Legge di Coulomb e campo elettrostatico

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Legge di Coulomb e campo elettrostatico"

Transcript

1 A. hiodoni esecizi di Fisica II Legge di oulomb e campo elettostatico Esecizio Te caiche positive uguali sono fisse nei vetici di un tiangolo euilateo di lato l. alcolae (a) la foza elettica agente su ognuna delle caiche e (b) il campo elettostatico nel cento del tiangolo. oluzione (a) onsideiamo una delle caiche, pe esempio la, come caica di pova e calcoliamo la foza elettica esecitata su di essa dalle alte due caiche. Pe fa ciò, patiamo dai campi elettici geneati dalle caiche e e isentiti da : E E π l I contibuti delle due componenti lungo l asse sono uguali ed opposti pe agioni di simmetia, petanto il modulo della isultante del campo elettico nel punto P saà dato da: E E y + E y π l cos π l A uesto punto calcoliamo la foza F che agisce su : Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

2 A. hiodoni esecizi di Fisica II F E π l ˆ u y (b) alcoliamo oa il campo elettico nel cento del tiangolo; data la simmetia del poblema, il contibuto di ciascuna caica è uguale a uella delle alte. In modulo, abbiamo che E E E dove π l l onsideiamo oa il poblema dal punto di vista di vettoiale; si ha che: E E E + E + in uanto i te vettoi sono disposti come i lati di un tiangolo euilateo e la isultante è nulla. iò significa che se ponessimo una caica in, essa non isentiebbe di alcuna foza e esteebbe in euilibio. Esecizio L elettone e il potone in un atomo di idogeno si tovano a una distanza media.5 - m, che coincide con le dimensioni dell atomo. alcolae l intensità della foza gavitazionale e della foza elettostatica ta il potone e l elettone. oluzione alcoliamo le due foze e confontiamone l intensità: foza gavitazionale: F g 7 mem p γ.6 (.5 ) 6 7 N foza elettostatica: F e π 9 9 e p (.5 ) N 9 come si può notae, F e è molto più gande di F g ( F. ) e F g : a livello atomico la foza gavitazionale è completamente tascuabile ispetto alla foza elettica. Esecizio Due sfeette di massa m m mg e caica e ispettivamente, sono appese a due fili di lunghezza l cm, che fomano all euilibio due angoli θ e θ, Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

3 A. hiodoni esecizi di Fisica II molto piccoli, con la veticale. alcolae (a) il appoto θ /θ. e la distanza ta le sfeette all euilibio è cm, calcolae (b) il valoe di. oluzione θ θ θ (a) All euilibio, la isultante della foza peso e della foza elettostatica agenti su ciascuna sfea è dietta lungo il filo, uguale ed opposta alla tensione del filo stesso. Le due foze hanno moduli: Fe F g mg π e se consideiamo le elazioni tigonometiche ta gli angoli di euilibio e le foze: F Fe tgθ. Fg tgθ F π e g mg ma anche Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

4 A. hiodoni esecizi di Fisica II F Fe tgθ. Fg tgθ F π e g mg Dunue tg θ tgθ θ θ (b) onsideando che θ e θ sono molto piccoli e consideando le elazioni tigonometiche all inteno dei singoli tiangoli, l sinθ l sinθ lθ lθ Possiamo alloa calcolae la caica : tgθ θ l π mg π mg π mg l l Inseiamo oa i valoi numeici l.m π m (.) 9.8 (.96) (9) () (.).. 6 Esecizio Due sfeette di massa m m e m m hanno entambe caica 8 5 e sono sospese a due fili di lunghezza l cm. All euilibio i due fili fomano due piccoli angoli θ e θ con la veticale. alcolae (a) il appoto θ / θ. e la distanza ta le sfeette all euilibio è cm, calcolae (b) la massa m. oluzione Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

5 A. hiodoni esecizi di Fisica II θ θ θ (a) All euilibio, la isultante della foza peso e della foza elettostatica agenti su ciascuna sfea è dietta lungo il filo, bilanciato dalla tensione del filo steno. Pe la sfea vale: F e F tgθ tgθ g F F e g π mg θ Pe la sfea si ha che: F e F tgθ tgθ g F F e g π mg θ Possiamo uindi concludee che θ θ (b) Da elazioni tigonometiche sappiamo che l sinθ lθ ; l sinθ lθ + lθ + lθ l( θ + θ ) alloa: θ θ l( θ + θ ) θ l θ l Alloa la massa m si può calcolae come: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

6 A. hiodoni esecizi di Fisica II θ l m m π mg π θ g π g 8 7 (5 ) 9 8 (9 ) (.) (9.8).96. g. mg Esecizio 5 Una caica è distibuita unifomemente su un sottile anello di aggio. alcolae il campo elettostatico E sull asse dell anello. oluzione θ Definiamo la densità lineae di caica come λ costante sull anello, pe cui L π ciascun elemento dl di anello ha una caica infinitesima d λdl. e consideiamo due elementi dl e dl di anello diametalmente opposti, di caica d e d, si ha che le componenti lungo l asse dei campi elettostatici de e de dovute ai due elementi sono uguale e concodi, mente uelle lungo l asse y, essendo uguali e discodi si elidono. Il campo elettostatico lungo l asse saà dato di: λdl de ) de cosθ cosθ π π E ( λ cosθ uˆ dl λ cosθ π uˆ ( ) π l π cosθ Poiché e + cosθ + Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

7 A. hiodoni esecizi di Fisica II E λ λ ( ) u u / ( ) ˆ ˆ E π ( + ) ( ) u / ˆ onsideiamo i divesi casi: se >, si ha che il campo elettostatico è paallelo e concode all asse dell anello se, si ha che il campo elettostatico è nullo se <, si ha che il campo elettostatico è paallelo e discode all asse dell anello se >>, dell anello) E( >> ) uˆ (come se la caica fosse concentata nel cento π Esecizio 6 Un disco sottile di aggio ha una caica distibuita unifomemente su tutta la sua supeficie. alcolae il campo elettostatico E sull asse del disco. Estendee il isultato al caso in cui tende all infinito (piano unifomemente caico). oluzione d, d l θ P Definiamo la densità supeficiale di caica σ costante su tutto il disco. π iascun elemento di supeficie d avà una caica d σ. d. onsideiamo una coona cicolae compesa ta e d+, assimilabile a un anello di supeficie d πd e caica d π σ d. A distanza dal cento, il campo elettostatico saà dato da: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 7

8 A. hiodoni esecizi di Fisica II Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 8 θ π σ θ π θ cos. cos. cos ) ( l d l de E d ma l + cos cos l + θ θ alloa u d u d E d ˆ ) (.. ˆ ) ( ) (. ) ( / / σ π π σ e oa sommiamo tutti i contibuti di tutti gli anelli: u u d E ˆ. ˆ ) (. ) ( / + + σ σ (pe isolvee l integale, si è poceduto come segue: la egola geneale di integazione pe le potenze dice che, + + m m d m m se poniamo d d m / ) ( +, alloa d / / / ) ( ) ( ) ( + + e dunue /. ) (. ) (. / ) (. E σ σ σ σ ) In geneale, consideando che il campo è paallelo e concode all asse pe >, ed è paallelo e discode pe <, possiamo scivee che u u E ˆ. ˆ. ) ( + ± + ± π σ osa accade pe, cioè cosa accade se ci avviciniamo al disco a patie dalle ascisse negative o da uelle positive?

9 A. hiodoni esecizi di Fisica II I due limiti, desto e sinisto sono divesi: lim σ ˆ E+ u, lim E u σ ˆ nell attavesae la supeficie caica con densità di caica σ, il campo elettostatico subisce la discontinuità E + - E σ uˆ e poi consideiamo un piano indefinito unifomemente caico ( ), si ha che: σ. E( ) ± ˆ u Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 9

10 A. hiodoni esecizi di Fisica II Lavoo elettico, potenziale elettostatico, teoema di Gauss (pima pate) Esecizio Te caiche sono poste ai vetici di un tiangolo euilateo di lato l, calcolae (a) il potenziale elettostatico al cento del tiangolo, (b) l enegia potenziale elettostatica del sistema, (c) il lavoo W necessaio pe potae una caica posta al cento del tiangolo all infinito. -> oluzione (a) Il potenziale al cento del tiangolo saà dalla somma dei potenziali delle te caiche uguali. Quindi, poiché l o cos l Il potenziale al cento del tiangolo saà dato da V π π l V i Vi i i π i (b) Poiché Ue (sistema) i j i j π ij (il temine / davanti la sommatoia tiene conto del fatto che ciascuna combinazione viene contata volte). Ue( sistema) U + U + U + + π π π (c) La caica posta al cento del tiangolo possiede l enegia potenziale elettostatica: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

11 A. hiodoni esecizi di Fisica II Ue( ) + + con π π π l L enegia potenziale elettostatica complessiva è: Ue Ue( sistema) + Ue( ) Il lavoo necessaio pe allontanae la caica è ( Ue sistema) Ue( )) Ue( ) Ue( ) w Ue ( in uanto Ue(sistema) peché l enegia potenziale del sistema imane costante al vaiae della posizione di e l enegia potenziale all infinito Ue(, ). Esecizio Una caica è distibuita unifomemente su un sottile anello di aggio. alcolae il potenziale sull asse dello anello. dl -> oluzione Definiamo λ la densità lineae di caica. La caica infinitesima in ciascun tatto π dl di anello è d λdl. Il potenziale saà dato da: dv π d λdl π π λ dl e alloa λ λ π V dl π π π l +, in uanto + Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

12 A. hiodoni esecizi di Fisica II Il potenziale è massimo nel cento O e decesce all aumentae della distanza di P dal cento. Pe >>, V, come se la caica fosse nel cento. Possiamo calcolae il π campo elettico come gadiente del potenziale: ( + ) E V / + ( ) / π π V V Ey, Ez y z Esecizio Un sottile disco di aggio ha una caica distibuita unifomemente su tutta la sua supeficie; calcolae il potenziale. d, d l θ P ->oluzione Definiamo la densità di caica supeficiale σ ; ciascun elemento di supeficie di π aea d possiede una caica d σ d. onsideiamo un anello concentico al disco di aggio compeso ta ed +d e aea d π d. Il potenziale saà dato da dv d σd σ πd d π l π + π + + σ σ d σ -> V dv ( + ) +, Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

13 A. hiodoni esecizi di Fisica II (pe isolvee l integale, si è poceduto come segue: la egola geneale di integazione m+ m pe le potenze dice che d, m m + se poniamo ( + ) m / d d, alloa / ( + ) ( + ) / () d / e dunue V σ [ ( + )] ( ( + ) σ d σ + ) ) σ Pe, cioè al cento dell anello, si ha che V ma ; pe >> -> V (come se la caica fosse tutta nel cento) π alcoliamo il campo elettostatico come gadiente del potenziale: V σ E + della pima lezione), E E (come già tovato nell esecizio 6 y z Esecizio Un guscio sfeico di aggio a pota una distibuzione di caica continua unifome avente densità di caica supeficiale σ. alcolae il campo elettico geneato da tale distibuzione di caica in un punto ualsiasi P esteno al guscio stesso, sia V( ) -> oluzione O Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

14 A. hiodoni esecizi di Fisica II i può suddividee il guscio sfeico in tante ondelle ognuna delle uali possiede una caica d σda, dove da è l aea infinitesima individuata dal podotto della ciconfeenza della ondella pe il suo spessoe. Quindi: d σ da σ π ( a sinθ ) ciconfeenza ondella a { dθ acoaa' (a sinθ è il aggio della ondella ) Nel punto P il potenziale infnitesimo geneato della caica d è: dv d πa σ sinθ dθ + cost π π onsideando il tiangolo AP, pe il teoema di anot: a + a cosθ deivando ispetto a e a θ: ( asinθ ) dθ d -> sinθ d θ d a e uindi dv π πσ a d + cost dove cost se V a. Integando su tutto il guscio: V πσ a π OP+ a πσ a d π OP π Dove è la caica totale distibuita sul guscio σ π a. Il campo elettico ha simmetia adiale ispetto al cento del guscio: E V πσ a π π Deteminiamo oa il campo elettico utilizzando il teoema di Gauss: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

