano un triangolo scaleno (V 1 V V 1 ), si parla di "sistema di tensioni dissimmetriche"; viceversa, se il suddetto triangolo delle tensioni di linea è equilatero (vettori di uguale modulo e sfasati fra loro di 10 ), si parla di "sistema di tensioni simmetriche". Considerato un sistema trifase con tensioni simmetriche, se i vettori correnti di linea formano un triangolo scaleno qualunque, si parla di "sistema trifase di correnti squilibrate"; viceversa, se tale triangolo di correnti è equilatero, si parla di "sistema di correnti equilibrate". Fig. 0. Triangolo dei vettori delle tensioni concatenate e delle correnti di linea. Quanto alle possibili scelte del punto 0 per la definizione delle tensioni di fase, si consideri la situazione rappresentata in fig. 04.a. Dai tre fili sono derivate tre impedenze uguali Z, connesse "a stella": detto G il centro stella, la somma delle tensioni di fase misurate rispetto a G può così esprimersi: V I I I 0 1G VG VG Z I1 Z I Z I Z 1. Dunque le tre tensioni di fase misurate rispetto al centro stella G delle impedenze hanno somma vettoriale nulla. Per quanto riguarda il diagramma vettoriale, si mostra facilmente che il punto 5

10 "elettrico" G, rispetto al quale le tensioni di fase hanno somma vettoriale nulla, coincide con il baricentro del triangolo delle tensioni concatenate (v. fig. 04.b): tale punto prende il nome di centro teorico del sistema trifase di tensioni. Fig. 04a 04b. Costruzione pratica del centro teorico G del sistema trifase di tensioni. Talvolta è consuetudine indicare con un solo indice le tensioni di fase misurate rispetto al centro teorico G ( V1 V1G ; V VG ; V VG ); per tali tensioni vale la relazione: V V V 0. 1 Anche nei sistemi trifase, come per un qualunque circuito in regime sinusoidale, si definiscono la potenza apparente, attiva e reattiva. In generale il vettore potenza apparente trifase A è così definito: t A P j Q A V I. t k k1 k1 k0 k Anche la potenza apparente trifase gode della proprietà di invarianza rispetto al punto 0 di riferimento delle tensioni di fase. Come punto 0 si può pertanto scegliere un punto posto su uno dei tre fili (misura della potenza secondo Aron): A t V. 1 I1 V I Esprimendo la potenza attiva mediante l'operatore prodotto scalare () fra vettori, si ha: P t. [W: watt] V1 I1 V I La potenza reattiva può essere espressa attraverso il modulo del prodotto vettoriale (x) fra V x I V I sin VI ). Nel caso del sistema trifase a tre fili si ha: vettori tensione e corrente (infatti: Q t V1 x I1 V x I [var: volt-ampere reattivi] (per ogni prodotto vettoriale si deve considerare il modulo con segno positivo se la corrente è in ritardo rispetto alla tensione, altrimenti il segno negativo). Si definisce fattore di potenza di una rete trifase la quantità: 6

11 Pt cos. At Il fattore di potenza cos è una quantità invariante rispetto allo spostamento del punto 0 cui sono riferite le tensioni di fase: infatti, rispetto a tale spostamento non cambiano P t, Q t, A t, e quindi neanche il cos. 4. Sistemi trifase a tre fili, simmetrici ed equilibrati. Costituiscono una categoria assai ampia nell'insieme dei sistemi trifase oggetto di studio: è infatti evidente l'opportunità pratica che i sistemi trifase impiegati nelle applicazioni siano realizzati in modo costruttivamente simmetrico e fatti funzionare, per quanto possibile, con carichi equilibrati. Un esempio molto semplice di sistema trifase a tre fili, simmetrico nelle tensioni, è rappresentato dalla terna di generatori raffigurata in fig. 05. Tale sistema contiene tre generatori ideali collegati a stella, le cui tensioni: j 1 ; E e E E 4 j E ; E E e costituiscono un sistema simmetrico di vettori: la caratteristica di tale sistema di vettori è quella di essere uguali ed a 10 ( / radianti) l'uno dall'altro. Conseguenza di ciò è che questi tre vettori sono a somma nulla: pertanto, il centro stella di tali generatori coincide con il centro teorico G, cioè con il baricentro del triangolo delle tensioni concatenate. Nel caso di sistema simmetrico di tensioni, il triangolo delle tensioni concatenate è equilatero: anche le tensioni di linea costituiscono tre vettori uguali fra loro e posti a 10 l'uno dall'altro. In questa situazione simmetrica (fig. 06), tra il modulo delle tensioni di linea ed il modulo delle tensioni di fase sussiste la seguente relazione: Vlinea V fase 1. 7V fase. Infatti (fig. 06): V1 E1 sin60 V1 E1 da cui la tesi. Fig. 05. Sistema simmetrico nelle tensioni ed equilibrato nelle correnti Fig. 06. Diagramma vettoriale delle tensioni e delle correnti in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato Carico equilibrato connesso a stella. j Nel sistema di fig. 05 vi è anche una terna di impedenze uguali, di valore Z Z e, collegate a stella. Dette V 1, V, V le tensioni di fase misurate ai morsetti delle impedenze di carico Z, valgono le seguenti leggi delle tensioni: 7

