Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 - Corsi A e B Prova scritta del 14 giugno 2010 Versione 1

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1 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 - Corsi A e B Prova scritta del 14 giugno 010 Versione 1 1) Dati i sottospazi vettoriali di R 4 : W = {(x 1 x x x 4 ) R 4 /x 1 x x =x + x =0} Z = L ( ( ) (1 1) (1 0 1) ) a) ( punti) trovare una base per ciascuno dei sottospazi W Ze W + Z; b) ( punti) stabilire per quale valore di h R il vettore (1hh+1 h) appartiene W + Z a) dim(w) = W = L(( 1 1 0) ( )); dim(z) = Z = L((1 1) ( )); dim(w + Z) = W + Z = L((1 1) ( ) ( )); dim(w Z)=1 W Z= L(( 1 1 0)) b) Il vettore (1hh+1 h) appartiene W + Z per h =1 ) Sia R [x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a a) (1 punto) Verificare che esiste un unico endomorfismo f : R [x] R [x] tale che: f( + x) =+x f(x +x )=1+x +x f(1 x )= x x b) ( punti) Stabilire se ker f imf = R [x] c) ( punti) Stabilire se f è diagonalizzabile d) ( punti) Determinare una base di R [x] rispetto alla quale la matrice di f è triangolare superiore e scrivere la matrice di f rispetto a questa base a) Esiste un unico endomorfismo f : R [x] R [x] in quanto i vettori: + x x + x 1 x formano una base di R [x] b) La matrice associata a f rispetto alla base B =(1xx )è: A = dim(ker f) =1 ker f = L(1) dim(imf) = imf = L(1 + x x + x )dacuisi deduce che ker f imf = R [x] c) Gli autovalori di A con le relative molteplicità sono λ 1 = 0m λ1 = 1λ = 1m λ = Gli autospazi sono V λ1 =kerf V λ = L(1 + x) dacuisideduceche f non è diagonalizzabile

2 d) Una base di R [x] rispetto alla quale la matrice di f è triangolare superiore è per esempio: B =(1 1+x 1+x + x ) La matrice associata a f rispetto alla base B è : A = ) Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O; x y z) =(O; i j k) sono dati i punti A =( 1 0) B =(1 1 1) e la sfera Σ : x + y + z = 1 a) ( punti) Trovare le equazioni dei piani passanti per A e B e tangenti alla sfera Σ b) (4 punti) Detta C la circonferenza ottenuta dall intersezione del piano z =0 con la sfera Σ scrivere le equazioni delle rette tangenti a C e parallele al vettore i + j a) I piani richiesti appartengono al fascio di piani di asse la retta AB e hanno equazione y 1=0ex y +6z +7=0 b) La circonferenza C ha centro nel punto C =(0 0 /) e raggio r = 7/ Le rette richieste hanno equazioni: z =0 14 x y ± =0 4) Sia B s (R R) lo spazio vettoriale delle forme bilineari simmetriche su R Si consideri l insieme B 0 = {ϕ B s (R R) / W ker ϕ} dovew = {(x 1 x x ) R /x 1 x = x =0} a) (4 punti) Scrivere la matrice (rispetto alla base standard di R ) della generica ϕ B 0 Verificare che B 0 è un sottospazio vettoriale di B s (R R) e trovare una base per B 0 b) (4 punti) Classificare tutte le forme bilineari ϕ B 0 che verificano la condizione: i sottospazi vettoriali W 1 = L((1 1 1)) e W = {(x 1 x x ) R /x 1 x =0} sono ortogonali (rispetto a ϕ) a) La matrice (rispetto alla base standard di R ) della generica ϕ B 0 è : a b a A = b c b abc R a b a