15 A. hiodoni esecizi di Fisica II Il campo elettico è adiale in uanto dato da contibuti simmetici a due a due ispetto all asse, la isultante è dunue adiale. Il campo elettico ha modulo constante sul guscio ed ha veso entante o uscente a seconda del segno della caica. E E ( ) uˆ, ( distanza dal guscio a P) Applichiamo il teoema di Gauss: φ( E) E u d E( ) uˆ uˆ d E( ) d E( ) π n n int, dove πa σ int uindi πa σ a σ E ( ) -> E uˆ π π π All inteno del guscio, φ ( ) ' E E, dove è il guscio sfeico di aggio < a. All inteno del guscio non c è caica, cioè E e dunue ( E) osa succede al tendee di ad a? φ. Dall inteno il campo è sempe nullo ( lim E( ) ), mente punto discontinuità > a lim a σ σ + -> > a Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

16 A. hiodoni esecizi di Fisica II Pe il potenziale V se a, π V π a a Esecizio 5 Un elettone viene immesso con velocità v in una egione limitata in cui agisce un campo elettostatico unifome pependicolae a v. Uscito della egione l elettone colpisce uno schemo nel punto. alcolae l angolo di deflessione α, l enegia cinetica e la velocità finali dell elettone e la distanza d del punto dall asse. y -> oluzione civiamo l euazione del moto dell elettone: ee F e F cioè eem e a. L elettone è soggetto a una acceleazione a dietta lungo m l asse y uando attavesa la egione in cui c è campo elettostatico. Il moto lungo è ettilineo unifome con velocità v, il moto lungo y è unifomemente acceleato. Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

17 A. hiodoni esecizi di Fisica II ee Le euazioni del moto lungo i due assi catesiani sono: vt, y t at. m La taiettoia dell elettone ento la egione di campo elettostatico è un aco di paabola (cuva ossa nel disegno) di euazione y( ) ee m v L angolo di deflessione si calcola da: dy eel tgα (la deivata di una funzione f in un punto è la misua del d l mv coefficiente angolae, cioè la tangente dell'angolo) e la distanza h ta il punto in cui l elettone esce dalla zona di campo elettico e l asse ee l saà: h y( l) m v L enegia cinetica in B saà data dall enegia cinetica iniziale più l enegia potenziale acuistata nel passaggio della zona di campo elettico: mv mv + E e h mv + e E mv l Moltiplicando pe due e dividendo pe m: e E l v v + v + ah e uindi la velocità finale è v v ah m v +. Fuoi dalla zona di campo elettico, l elettone descive una taiettoia ettilinea; calcoliamo d: d e E l h + L tgα + L mv Questo è il pincipio di funzionamento di un tubo a aggi catodici. Esecizio 6 Un elettone enta con velocità agisce un campo elettico v 7 m / s in una egione di lunghezza l cm in cui E V / m unifome e pependicolae a v. alcolae (a) lo spostamento d dopo l attavesamento e (b) l enegia cinetica acuisita E (in ev). Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 7

18 A. hiodoni esecizi di Fisica II -> oluzione (a) Le euazioni del moto dell elettone sono: ee F e F cioè eema. L elettone è soggetto a una acceleazione a dietta lungo m l asse y uando attavesa la egione in cui c è campo elettostatico. Il moto lungo è ettilineo unifome con velocità v, il moto lungo y è unifomemente acceleato. Le leggi oaie lungo gli assi catesiani sono: v t y at E m t La taiettoia dell elettone saà dunue y ee m e v A uesto punto, è possibile deteminae d: d 9 ee l.6 y m v 9. ( l).cm.m e 6 7 (b) ome visto nell esecizio pecedente v v + ad v 9 ee.6 v + d + m m / s Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 8

19 A. hiodoni esecizi di Fisica II e Quindi, l enegia cinetica finale è Ef m v ( ) J Infine, l enegia acuisita è pai a 7 E Ef Ei me ( v v ) eed. J ev Esecizio 7 on il ifeimento alla figua, - -8 e il flusso del campo elettostatico E φ E φ E, attaveso le supefici indicate, e isulta: ( ) ( ) φ ( E).6 Vm. alcolae e. -> oluzione alcoliamo il flusso del campo E attaveso le te divese supefici, utilizzando il teoema di Gauss: + 8 φ ( E) -> + φ ( E) -> φ + ( E).6 Quindi, possiamo oa deteminae le due caiche incognite. 8 8 (.6 ) ( ) + 8 Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 9

20 A. hiodoni esecizi di Fisica II Teoema di Gauss Esecizio Una caica è distibuita con densità spaziale ρ unifome nel volume di una sfea di aggio. alcolae il campo elettico E nei punti inteni ed esteni alla sfea. -> oluzione Data la simmetia sfeica, il campo elettostatico saà di tipo adiale. Pe deteminae il modulo del campo elettostatico, icoiamo al teoema di Gauss. onsideiamo una supeficie sfeica di aggio > estena alla sfea e concentica ad essa. Il teoema di Gauss ci dice che φ( E) E u ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) π n d E u und E d E int E uindi, il campo all esteno della sfea vale: E π uˆ ρ u ˆ π ρ cioè è come se la caica fosse concentata nel cento della sfea. All inteno della sfea, il campo elettico è non nullo in uanto è contenuta della caica. e consideiamo una supeficie sfeica di aggio < : possiamo applicae nuovamente il teoema di Gauss e uindi ' φ( E ) π E ; ' ρ π π π Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

21 A. hiodoni esecizi di Fisica II E uindi ' π ρ E π π π π Il potenziale all esteno della sfea saà V ρ V ( ). π ; sulla supeficie della sfea, vaà π All inteno, invece: V ρ ρ ( ) V ( ) E d s d ( ) V 6, dove d ρ ρ ρ ρ + V + e uindi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π. ρ 8π Al cento della sfea V ( ) V ( ) Esecizio Una distibuzione spaziale continua e unifome di caica ha foma cilindica di aggio ; calcolae il campo E da essa podotto all esteno del cilindo stesso. Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

22 A. hiodoni esecizi di Fisica II -> oluzione La simmetia cilindica del poblema suggeisce che il campo sia dietto in ogni punto otogonalmente all asse del cilindo e sia constante su ogni supeficie cilindica coassiale di aggio. Pe calcolae il modulo del campo elettico, facciamo icoso al teoema di Gauss consideiamo una scatola cilindica Σ di aggio > e altezza h. Il flusso di E attaveso le basi di Σ è nullo in uanto il campo elettostatico è paallelo alle basi e uindi otogonale a û n. Il flusso attaveso la supeficie lateale vale: φ( E) E u d E( ) d E( ) πh n int La caica contenuta ento Σ è: ρdτ ρπ h λh dove λ ρπ è la caica contenuta in un cilindo di aggio e altezza unitaia. h Alloa λh λh λ φ( E ) πhe -> E( ) π h π E E ( ) uˆ La diffeenza di potenziale ta due supefici euipotenziali, cilindiche e coassiali di aggi e è: V ( ) V ( ) λ Ed d π λ π ln mente ispetto al bodo Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

23 A. hiodoni esecizi di Fisica II V ( ) V ( ) λ π ln I isultati tovati valgono anche pe un sottile filo ettilineo molto lungo, su cui è depositata una caica distibuita con densità unifome λ. Esecizio All inteno di una sfea di aggio cm è contenuta una caica 9 8, distibuita unifomemente con densità ρ ( ) b, con v costante ed distanza dal cento O della sfea. alcolae (a) la costante b, (b) il campo elettostatico E ( ) e (c) la diffeenza di potenziale V ta il cento O e la supeice sfeica. -> oluzione (a) Poiché abbiamo una distibuzione di caica che dipende da, calcoliamo la caica contenuta in ciascun guscio pe deteminae la costante b: TOT π ρ ( ) π d b π d πb d b πb Quindi la costante b saà: b π /. ( ) m (b) Il campo elettostatico, data la simmetia, saà di tipo adiale. Applichiamo il teoema di Gauss: pe < < E uˆ ds n πb d E -> E π ( ) πb E π b b π Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

24 A. hiodoni esecizi di Fisica II E uindi, E( ) π 5 ; facendo i conti, E ( ) 7. V / m pe > E πb π π b pe πb b E π (c) La diffeenza di potenziale ta il cento e il bodo della sfea è V 5 5 E( ) d 7. d V Esecizio Una distibuzione di caica sfeica ha una densità di caica volumica che è funzione solo di, cioè della distanza dal cento della distibuzione. e ρ A B con A, B costante pe ρ pe > Deteminae il campo elettico in funzione di in tutto lo spazio e il potenziale V ). (condizione ( ) -> oluzione Poiché la distibuzione di caica ha simmetia sfeica, applichiamo il teoema di Gauss: pe > E ( A B ) π d 5 B d A B 5 Q π A π π π pe < ( A B ) π d 5 Q A B E A B π π 5 5 Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

25 A. hiodoni esecizi di Fisica II Il potenziale, patendo dalla elazione dv a E data la simmetia, vale: d E V gadv, che in uesto caso si iduce 5 > V A B + const. 5 che essendo ( ) 5 V -> const -> V A B 5 < -> V A B + const. 5 dove la costante si detemina imponendo che pe : V ( > ) V ( < ) A B A const. + B 5 + const. -> -> const. A A B B A + 5 -> const. B Esecizio 5 Una distibuzione di caica elettica a simmetia sfeica con caica totale densità ρ( ) ρ ep( α) con α m. (a) Dae il valoe della costante ρ in µ ha µ / m, (b) scivee l espessione del modulo del campo elettico in un punto a distanza dal cento della sfea in temini di e α. -> oluzione (a) Pe deteminae il valoe di ρ, integiamo la densità di caica in tutto lo spazio, imponendo che l integale sia pai a : α α ρ e π d ρ π e d alcoliamo l integale indefinito pe pati: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

26 A. hiodoni esecizi di Fisica II e α e d α α e α e d α + e α e α α α α α α e + α α α e d α e α α α e + α α α e α e α α e α α e α α e oa consideiamo l integale definito: ep ( α ) ( α) ep( α) ( α) ep ep d α α α 8πρ -> πρ -> α α ρ α 8π 8π 6 6. / m (b) Utilizziamo la legge di Gauss e integando su una supeficie sfeica di aggio INT E v uˆ n d -> π E ( α) ρ ep ( α) π d α ep E π ep π 8π α α α ( α) ep( α ) Esecizio 6 In una zona dello spazio è pesente un campo elettico il cui potenziale vale: V a + by con a e b costanti, calcolae (a) il modulo del campo elettico in un punto di coodinate (, y, z) e (b) la caica complessiva pesente in un cubo di lato L con un vetice nell oigine, gli spigoli paalleli agli assi e giacente nel punto ottante. i supponga costante. -> oluzione a) Poiché E V, si ha che V E a V Ey b y -> E aiˆ bˆj V E z, ( ) E a + b a + b Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

27 A. hiodoni esecizi di Fisica II b) Utilizziamo il teoema di Gauss E v uˆ n d INT esteso alla supeficie del cubo. onsideiamo sepaatamente le facce del cubo: - facce con z e zl, paallele al piano y: la componente lungo z del campo E è nulla -> il flusso è nullo. - facce con e L, paalele al piano zy: > E L > E al ˆ -> φ ( E) al u u d al L al ˆ n - facce con y e yl, paallele al piano z: sia pe y che pe yl, Ey b su entambi i lati si ha ( ) φ ( ) ( bl + bl ) Ey TOT φ E φ Ey bl una volta entante e una volta uscente. al + al > Q al ommando i flussi, ( ) Esecizio 7 on ifeimento alla figua, il campo elettostatico E v vaia con la legge 5 E (5 + ) ˆ V/m, con espesso in meti. alcolae: (a) il flusso Φ (E ) u attaveso la supeficie chiusa di lati a cm, b5 cm, c cm e (b) la caica contenuta all inteno del paallelepipedo. b a y c Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 7