12 V1 E1 V0G ; V E V0G ; V E V0G essendo V 0 G la tensione fra il centro stella delle impedenze e quello dei generatori. D'altra parte, considerata la simmetria delle tensioni dei generatori e l'uguaglianza delle impedenze di carico, è evidente che il punto 0, centro stella delle impedenze di carico connesse a stella, si trova allo stesso potenziale del punto G: V 0G 0 ; da ciò si deduce che le tensioni di fase sulle impedenze sono uguali alle corrispondenti tensioni dei generatori. Le correnti, pertanto, sono pari a: V1 E1 E j I1 e ; Z Z Z V E j E I e ; Z Z Z 4 V E j E I e. Z Z Z Dunque il sistema delle correnti di linea costituisce una terna di correnti equilibrate (vettori uguali in modulo ed a 10 l'uno dall'altro), come mostrato in fig. 06: ciascuna corrente di linea è sfasata dello stesso angolo (angolo caratteristico dell'impedenza Z ) rispetto alla corrispondente tensione di fase. Per quanto riguarda la potenza trifase, dalla definizione generale di vettore potenza apparente trifase si ottiene: j At E1 I 1 E I E I E I e. Dunque in un sistema simmetrico ed equilibrato la potenza apparente trifase è il triplo della potenza apparente di ciascuna fase; il modulo di A è pari a: At E I Vlinea I. Le potenze attiva e reattiva valgono rispettivamente: Pt E I cos Vlinea I cos t Qt E I sin Vlinea I sin. Queste espressioni mettono in evidenza una importante caratteristica dei sistemi trifase: se si considerasse di volere trasportare con tre linee monofase una potenza di fase pari a E I cos, la linea di trasporto complessiva necessiterebbe di sei conduttori, ciascuno dimensionato per trasportare la corrente di linea I. Viceversa la adozione di una linea trifase consente di dimezzare il numero di conduttori necessari, a pari potenza totale trasportata. Per quanto riguarda la potenza istantanea, nel caso monofase essa è costituita da un valore medio, pari alla potenza attiva P, più una sinusoide potenza istantanea a valore medio nullo, di ampiezza pari alla potenza apparente A, e di frequenza doppia rispetto a quelle di tensione e corrente. Nel caso trifase simmetrico ed equilibrato, la potenza istantanea trifase è la somma delle potenze istantanee di fase: t p t p t p t v t i t v t i t v t i t p t 1 1 1, 8

13 dove le tensioni di fase sono misurate rispetto al centro teorico. Considerate per tensioni e correnti le seguenti espressioni: 1 t V cos t; v t V f cos ; t V cos v f t 1 t I cos t ; t I cos i le singole potenze di fase risultano pari a: 4 v f t ; 4 i t ; i t I cost ; V I cos t v1 i1 V f I cos f ; 4 v i V f I cos V f I cost ; 8 v i V f I cos V f I cost V f I cos V f I cos t ; Si riconosce facilmente che nella somma delle potenze istantanee di fase le tre sinusoidi si annullano istante per istante (infatti sono di uguale ampiezza e sfasate fra loro di 10 ), per cui: p t V I cos V I cos t f linea ; pertanto la potenza istantanea trifase di un sistema simmetrico ed equilibrato è costante. Il fatto che la potenza trifase istantanea è costante non è in contraddizione con l'esistenza di una potenza reattiva trifase, pari a Qt Vlinea I sin : infatti, per ciascuna fase k (k=1,,) la potenza reattiva è il valor massimo della potenza istantanea (p kq ) associata alla componente istantanea di corrente (i kq ) in quadratura con la tensione istantanea di fase (v k ); pertanto è nulla la somma di tali potenze istantanee, mentre non è nulla la somma dei loro valori massimi ( V f I sin). Discorso analogo vale per la A t. Si noti che, pur esprimendo la tensione di fase V f in funzione della tensione di linea V linea ( V f V linea ), l'angolo è sempre quello di sfasamento fra tensione di fase e corrente di linea. 4.. Carico equilibrato connesso a triangolo. Si tratta di una situazione circuitale del tipo di fig. 07: il sistema delle tensioni (sia di fase che di linea) è sempre simmetrico, mentre le impedenze Z, uguali fra loro, sono collegate a triangolo. Data la simmetria delle tensioni concatenate, le correnti nei lati del triangolo costituiscono un sistema equilibrato, il cui valore è pari a: V1 I1 Z ; V I Z ; V1 I 1 Z. D'altra parte sussistono le seguenti leggi delle correnti ai nodi: I 1 I1 I1 ; I I I1 ; I I1 I ; considerando che anche il sistema delle correnti di linea è equilibrato, si può costruire il diagramma vettoriale di fig. 08, che corrisponde graficamente alle precedenti leggi delle correnti. 9