3 B 0 è un sottospazio vettoriale di B s (R R) in quanto isomorfo al sottospazio vettoriale A di R formato da tutte le matrici A associate (ripetto alla base canonica di R ) alle forme bilineari appartenenti a B 0 dim(a) =dim(b 0 ) = A = L mentre una base di B 0 è data dalle tre forme bilineari simmetriche: ϕ 1 (x y) =x 1 y 1 x 1 y x y 1 + x y ϕ (x y) =x 1 y + x y 1 x y x y ϕ (x y) =x y con x =(x 1 x x ) y =(y 1 y y ) b) Le matrici associate rispetto alla base canonica di R alle forme bilineari simmetriche richieste sono: a 0 a A = a R a 0 a i cui autovalori sono λ 1 =0λ =a La molteplicità di λ 1 è s e a 0 altrimenti è Di conseguenza se a 0 le forme bilineari simmetriche sono degeneri con segnatura (1 0) (semidefinite positive) se a>0 e con segnatura (0 1) (semidefinite negative) se a<0 Se a = 0 si ha solo la forma bilineare simmetrica nulla 5) (5 punti) Nel piano rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O; x y) è data la conica C :x + xy = 0 Ridurre C a forma canonica e classificarla Trovare le coordinate dei suoi vertici e le equazioni degli eventuali asintoti (nel sistema di riferimento R) Si tratta di un iperbole di equazione in forma canonica: X Y =1 rispetto al riferimento cartesiano R =(O X Y ) ottenuto da R mediante la seguente trasformazione: x 1 X = y Y I vertici dell iperbole sono: A 1 = Le equazioni degli asintoti sono: 1 ( ) ( 1 ) A = 1 x =0 x+ y =0

4 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 - Corsi A e B Prova scritta dell 8 luglio 010 Versione 1 1) In V rispetto ad una base ortonormale positiva B =(i j k) sono dati i vettori a =(1 1 1) b =(0 1 ) e c =(1 1 0) a) ( punti) Determinare il vettore p proiezione ortogonale di a sul sottospazio vettoriale H = {x = x i + y j + z k V /x y +z =0} b) ( punti) Determinare l insieme di tutti i vettori d di H tali che il triangolo individuato da c edad abbia la stessa area di quello individuato da a e b Stabilire se tale insieme è un sottospazio vettoriale a) Dato che H è perpendicolare al vettore n =(1 1 ) si ha: p = a a n knk n = 1 ( 4 1) p 6 b) L area del triangolo individuato da a e b vale Se d =(y z y z) è il generico vettore di H la condizione richiesta implica che z = ±1 ossia: d =(y y±1) L insieme formato da tali vettori non è un sottospazio vettoriale non contenendo il vettore nullo ) Si consideri l applicazione lineare f : R! T 0 (R )(T 0 (R ) è lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine a traccia nulla) definita da: x1 x f = x x 4 4x 1 + x + x 4 x 1 x x 1 +7x +x + hx 4 4x 1 x x 4 h R a) ( punti) Determinare per ogni valore di h R una base per ker f ed imf b) ( punti) Trovare per quali valori di h R dim(kerf \W) = 1 dove x1 x W = R /x x x 1 x + x 4 = c) ( punti) Trovare per quali valori di h R f 1 (Z) dove Z è i l sottospazio vettoriale di T 0 (R ) formato dalle matrici simmetriche d) ( punti) Determinare per ogni valore di h R una base per il sottospazio vettoriale f(h) dove x1 x H = R /x x x 1 x + x x 4 =0 4

5 a) Se h 6= dim(imf) =edim(kerf) = 1 Pertanto: imf = T 0 (R )e ker f = L 4 0 Se h = dim(imf) =dim(kerf) =e imf = L ker f = L 7 0 b) dim(ker f \W)=1perh = In tal caso: ker f \W = c) La condizione richiesta si verifica per h = d) Se h 6= : dim(f(h)) = f(h) =L h h Se h = : dim(f(h)) = f(h) =L 5 1 ) Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O; x y z) sono dati i punti A =(1 1) e B =(1 4 1) e le rette: 8 >< x =1 t ( x y + z =0 p : y = 1 t R; q : >: x + y =0 z =+t a) ( punti) Determinare l equazione del piano passante per A e parallelo alle rette p e q b) ( punti) Scrivere l equazione della sfera tangente al piano nel punto A e passante per il punto B c) ( punti) Trovare le equazioni della circonferenza passante per A e B ed avente centro sulla retta q a) La retta p è parallela al vettore u =(1 0 ); la retta q è parallela al vettore v =(1 1 ) è il piano per A perpendicolare al vettore u^v di equazione: x y + z + 1 = 0 b) Il centro C della sfera sta sulla retta passante per A e perpendicolare al piano ; quindi C =(1+t t 1+t) Imponendo che d(c A) = d(c B) si trova: t = 1 L equazione della sfera cercata è : (x + 1) +(y ) +(z + ) = 6 c) Il centro C 0 della circonferenza sta sul piano assiale del segmento AB (piano passante per il punto medio M =(1 1) di AB e perpendicolare al vettore AB ~ = (0 0)) di equazione: y = 0) Intersecando tale piano con la retta q si trova: C 0 = ( 9) Il raggio della circonferenza è uguale a