28 A. hiodoni esecizi di Fisica II -> oluzione (a) Pe tovae il flusso totale del campo elettico, dobbiamo consideae la somma dei flussi del campo attaveso ciascuna delle facce del cubo. Poiché peò il campo elettico è dietto lungo l asse, è nullo il fluso del campo attaveso le facce del cubo pependicolai all asse in uanto la nomale alla supeficie e il campo elettostatico isultano pependicolai una ispetto all alta. consideando la faccia che taglia l asse delle ascisse in, la nomale alla supeficie ha la stessa diezione del campo elettico ma veso opposto e uindi: φ ( E) E uˆ d E d 5 n 5 ab consideando la faccia che taglia l asse delle ascisse in c, la nomale alla supeficie ha la stessa diezione e lo stesso veso del campo elettico e uindi: φ ( E) E uˆ d E d (5 + c ) n 5 ab ommando i due contibuti, si ottiene: φ TOT ( E) ab + 5 ab + c ab abc Vm (b) Dal teoema di Gauss φ( E ), si icava : φ( E) Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 8

29 A. hiodoni esecizi di Fisica II Dipoli elettici e condensatoi Esecizio Un dipolo, di momento elettico p e momento d inezia I ispetto ad un asse passante pe il suo cento e otogonale a p, è immeso in un campo E unifome. Descivee il moto del dipolo uando viene spostato di un piccolo angolo della posizione d euilibio. -> oluzione θ d L L euazione di otazione, dalla dinamica dei copi igidi è: M Iα p E. dt d θ Poiettando sull asse di otazione che è la asse z: I pe sinθ dt d θ pe Nell ipotesi d angolo piccolo, sin θ θ e l euazione di otazione diventa + θ dt I Questa è l euazione di un moto amonico con pulsazione e peiodo pai a: pe ω, I T π π ω I pe Le leggi oaie dell angolo e della velocità angolae sono: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 9

30 A. hiodoni esecizi di Fisica II ( t) θ sin( ωt φ), Ω t) ωθ cos( ωt + φ ) θ + dθ dt ( Esecizio Un dipolo elettico di momento p 6. m si tova al cento di due caiche 9 positive.6 che distano d 9 m. alcolae la foza F che agisce sul dipolo elettico. -> oluzione In uesto caso sul dipolo agisce la foza isultante dovuta alla pesenza delle due caiche. Il campo elettico è non unifome. F ( E E ) E d E p Il campo elettico geneato delle due caiche e sentito dal dipolo posto al cento è: E E π π (nella posizione geneica, E i ) π Poiché esse sono uguali, possiamo calcolae la foza F come: F p ( E ( ) E ( ) ) E p d / onsideiamo a pate la deivata paziale: E π ( ) π e calcoliamo il suo valoe nel punto d/: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

31 A. hiodoni esecizi di Fisica II E 8 d / π π / d π d d Quindi, la foza F saà: 8 p F p π d π d N Esecizio (capacità di un condensatoe piano) alcolae la capacità di un condensatoe piano con amatue di aea e distanza d caicate con una caica + e densità di caica +σ e e densità di caica -σ ispettivamente. -> oluzione Possiamo consideae le due amatue come due piani infiniti. I campi elettostatici σ geneati dai due piani in modulo valgono E (vedi l esecizio 6 pe il disco esteso a >, pima lezione). Utilizzando il pincipio di sovapposizione pe calcolae il campo isultante E E + + E, si vede che i campi elettostatici si sommano nella egione compesa ta i due piani e si annullano all esteno: σ E ˆ u Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

32 A. hiodoni esecizi di Fisica II Quindi, all inteno il campo elettostatico è unifome. onsideiamo oa di deteminae la diffeenza di potenziale ta l amatua positiva e un ceto punto inteno alle amatue: V σ ( ) ( ), icodando che, in geneale, V ( ) E V La diffeenza di potenziale ta le due amatue saà alloa: V V V σ ( ) dσ Ed σ d d La capacità del condensatoe saà V d Esecizio Ai capi di te condensatoi (patitoe capacitivo) c è una ddp V VB VA V e la capacità euivalente del sistema è pf. alcolae i valoi delle capacità,,, tali che ispetto a V A sia V 5V e V 7V. -> oluzione La caica che si tova su ciascuna amatua vale: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

33 A. hiodoni esecizi di Fisica II V 8 Le singole capacità valgono: 8 F V V 5 A pf 8 5 F 5 pf V V 8. F VB V pf Esecizio 5 (apacita di un condensatoe cilindico) Deteminae la capacità di un condensatoe le cui amatue abbiano aggio ed, con >, di uguale lunghezza d, gande ispetto ai aggi. oluzione Le amatue di un condensatoe cilindico sono due pozioni di supeficie cilindiche coassiali, una di aggio e l alta di aggio >, di uguale lunghezza d, gande ispetto ai aggi. i ealizza cosi un ulteioe situazione di conduttoe al inteno di un alto conduttoe cavo, con induzione appossimativamente completa. e si escludono i tatti esteni, nell intecapedine cilindica ta e il campo elettostatico è adiale (vedi esecizio, teza lezione): E λ, con λ densità lineae di caica π ( ) u La diffeenza di potenziale (d.d.p.) ta le amatue è: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

34 A. hiodoni esecizi di Fisica II λ d λ λ V V E d ln π π ln π La caica pe unità di lunghezza λ è / d Quindi, la capacità saà: V V λd π d λ ln π ln e h è molto minoe dei aggi, è possibile sviluppae in seie il denominatoe aestandosi al pimo temine: ln ln + h Pe cui la capacità diventa: π d, con πd supeficie lateale del cilindo. h h Quindi, la capacità pe unità di lunghezza è π ln E possibile ealizzae un condensatoe cilindico a capacità vaiabile facendo scoee uno dei due cilindi lungo l asse, in modo da fa vaiae la lunghezza d. d d Esecizio 6 dispone di 5 condensatoi uguali di capacità. ollegali in modo che la capacità totale TOT sia pai a /7. Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

35 A. hiodoni esecizi di Fisica II -> oluzione Poiché il collegamento dei 5 condensatoi in seie o in paallelo dà come capacità totale. e 5 ispettivamente, pe ottenee il valoe ichiesto dobbiamo icoee ad un collegamento misto seie-paalello. onsideiamo η elementi in seie e µ elementi in paallelo ta loo e con la seie: La capacità totale saà alloa Abbiamo uindi che: + ( 5 η) η 7 + µ η 7 µ + η 5 η + TO T µ + 5 η η 7 7η η 7 η < η > oluzione non ammissibile. e invece poviamo a dispoe la seie di η condensatoi in seie (e non in paallelo) al paallelo di µ condensatoi: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

36 A. hiodoni esecizi di Fisica II i ha: TOT + η µ η 7 + µ -> η + µ 5 η + 5 η 7 isolvendo l euazione di secondo gado si ottiene η e µ Esecizio 7 Un condensatoe piano è costuito usando te diffeenti mateiali dielettici, come mostato in figua. (a) Tovae un espessione pe la capacità in funzione dell aea delle piaste A, della loo distanza d e delle te costanti dielettiche elative,. (b) alcolae la capacità usando i valoi di A cm, d mm,.9, 5.6,., uesti ultimi costanti dielettiche ispettivamente di bachelite, veto Pye e teflon. -> oluzione a) Questo condensatoe lo possiamo vedee come in paallelo con la seie Le singole capacità saanno: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

37 A. hiodoni esecizi di Fisica II l / A / A, d d l / A / A, d / d l / A / d / A d Mente la capacità euivalente saà: TOT + Dove + + Alloa: seie di due capacità. -> TOT + + A A / d A A A + + ( ) + d A/ d + d d + d + ( + ) + A ( + ) A + d + d + b) Inseendo i valoi numeici, si ottiene: ( 8.85 Nm ) / ( ) F.76 pf Esecizio 8 alcolae in valoe e segno la vaiazione dell enegia elettostatica di un condensatoe piano, con le amatue di aea poste alla distanza d e caicato con una caica Q, uando si inseisce ta le amatue stesse un foglio di mateiale dielettico di spessoe s < d, avente le stessi dimensioni delle amatue e caatteizzato dalla costante dielettica. Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 7

38 A. hiodoni esecizi di Fisica II Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 8 -> oluzione Quando il dielettico viene inseito nel condensatoe esso si polaizza: Le supefici supeioe ed infeioe del dielettico in uesta situazione euivalgono a delle sottilissime amatue metalliche e uindi potemo consideae il sistema come costituito da condensatoi in seie. Dunue: TOT + + on s d, s, Alloa: s s d s s d TOT ) ( Infine, la capacità saà: s s d s s d ) ( d s d s

39 A. hiodoni esecizi di Fisica II Pima di intodue il dielettico, la capacità iniziale ea pai a. d e la caica del sistema in entambe le configuazioni è Q, possiamo scivee le due enegie elettostatiche iniziale e finale: Q Q d U e, i U e, f [ ( d s) s] Q Q + TOT La vaiazione d enegia saà pai a: ( ) Q s U e U e, f U e, i < in uanto > sempe Poiché la diffeenza di enegia elettostatica è negativa, la lasta viene isucchiata all inteno del condensatoe. Questo isultato è anche indipendente dalla posizione del dielettico. Esecizio 9 Un condensatoe a facce piane e paallele, ettangolai di dimensione a e b è a pazialmente iempito, pe un tatto, da una lasta di dielettico omogeneo ed isotopo di costante dielettica elativa. e la caica totale sull amatua supeioe è Q 6, uanto vale la caica Q che si dispoe sulla pate di amatua supeioe attaccata al dielettico? -> oluzione Il sistema dato euivale a due condensatoi in paallelo: // + Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 9

40 A. hiodoni esecizi di Fisica II La d.d.p. V ta i punti A e B la posso espimee in due modi euivalenti: V Q Q Q + // e d è la distanza ta le amatue, si ha: Pe cui: Alloa Q + ( a ) b, d b b b + + d d d [ a + ( ) ] // Q // a + Q a ( ) a ( ) ( a + a) a Q a + b ( a ) d Q Esecizio Le amatue di un condensatoe piano sono costituite da piaste uadate di lato l, distanti d. Il condensatoe viene caicato alla tensione V e successivamente le amatue vengono isolate in modo che la caica su ognuna imanga costante. (a) alcolae l enegia U immagazzinata nel condensatoe. i intoduce poi ta le amatue e paallelamente a ueste una lamina metallica piana, molto estesa, spessa h. alcolae: (b) il lavoo che si deve effettuae pe intodue tale lamina; (c) la nuova tensione V ta le amatue. 7 oluzione (a) Essendo la capacità del condensatoe pai a l immagazzinata saà pai a U V V. d l, l enegia d d Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

41 A. hiodoni esecizi di Fisica II Politecnico di Toino osi dilauea a distanza Dopo che si è inseita la lamina, il sistema è assimilabile ad una seie di due condensatoi uno con distanza ta le amatue e l alto con distanza d-h-. I due condensatoi hanno alloa capacità: e h d da cui h d l h d TOT + + L enegia immagazzinata dal sistema in uesta nuova configuazione saà: TOT TOT Q V U, dove, poiché la caica sulle amatue non cambia, Q è pai a V d l V Q e uindi d h d V l l h d V d l U (b) Il lavoo necessaio pe inseie la lamina saà pai a: V d h l d h d V d l U U W W è positivo e uindi il lavoo viene fatto dalle foze del campo elettico che isucchiano la lamina. (N.B. e W fosse stato definito come U -U si saebbe tovato che il lavoo ea negativo: infatti nella convenzione WU -U si saebbe avuto pe W> lavoo subito dall esteno, e pe W< lavoo effettuato dal sistema) (c) La diffeenza di potenziale ta le amatue del condensatoe di patenza in uesta nuova configuazione vale: V d h d l h d d V l Q V TOT V <V la diffeenza di potenziale ta le amatue è diminuita.