14 Fig. 07. Sistema trifase simmetrico ed equilibrato con carico connesso a triangolo. Fig. 08. Diagramma vettoriale delle correnti del sistema di fig. 07. Per quanto riguarda il legame fra i moduli di tali correnti si ottiene, analogamente a quanto visto per le tensioni: Ilinea I triang. E' interessante osservare che, se le stesse impedenze di valore Z vengono collegate a stella, le potenze assorbite dalla linea risultano pari ad 1/ di quelle del collegamento a triangolo. Infatti la potenza apparente trifase nel collegamento a stella vale: AtY V f V f V f IlineaY V f, Z Z mentre la potenza apparente trifase nel caso di collegamento triangolo (indicando con I D la corrente nel lato del triangolo) vale : A td V f V f Vlinea I D V f 9, Z Z ovvero: A td A. ty Visto in termini di correnti di linea, il confronto comporta che: I lineay A V ty f ; V Z f I linead A V td f V Z f ; pertanto nel caso di collegamento a stella la corrente di linea risulta pari ad 1/ di quella del collegamento a triangolo. In alcune applicazioni, questo fatto viene sfruttato per limitare la corrente assorbita dalla linea (vedi, ad esempio, la commutazione stella-triangolo durante l'avviamento di un motore asincrono). 5. Studio delle reti trifase a tre fili simmetriche ed equilibrate. Lo studio di una rete trifase simmetrica nelle tensioni ed equilibrata nelle correnti può essere facilmente ricondotto alla risoluzione di una rete monofase equivalente, previa trasformazione degli eventuali carichi trifasi collegati a triangolo negli equivalenti carichi collegati a stella. Considerando il caso di carichi passivi, costituiti da impedenze, si tratta di effettuare la trasformazione rappresentata in fig. 09: 10

15 1 ZY Z D. Fig. 09. Trasformazione di un carico da triangolo a stella. Ad esempio, la rete trifase di fig. 10.a può essere trasformata come indicato nella fig. 10.b: in questo modo tutti i carichi (realmente collegati a stella o in connessione a stella equivalente) presentano un centro stella fisico. Data l'ipotesi di simmetria ed equilibrio, tutti i centri stella della rete (i punti G, 0', 0", 0"' nell'esempio di fig. 10.b) risultano fra loro equipotenziali e quindi ogni fase del sistema trifase (ad esempio la fase 1) può essere rappresentata utilizzando il circuito equivalente monofase di fig. 11. Fig. 10.a. Rete trifase simmetrica ed equilibrata con carichi connessi a stella ed a triangolo. Calcolate le grandezze di interesse relative a questo circuito (correnti, potenze attive e reattive della fase 1), le quantità delle altre fasi si ottengono in modo molto semplice: le potenze attive e reattive sono uguali a quelle già calcolate per la fase studiata, mentre le correnti si ottengono da quelle calcolate, con una opportuna rotazione di 10 (fase ) e di 40 (fase ). Per quanto riguarda i carichi originariamente connessi a triangolo, le correnti nei lati di tali triangoli si ottengono facilmente con le equazioni ai nodi, ovvero con il diagramma vettoriale mostrato in precedenza. Nel caso di reti monofasi è utile l impiego del metodo di Boucherot per il calcolo con equazioni scalari delle grandezze tensioni, correnti, potenze. Poiché la potenza attiva, reattiva e apparente di un sistema trifase simmetrico ed equilibrato è pari a tre volte quella del monofase equivalente, anche le reti trifase possono essere studiate con il metodo di Boucherot: si può passare al monofase equivalente e poi da questo alle potenze del trifase moltiplicando per tre i risultati, oppure si può applicare il metodo di Boucherot direttamente alla rete trifase, facendo ovviamente attenzione al tipo di collegamento (per collegamenti a triangolo si devono considerare le tensioni di linea, mentre si impiegano quelle di fase nel caso stella). 11

16 Fig. 10.b Trasformazione dei carichi a triangolo, di fig. 10.a, negli equivalenti a stella. Fig. 11. Rete equivalente di una fase del sistema trifase di fig. 10.b. 6. Sistemi trifase a tre fili simmetrici e squilibrati. Normalmente i generatori trifasi sono in grado di fornire un sistema simmetrico di tensioni; tuttavia può avvenire che i carichi non siano equilibrati nelle correnti, per effetto di impedenze di carico diverse sulle tre fasi. Tale condizione si presenta quando lo squilibrio delle correnti di linea non è tale da modificare sensibilmente la simmetria delle tensioni (per effetto delle diverse cadute di tensione sulle impedenze della linea e/o sulle impedenze interne del generatore). Un esempio di circuito squilibrato è rappresentato in fig. 1; come metodo risolutivo si può adottare uno qualunque dei metodi di impiego generale, ad esempio le equazioni di Kirchhoff: I1 I I 0 E1 Z1 I1 Z I E 0 E Z I Z I E 0 La risoluzione di questo sistema fornisce le correnti cercate. Quanto alle potenze, valgono le espressioni generali già riportate nella parte finale del Prg.. 7. Sistemi trifase a quattro fili. Uno schema di linea trifase a quattro fili, avente la funzione di connettere una zona di generazione della potenza (sottosistema G) ad una zona di utilizzazione (carichi A, B, C, D) è quello rappresentato in fig. 1: il quarto filo, detto conduttore di neutro o semplicemente neutro, è connesso al centro stella del generatore e viene distribuito insieme ai conduttori delle tre fasi. I sistemi a quattro fili sono molto usati nella distribuzione di energia a bassa tensione in quanto, con un solo sistema trifase, rendono disponibile agli utilizzatori due diversi livelli di tensione: 1