6 d(c 0 A)= p 117 La circonferenza è contenuta nel piano passante per i punti A B e C 0 di equazione: 5x +z = 0 Pertanto le equazioni richieste sono: ( (x + ) +(y ) +(z 9) = 117 4) Data la forma quadratica 5x +z =0 Q((x 1 x x )) = x 1 +4x + x (x 1 x x 1 x +x x ) associata alla forma bilineare ' su R a) ( punti) determinare una base per il sottospazio vettoriale ker ' \Wdove W = {(x 1 x x ) R / x 1 x =0}; b) ( punti) classificare ' e scriverla in forma canonica; c) ( punti) trovare una base per il sottospazio vettoriale W 0 ortogonale di W rispetto a ' Stabilire se W W 0 = R a) ker ' \W = L(( 4)) b) Una forma canonica è Q((y 1 y y )) = 6y1 pertanto Q è semidefinita positiva c) W 0 =ker' Dato che W 0 \W =ker'\w ha dimensione 1 e dim(w +W 0 ) = la somma W + W 0 = R non è diretta 5) Si considerino le seguenti due basi di R : B 1 =((1 1) (1 0)) B =((4 ) ( )) a) ( punti) Scrivere le equazioni del cambiamento di base da B 1 a B b) ( punti) Siano: Q la matrice del cambiamento di base da B 1 a B ; P la matrice del cambiamento di base dalla base standard B di R a B 1 ; R la matrice del cambio di base da B a B Determinare la relazione che intercorre tra le matrici Q P ed R a) Se (x 0 1 x0 )e(x00 1 x00 ) sono le componenti di un generico vettore di R rispetto alle basi B 1 e B rispettivamente si ha: ( x 0 1 =x x 00 x 0 = x x 00 b) R = PQ

7 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 - Corsi A e B Prova scritta del 1 settembre 010 1) In V rispetto ad una base ortonormale positiva B =(i j k) si consideri l endomorfismo f : V V definito da: f(x) =a x dovea =(1 ) e x V Siag : V V la funzione che verifica la condizione: g(x) y = x f(y) x y V a) ( punti) Provare che g è un endomorfismo di V e trovare la matrice di g rispetto alla base B b) ( punti) Stabilire se g è diagonalizzabile c) ( punti) Determinare la relazione che intercorre tra ker g eimf a) Dati i vettori x 1 x V e gli scalari α β R si ha: da cui si deduce: g(αx 1 + βx ) y =(αx 1 + βx ) f(y) =αx 1 f(y)+βx f(y) = αg(x 1 ) y + βg(x ) y =[αg(x 1 )+βg(x )] y [g(αx 1 + βx ) αg(x 1 ) βg(x )] y =0 y V Questa condizione è verificata se e solo se il vettore tra parentesi quadre è nullo e pertanto g è lineare Se A e A sono rispettivamente le matrici di f e g rispetto alla base B la condizione g(x) y = x f(y) si riscrive in termini di matrici come t (A X)Y = t X(AY ) da cui si deduce t X t A Y = t XAY equindi:a = t A La matrice di g rispetto alla base B è : A = b) Il polinomio caratteristico di g è p(λ) = λ(λ +14) e quindi g non è diagonalizzabile c) Dato che ker g = L((1 )) e imf = L((0 ) ( 0 1)) si ha: ker g imf = V ) Siano R [x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale atreer 0 [x] ={p(x) R [x] p(0) = 0} Si consideri l applicazione lineare f : R [x] R 0 [x] definita da: f(a 0 +a 1 x+a x +a x )=(5a 0 4a 1 +a +a )x+( a 0 +a 1 +a )x +(a 0 a 1 +5a +a )x a) (4 punti) trovare una base per i sottospazi vettoriali ker f W ekerf + W dove W = {a 0 + a 1 x + a x + a x R [x] a 0 +a + a = a 0 a =0};