42 A. hiodoni esecizi di Fisica II ampo magnetico, foza magnetica, momenti meccanici sui cicuiti piani Esecizio Un potone d enegia cinetica E k 6MeV enta in una egione di spazio in cui esiste un campo magnetico BT otogonale al piano della taiettoia, fomando con l asse y l angolo θ. alcolae a) l angolo θ della diezione di uscita con l asse y e b) la distanza lungo y ta il punto di uscita e il punto di ingesso. oluzione ` B a) L angolo θ è uguale a θ in uanto la taiettoia che il potone segue all inteno della egione di campo magnetico è cicolae con aggio di cuvatua. b) onvetiamo E k da ev a J (ev.6-9 J): E k 6MeV 9.6 J ul potone che enta nella zona dove c è il campo magnetico agisce la foza di Loenz: F v vb m, cioè la paticella segue una taiettoia cicolae di aggio. Dalla conoscenza di E k icaviamo la uantità di moto p: p m E. p k A uesto punto, è possibile icavae il aggio di cuvatua della taiettoia cicolae come: mv mv p m pek, cioè, nel nosto caso, vb B B B Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

43 A. hiodoni esecizi di Fisica II m La distanza cecata vale: y sin( θ ) sin( ) (.5). 5m Esecizio Un potone di enegia cinetica E k 5MeV si muove lungo l asse e enta in un campo magnetico B.5T, otogonale al piano y, che si estende da a Lm. alcolae all uscita del magnete nel punto P: a) L angolo che la velocità del potone foma con l asse e b) la coodinata y del punto P. oluzione a) ome nell esecizio pecedente, abbiamo il moto di una caica in una zona dove c è campo magnetico. Il moto ento uesta zona è cicolae, pe cui possiamo calcolaci il aggio di cuvatua. onvetiamo l enegia in Joule e deteminiamo il aggio: E k 5MeV8 - J alcoliamo il aggio di cuvatua della taiettoia del potone: p B m B E p k m Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

44 A. hiodoni esecizi di Fisica II A cos (9 -α) Inolte, abbiamo che, consideando il tiangolo AP, L cos( 9 α) e uindi L LB cos( 9 α ) ( p E oa possibile tovae l angolo α di uscita dalla egione di campo magnetico come: cos( 9 α ) sin( α ).9 α acsin(.9) b) La coodinata y del punto P saà: y ( cosα ) ( cosα ). 6m Esecizio Un fascio di elettoni, dopo essee stato acceleato da una d.d.p. V V, enta in una egione in cui esiste un campo magnetico B.T. La diezione degli elettoni foma un angolo α con B. alcolae a) il aggio della ciconfeenza della taiettoia elicoidale compiuta dagli elettoni. b) di uanto avanzano gli elettoni, lungo l elica, in ciascun gio (p, passo dell elica). oluzione Politecnico di Toino osi dilauea a distanza

45 A. hiodoni esecizi di Fisica II y v p B z a) Iniziamo con il calcolae la velocità degli elettoni: mv 9 ev.6 ev v m m / s v Le due componenti paallela e pependicolae a B sono v // v cosα, v vsinα. alcoliamo oa il aggio di cuvatua dalla componente della velocità otogonale al campo magnetico, a patie dal euazione del moto: mv eb eb eb ev B v vsinα v, e uindi: m m msin( α) 7 mvsin( α) sin( α ) 5 8. m. 87mm 9 eb.6. b) Pe deteminae il passo dell elica dobbiamo tovae il peiodo T π m π 9. π ω eb.6. s.78 s Alloa, usando dalla componente della velocità paallela al campo magnetico: 7 p v cosα T.87. cos( ).78. m. mm Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

46 A. hiodoni esecizi di Fisica II Esecizio Al giogo di una bilancia è sospesa una spia igida laga b5cm. La pate infeioe è immesa in un campo magnetico unifome B otogonale al piano della spia. e nella spia cicola una coente di intensità ia con veso oppotuno, si osseva che pe ieuilibae la bilancia occoe mettee una massa m.5 g sul piatto. alcolae il valoe del modulo di B. oluzione Il lato oizzontale della spia immeso nel campo magnetico isente della foza F ibb ( legge di Laplace) che in modulo vale F ibb sin(θ ) ibb in uanto B e b sono otogonali. Negli alti tatti di spia sottoposti al campo magnetico la coente ha vesi opposti e le foze sono uguali e contaie; esse hanno anche la stessa etta di azione pe cui non poducono nessun effetto. La foza F è dunue euilibata dalla foza peso mg : mg ibb B Esecizio 5 mg ib T i considei una spia ettangolae, di lati a e b, pecosa dalla coente i; essa è immesa in un campo magnetico unifome e con esso foma un angoloθ. Deteminae il momento tocente che tende ad allineae la spia pependicolamente al campo magnetico B. oluzione Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

47 A. hiodoni esecizi di Fisica II Q ome si deduce dalla figua, le foze magnetiche F e F sui lati e PQ sono uguali e contaie e hanno la stessa azione; ciascuna di esse è la isultante di un sistema di foze paallele applicate nel cento del lato e nel loo insieme fomano una coppia di baccio nullo e uindi di momento nullo. Le foze F e F sui lati Q e P, ciascuna di modulo F iab ( legge di Laplace) in uanto i lati a sono a B, sono anch esse uguali e contaie, ma costituiscono una coppia di baccio b sinθ. Il momento della coppia vale il modulo: M bsinθ F bsinθ iab iσbsinθ ed è paallelo al piano della spia e oientato paallelamente al lato a. Poiché v m iσuˆ il momento magnetico della spia, il momento meccanico può essee definito anche come M mb iσuˆ B. Tale momento è nullo solo se m B //. La posizione con θ è e di euilibio stabile, uella con n θ π di euilibio instabile. Pe ualsiasi alto valoe di θ M tende a fa uotae la spia in modo che il momento magnetico m (che è paallelo a û n, nomale alla spia oientata ispetto alle coente secondo la egola della mano desta) diventi paallelo e concode a B. n è Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 7

48 A. hiodoni esecizi di Fisica II ogenti del campo magnetico, legge di Ampee, legge di Biot-awat Esecizio Due spie cicolai di aggio cm, aventi lo stesso asse, sono poste in piani paalleli oizzontali distanti amm. La spia supeioe è appesa al giogo di una bilancia. e nelle spie cicola nello stesso veso la stessa coente ia, pe istabilie l euilibio occoe aggiungee sull alto piatto una massa m. Deteminae il valoe di m. oluzione A patie dalla seconda legge elementae di Laplace: df ids B, e icodando che il modulo del campo magnetico geneato da una spia pecosa da µ i coente è B, abbiamo che la foza (attattiva) che agisce sulle spie vale: π µ i µ i i π B i π πa a F m Notiamo che uesto appoccio può essee utilizzato in uanto il appoto ta le distanze a ta le due spie e la lunghezza ( π ) delle due spie è molto piccolo e uindi esse possono essee tattate come fili indefiniti paalleli. L euilibio nella bilancia viene stabilito se F m F p. Quindi: µ i µ i mg m a ga kg Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 8

49 A. hiodoni esecizi di Fisica II Esecizio Ognuno degli 8 conduttoi in figua è pecoso da una coente di A, entante o uscente dal piano della pagina. ono indicate due linee chiuse pe l integale di linea B ds. Qual è il valoe della integale pe a) la linea di sinista e pe b) la linea a desta? oluzione Pe isolvee il poblema icoiamo alla legge di Ampèe: ds µ i B Fissato il veso del cammino di integazione, esta fissato anche il segno delle coenti, secondo la egola della mano desta. Pe cui: 6 6 a) B ds ( i i i ) µ ( i i i) µ iµ.6.5 Tm b) B ds ( i + i i + i ) µ ( i + i i + i) µ Esecizio Un conduttoe cilindico cavo di aggi a e b è pecoso da una coente distibuita unifomemente. alcolae: a) il campo magnetico B() in funzione della distanza dall asse e b) veificae che pe a si ottengono i isultati elativi ad un conduttoe cilindico pieno (vedi esecizio ). Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 9

50 A. hiodoni esecizi di Fisica II oluzione a) Pe isolvee il poblema utilizziamo la legge di ampee ds µ i, scegliendo via B via come cammino di integazione una ciconfeenza di aggio dento e fuoi dal cilindo. < a B( ) pechè non ci sono coenti concatenate con il cammino di integazione. a b B ds Bds cos θ πb, in uanto B // ds. La coente i è unifomemente distibuita nell aea del cilindo cavo; la coente tansitante ento la linea π è popozionale all aea acchiusa dalla linea stessa: i int π ( π ( b a ) i, uindi: a ) B ds µ i int ( Bπ µ i ( b a ) µ i B( ) a ) π ( b a (si assegna segno positivo alla coente consideando un cammino di integazione con veso antioaio) > b ( ) a ) Il cilindo si compota come se fosse un filo indefinito pecoso da coente: B ds µ i B(π) B( ) µ i π b) e a, µ i µ j B( ) πb Esecizio Un filo ettilineo indefinito di aggio è pecoso da una coente di intensità i. alcolae il campo magnetico podotto dal filo in funzione della distanza dall asse del filo. oluzione Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

51 A. hiodoni esecizi di Fisica II Poiché pe la pima legge elementae di Laplace µ ids db uˆ t uˆ, è poiché pe un filo indefinito vale: π ût diezione del tatto infinitesimo ds û diezione di si ha che il campo magnetico di un filo indefinito ha lo stesso valoe in tutti i punti di una ciconfeenza coassiale al filo di aggio ed è ad essa tangente. Applichiamo la legge di Ampee: µ i : B ds B(π ) µ i B π i itova cioè la legge di Biot e avat. In uesto caso, dobbiamo consideae la coente concatenata alla linea di integazione, cioè la coente intena alla ciconfeenza di aggio. Nell ipotesi che la Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

52 A. hiodoni esecizi di Fisica II i densità di coente sia unifome su tutta la sezione e che j, applicando la legge π di Ampee: B ds B( π π µ i µ j π ) µ iconc µ i B µ i π L andamento del campo magnetico in funzione di saà: Esecizio 5 icavae dalla legge di Ampee il campo magnetico podotto da un solenoide ettilineo indefinito con n spie pe unità di lunghezza pecose dalla coente i. oluzione Poiché il sistema è indefinito, facciamo l ipotesi che la densità delle spie sia costante; il campo magnetico saà paallelo all asse del solenoide e avà ovunue lo stesso valoe. Data la simmetia del sistema, si può anche ipotizzae che il campo abbia lo stesso valoe in tutti i punti inteni al solenoide e che le linee del campo siano paallele all asse. Le linee, chiudendosi all infinito, implicano che all esteno del solenoide il campo B sia nullo. onsideiamo oa il pecoso chiuso ADF; la coente concatenata è pai a nih, in uanto nh è il numeo di spie contenuto nella pozione alta h di solenoide e i la coente che pecoe ciascuna spia. Applichiamo la legge di Ampee: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

53 A. hiodoni esecizi di Fisica II A D A F D F A B ds µ inh) B ds B ds + B ds + B ds + B ds, dove B ds Bh ( B ds e B ds, pechè ds B A F B ds, pechè fuoi, B A D F Quindi, Bh µ inh B µ in Esecizio 6 Un solenoide tooidale è costituito da N spie avvolte attono ad una supeficie a foma di tooide. alcolae a) il campo magnetico se nel sistema cicola la coente i. b) se il tooide è un mateiale con pemeabilità magnetica elativa µ, calcolae i campi H, B ed M nel suo inteno. oluzione i B a) Data la simmetia del poblema, le linee del campo magnetico all inteno del solenoide sono ciconfeenze con cento sull asse del tooide. Applichiamo la legge di Ampèe pe tovane il modulo: µ Ni B ds µ Ni πb B π b) icodando che H B µ, che M ( µ ) H χ mh e che H ds i (legge di Ampee pe H ), alloa: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