17 un sistema trifase di tensioni concatenate ad uso degli apparecchi trifasi (utenze industriali); un sistema trifase di tensioni di fase (minori rispetto a quelle di linea nel rapporto ) per la alimentazione di carichi monofase (tipicamente utenze domestiche). In altre parole, il sistema di distribuzione in bassa tensione (<1000V) dell Ente Distributore di Energia (ENEL, società municipalizzate) è a quattro fili alla tensione di 400V/0V. Ogni singola abitazione è connessa tra una fase ed il neutro ( V fase 0V ). Per equilibrare l insieme dei carichi monofase, le diverse abitazioni sono connesse tra il neutro e i diversi (tre) conduttori di fase (carichi A, B, C di fig. 1). Le aziende che richiedono all Ente Distributore di Energia una potenza elettrica minore di kW sono alimentate con tutti e quattro i conduttori. I tre conduttori di fase (1,, ), tra cui esiste la tensione V linea 400V, alimentano i motori, tipicamente trifase. Tra ogni conduttore di fase ed il neutro ( V fase 0V ) sono connessi i carichi di minor potenza, quali lampade di illuminazione, calcolatori, stampanti. Fig. 1. Sistema trifase a tre fili simmetrico e squilibrato. Fig. 1. Schema di un sistema trifase a quattro fili. A, B, C rappresentano carichi monofase di tipo domestico; D rappresenta una piccola industria. Le utenze industriali di potenza superiore a kw sono alimentate da un sistema trifase a tre fili (par. 4) alla tensione: V linea 15kV o V linea kv per potenze fino ad alcuni MW (mega watt); tensioni superiori (ad es. V linea 60kV o V linea 10kV ) per potenze maggiori. All interno dell azienda, dei trasformatori (cap. 5) adattano la tensione ai livelli richiesti dai diversi carichi (ad es. V linea = 400V, 500V, 690V; kv, 6kV), rendendo naturalmente anche disponibile il conduttore di neutro, se richiesto (praticamente per la sola rete con V linea 400V ) Sistemi trifase a quattro fili, con quarto filo di impedenza nulla. Si tratta di sistemi per i quali si può ritenere trascurabile la c.d.t. lungo il quarto filo, per effetto della corrente I 0 che lo percorre: questo fatto può essere dovuto all'entità trascurabile della impedenza di tale filo, e/o al modesto valore della I 0. Un semplice esempio di circuito con 4 filo di impedenza nulla è rappresentato in fig. 14, nel quale si considerano, in generale, impedenze di fase diverse fra loro: i centri stella G dei generatori ed O delle impedenze sono vincolati allo stesso potenziale dal collegamento di 1

18 impedenza nulla costituito dal quarto filo. Pertanto le tensioni ai morsetti delle impedenze coincidono con le corrispondenti tensioni dei generatori, da cui: I V1 E1 ; Z Z 1 V E I ; Z Z I 0 I1 I I. I V Z E Z Fig. 14. Sistema trifase simmetrico a quattro fili, con quarto filo di impedenza nulla. Queste relazioni mettono in evidenza che le correnti di ciascuna fase si calcolano semplicemente come dovute alla propria tensione di fase E, indipendentemente dal fatto che le impedenze di carico siano uguali o diverse fra loro. Questo fatto, dovuto alla presenza del quarto filo, costituisce un ulteriore motivo di adozione della distribuzione a quattro fili: infatti in tal modo ciascun carico monofase assorbe una corrente che dipende dal valore della tensione di fase generata E (a meno delle c.d.t. in linea) e dalla propria impedenza. Pertanto lo squilibrio nelle altre fasi non si ripercuote sulla fase considerata, come invece avviene nel caso a tre fili. Inoltre il quarto filo è percorso dalla somma vettoriale delle tre correnti di fase: pertanto se i carichi sono abbastanza equilibrati, la corrente I 0 è modesta (al limite nulla per un sistema perfettamente equilibrato). Per tale ragione si potrebbe adottare, per il quarto filo, una sezione di conduttore inferiore a quella dei conduttori di fase. Infine, si consideri una rete trifase a tre fili con tensione concatenata di valore V 1 =0 V e corrente massima ammissibile I. Essa può trasportare una potenza apparente massima ammissibile pari a: A V1 I 0 I 400 I VA. Elevando la tensione di linea al valore V V1 (cioè a V =400 V) e distribuendo insieme alla linea trifase, anche il quarto filo, i carichi monofase hanno ancora a disposizione la tensione V 1 (questa volta come tensione di fase). Nell'ipotesi che tali carichi siano disposti in modo che le impedenze complessive di fase siano praticamente uguali (carichi equilibrati), è possibile trasportare una potenza apparente pari a: ' A V I 400 I A1. 7 A con la sola aggiunta del quarto conduttore. Pertanto, con un aumento del,% del rame impiegato (nell'ipotesi di adottare per il quarto filo una sezione pari a quella di ogni fase) si ha una aumento della potenza del 7,%. 14