8 b) ( punti) stabilire per quale valore di h R il vettore p(x) =hx +x ha controimmagini mediante f a) La matrice di f rispetto alle basi B =(1xx x )dir [x] eb =(x x x )di R 0 [x] è: 5 4 A = Dato che rank A = si trova che ker f = L(1 + x x +x 11x )equindi ker f W = L( + x + x 1x )ekerf + W = L(1 + x x x+x + x 1x ) b) h = 4 ) Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O; x y z) sono dati il piano π : x +y z +1=0elaretta r : { x + y + hz 7=0 y z +5h =0 h R a) ( punti) Stabilire per quale valore del parametro h R la retta r è parallela al piano π e precisare se la retta è contenuta nel piano b) ( punti) Scrivere l equazione del piano tangente alla sfera Σ : x + y + z x y z 1=0nelpuntoA =(1 1 1) c) ( punti) Al variare di h R tra tutte le rette tangenti alla sfera Σ nel punto A determinare quelle ortogonali alla retta r d) ( punti) Trovare il centro ed il raggio della circonferenza σ intersezione della sfera Σ con il piano π a) La retta è parallela al piano per h = 1 e per tale valore non è contenuta nel piano b) Il piano tangente alla sfera ha equazione y + 1 = 0 c) Sia a = l i + m j + n k un vettore parallelo alla retta richiesta La condizione che tale retta sia contenuta nel piano tangente alla sfera nel punto A implica m = 0 Dato che la retta r è parallela al vettore b =( h) i +j + k la condizione a b =0 implica n =( + h)l Le rette richieste hanno equazioni: x =1+t y = 1 h R z =1+(h + )t d) Il centro della circonferenza è C( 1 0 ); il suo raggio vale 5

9 4) Sia ϕ: R R R la forma bilineare simmetrica definita da: con x =(x 1 x x )ey =(y 1 y y ) ϕ(x y) =x 1 y 1 + x y + k(x 1 y + x y 1 )+x y a) ( punti) Determinare per quali valori di k R ϕ è degenere b) ( punti) Determinare per quali valori di k R ϕ è un prodotto scalare c) ( punti) Posto k = trovare la forma normale della forma quadratica Q associata a ϕ e determinare una base rispetto a cui Q è in forma normale a) ϕ è degenere se k = ±1 b) ϕ è un prodotto scalare quando i suoi autovalori sono strettamente positivi Dato che il polinomio caratteristico è p(λ) =(1 λ)(1 λ k)(1 λ + k) ϕ è un prodotto scalare se 1 <k<1 c) La forma normale Q((y 1 y y )=y1 + y y si ottiene mediante la base B = ((0 1 0) 6 6 (1 0 1) (1 0 1)) 5) (4 punti) Si consideri lo spazio vettoriale Euclideo R nn con il prodotto scalare standard: A B =tr( t AB) A B R nn Provare che se A R nn è una matrice simmetrica fissata l endomorfismo f : R nn R nn X f(x) =AX + XA X R nn è autoaggiunto (giustificare i passaggi principali) f è autoaggiunto se f(x) Y = X f(y ) per ogni X Y R nn Dato che t A = A si ha: f(x) Y =tr[ t (AX + XA)Y ]=tr[ t (AX)Y ]+tr[ t (XA)Y ] =tr( t X t AY )+tr( t A t XY )=tr( t XAY )+tr[a( t XY )] =tr( t XAY )+tr( t XY A)=tr[ t X(AY + YA)] = X f(y )