54 A. hiodoni esecizi di Fisica II Ni πh Ni H, π µ µ N. i B µ µ H π. Ni B M χ m H χ m H ( µ ) H π µ Esecizio 7 Un anello tooidale di aggio cm è fatto di feo con pemeabilità magnetica µ 5. Una bobina con N spie è avvolta sulla supeficie dell anello. alcolae la coente i che deve pecoee la bobina pe podue una magnetizzazione 5 M A. m oluzione icodiamo la elazione che lega la magnetizzazione con l induzione magnetica: B M ( µ ) H ( µ ) ; applichiamo la legge di Ampèe B ds µ Ni Bπ µ. Quindi µ Ni B ; π H Ni ; π M ( µ ) Ni π πm La coente i saà uindi i ( µ ) N π (5 ) 5.5A Esecizio 8 Due spie di aggio ed (con >>) sono pecose ispettivamente dalle coenti i e i. La pima spia giace sul piano y, mente la seconda giace sul piano yz ad una distanza d dalla pima spia (sia d>>). alcolae il momento meccanico che agisce sulla seconda spia e die come detta spia uota pe potasi in posizione di euilibio (si supponga fissa la pima spia). Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 5

55 A. hiodoni esecizi di Fisica II oluzione Il campo magnetico geneato dalla spia () nella zona occupata dalla spia () vale: o B µ ( sull asse) i + d ) / kˆ (dalla a legge di Laplace applicata ad una spia e calcolata (i suppone che essendo <<, il campo sia pessoché costante in tutta la zona occupata dalla spia ()). Alla spia () può essee associato il momento magnetico supeficie acchiusa dalla spia e û n coincide con il vesoe î : m i uˆ, dove è la n m iπ iˆ Di conseguenza, sulla spia agisce un momento meccanico µ iiπ M m B ( + d ) / Poiché il momento meccanico vale in modulo ˆj M aggiunge uando m e B hanno la stessa diezione. θ posizione di euilibio stabile θ π Posizione di euilibio instabile mbsinθ, la posizione all euilibio si Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 55

56 A. hiodoni esecizi di Fisica II Esecizio 9 Due spie cicolai di cento O e O ispettivamente, aventi uguale aggio.m e distanti a.5m, sono disposte paallelamente e collegate in seie. La spia infeioe è fissa, mente la spia supeioe costituisce il piatto di una bilancia a bacci uguali. All alto baccio della bilancia è collegata l amatua mobile di un condensatoe piano a facce paallele di aea A.m e distanza d.m. Deteminae la diffeenza di potenziale da applicae al condensatoe pe mantenee l euilibio che si ha in condizione di iposo uando nelle spie passa la coente I A. oluzione La distanza fa le spie è molto minoe del loo aggio. Possiamo alloa appossimae il campo ceato da una spia nei punti in cui si tova l alta calcolandolo con la fomula di Biot e avat, come se i fili fosseo ettilinei indefiniti e paalleli, cioè: I B µ π a Tale campo ha lo stesso valoe in tutti i punti di ogni spia. Poiché le spie sono pecose dalla coente nello stesso veso, si esecita una foza attattiva fa le spie (dietta veso il basso, sulla spie supeioe) pai a: F m IB π µ I Pe calcolae la foza attattiva fa le amatue del condensatoe possiamo ossevae che ad una vaiazione vituale d della distanza ta le amatue coispondeebbe in lavoo d. Tale lavoo saebbe il coispettivo della vaiazione di enegia F e elettostatica cambiata di segno, più il lavoo compiuto al geneatoe collegato al condensatoe, il uale pe mantenee invaiata la tensione avebbe dovuto tasfeie una ceta uantità infinitesima d di caica da un amatua alla alta. La vaiazione di enegia elettostatica a tensione costante è: a Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 56

57 A. hiodoni esecizi di Fisica II dw d V V d Il lavoo del geneatoe è pai a dv. Poiché V dv V d Quindi, V V F e d d + V d d Detta la distanza fa le amatue del condensatoe piano, si ha che: A E alloa F e V d dx A V (la foza è attattiva) e d e icodando che i bacci della bilancia sono uguali, posso uguagliae F m ed F e A Fm µ I Fe V a d V µ I V Id µ 76. 6V a A a A Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 57

58 A. hiodoni esecizi di Fisica II LEGGE DI FAADAY, LEGGE DI LENZ, INDUTTANZA, ENEGIA MAGNETIA Esecizio Una bobina costituita da N spie di aea cm e esistenza complessiva 5Ω è posta ta le espansioni di un elettomagnete e giace in un piano otogonale alle linee di B. Il campo magnetico, unifome sui punti di, vaia nel tempo aumentando lineamente del valoe zeo al valoe B. 8T in un tempo t s. alcolae la f.e.m. indotta nella bobina e il lavoo totale speso nel tempo t. oluzione La legge di vaiazione del campo magnetico è attaveso la bobina vale: B t t B e di conseguenza il flusso ( B) φ NB uˆ nd NB cos( θ ) d NB d NB NBt t Il valoe della fem indotta saà: (legge di Faaday) ξ i fem i dφ( B ) N dt db dt NB.8 8 V t La coente indotta saà paai a: i fem dφ( B) 8 dt 5.6 A Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 58

59 A. hiodoni esecizi di Fisica II La coente cicola in veso tale da opposi con il suo campo alla vaiazione di B (legge di Lenz). La potenza fonita dalla fem (dissipata sulla esistenza ) e il lavoo totale valgono: P ξ. i ( 8 i L Pt ξ it.8 i ) (.6 J ).8 W Esecizio Una bobina ettangolae di lati a cm e b 5 cm è composta da N spie di esistenza complessiva Ω e giace nel piano y. Un campo magnetico B 5 ( t.5) uˆ T agisce sulla bobina. alcolae (a) la fem indotta ξ (t) nella bobina z (b) La coente i(t) e la caica (t) che cicola nella stessa ta l istante t e t,5 s. oluzione a) alcoliamo innanzi tutto il flusso di B e poi applichiamo la legge di Faaday. a a 5bN ( t.5) a ( B) φ NBuˆ nd N 5 ( t.5) bd N( t.5) b5 d 5 8. ( t. 5)Wb o 6 5 Quindi la fem indotta saà: ( t.5) 8. o ( t.5) dφ( B) fem i ( 8. t) V ( 6.7 t) V dt Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 59

60 A. hiodoni esecizi di Fisica II b) alcoliamo la coente indotta: fem 6.7 t i ( 8. t) A E infine, la caica (t) si icava da i(t): t φ dφ( B) ( t) i( t) dt ( φ φ) dt to φ ( t) 8. ( φ () φ (.5)) ( ). Esecizio Una spia di aggio a5cm, costituita da un filo conduttoe di sezione mm e 8 esistività ρ,7 Ωm, viene potata da una egione in cui esiste un campo di induzione magnetica unifome B,5Wb / m dietto secondo un angolo α 6 ispetto alla nomale al piano della spia, in una egione in cui il campo è nullo. Qual è la caica totale che pecoe la spia in conseguenza di tale spostamento? oluzione La coente indotta nella spia ottenuta sfuttando la legge di Faaday, vale: dφ( B) i dt Mente la caica totale (legge di Felici) veà: Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

61 A. hiodoni esecizi di Fisica II t φ dφ( B) Q i( t) dt dt t φ [ φ ( B) φ ( B) ] u uesto caso, φ ( B ) pechè la spia viene potata in una zona in cui il campo magnetico è nullo. Alloa: φ ( ˆ πa B) B und B cos( α ) ds B cos( α) ds B cos( α ) Quindi, icodando che l ρ Q φ ( ) cos( α) π cos( α) π B B a B a ρl ρπa B cos( α) a ρ N.B. uesto pocesso viene utilizzato pe la misua di campi magnetici mediante galvanometo balistico: noto Q si isale al valoe di B. Esecizio E dato un sistema di conduttoi costituito da un lungo filo ettilineo e da una spia piana ettangolae disposti (nel vuoto) come in figua. Nel filo ettilineo fluisce una coente ia. Mediante l apetua di un inteuttoe essa viene idotta al valoe in un tempo t. 5. alcolae la fem indotta nella spia ettangolae ed indicae il veso in cui fluisce la elativa coente. oluzione Politecnico di Toino osi dilauea a distanza 6

CORRENTI ELETTRICHE E CAMPI MAGNETICI STAZIONARI

CORRENTI ELETTRICHE E CAMPI MAGNETICI STAZIONARI CORRENT ELETTRCHE E CAMP MAGNETC STAZONAR Foze magnetiche su una coente elettica; Coppia magnetica su una coente in un cicuito chiuso; Azioni meccaniche su dipoli magnetici; Applicazione (Galvanometo);

Dettagli

Magnetostatica: forze magnetiche e campo magnetico

Magnetostatica: forze magnetiche e campo magnetico Magnetostatica: foze magnetiche e campo magnetico Lezione 6 Campo di induzione magnetica B() (nomenclatua stoica ; in ealtà si dovebbe chiamae, e spesso lo è, campo magnetico) è un campo di foze vettoiale

Dettagli

Magnetostatica: forze magnetiche e campo magnetico

Magnetostatica: forze magnetiche e campo magnetico Magnetostatica: foze magnetiche e campo magnetico Lezione 6 Campo di induzione magnetica () (nomenclatua stoica ; in ealtà si dovebbe chiamae, e spesso lo è, campo magnetico) è un campo di foze vettoiale

Dettagli

Cariche in campo magnetico: Forza magnetica

Cariche in campo magnetico: Forza magnetica Lezione 18 Campo magnetico I Stoicamente, i geci sapevano che avvicinando un pezzo di magnetite a della limatua di feo questa lo attaeva. La magnetite ea il pimo esempio noto di magnete pemanente. Come

Dettagli

Potenziale elettrico per una carica puntiforme isolata

Potenziale elettrico per una carica puntiforme isolata Potenziale elettico pe una caica puntifome isolata Consideiamo una caica puntifome positiva. Il campo elettico geneato da uesta caica è: Diffeenza di potenziale elettico ta il punto ed il punto B: B ds

Dettagli

durante lo spostamento infinitesimo dr la quantità data dal prodotto scalare F dr

durante lo spostamento infinitesimo dr la quantità data dal prodotto scalare F dr 4. Lavoo ed enegia Definizione di lavoo di una foza Si considea un copo di massa m in moto lungo una ceta taiettoia. Si definisce lavoo infinitesimo fatto dalla foza F duante lo spostamento infinitesimo

Dettagli

La carica elettrica. F.Soramel Fisica Generale II - A. A. 2 0 0 4 / 0 5 1

La carica elettrica. F.Soramel Fisica Generale II - A. A. 2 0 0 4 / 0 5 1 La caica elettica 8 H.C. Oested connessione ta eletticità e magnetismo M. Faday speimentale puo, non scive fomule 85 J.C. Maxwell fomalia le idee di Faaday I geci avevano ossevato che l amba (elekton)

Dettagli

FORZA AGENTE SU UN TRATTO DI FILO RETTILINEO. Dispositivo sperimentale

FORZA AGENTE SU UN TRATTO DI FILO RETTILINEO. Dispositivo sperimentale FORZA AGENTE SU UN TRATTO DI FILO RETTILINEO 0 Dispositivo speimentale Consideiamo pe semplicità un campo magnetico unifome, le linee di foza sono paallele ed equidistanti. Si osseva una foza di oigine

Dettagli

REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO

REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO 1 La siepe Sul eto di una villetta deve essee ealizzato un piccolo giadino ettangolae di m, ipaato da una siepe posta lungo il bodo Dato che un lato del giadino è occupato

Dettagli

SETTIMA-OTTAVA LEZIONE: sorgenti del campo magnetico, legge di Ampere, legge di Biot-Sawart

SETTIMA-OTTAVA LEZIONE: sorgenti del campo magnetico, legge di Ampere, legge di Biot-Sawart . Chiodoni esecizi di Fisica II SETTIM-OTTV LEZIONE: sogenti del campo magnetico, legge di mpee, legge di Biot-Sawat Esecizio 1 Due spie cicolai di aggio 3cm, aventi lo stesso asse, sono poste in piani

Dettagli

Fisica Generale - Modulo Fisica II Esercitazione 3 Ingegneria Gestionale-Informatica POTENZIALE ELETTRICO ED ENERGIA POTENZIALE

Fisica Generale - Modulo Fisica II Esercitazione 3 Ingegneria Gestionale-Informatica POTENZIALE ELETTRICO ED ENERGIA POTENZIALE PTNZIL LTTRIC D NRGI PTNZIL Ba. Una caica elettica q mc si tova nell oigine di un asse mente una caica negativa q 4 mc si tova nel punto di ascissa m. Sia Q il punto dell asse dove il campo elettico si