19 7.. Sistemi trifasi a quattro fili, con quarto filo di impedenza non nulla. Si tratta di sistemi per i quali l'ipotesi precedentemente assunta non è quantitativamente sostenibile. Nel seguito è mostrato un esempio dei metodi di studio adottabili per la risoluzione di questi sistemi, con riferimento al circuito rappresentato in fig. 15. La risoluzione di questo circuito può essere fatta applicando i metodi di uso generale per l'analisi delle reti, quali le equazioni di Kirchhoff: I1 I I I0 0 E1 Z1 I1 Z0 I0 0 E Z I Z0 I0 0 E Z I Z0 I0 0 La risoluzione di questo sistema fornisce direttamente le quattro correnti cercate. Fig. 15. Sistema trifase a quattro fili, con quarto filo di impedenza non nulla. Esempio 1 Si abbia un sistema trifase simmetrico a tre fili, con tensione nominale Vn = 400V, che alimenta un carico equilibrato connesso a triangolo ed uno connesso a stella, con impedenza rispettivamente di valore: Z a Ra j X a =(0 + j1) Zb Rb j X b =(60 + j4) Il circuito è riportato in fig. 01_es. Le tre tensioni di fase hanno valore efficace: V E1 E n E = 0 V. Si determinino: la corrente e le potenze attiva e reattiva fornita ai singoli carichi; la corrente all interno del triangolo; la corrente di linea; la potenza attiva e reattiva erogata dal generatore; il fattore di potenza globale. 15

20 Fig. 01_es. Rete elettrica dell esempio. Si ricorda che, quando si parla della tensione di una rete trifase o di una macchina elettrica trifase, ci si riferisce sempre alla tensione concatenata. Nei calcoli invece, poiché si fa uso del circuito equivalente monofase, compare la tensione di fase. Si applica il metodo esposto al par. 5. In primo luogo si trasforma il carico a triangolo nella stella equivalente: Z a Z ay =(10 + j7.0) Si hanno ora due carichi trifase a stella equilibrati. I centri stella sono allo stesso potenziale del centro stella teorico G (centro stella del generatore di f.e.m.). E quindi possibile ottenere il circuito equivalente monofase di fig. 0_es: Si consideri il fasore E 1 sull asse reale: E1 E1. La corrente fornita al primo carico vale: E1 I a Z ay j I a a e = (15.4 j10.8) A = 18.8 e j5.0 A Le potenze attiva e reattiva fornite al carico a valgono: Pa E I a cosa Vn I a cosa V I sin 1 = 10.6 kw; Qa E1 I a sin a n a a = 7.46 kvar (potenza reattiva induttiva). Fig. 0_es. Circuito equivalente monofase della rete di fig. 01_es. 16

21 Il fattore di potenza vale cos(a) = R (R: ritardo). Analogamente per il secondo carico: I b E1 = (.0 j1.) A =.56 e j1.8 A Z Le potenze attiva e reattiva fornite al carico b valgono: b Pb =.8 kw Qb = 0.91 kvar (potenza reattiva induttiva). Il fattore di potenza vale cos(b) = 0.98 R. La corrente all interno del triangolo ha valore efficace minore della corrente di linea del carico stesso: I I a = 10.9 A. Il collegamento a triangolo ha il vantaggio di ridurre la corrente all interno del triangolo di 1.7 volte rispetto alla corrente di linea: in tal modo si possono utilizzare conduttori di sezione minore. La tensione applicata alla singola impedenza è però quella concatenata (400V) e non quella di fase (0V). La corrente di linea (fornita dal generatore) vale: I g = (18.7 j1.1) A =. e j.9 A I a Ib La conservazione delle potenze attiva e reattiva consente di valutare algebricamente la potenza erogata dal generatore: Pg = Pa + Pb = 1.9 kw Il fattore di potenza globale è pari a: Ag Qg = Qa + Qb = 8.7 kvar (potenza reattiva induttiva) g g P Q = 15.4 kva Pg cos( g ) = R A g Tale valore è minore di 0.90, per cui l insieme dei carichi richiede di essere rifasato tramite una batteria di condensatori, posta in parallelo. 17

