x + 2y = 3 3x + 4y = 7 ; v 2 = Determinare x ed y in modo tale che si abbia x v 1 + y v 2 = v 3. (c) Sia A la matrice ( 1

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1 . (a) Risolvere il sistema lineare x + 2y x + 4y 7 (b) Siano v, v 2 e v i vettori v ( ) ; v 2 ( ( 2 ; v 4) 7) Determinare x ed y in modo tale che si abbia x v + y v 2 v. (c) Sia A la matrice ( ) 2 4 e sia u il vettore ( x u y) Calcolare il prodotto A u, la matrice A ed il prodotto A v. Interpretare l equazione A u v come un sistema linare e il prodotto A v come la soluzione di questo sistema. Soluzione. (a) Possiamo risolvere il sistema per sostituzione. Dalla prima equazione ricaviamo x 2y Sostituendo questa espressione nella seconda equazione troviamo ( 2y) + 4y 7 9 2y 7 da cui y. Sostituendo questo valore nella prima equazione troviamo x. la soluzinon del sitema è pertanto x y Un altro modo di risolvere il sitema dato è il seguente: riportiamo i coefficienti del sistema nella matrice ( 2 4 ) 7 Lasciamo invariata la prima riga e sostituiamo alla seconda riga la seconda riga meno tre volte la prima: ( )

2 Dividiamo per 2 la seconda riga: ( 2 0 ) Lasciamo invariata la seonda riga e sostituiamo alla prima riga la prima riga meno due volte la seconda: ( 0 0 ) Abbiamo finito: ritraducendo questa matrice in un sistema otteniamo x y (b) L equazione xv + yv 2 v è l equazione ( ( ( 2 x + y ) 4) 7) ( ) ( x + 2y. x + 4y 7) Ma questo non è altro che il sistema del punto (a). (c) Si ha A u ( ( ) ( ) 2 x x + 2y 4) y x + 4y Ne segue che l equazione A u v altro non è che il sistema del punto (a) e che, moltiplicando a destra e a sinistra per A, la soluzione di questo sistema è u A v. Per calcolare A ricordiamo che, se ( ) a b A c d allora A det A ( d ) b c a dove det A ad bc. Dunque nel nostro caso det A 2 e A ( ) ( ) /2 /2 Pertanto ( ) ( ( ) ( x 2 y /2 /2) 7 ) 2

3 2. E noto che in un certo fenomeno ad ogni valore della grandezza q corrisponde un sol valore della grandezza p, cioè p f(q). Se dall osservazione si ricavano per le due grandezze i seguenti 4 valori q 0 p 0 q 2 p 2.98 q p 8.04 q 4 4 p 4.85 la funzione f che meglio descrive teoricamente il fenomeno è lineare o quadratica? Dopo aver determinato il tipo di funzione, determinarla imponendo il passaggio del grafico per i tre punti P (q, p ), P 2 (q 2, p 2 ) e P (q, p ). Si individui il punto del grafico P 4 (q 4, f(p 4 )) e si calcoli l errore E che si commette approssimando p 4 con f(q 4 ) (cioè si valuti f(q 4 ) p 4 ). Soluzione. Calcoliamo i rapporti p i /q i e p i /(q i ) 2. Per i questi rapporti non possono essere calcolati in quanto si ha una divisone per zero. I successivi valori sono i seguenti: p 2 /q 2.98 ; p 2 /(q 2 ) 2.98 p /q 6.0 ; p /(q ) p 4 /q ; p 4 /(q 4 ) 2.99 Si vede che i rapporti p i /(q i ) 2 sono pressoché costantemente uguali a 2. ne ricaviamo che la f deve essere quadratica (e non troppo dissimile da f(q) 2q 2. Cerchiamo dunque una f del tipo f(q) aq 2 + bq + c e determiniamo i coefficienti a, b, c imponendo il passaggio del grafico di f per i tre punti P, P 2 e P. Questo equivale ad imporre le tre equazioni c 0 a + b + c.98 9a + b + c 8.04 Risolvendo questo sistema si trova a 2.02 b 0.04 c 0

4 La f cercata è dunque f(q) 2.02 q q L errore E è dato da E f(4) Trovare le componenti del vettore v (x, y) sapendo che v 5, che il coefficiente angolare della retta per l origine cui appartiene il vettore è m /4 e che il verso dei v è quello individuato su tale retta dalle ascisse crescenti. Scrivere le componenti del vettore u (z, w) che ha le seguenti proprietà: u v, il vettore u è ortogonale a v, e il verso di u coincide, sulla retta per l origine individuata da u, col verso individuato dalle ascisse crescenti. Soluzione. I dati del problema ci dicono che y 4x e x 0, dunque v (x, 4x), da cui v x x2 6 x2 5 4 x Poiché sappiamo anche che v 5, ne ricaviamo l equazione 5 4 x 5 x 4. Ne segue che v (4, ). Per quanto riguarda il vettore u, la condizione u (z, w) perpendicolare a v (4, ) ci dice che 4z + w 0 da cui w 4 z, e dunque u (z, 4 z) con z 0. In modo analogo a quanto fatto per v, la condizone u v 5 ci da z. In conclusione, u (, 4). 4. Qual è il dominio della funzione f(x) x x /2. Il grafico della funzione interseca l asse orizzontale del piano cartesiano? Se la risposta è affermativa trovare le coordinate del punto o dei punti di intersezione. Determinare la distanza tra il punto A (4, f(4)) ed il punto B (9, f(9)). Esprimere f() come multiplo percentuale di f(2). Soluzione. Il dominio di f è x tali che x 0}, l intervallo [0, + ). Per stabilire se il grafico della f intersechi l asse delle ascisse dobbiamo semplicmente risolvere l equazione x x 2 0 4

5 x x 2 Poiché già sappiamo che x 0 (dal dominio della f) possiamo elevare al quadrato ambo i membri dell equazione, ottenendone una equivalente: x 2 x le cui soluzioni sono x 0 e x. Soddisfano entrambe la condizione x 0 dunque sono entrambe soluzioni dell equazione originale x x 2 0. I corrispondenti punti del grafico di f sono (0, 0) e (, 0). Il punto A ha coordinate (4, 2) ed il punto B coordinate (9, 6). La distanza tra A e B è pertanto d(a, B) (4 9) 2 + (2 6) Infine, vogliamo determinare a in modo che si abbia f() Si ricava immediatamente a 00 f() f(2) Dunque f() è il 25.25% di f(2). a 00 f(2) 00, 27 0,