Dettagli

SESTA LEZIONE: campo magnetico, forza magnetica, momenti meccanici sui circuiti piani

SESTA LEZIONE: campo magnetico, forza magnetica, momenti meccanici sui circuiti piani A. Chiodoni esecizi di Fisica II SESTA LEZIONE: campo magnetico, foza magnetica, momenti meccanici sui cicuiti piani Esecizio 1 Un potone d enegia cinetica E k 6MeV enta in una egione di spazio in cui

Dettagli

I principi della Dinamica. L azione di una forza è descritta dalle leggi di Newton, possono fare Lavoro e trasferire Energia

I principi della Dinamica. L azione di una forza è descritta dalle leggi di Newton, possono fare Lavoro e trasferire Energia I pincipi della Dinamica Un oggetto si mette in movimento quando viene spinto o tiato o meglio quando è soggetto ad una foza 1. Le foze sono gandezze fisiche vettoiali che influiscono su un copo in modo

Dettagli

Energia potenziale e dinamica del punto materiale

Energia potenziale e dinamica del punto materiale Enegia potenziale e dinamica del punto mateiale Definizione geneale di enegia potenziale (facoltativo) In modo geneale, la definizione di enegia potenziale può esee pesentata come segue. Sia un punto di

Dettagli

Grandezze cinematiche angolari (1)

Grandezze cinematiche angolari (1) Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. MOTO CIRCOLARE UNIFORME FISICA CdL Tecnologie Agoalimentai Uniesità degli Studi di Toino D.E.I.A.F.A. Genealità () Moto di un punto mateiale lungo una ciconfeenza

Dettagli

FI.CO. 2. ...sempre più fico! ( Fisica Comprensibile per geologi) Programma di Fisica 2 - (v 5.0-2002) A.J. 2000 Adriano Nardi

FI.CO. 2. ...sempre più fico! ( Fisica Comprensibile per geologi) Programma di Fisica 2 - (v 5.0-2002) A.J. 2000 Adriano Nardi FI.CO. 2 ( Fisica Compensibile pe geologi) Pogamma di Fisica 2 - (v 5.0-2002)...sempe più fico! A.J. 2000 Adiano Nadi La fisica dovebbe essee una scienza esatta. Questo papio non può gaantie la totale

Dettagli

Facoltà di Ingegneria Fisica II Compito A

Facoltà di Ingegneria Fisica II Compito A Facoltà di ngegneia Fisica 66 Compito A Esecizio n Un filo di mateiale isolante, con densità di caica lineae costante, viene piegato fino ad assumee la foma mostata in figua (la pate cicolae ha aggio e

Dettagli

IL MOMENTO ANGOLARE E IL MOMENTO D INERZIA

IL MOMENTO ANGOLARE E IL MOMENTO D INERZIA . L'IMPULS 0 DI MT IL MMENT NGLRE E IL MMENT D INERZI Il momento angolae nalizziamo alcuni moti di otazione. Se gli attiti sono tascuabili, una uota di bicicletta messa in otazione può continuae a giae

Dettagli

12 L energia e la quantità di moto - 12. L impulso

12 L energia e la quantità di moto - 12. L impulso L enegia e la quantità di moto -. L impulso Il momento angolae e il momento d inezia Il momento angolae nalizziamo alcuni moti di otazione. Se gli attiti sono tascuabili, una uota di bicicletta messa in

Dettagli

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 degli 8 quesiti scelti nel questionario.

Il candidato risolva uno dei due problemi e 4 degli 8 quesiti scelti nel questionario. LICEO SCIENTIFICO SCUOLE ITALIANE ALL ESTERO (AMERICHE) SESSIONE ORDINARIA Il candidato isolva uno dei due poblemi e degli 8 quesiti scelti nel questionaio. N. De Rosa, La pova di matematica pe il liceo

Dettagli

SECONDA LEZIONE: lavoro elettrico, potenziale elettrostatico, teorema di Gauss (prima parte)

SECONDA LEZIONE: lavoro elettrico, potenziale elettrostatico, teorema di Gauss (prima parte) A. Chiodoni esecizi di Fisica II SECONDA LEZIONE: lavoo elettico, potenziale elettostatico, teoea di Gauss (pia pate) Esecizio Te caiche sono poste ai vetici di un tiangolo euilateo di lato l, calcolae

Dettagli

Sistemi inerziali Forza centripeta e forze apparenti Forza gravitazionale. 03/11/2011 G. Pagnoni 1

Sistemi inerziali Forza centripeta e forze apparenti Forza gravitazionale. 03/11/2011 G. Pagnoni 1 Sistemi ineziali Foza centipeta e foze appaenti Foza gavitazionale 03/11/011 G. Pagnoni 1 Sistemi ineziali Sistema di ifeimento ineziale: un sistema in cui è valida la pima legge di Newton (I legge della

Dettagli

Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N Diploma Universitario Teledidattico in Ingegneria Informatica ed Automatica Polo Tecnologico di Alessandria

Corso di Elettrotecnica 1 - Cod. 9200 N Diploma Universitario Teledidattico in Ingegneria Informatica ed Automatica Polo Tecnologico di Alessandria Schede di lettotecnica Coso di lettotecnica - Cod. 900 N Diploma Univesitaio Teledidattico in Ingegneia Infomatica ed utomatica Polo Tecnologico di lessandia cua di Luca FRRRIS Scheda N Sistemi tifase:

Dettagli

( ) ( ) ( ) ( ) Esercizi 2 Legge di Gauss

( ) ( ) ( ) ( ) Esercizi 2 Legge di Gauss Esecizi Legge di Gauss. Un involuco sfeico isolante ha aggi inteno ed esteno a e b, ed e caicato con densita unifome ρ. Disegnae il diagamma di E in funzione di La geometia e mostata nella figua: Usiamo

Dettagli

La magnetostatica. Le conoscenze sul magnetismo fino al 1820.

La magnetostatica. Le conoscenze sul magnetismo fino al 1820. Le conoscenze sul magnetismo fino al 1820. La magnetostatica Le nozioni appese acquisite nel coso dei secoli sui fenomeni magnetici fuono schematizzate elativamente tadi ispetto alle pime ossevazioni,

Dettagli

int Schiusa Schiusa r r Φ = r r S o 1 Anno scolastico

int Schiusa Schiusa r r Φ = r r S o 1 Anno scolastico Anno scolastico 4 + ε ε int dt E d C dt d E C Q E S o S Schiusa Schiusa gandezza definizione fomula Foza di Loentz Foza agente su una caica q in moto con velocità v in una egione in cui è pesente un campo

Dettagli

REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO

REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO REALTÀ E MDELLI SCHEDA DI LAVR La clessida ad acqua Ipotizziamo che la clessida ad acqua mostata in figua sia fomata da due coni pefetti sovapposti La clessida impiega,5 minuti pe svuotasi e supponiamo

Dettagli

Corrente elettrica. Definizione. dq i = dt. Unità di misura. 1Coulomb 1 Ampere = 1secondo. Verso della corrente

Corrente elettrica. Definizione. dq i = dt. Unità di misura. 1Coulomb 1 Ampere = 1secondo. Verso della corrente Nome file j:\scuola\cosi\coso fisica\elettomagnetismo\coente continua\coenti elettiche.doc Ceato il 05/1/003 3.07.00 Dimensione file: 48640 byte Elaboato il 15/01/004 alle oe.37.13, salvato il 10/01/04

Dettagli

ONDE ELETTROMAGNETICHE

ONDE ELETTROMAGNETICHE ONDE ELETTROMAGNETICHE Teoia delle onde EM e popagazione (B. Peite) mecoledì 8 febbaio 1 Coso di Compatibilità Elettomagnetica 1 Indice degli agomenti Fenomeni ondulatoi La matematica dell onda La legge

Dettagli

EX 1 Una cassa di massa m=15kg è ferma su una superficie orizzontale scabra. Il coefficiente di attrito statico è µ s

EX 1 Una cassa di massa m=15kg è ferma su una superficie orizzontale scabra. Il coefficiente di attrito statico è µ s STATICA EX Una cassa di massa m=5kg è fema su una supeficie oizzontale scaba. Il coefficiente di attito statico è µ s = 3. Supponendo che sulla cassa agisca una foza F fomante un angolo di 30 ispetto al

Dettagli

Dinamica. Se un corpo non interagisce con altri corpi la sua velocità non cambia.

Dinamica. Se un corpo non interagisce con altri corpi la sua velocità non cambia. Poblema fondamentale: deteminae il moto note le cause (foze) pe oa copi «puntifomi» Dinamica Se un copo non inteagisce con alti copi la sua velocità non cambia. Se inizialmente femo imane in quiete, se

Dettagli

Campo elettrostatico nei conduttori

Campo elettrostatico nei conduttori Campo elettostatico nei conduttoi Consideeemo conduttoi metallici (no gas, semiconduttoi, ecc): elettoni di conduzione libei di muovesi Applichiamo un campo elettostatico: movimento di caiche tansiente

Dettagli

Il teorema di Gauss e sue applicazioni

Il teorema di Gauss e sue applicazioni Il teoema di Gauss e sue applicazioi Cocetto di flusso Cosideiamo u campo uifome ed ua supeficie piaa pepedicolae alle liee di campo. Defiiamo flusso del campo attaveso la supeficie la uatità : = (misuata

Dettagli

Campo magnetico: fatti sperimentali

Campo magnetico: fatti sperimentali Campo magnetico: fatti speimentali Le popietà qualitative dei magneti e la pesenza di un campo magnetico teeste eano conosciute da tempo, ma le pime misue quantitative e le teoie e gli espeimenti pe deteminane

Dettagli

6 INDUZIONE ELETTROMAGNETICA

6 INDUZIONE ELETTROMAGNETICA 6 INDUZIONE ELETTOMAGNETIA Patendo dall ipotesi di simmetia dei fenomeni natuali pe cui se una coente esecita un influenza su di una calamita così una calamita deve pote modificae lo stato di una coente

Dettagli

4 IL CAMPO MAGNETICO STATICO

4 IL CAMPO MAGNETICO STATICO 4 IL CAMPO MAGNETICO STATICO Analogamente al caso dei fenomeni elettici anche i fenomeni magnetici eano noti sin dagli antichi geci i quali denominaono il mineale poveniente dalla egione di in Macedonia

Dettagli

CAPITOLO 11 La domanda aggregata II: applicare il modello IS-LM

CAPITOLO 11 La domanda aggregata II: applicare il modello IS-LM CPITOLO 11 La domanda aggegata II: applicae il modello - Domande di ipasso 1. La cuva di domanda aggegata appesenta la elazione invesa ta il livello dei pezzi e il livello del eddito nazionale. Nel capitolo

Dettagli

CAPITOLO 10 La domanda aggregata I: il modello IS-LM

CAPITOLO 10 La domanda aggregata I: il modello IS-LM CAPITOLO 10 La domanda aggegata I: il modello IS-LM Domande di ipasso 1. La coce keynesiana ci dice che la politica fiscale ha un effetto moltiplicato sul eddito. Infatti, secondo la funzione di consumo,

Dettagli

). Per i tre casi indicati sarà allora: 1: L L 2

). Per i tre casi indicati sarà allora: 1: L L 2 apitolo 0 Enegia potenziale elettica Domane. Il lavoo pe spostae una caica ta ue punti è: L 0(! ). Pe i te casi inicati saà alloa: L (50! 00 ) (50 ) : 0 0 : L 0! 0 3: L 0! 0 [5 ( 5 )] (50 ) [ 0 ( 60 )]

Dettagli

Conduttori in equilibrio elettrostatico

Conduttori in equilibrio elettrostatico onduttoi in equilibio elettostatico In un conduttoe in equilibio, tutte le caiche di conduzione sono in equilibio Se una caica di conduzione è in equilibio, in quel punto il campo elettico è nullo caica