22 . RICHIAMI SUL CAMPO MAGNETICO. 1. Generalità. Si definisce campo magnetico una regione di spazio dove un pezzo di magnetite (FeOFe O ) è sottoposto a delle forze. Nel corso di Fisica, si è visto che il campo magnetico è definito localmente da due grandezze: vettore induzione magnetica B, la cui unità di misura è il tesla (T); vettore forza magnetica (o intensità del campo magnetico) H, la cui unità di misura è ampere/metro (A/m). Tra questi due vettori esiste la relazione: B H, dove è la permeabilità magnetica del mezzo in cui si svolge il campo. L'unità di misura della permeabilità magnetica è henry/metro (H/m). E' diffuso esprimere la permeabilità come: 0 r, dove: 0 è la permeabilità del vuoto ( 0 = H/m); r è la permeabilità relativa del materiale rispetto a quella del vuoto. E' una grandezza adimensionale. Per lo studio delle macchine elettriche, si distinguono: materiali caratterizzati da permeabilità costante e praticamente pari a quella del vuoto 0 ; materiali (detti ferromagnetici) la cui permeabilità magnetica dipende dai valori di B o H. La permeabilità relativa assume valori molto maggiori dell'unità ( r ). Di essi si parlerà più avanti.. Circuiti magnetici. Si faccia riferimento al nucleo toroidale avvolto di fig. 01. Si tratta di un nucleo magnetico toroidale, caratterizzato da un diametro interno D i e da un diametro medio di sezione D m (si supponga che la differenza fra i due diametri sia piccola rispetto al valore di ciascuno: nucleo sottile); sia A la sezione retta del nucleo, il cui materiale magnetico costitutivo sia di tipo lineare ed isotropo (le sue proprietà intrinseche non cambiano al variare dell'intensità del campo magnetico e della direzione considerata). Attorno al nucleo sia avvolto un conduttore, a costituire un solenoide di N spire; queste siano uniformemente distribuite e percorse da corrente continua di valore I. Con tale disposizione il campo magnetico risulta confinato all'interno del nucleo, in ogni punto è diretto parallelamente alla tangente alla linea media (di diametro D m ) ed ha il verso indicato in figura; inoltre, l'induzione magnetica B risulta uniforme in tutti i punti della sezione A. La quantità m Dm rappresenta la lunghezza media del nucleo magnetico. Si definisce "circuito magnetico" un tubo di flusso del vettore induzione magnetica, ad esempio il nucleo toroidale di fig. 01. La legge di Ampere o della circuitazione comporta che: H l m N I, 18

23 il primo membro di questa relazione (H l m ) può essere interpretato come risultato della circuitazione del vettore H lungo la linea media l m, linea chiusa di integrazione; il secondo membro della suddetta relazione (N I) è la corrente totale concatenata con il circuito magnetico costituito dal nucleo toroidale. La quantità (N I), che costituisce la corrente di eccitazione del campo magnetico, è detta forza magneto motrice (f.m.m.) ed è usualmente indicata col simbolo M (unità di misura ampere spire [A]). Fig. 01. Nucleo magnetico toroidale: esempio di circuito magnetico. Fig. 0. Solenoide costituito da N spire, percorse dalla corrente I. Nel caso generale di un campo magnetico non uniforme, la suddetta relazione si generalizza nella seguente forma: H dl N I ; dove N I è la corrente totale concatenata con la linea di integrazione. Questa relazione, nota con il nome di legge della circuitazione di Ampère, si enuncia così: "la circuitazione del vettore forza magnetica H lungo una linea chiusa è pari alla totale corrente concatenata con tale linea (f.m.m. complessiva)". Il valore della f.m.m. agente lungo una linea è dato dalla corrente totale con cui la linea è concatenata; un caso tipico è quello di avvolgimenti a forma di solenoide, nei quali tutte le spire sono percorse dalla medesima corrente (v.fig. 0). Se N è il numero di spire dell'avvolgimento e I è la corrente che lo percorre, la sua f.m.m. è espressa da: M = N I. Il senso della corrente e quello della corrispondente f.m.m. sono legati dalla regola della vite destrorsa: disponendo la vite col suo asse nella direzione della corrente e facendola ruotare, il senso di rotazione e quello di avanzamento individuano rispettivamente i sensi corrispondenti della corrente e della f.m.m.. Correlativamente, disponendo la vite col suo asse nel senso d'azione della f.m.m. e facendola ruotare in senso destrorso, il senso d'avanzamento individua appunto il senso della f.m.m. e la rotazione d'anello della corrente. Nella fig. 0 il verso delle grandezze dirette normalmente al piano del disegno è rappresentato con un punto o con una croce a seconda che la grandezza sia rivolta verso l'osservatore o in senso contrario. Si ricorda, infine, che il senso di una f.m.m. si indica anche per mezzo della sua polarità, collocando il Nord nel verso dove essa esce dall'avvolgimento che la produce e il Sud nel verso dove vi entra. Si consideri ora un circuito magnetico, costituito da tubi di flusso variamente collegati fra di loro: attorno ad alcuni di questi tubi siano disposti degli avvolgimenti, costituiti da spire percorse da correnti continue. 19