10 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 - Corsi A e B Prova scritta del 1 febbraio 011 1) Nello spazio vettoriale V dei vettori ordinari riferito ad una base ortonormale positiva B =(i j k) sono dati i vettori u =(1 1 1) v =(0 1 ) w =( 0 1) Immaginando che tali vettori siano tutti uscenti da un punto A fissato essi individuano i punti B C e D dello spazio rispettivamente a) (1 punto) Calcolare l area della faccia ABC del tetraedro di vertici A B C e D b) ( punti) Determinare le componenti di un vettore che individua l altezza di tale tetraedro uscente dal punto D c) ( punti) Determinare i vettori x di V tali che il tetraedro individuato da u v x ha lo stesso volume (in valore assoluto) del tetraedro ABCD a) Area(ABC) = 1 ku ^ vk = 1 ki j + kk = p 6 b) Il vettore cercato è la proiezione ortogonale di w su u ^ v: u ^ v w ku ^ vk u ^ v = 1 (i j + k) c) Sono tutti i vettori le cui componenti soddisfano l equazione x y + z = ± ) Sia S(R ) lo spazio vettoriale delle matrici simmetriche reali di ordine a) (1 punto)verificare che esiste un unico endomorfismo f di S(R ) tale che: f = f = f = b) (4 punti) Trovare una base per ker f ed imf (precisare le basi di S(R ) usate) c) ( punti) Determinare una base per il sottospazio vettoriale f(w) dove 0 W = L 0 5 d) ( punti) Dire quali vettori stanno in H 1 = f 1 ed in H 1 0 = f L rispettivamente Stabilire se tali insiemi sono sottospazi vettoriali di S(R )

11 a) Basta controllare che i vettori 1 0 siano linearmente indi- 0 pendenti La matrice delle loro componenti rispetto alla base B = di S(R ) ha determinante non nullo A 1 0 a) La matrice associata a f rispetto alla base B è A Inoltre ker f = L ; imf = b) f(w) =L 7 9 t 1 t c) H 1 = tr non è un sottospazio vettoriale 1 t t 0 1 H = L è un sottospazio vettoriale ) Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O; x y z) sono date le rette r) ( x y h =0 z =0 s) ( x +y +4h =0 x + y + z 6=0 h R a) ( punti) Stabilire per quale valore di h R le due rette sono complanari b) ( punti) Posto h = 1 trovare il punto r ed il punto di s aventi distanza minima c) ( punti) Nel caso h = 1 scrivere l equazione della sfera tangente sia ad r che ad s ed avente raggio minimo a) Le due rette sono complanari per h = 18 7 b) I punti richiesti sono: H 1 (1 0) e H ( 1 ) c) La sfera richiesta ha centro in C punto medio del segmento H 1 H edha raggio R = 1 p 11 d(h 1H )= La sua equazione è: x +y +z x y z+4 = 0

12 4) In R 4 sono dati i sottospazi vettoriali: V = L((1 1 ) ( ) ( )) W ={(x 1 x x x 4 ) R 4 x 1 + x + x + x 4 =0} a) ( punti) Determinare una base e la dimensione sia di V\Wsia di V + W b) ( punti) Classificare la forma quadratica Q((x 1 x x x 4 )) = (x 1 x + x x 4 ) (x 1 x x x 4 ) R 4 e scriverla in forma normale c) ( punti) Trovare una base per il sottospazio vettoriale V? ortogonale di V rispetto alla forma bilineare simmetrica associata alla forma quadratica Q a) dim(v) = V = L((1 1 ) ( )) dim(w) = W = L(( ) ( ) ( )) V\W= L(( )); V + W = R 4 b) Gli autovalori di Q sono ±1 entrambi con molteplicità La forma quadratica è non degenere e non definita La sua forma normale è Q((y 1 y y y 4 )) = y 1 +y y y 4 c) V? = L(( ) ( )) 5) (4 punti) Determinare la condizione che deve essere necessariamente verificata dalla dimensione di uno spazio vettoriale V a nchè esista un endomorfismo f : V! V tale che ker f =imf Dare un esempio di un tale endomorfismo nel caso di V = R Dato che dim ker f =dimimf si ha: dim V =dimkerf +dimimf =dimkerf e quindi V deve avere dimensione pari 0 1 Sia A = la matrice di un endomorfismo f di R 0 0 rispetto alla base standard Si ha: ker f = L((1 0)) = imf