Dettagli

SIMULAZIONE - 22 APRILE 2015 - QUESITI

SIMULAZIONE - 22 APRILE 2015 - QUESITI www.matefilia.it Assegnata la funzione y = f(x) = e x 8 SIMULAZIONE - APRILE 5 - QUESITI ) veificae che è invetibile; ) stabilie se la funzione invesa f è deivabile in ogni punto del suo dominio di definizione,

Dettagli

GRANDEZZE MAGNETICHE Prof. Chirizzi Marco www.elettrone.altervista.org marco.chirizzi@libero.it

GRANDEZZE MAGNETICHE Prof. Chirizzi Marco www.elettrone.altervista.org marco.chirizzi@libero.it Soenoide GRANDEZZE MAGNETICHE Pof. Chiizzi Maco www.eettone.atevista.og maco.chiizzi@ibeo.it PREMESSA La pesente dispensa ha come obiettivo queo di gaantie agi aievi de coso di Fisica de biennio, ad indiizzo

Dettagli

3. La velocità v di un satellite in un orbita circolare di raggio r intorno alla Terra è v = e,

3. La velocità v di un satellite in un orbita circolare di raggio r intorno alla Terra è v = e, Capitolo 10 La gavitazione Domande 1. La massa di un oggetto è una misua quantitativa della sua inezia ed è una popietà intinseca dell oggetto, indipendentemente dal luogo in cui esso si tova. Il peso

Dettagli

Gravitazione Universale

Gravitazione Universale Gavitazione Univesale Liceo Ginnasio Statale S.M. Legnani Anno Scolastico 2007/08 Classe 3B IndiizzoClassico Pof.Robeto Squellati 1 Le leggi di Kepleo Ossevando la posizione di Mate ispetto alle alte stelle,

Dettagli

Investimento. 1 Scelte individuali. Micoreconomia classica

Investimento. 1 Scelte individuali. Micoreconomia classica Investimento L investimento è l aumento della dotazione di capitale fisico dell impesa. Viene effettuato pe aumentae la capacità poduttiva. ECONOMIA MONETARIA E FINANZIARIA (5) L investimento In queste

Dettagli

C8. Teoremi di Euclide e di Pitagora

C8. Teoremi di Euclide e di Pitagora 8. Teoemi di uclide e di Pitagoa 8.1 igue equiscomponibili ue poligoni sono equiscomponibili se è possibile suddivideli nello stesso numeo di poligoni a due a due conguenti. Il ettangolo e il tiangolo

Dettagli

Lezione 3. Applicazioni della Legge di Gauss

Lezione 3. Applicazioni della Legge di Gauss Applicazioni della Legge di Gauss Lezione 3 Guscio sfeico di aggio con caica totale distibuita unifomemente sulla supeficie. immetia sfeica, dipende solo da supeficie sfeica di aggio

Dettagli

SELEZIONE DI ESERCIZI DI ELETTROSTATICA.

SELEZIONE DI ESERCIZI DI ELETTROSTATICA. Fisica geneale II, a.a. 13/14 SELEZIONE DI ESEIZI DI ELETTOSTATIA..1. Un pocesso elettolitico divide 1.3 mg di Nal (massa di una mole = 59 g) in Na + e l. Le caiche positive vengono allontanate da quelle

Dettagli

Esercizi Scheda N Fisica II. Esercizi con soluzione svolti

Esercizi Scheda N Fisica II. Esercizi con soluzione svolti Esecizi Scheda N. 45 Fisica II Esecizio. Esecizi con soluzione svolti Un filo ettilineo, indefinito, pecoso da una coente di intensità i=4 A, è immeso in un mezzo omogeneo, isotopo, indefinito e di pemeabilità

Dettagli

Polo Universitario della Spezia G. Marconi

Polo Universitario della Spezia G. Marconi Nicolò Beveini Appunti di Fisica pe il Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio della Spezia G. Maconi Nicolò Beveini Appunti di fisica Indice 1. La misua delle gandezze fisiche... 4 1.1

Dettagli

λ = neπa 2 (1) 1- la carica elettrica λ presente per unità di lunghezza,

λ = neπa 2 (1) 1- la carica elettrica λ presente per unità di lunghezza, 1 Esercizio 1 - Protoni con carica elettrica e viaggiano con velocità v ( non relativistica) nel verso dell'asse costituendo un lungo fascio a sezione circolare di raggio a. Il numero di protoni presenti

Dettagli

Capacità ele+rica. Condensatori

Capacità ele+rica. Condensatori Capacità ele+ica Condensatoi Condensatoi Il sistema più semplice pe immagazzinae enegia elettostatica è caicae un condensatoe. Genealmente il condensatoe è costituito da due piani metallici sepaati da

Dettagli

A.A. 2009/ Appello del 15 giugno 2010

A.A. 2009/ Appello del 15 giugno 2010 Fisica I pe Ing. Elettonica e Fisica pe Ing. Infomatica A.A. 29/21 - Appello del 15 giugno 21 Soluzione del poblema n. 1a 1. All uscita della guida, nel punto D, il copo compie un moto paabolico con velocità

Dettagli

Politecnico di Milano Fondamenti di Fisica Sperimentale a.a Facoltà di Ingegneria Industriale - Ind. Aero-Energ-Mecc

Politecnico di Milano Fondamenti di Fisica Sperimentale a.a Facoltà di Ingegneria Industriale - Ind. Aero-Energ-Mecc Politecnico di Milano Fondamenti di Fisica Speimentale a.a. 9-1 - Facoltà di Ingegneia Industiale - Ind. Aeo-Eneg-Mecc II pova in itinee - 5/7/1 Giustificae le isposte e scivee in modo chiao e leggibile.

Dettagli

Elettrostatica. P. Maestro Elettrostatica pag. 1

Elettrostatica. P. Maestro Elettrostatica pag. 1 Elettostatica Composizione dell atomo Caica elettica Legge di Coulomb Campo elettico Pincipio di sovapposizione Enegia potenziale del campo elettico Moto di una caica in un campo elettico statico Teoema

Dettagli

qq r Elettrostatica Legge di Coulomb permette di calcolare la forza che si esercita tra due particelle cariche.

qq r Elettrostatica Legge di Coulomb permette di calcolare la forza che si esercita tra due particelle cariche. lettostatica La mateia è costituita da atomi. Gli atomi sono fomati da un nucleo, contenete paticelle neute (neutoni) e paticelle caiche positivamente (potoni). Intono al nucleo ci sono paticelle caiche

Dettagli

Gravitazione. Dati due corpi di massa m 1 e m 2, posti ad una distanza r, tra di essi si esercita una forza attrattiva data in modulo da

Gravitazione. Dati due corpi di massa m 1 e m 2, posti ad una distanza r, tra di essi si esercita una forza attrattiva data in modulo da Gavitazione Dati due copi di massa m 1 e m 2, posti ad una distanza, ta di essi si esecita una foza attattiva data in modulo da F = G m 1m 2 dove G è una costante univesale, avente lo stesso valoe pe tutte

Dettagli

Compendio sui Sensori

Compendio sui Sensori Compendio sui Sensoi Gli Inteuttoi di Posizione pemettono il ilevamento mediante il contatto fisico dietto (fine cosa); l oggetto dunque, poggia fisicamente sopa l inteuttoe chiudendo e/o apendo un contatto;

Dettagli

Disequazioni. 21.1 Intervalli sulla retta reale

Disequazioni. 21.1 Intervalli sulla retta reale Disequazioni 1 11 Intevalli sulla etta eale Definizione 11 Dati due numei eali a e b, con a < b, si chiamano intevalli, i seguenti sottoinsiemi di R: a, b) = {x R/a < x < b} intevallo limitato apeto, a

Dettagli

V. SEPARAZIONE DELLE VARIABILI

V. SEPARAZIONE DELLE VARIABILI V SEPARAZIONE DEE VARIABII 1 Tasfomazioni Otogonali Sia u = u 1, u 2, u 3 una tasfomazione delle vaiabili in R 3, dove x = x 1, x 2, x 3 sono le coodinate catesiane, u j = u j x 1, x 2, x 3 j = 1, 2, 3

Dettagli

5. CAMBIO. 5.1. descrizione

5. CAMBIO. 5.1. descrizione ambio powe - shift 5. AMBIO 5.. descizione Tattasi di cambio meccanico a te velocità avanti e te velocità indieto, ealizzate mediante cinque iduttoi epicicloidali vaiamente collegati ta loo. Tutte le cinque

Dettagli

Energia potenziale elettrica

Energia potenziale elettrica Enegia potenziale elettica L ultima ossevazione del capitolo pecedente iguadava le analogie e le diffeenze ta il campo elettico e il campo gavitazionale pendendo in esame la foza di Coulomb e la legge

Dettagli

Il moto circolare uniforme

Il moto circolare uniforme Il moto cicolae unifome Il moto cicolae unifome: peiodo e fequenza Un copo che i muoe lungo una taiettoia cicolae con elocità calae cotante ipaa pe la poizione iniziale a intealli fii di tempo. Definiamo

Dettagli

5.1 Determinazione delle distanze dei corpi del Sistema Solare

5.1 Determinazione delle distanze dei corpi del Sistema Solare 5.1 Deteminazione delle distanze dei copi del istema olae 5.1.1 Distanza ea-pianeti aallassi equatoiali Questo è il metodo più peciso ma anche quello più delicato da eseguie. Esso si basa sul fatto che

Dettagli

Sulla carica viene esercitata la forza magnetica. traiettoria circolare.

Sulla carica viene esercitata la forza magnetica. traiettoria circolare. Moto di caiche in Campo Magnetico Consideiamo una paticella di massa m e caica puntifome +q in moto con velocità v pependicolae ad un campo B unifome. B α v + F F v Nel piano α, B veso l alto Sulla caica

Dettagli

Fisica II Secondo Appello - 7/2/2008

Fisica II Secondo Appello - 7/2/2008 Fisica II Secondo Appello - 7/2/2008 Chi ecupea il pimo compitino fa il pimo esecizio in due oe Chi ecupea il secondo compitino fa gli ultimi due esecizi in due oe Chi non ecupea fa le pime 4 domande del

Dettagli

Nome..Cognome. classe 5D 29 Novembre VERIFICA di FISICA: Elettrostatica Domande

Nome..Cognome. classe 5D 29 Novembre VERIFICA di FISICA: Elettrostatica Domande Nome..ognome. classe 5 9 Novembe 8 RIFI di FISI: lettostatica omande ) ai la definizione di flusso di un campo vettoiale attaveso una supeficie. nuncia il teoema di Gauss pe il campo elettico (senza dimostalo)

Dettagli

La seconda prova scritta dell esame di stato 2007 Indirizzo: GEOMETRI Tema di TOPOGRAFIA

La seconda prova scritta dell esame di stato 2007 Indirizzo: GEOMETRI Tema di TOPOGRAFIA La seconda pova scitta dell esame di stato 007 Indiizzo: OMTRI Tema di TOPORI Claudio Pigato Membo del Comitato Scientiico SIT Società Italiana di otogammetia e Topogaia Istituto Tecnico Statale pe eometi

Dettagli

E, ds. - Flusso totale uscente dalla superficie chiusa S: è la somma di tutti i flussi elementari, al tendere a zero delle aree infinitesime: r )

E, ds. - Flusso totale uscente dalla superficie chiusa S: è la somma di tutti i flussi elementari, al tendere a zero delle aree infinitesime: r ) Flusso del campo elettico e legge di Gauss. - Si definisce supeficie gaussiana una ipotetica supeficie S chiusa, che contiene un volume V. - La legge di Gauss mette in elazione i valoi dei campi elettici

Dettagli

AI VERTICI DI UN QUADRATO DI LATO 2L SONO POSTE 4 CARICHE UGUALI Q. DETERMINARE: A) IL CAMPO ELETTRICO IN UN PUNTO P DELL ASSE.