24 In tale sistema la legge di Ampère (che può essere scritta per un qualsiasi cammino chiuso) risulta di utile impiego quando venga applicata alla linea media delle maglie magnetiche (vedi fig. 0); conviene in tal caso spezzare l'integrale di linea di H in tanti contributi quanti sono i "p" tronchi di tubo di flusso contenuti nella maglia. Se vi sono "q" f.m.m. agenti lungo la maglia considerata, si ha: p H dl q l k1 k 1 Quando poi la forza magnetica H sia costante lungo ciascun tronco di lunghezza l k, la relazione scritta si semplifica come segue: p H l q k k k1 1 M M h h.. Fig. 0 Esempio di circuito magnetico. Si consideri vera la circostanza (frequente in molte applicazioni e comunque sempre verificata per strutture magnetiche del tipo di fig. 0) che la linea chiusa l passi per punti caratterizzati da assenza di correnti; in altre parole si faccia l'ipotesi che tali correnti siano, al più, concatenate con la linea considerata, ma questa si sviluppi lungo punti dello spazio non interessati da correnti: pertanto lungo la linea l il vettore H è irrotazionale. Allora è possibile definire una funzione scalare potenziale magnetico U, in perfetta analogia a quanto avviene per il campo di conduzione (con V potenziale elettrico). In base a questa osservazione, si chiama tensione magnetica o differenza di potenziale magnetico (d.d.p.m.) la quantità: B U U U H t dl H l. In tal modo la legge di Ampère assume il seguente aspetto: A B A AB p q U k M h k1 1. Tale relazione è formalmente identica a quella relativa alle maglie elettriche, già nota sotto il nome di legge di Kirchhoff delle tensioni, e si enuncia così: "la somma delle tensioni magnetiche misurate ordinatamente lungo i lati di una maglia magnetica uguaglia la somma delle f.m.m. agenti". 0

25 Ad esempio, con riferimento alla maglia di fig. 0, assunto il verso orario come verso di percorrenza della maglia, si può scrivere: 8 H k k1 lk N1 I1 N I. Il segno meno davanti alla f.m.m. del tronco si giustifica osservando che, in base alla regola della vite destrorsa, il senso di tale f.m.m. è opposto al verso di percorrenza della maglia. Se ora si pone l'ulteriore ipotesi di campo uniforme in ciascuna sezione di ogni tronco di circuito magnetico, la tensione magnetica ai "capi" di tale tronco può essere espressa come segue: U k H k l k Bk l k B k A k lk A k : flusso nel generico tronco k-esimo, misurato in weber [Wb]; k : riluttanza del generico tronco k-esimo, misurata in henry -1 [H -1 ]. Pertanto la legge delle tensioni per i circuiti magnetici può essere scritta come segue: k k k p q k k k1 1 M h.. Legge di Hopkinson (o legge di Ohm magnetica). Con riferimento ai circuiti elettrici, nella sua forma più generale la legge di Ohm si applica ad un tronco di un circuito nel quale circola corrente e nel quale agiscono eventualmente una o più forze elettromotrici. Si assume come direzione convenzionale positiva per la corrente quella che va da A a B; una f.e.m. o una d.d.p. positive tendono a far circolare una corrente positiva. Detta V = V A V B (v. fig. 04), la legge di Ohm si scrive: V + E = R I. In modo analogo la legge di Hopkinson (v. fig. 05): in un tronco di circuito magnetico, interessato dal flusso, nel quale agisca eventualmente una f.m.m. M (o più f.m.m. di valore risultante M) ed ai capi del quale esista una d.d.p.m. U, vale la seguente relazione: U M. Fig. 04. Legge di Ohm per un tronco di circuito elettrico. Fig. 05. Legge di Hopkinson per un tronco di circuito magnetico. In essa si è indicata con la riluttanza del tronco di circuito, dipendente dalla sezione, dalla lunghezza l AB e dal materiale magnetico di cui è costituito. Per i segni vale la convenzione analoga a quella illustrata per la legge di Ohm. Il termine rappresenta la caduta di tensione magnetica (c.d.t.m.) sulla riluttanza. D.d.p.m., f.m.m., c.d.t.m. sono grandezze omogenee (tensioni magnetiche), la cui unità di misura è [A]. 1