13 Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 - Corsi A e B Prova scritta del febbraio 011 1) Nello spazio vettoriale euclideo R con il prodotto scalare standard si consideri il sottospazio vettoriale x1 x U = R /x x x 1 + x + x + x 4 =0 4 a) ( punti) Determinare la dimensione e una base dei sottospazi U e K = U\S(R ) dove S(R ) è il sottospazio vettoriale delle matrici simmetriche di ordine b) (4 punti) Sia W l insieme delle matrici in R la cui proiezione ortogonale su U appartiene a K Stabilire se W è un sottospazio vettoriale di R e in caso a ermativo determinarne la dimensione e una base (notare che K U) a) dim U =eu = L ; dim K =ek = L ; 0 b) Per definizione W = {A R /A= A 1 + A A 1 KA U? }doveu? = L è il complemento ortogonale di U Dato che K UsihasubitocheW = K come base 1 0 B = 0 1 U? è un sottospazio vettoriale R avente ) Sia h R esiaf : R 4! R l applicazione lineare di matrice rispetto alle basi standard di R 4 e R A 1 h A h 1 a) ( punti) Determinare al variare di h R la dimensione ed una base di imf; b) ( punti) dire per quali valori di h R l applicazione lineare non è iniettiva e per tali valori trovare una base di ker f c) ( punti) Posto h = 0 determinare una base per il sottospazio vettoriale f 1 (V) dove V = L(( 1 )) a) Se h 6= 1 dim imf =eimf = L((0 1h) (0h1) (1 )) Se h = 1 dim imf =eimf = L((1 ) (0 ))

14 b) f non è mai iniettiva per ogni valore di h R Se h 6= 1 dim ker f =1ekerf = L(( 0h 1)); se h = 1 dim ker f =e ker f = L(( ) (0 0 1)) c) f 1 (V) =L(( ) ( 0 1)) ) Nello spazio rispetto ad un riferimento cartesiano R =(O; x y z) sono dati il piano )x y +z 1=0edilpuntoP 0 =( 1 0) Trovare: a) ( punti) la retta passante per P 0 parallela al piano ed incidente la retta s : ( x + z =0 x y = 0; b) ( punti) la sfera S di centro P 0 che interseca il piano secondo una circonferenza di raggio p 5; c) ( punti) il centro della circonferenza C intersezione della sfera S con il piano a) La retta richiesta è intersezione di due piani: il piano per P 0 parallelo al piano ed il piano contenente la retta s e passante per P 0 Le sue equazioni sono: ( x y +z +5=0 x +y +z =0 b) La sfera S ha equazione: (x + ) +(y 1) + z = 9 c) Il centro della circonferenza C ha coordinate 1 4 4) Si consideri la forma quadratica su R 4 Q((x 1 x x x 4 )) = x 1 x + x + x 4 +x x 4 (x 1 x x x 4 ) R 4 a) ( punti) Classificare Q e scriverla in forma normale b) ( punti) Trovare una base del sottospazio ortogonale (rispetto alla forma bilineare simmetrica ' associata a Q) del sottospazio vettoriale H = {(x 1 x x x 4 ) R 4 /x 1 x + x 4 =x + x =0} c) ( punti) Determinare l insieme dei vettori isotropi e stabilire se è di un sottospazio vettoriale di R 4 a) Gli autovalori di Q sono 0 ±1 tutti con molteplicità 1 La forma quadratica è degenere e non definita La sua forma normale è Q((y 1 y y y 4 )) = y 1 + y y b) H? = L(( ) ( ))

15 c) Usando forma normale di Q si vede che l insieme dei vettori isotropi è dato da {(y 1 y y y 4 ) R 4 /y = y 1 + y } Si tratta di un cono in R4 e pertanto non è un sottospazio vettoriale 5) Sia f : R n! R n un endomorfismo autoaggiunto (rispetto al prodotto scalare standard di R n ) a) ( punti) Provare che i sottospazi vettoriali ker f ed imf sono ortogonali b) ( punti) Sia f : R! R un endomorfismo autoaggiunto tale che imf = L((1 0)) Determinare una base ortonormale di R formata da autovettori di f a) Siano x ker f e y = f(x 0 ) imf Dato che f è autoaggiunto si ha: e pertanto ker f ed imf sono ortogonali 0=f(x) x 0 = x f(x 0 )=x y b) Gli autospazi di f sono ker f =(imf)? = L(( 1 0) (0 0 1)) e imf Una base ortonormale di autovettori è: p p! 5 5 B = ( 1 0) (0 0 1) (1 0) 5 5