AI VERTICI DI UN QUADRATO DI LATO 2L SONO POSTE 4 CARICHE UGUALI Q. DETERMINARE: A) IL CAMPO ELETTRICO IN UN PUNTO P DELL ASSE. ESERCIZIO 1 AI VERTICI DI UN UADRATO DI LATO SONO POSTE 4 CARICHE UGUALI. DETERMINARE: A) IL CAMPO ELETTRICO IN UN PUNTO P DELL ASSE. 4 caiche uguali sono poste ai vetiti di un quadato. L asse di un quadato

Dettagli

Politecnico di Milano. Dipartimento di Fisica. G. Valentini. Meccanica

Politecnico di Milano. Dipartimento di Fisica. G. Valentini. Meccanica Politecnico di Milano Dipatimento di Fisica G. Valentini Meccanica I INDICE LA FISICA ED IL METODO SPERIMENTALE. INTRODUZIONE. IL METODO SPERIMENTALE GRANDEZZE FISICHE ED INDICI DI STATO 4. DEFINIZIONE

Dettagli

Università degli Studi della Tuscia di Viterbo Dipartimento di ecologia e sviluppo economico sostenibile Facoltà di Agraria

Università degli Studi della Tuscia di Viterbo Dipartimento di ecologia e sviluppo economico sostenibile Facoltà di Agraria Univesità degli Studi della Tuscia di Vitebo Dipatimento di ecologia e sviluppo economico sostenibile Facoltà di Agaia Univesità degli Studi della Tuscia Dottoato di Riceca in Scienze Ambientali XIX Ciclo

Dettagli

Operatori divergenza e rotore in coordinate cilindriche

Operatori divergenza e rotore in coordinate cilindriche Opeatoi divegena e otoe Univesità di Roma To Vegata Pof. Ing. Paolo Sammaco Opeatoi divegena e otoe in coodinate cilindiche Dott. Ing. Macello Di Risio 1 Sistema di ifeimento Si assume il sistema di ifeimento

Dettagli

IL POTENZIALE. = d quindi: LAB

IL POTENZIALE. = d quindi: LAB 1 IL POTENZIALE Sappiamo che il campo gavitazionale è un campo consevativo cioè nello spostamento di un copo ta due punti del campo gavitazionale teeste, le foze del campo compiono un lavoo che dipende

Dettagli

Appunti su argomenti monografici per il corso di FM1 Prof. Pierluigi Contucci. Gravità e Teorema di Gauss

Appunti su argomenti monografici per il corso di FM1 Prof. Pierluigi Contucci. Gravità e Teorema di Gauss 1 Appunti su agomenti monogafici pe il coso di FM1 Pof. Pieluigi Contucci Gavità e Teoema di Gauss Vogliamo dimostae, a patie dalla legge di gavitazione univesale che il campo gavitazionale geneato da

Dettagli

IL CAMPO ELETTROMAGNETICO DIPENDENTE DAL TEMPO

IL CAMPO ELETTROMAGNETICO DIPENDENTE DAL TEMPO IL CAMPO ELETTROMAGNETICO DIPENDENTE DAL TEMPO Legge di Faaday-Heny (o dell induzione elettomagnetica); Applicazioni della legge dell induzione e.m., caso della spia otante; Il fenomeno dell autoinduzione

Dettagli

Elementi della teoria della diffusione

Elementi della teoria della diffusione Elementi della teoia della diffusione Pe ottenee infomazioni sulla stuttua della mateia, dai nuclei ai solidi, si studia la diffusione scatteing) di paticelle: elettoni, paticelle alfa, potoni, neutoni,

Dettagli

Potenza volumica. Legge di Joule in forma locale

Potenza volumica. Legge di Joule in forma locale Potenza volumica. Legge di Joule in foma locale Si considei un tubo di flusso elementae all inteno di un copo conduttoe nel quale ha sede un campo di coente. n da La potenza elettica che fluisce nel bipolo

Dettagli

CAPITOLO 3 Il reddito nazionale: da dove viene e dove va

CAPITOLO 3 Il reddito nazionale: da dove viene e dove va CAPITOLO Il eddito nazionale: da dove viene e dove va Domande di ipasso. I fattoi di poduzione e la tecnologia di poduzione deteminano il livello della poduzione aggegata di un sistema economico. I fattoi

Dettagli

FAST FOURIER TRASFORM-FFT

FAST FOURIER TRASFORM-FFT A p p e n d i c e B FAST FOURIER TRASFORM-FFT La tasfomata disceta di Fouie svolge un uolo molto impotante nello studio, nell analisi e nell implementazione di algoitmi dei segnali in tempo disceto. Come

Dettagli

IL VOLUME DEI SOLIDI Conoscenze

IL VOLUME DEI SOLIDI Conoscenze IL VOLUME DEI SOLIDI Conoscenze 1. Completa. a. Il peso di un copo dipende dal volume e dalla sostanza di cui è costituito b. Ogni sostanza ha il suo peso specifico, che è il peso dell unità di volume

Dettagli

AZIONE A DISTANZA E TEORIA DI CAMPO (1)

AZIONE A DISTANZA E TEORIA DI CAMPO (1) Il campo elettico AZION A DITANZA TOIA DI CAMPO () Come fanno due caiche elettiche ad inteagie fa di loo? All inizio del 9 si sono confontate due ipotesi:.le caiche si scambiano dei messaggei e uindi si

Dettagli

Fisica Generale- Modulo Fisica II Esercitazione 2 Ingegneria Meccanica POTENZIALE ELETTRICO ED ENERGIA POTENZIALE

Fisica Generale- Modulo Fisica II Esercitazione 2 Ingegneria Meccanica POTENZIALE ELETTRICO ED ENERGIA POTENZIALE Fisica Geneale- Modulo Fisica II secitazione OTNZIL LTTRICO D NRGI OTNZIL Ba. Una caica elettica mc si tova nell oigine di un asse mente una caica negativa 4 mc si tova nel punto di ascissa m. Sia il punto

Dettagli

REALIZZAZIONE DIGITALE DI ALGORITMI DI CONTROLLO DIRETTO DI COPPIA PER MOTORI ASINCRONI

REALIZZAZIONE DIGITALE DI ALGORITMI DI CONTROLLO DIRETTO DI COPPIA PER MOTORI ASINCRONI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PARMA DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELL INFORMAZIONE Dottoato di Riceca in Tecnologie dell Infomazione XXIV Ciclo Andea Rossi REALIZZAZIONE DIGITALE DI ALGORITMI DI CONTROLLO DIRETTO

Dettagli

Fisica Generale A. Gravitazione universale. Scuola di Ingegneria e Architettura UNIBO Cesena Anno Accademico 2015 2016. Maurizio Piccinini

Fisica Generale A. Gravitazione universale. Scuola di Ingegneria e Architettura UNIBO Cesena Anno Accademico 2015 2016. Maurizio Piccinini A.A. 015 016 Mauizio Piccinini Fisica Geneale A Gavitazione univesale Scuola di Ineneia e Achitettua UNIBO Cesena Anno Accademico 015 016 A.A. 015 016 Mauizio Piccinini Gavitazione Univesale 1500 10 0

Dettagli

Capitolo 16. La teoria dell equilibrio generale. Soluzioni delle Domande di ripasso

Capitolo 16. La teoria dell equilibrio generale. Soluzioni delle Domande di ripasso eanko & aeutigam icoeconomia anuale delle oluzioni Capitolo 16 La teoia dell equilibio geneale Soluzioni delle Domande di ipao 1. L analii di equilibio paziale tudia la deteminazione del pezzo e della

Dettagli

Classificazione delle linee di trasmissione

Classificazione delle linee di trasmissione Classificazione delle linee di tasmissione Linee TEM (Tansvese Electic Magnetic) Coassiale Bifilae (doppino) Stipline Linee quasi_tem Micostip Linee a due conduttoi con mezzo non unifome Linee non-tem

Dettagli

5 PROPRIETÀ MAGNETICHE DEI MATERIALI

5 PROPRIETÀ MAGNETICHE DEI MATERIALI 5 PROPRETÀ AGNETCE DE ATERAL A seguito della scopeta di Østed dell azione agnetica podotta da un filo conduttoe pecoso da coente l ipotesi più natuale che olti fisici avanzaono pe spiegae questo effetto

Dettagli

Antenne: generalità Nel caso di condizioni di campo lontano si possono individuare grandezze caratteristiche della radiazione.

Antenne: generalità Nel caso di condizioni di campo lontano si possono individuare grandezze caratteristiche della radiazione. ntenne: genealità Dispositivo utilizzato pe iadiae o icevee in maniea efficace le onde e.m. ntenne tasmittenti e iceventi sono fomalmente simili (ecipocità). Esistono antenne adatte ed ottimizzate pe ceti

Dettagli

La legge di Lenz - Faraday Neumann

La legge di Lenz - Faraday Neumann 1 La legge di Lenz - Faaday Neumann Il flusso del campo magnetico B Pe dae una veste matematica alle conclusioni delle espeienze viste nella lezione pecedente, abbiamo bisogno di definie una nuova gandezza

Dettagli

Problema generale dell elettrostatica

Problema generale dell elettrostatica Poblema geneale dell elettostatica Deteminae il campo elettico in tutto lo spazio uando pe M conduttoi sono fissati i potenziali e pe i imanenti N sono note le caiche possedute Nello spazio esteno ai conduttoi

Dettagli

Effetto Hall. flusso reale dei portatori se positivi. flusso reale dei portatori se negativi

Effetto Hall. flusso reale dei portatori se positivi. flusso reale dei portatori se negativi Appunti di Fisica II Effetto Hall L'effetto Hall è un fenomeno legato al passaggio di una coente I, attaveso ovviamente un conduttoe, in una zona in cui è pesente un campo magnetico dietto otogonalmente

Dettagli

Campi scalari e vettoriali (1)

Campi scalari e vettoriali (1) ampi scalai e vettoiali (1) 3 e ad ogni punto P = (x, y, z) di una egione di spazio Ω R è associato uno ed uno solo scalae φ diemo che un campo scalae è stato definito in Ω. In alti temini: φ 3 : P R φ(p)

Dettagli

MACCHINA ELEMENTARE A RILUTTANZA

MACCHINA ELEMENTARE A RILUTTANZA Sistemi magnetici con moto meccanico MACCHINA ELEMENTARE A RILUTTANZA Consiste in un nucleo magnetico con un avvolgimento a N spie e una pate mobile che uota con spostamento angolae θ e velocità angolae

Dettagli

Il potenziale a distanza r da una carica puntiforme è dato da V = kq/r, quindi è sufficiente calcolare V sx dovuto alla carica a sinistra:

Il potenziale a distanza r da una carica puntiforme è dato da V = kq/r, quindi è sufficiente calcolare V sx dovuto alla carica a sinistra: 1. Esercizio Calcolare il potenziale elettrico nel punto A sull asse di simmetria della distribuzione di cariche in figura. Quanto lavoro bisogna spendere per portare una carica da 2 µc dall infinito al

Dettagli

C.I. FISICA APPLICATA Modulo di FISICA MEDICA

C.I. FISICA APPLICATA Modulo di FISICA MEDICA UNIVERSITÀ POLITECNICA DELLE MARCHE FACOLTÀDI DI MEDICINA E CHIRURGIA C.L.S. Odontoiatia e Potesi Dentaia C.I. FISICA APPLICATA Modulo di FISICA MEDICA A.A. 006/07 D. Fabizio Fioi D. Fabizio FIORI Dipatimento

Dettagli

Valore finanziario del tempo

Valore finanziario del tempo Finanza Aziendale Analisi e valutazioni pe le decisioni aziendali Valoe finanziaio del tempo Capitolo 3 Indice degli agomenti. Concetto di valoe finanziaio del tempo 2. Attualizzazione di flussi futui

Dettagli

ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica

ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica ELETTROSTATICA + Carica Elettrica + Campi Elettrici + Legge di Gauss + Potenziale Elettrico + Capacita Elettrica ELETTRODINAMICA + Correnti + Campi Magnetici + Induzione e Induttanza + Equazioni di Maxwell

Dettagli

Approfondimento 7.5 - Altri tipi di coefficienti di correlazione

Approfondimento 7.5 - Altri tipi di coefficienti di correlazione Appofondimento 7.5 - Alti tipi di coefficienti di coelazione Il coefficiente di coelazione tetacoico e policoico Nel 900 Peason si pose anche il poblema di come misuae la coelazione fa caatteistiche non

Dettagli