26 Dei tre casi particolari per la legge di Ohm dei circuiti elettrici, il primo (quello di I=0) non ha riscontro nel caso del tronco di circuito magnetico, dato che in natura non esistono materiali isolanti magnetici, capaci di opporre al passaggio del flusso una riluttanza praticamente infinita. Di conseguenza non può esistere una f.m.m. a circuito aperto: un circuito nel quale agisca una f.m.m. è sempre interessato da flusso. Il secondo e terzo caso si verificano invece anche nei circuiti magnetici: circuito chiuso (U = 0). Risulta: M cioè la risultante delle f.m.m. agenti uguaglia la totale c.d.t.m. nel circuito; tronco di circuito senza f.m.m. (M = 0). Risulta: U cioè la d.d.p.m. ai morsetti uguaglia la c.d.t.m. nel tronco. Si usa spesso anche l'espressione reciproca: U, nella quale 1 A l è la permeanza del circuito. 4. Calcolo di riluttanze e studio dei circuiti magnetici. Il calcolo di una permeanza o di una riluttanza è generalmente piuttosto complesso e incerto, per le seguenti ragioni: tolti pochi casi semplici, il campo non ha configurazione uniforme; i tubi risultano di sezione variabile e difficili da determinare in modo rigoroso; la permeabilità dei materiali magnetici è fortemente variabile al variare dello stato di magnetizzazione. Esistono pochi casi nei quali è possibile studiare il campo magnetico con metodo analitico. Tuttavia, nella maggior parte delle situazioni possono essere sufficienti metodi grafici per il tracciamento delle linee di flusso ed equipotenziali; diversamente, è necessario studiare il problema in forma numerica, con l'uso del calcolatore. Dalle considerazioni precedenti, in numerose occasioni è già emersa l'analogia formale tra leggi, grandezze e proprietà dei campi e dei circuiti elettrici e magnetici: in base a tale proprietà, un sistema magnetico può essere studiato con le stesse metodologie utilizzate per studiare un sistema elettrico. A tale scopo è sufficiente tenere presente le grandezze che si corrispondono nella analogia, come riportato nel seguente schema: Grandezze elettriche Grandezze magnetiche f.e.m. [V] E f.m.-m. [A] M Tensione (o c.d.t.) [V] V Tensione magnet. (o c.d.t.m.) [A] U Corrente [A] I Flusso [Wb] Densità di corrente [A/mm ] S Induzione magn. (densità di flusso) B [Wb/m =T] Forza elettrica [V/m] K Forza magnetica [A/m] H Conduttività[S/m] Permeabilità [H/m] Resistività [m] Riluttività [H -1 m] 1 Resistenza [] R Riluttanza [H -1 ] Conduttanza [S] G Permeanza [H] 1H = 1s (henry); 1Wb = 1Vs (weber); 1Wb/m = 1T (tesla) L'osservazione di questa tabella suggerisce un utile metodo per risolvere i circuiti magnetici: il dispositivo magnetico da studiare viene schematizzato con una rete a parametri concentrati nella quale, in forza della analogia elettrico-magnetica, le f.m.m. vengono rappresentate con bipoli generatori di "tensione magnetica" M ed i tronchi in materiale magnetico, costituenti i tubi di flusso, vengono raffigurati con riluttanze. Al fine di una più efficace visualizzazione, si possono anche adottare gli stessi simboli circuitali dei circuiti elettrici (simbolo di generatore di f.e.m. per la f.m.m. e quello di resistenza

27 per la riluttanza), purché si ricordi che i fenomeni rappresentati rimangono fisicamente diversi, pur se trattati in modo analogo. I metodi di analisi delle reti magnetiche sono simili a quelli impiegati per risolvere le reti elettriche; ad esempio, impiegando le equazioni di Kirchhoff, si opera nel seguente modo: lungo i diversi "lati magnetici" della rete si indicano le convenzioni di misura dei flussi, come fossero delle correnti; si scrivono tante equazioni dei flussi ai nodi quanti sono i nodi (n) della rete meno uno: l n k 0 (n 1 equazioni) ; k1 si scrivono tante equazioni delle tensioni magnetiche quante sono le maglie magnetiche indipendenti (l-n+1) della rete: l m k1 U 0 (l n+1 equazioni) ; k si scrive una equazione di Hopkinson (Ohm magnetica) per ogni lato della rete: U M. Più semplicemente, si applica il metodo di analisi alle maglie studiato per i circuiti elettrici. Esempio 1. Si consideri il nucleo in ferro di fig. 01_es, in cui la colonna centrale presenta un traferro di spessore. La lunghezza dei diversi tronchi sia d e la sezione sia A. Il nucleo in ferro abbia permeabilità magnetica relativa costante e pari a r. Due avvolgimenti, di N1 e N spire, siano avvolti sulla prima e terza colonna. Essi siano alimentati dalle tensioni V1 e V e percorsi dalle correnti I1 e I. Si faccia inoltre l'ipotesi che tutto il flusso sia confinato nei soli tronchi del nucleo magnetico, senza dispersioni (tutte le spire di ogni bobina concatenano lo stesso flusso). Ricavare la rete elettrica equivalente al circuito magnetico (più brevemente, il circuito magnetico equivalente), le espressioni ed i valori delle riluttanze dei diversi tronchi ed il flusso al traferro. d=50 mm; =1 mm; A=100 mm ; N1=1000; N=100; I1=1 A; I= A; 0= H/m: permeabilità magnetica del vuoto; r=5000: permeabilità relativa; Fig. 01_es. Nucleo in ferro avvolto da due bobine. Fig. 0_es. Rete elettrica equivalente al circuito magnetico (circuito magnetico equivalente). La rete elettrica equivalente al circuito magnetico è riportata in fig. 0_es. Si calcolano ora le riluttanze dei singoli tronchi del circuito magnetico (fisico), le cui lunghezze medie vanno valutate con riferimento ai nodi magnetici h e k: