R = { (x, y) R 2 a x < b, c y < d } = [a, b[ [c, d[ è definita come

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1 5 Integrali La teoria dell integrazione in R 2 si costruisce a partire dalla nozione geometrica di area di un rettangolo Def 1 La misura (o area del rettangolo R è definita come R = (x, y R 2 a x < b, c y < d } = [a, b[ [c, d[ m(r = (b a(d c a < b, c < d La nozione di integrale per funzioni costanti a tratti su una famiglia di rettangoli è altrettanto naturale Def 2 Sia f : R 2 R una funzione per cui esiste una famiglia finita R 1,, R n di rettangoli disgiunti tale che c 1 (x, y R 1 Ri R (1 f(x, y = dove j = i j c n (x, y R n c 1,, c n R 0 (x, y (R 1 R n L integrale di f è definito come (2 f(x, y dxdy = c 1 m(r c n m(r n R 2 Le funzioni che soddisfano la (1 sono dette funzioni semplici Le funzioni integrabili sono funzioni che si possono approssimare (in modo opportuno con funzioni semplici tal fine si introduce la nozione di insieme trascurabile Def 3 Un insieme E R 2 è detto trascurabile (o di misura nulla se, per ogni ɛ > 0, esiste una famiglia finita o numerabile di rettangoli R 1,, R n, tale che E R 1 R n e m(r n ɛ La famiglia di rettangoli che ricopre l insieme dipende da ɛ e, se è costituita da un numero finito di rettangoli, la serie si riduce ad una somma finita La definizione di insieme trascurabile implica che ogni sottoinsieme di un insieme trascurabile è trascurabile e che l unione numerabile di insiemi trascurabili è trascurabile Esempio 1 Gli insiemi costituiti da un solo punto = (x 0, y 0 } sono trascurabili Infatti dato ɛ > 0, sia R = [x 0, x 0 + ɛ[ [y 0, y 0 + ɛ[ Chiaramente R e m(r = ɛ Ne segue che un insieme costituito da una numero finito o numerabile di punti è trascurabile Esempio 2 Dato x 0 R, la retta E = (x, y R 2 x = x 0 } è trascurabile Infatti, dato ɛ > 0 sia R n = [x 0 ɛ n2 n, x 0 + ɛ n2 n [ [ n 4, n 4 [ allora E n 1 R n e n=1 m(r n = n=1 ɛ 2 = ɛ n Più in generale si può dimostrare che se γ : x = x(t y = y(t t I n=1 m(r n = 2ɛ n2 n 2n 4 = ɛ 2 n n 1, I intervallo è una curva di classe C 1, allora la sua traccia = (x(t, y(t t I} è un insieme trascurabile 1

2 2 Esempio 3 L insieme di Dirichelet E = (x, y R 2 x Q, y R } = x 0 Q è trascurabile poiché è unione numerabile di insiemi trascurabili Siamo ora in grado di dare la definizione di funzione integrabile (x, y R 2 x = x 0 } Def 4 Una funzione f : R 2 R si dice (Lebesgue integrabile se esiste una successione (f n n 1 di funzioni semplici che soddisfa le seguenti due condizioni (3 f(x, y = lim n(x, y per ogni (x, y E dove E R 2 è un insieme trascurabile, e (4 per ogni ɛ > 0 esiste n N tale che f m (x, y f n (x, y dxdy ɛ R 2 m n n In tal caso si definisce integrale di f il limite, necessariamente finito, (5 R 2 f(x, y dxdy = lim R 2 f n (x, y dxdy La (3 è una condizione di approssimazione di f con funzioni semplici e, se è soddisfatta, si dice che la funzione f è misurabile La (4 è una condizione di convergenza la quale garantisce che il limite (5 esiste finito ed è indipendente dalla scelta della successione che approssima f Poiché f n (x, y f m (x, y è una funzione semplice, gli integrali in (4 e in (5 sono definiti dalla (2 La definizione di integrale si estende anche a funzioni definite su sottoinsiemi di R 2 Def 5 Sia R 2 un insieme Una funzione f : R è detta integrabile [risp misurabile] su se la funzione f : R 2 R f(x, y = f(x, y (x, y 0 (x, y è integrabile [risp misurabile], e si definisce integrale di f su il valore f(x, y dxdy = f(x, y dxdy In particolare, l insieme è detto di misura finita [risp misurabile] se la funzione 1 ( (f(x, y = 1 per ogni (x, y è integrabile [risp misurabile] su Se è di misura finita il valore m( = 1 dxdy si chiama misura (o area di Esistono funzioni ed insiemi non misurabili, ma tali esempi sono estremamente patologici La totalitità delle funzioni che si incontrano negli esercizi sono misurabili poiché valgono le seguenti proprietà (1 Somma, prodotto e rapporto (purché il denominatore non si annulli di funzioni misurabili è misurabile (2 Se f è misurabile, allora f è misurabile (3 Se f è misurabile e f(x, y = g(x, y per ogni (x, y E con E trascurabile, allora g è misurabile (4 Se f(x, y = lim f n (x, y per ogni (x, y R 2 e le funzioni f n sono misurabili, allora f è misurabile (5 Unione numerabile ed intersezione numerabile di insiemi misurabili è misurabile (6 Il complemento di un insieme misurabile è misurabile (7 Le funzioni continue sono misurabili R 2

3 3 (8 Gli insiemi aperti e chiusi sono misurabili La seguente proposizione riassume le principali proprietà dell integrale Prop 1 Sia un sottoinsieme di R 2 (1 Linearità: se f e g sono funzioni integrabili su ed α, β R, allora αf + βg è integrabile su e vale (αf(x, y + βg(x, y dxdy = α f(x, y dxdy + β g(x, y dxdy (2 Monotonia: se f e g sono integrabili su e f(x, y g(x, y per ogni (x, y, allora f(x, y dxdy g(x, y dxdy In particolare, se f è positiva vale f(x, y dxdy 0, e se è di misura finita vale m( 0 (3 Disuguaglianza triangolare: se f è integrabile su, allora f è integrabile su e f(x, y dxdy f(x, y dxdy (4 dditività sui domini: se f è integrabile su = B C con B C =, B e C misurabili, allora f è integrabile su B e su C e vale f(x, y dxdy = f(x, y dxdy + f(x, y dxdy In particolare, se ha misura finita, B e C hanno misura finita e vale B m( = m(b + m(c m(b m( [ m(c m( ] (5 Insiemi trascurabili: se è trascurabile, per ogni funzione f : R f(x, y dxdy = 0 In particolare, è trascurabile se e solo se m( = 0 I due teoremi che seguono sono il nucleo della teoria dell integrazione Teo 1 (Teorema della convergenza monotona Sia (f n n 1 una successione crescente [decrescente] di funzioni definite su, f 1 (x, y f 2 (x, y f n (x, y f n+1 (x, y (x, y, che converge puntualmente ad f in, (6 f(x, y = lim f n(x, y (x, y Se le funzioni f n sono integrabili su ed esiste finito (7 lim f n (x, y dxdy, allora f è integrabile su e vale f(x, y dxdy = C lim f n (x, y dxdy Poiché ( f n(x, y dxdy è una successione numerica monotona, la (7 è equivalente al fatto che n 1 esiste una costante positiva C per cui f n (x, y dxdy C n 1

4 4 La condizione (6 non è necessaria (benché facile da verificare Infatti, la monotonia delle successione e la (7 implicano che esiste finito lim f n(x, y (x, y e x E dove E è un insieme trascurabile e si definisce f : R lim f(x, y = f n(x, y (x, y \ E 0 (x, y E Teo 2 (Teorema della convergenza dominata Sia (f n n 1 una successione di funzioni che converge puntualmente ad f in R 2, f(x, y = lim f n(x, y (x, y Se le funzioni f n sono integrabili su ed esiste una funzione g positiva ed integrabile tale che f n (x, y g(x, y (x, y, allora f è integrabile su e vale f(x, y dxdy = lim f n (x, y dxdy(x, y Il teorema della convergenza dominata implica, in particolare, il seguente criterio di integrabilità Prop 2 (Criterio del confronto Sia f una funzione misurabile per cui esiste una funzione positiva g integrabile su tale che f(x, y g(x, y per ogni (x, y, allora f è integrabile su In particolare, se è misurabile e limitato ed f è limitata su, allora è di misura finita, f è integrabile su e vale f(x, y dxdy m( sup f(x, y (x,y Dal precedente criterio si ha che (1 se f è misurabile, allora f è integrabile se e solo se f è integrabile; (2 se è un insieme chiuso e limitato ed f è continua, allora è di misura finita, f è integrabile su e m( min f(x, y f(x, y dxdy m( max f(x, y (x,y (x,y Le condizioni di limitatezza di e di f sono condizioni sufficienti, ma non necessarie, per garantire l integrabilità come mostra il seguente esempio Esempio 4 Mostriamo che è integrabile la funzione f : R 2 R 1 1 x < 3 2 = , 0 y < x < 9 4 = 2 + 1, 0 y < f(x, y = n n x < n + 1 2, 0 y < 1 n n n + 1 n + 1 x < (n altrove n+1 2 n+1, 0 y < 1

5 Dato n 1, sia f n : R 2 R f n (x, y = 1 1 x < 3 2 = , 0 y < x < 9 4 = , 0 y < 1 2 n n x < n n, 0 y < 1 n 0 altrove La successione (f n 1 è crescente, converge puntualmente ad f e f n (x, y dxdy = 1 R n = n poiché le f n sono funzioni semplici Il teorema della convergenza monotona implica che f è integrabile e 1 f(x, u dxdy = R 2 2 n = 1 Tuttavia f non è limitata superiormente e non si annulla al di fuori di un insieme limitato Nel teorema della convergenza monotona la condizione che la successione sia monotona non si può eliminare come mostra il seguente esempio n=1 5 Esempio 5 Dato n 1, sia f n : R 2 R 1 1 x < 2, 0 y < x < 3, 0 y < 1 2 f n (x, y = ( 1 n n x < n + 1, 0 y < 1 n 0 altrove Le f n sono funzioni semplici il cui integrale vale R2 f n (x, y dxdy = ( 1n n La successione (f n n 1 converge puntualmente a f : R 2 R 1 1 x < 2, 0 y < x < 3, 0 y < 1 2 f(x, y = ( 1 n n x < n + 1, 0 y < 1 n ( 1 n+1 n + 1 x < n + 2, 0 y < 1 n+1 0 altrove Benché lim R f 2 n (x, y dxdy = ( 1 n n=1 n sia finito, la funzione f non è integrabile Supponiamo per assurdo che f sia integrabile Questo implica che f è integrabile e, essendo f n (x, y f(x, y per ogni (x, y R 2, il teorema della convergenza dominata assicura che esiste finito 1 f(x, y dxdy = lim f n (x, y dxdy = R 2 R 2 n, il che è assurdo poiché la serie n=1 1 n diverge a + Il seguente teorema fornisce una tecnica per calcolare gli integrali n=1

6 6 Teo 3 (Formula di riduzione Sia un insieme della forma (8 = (x, y R 2 x [a, b], ϕ(x y ψ(x } dove ϕ, ψ : [a, b] R continue, ed f : R una funzione continua, allora f è integrabile su e ( b ψ(x (9 f(x, y dxdy = f(x, y dy dx a Gli insiemi della forma data dalla (8 sono detti insiemi normali rispetto all asse x, mentre il secondo membro della (9 si chiama integrale iterato Per costruzione è chiuso e limitato, da cui segue l integrabilità di f Nell equazione (9, fissato x [a, b], f x (y = f(x, y è una funzione continua della variabile y, quindi per il teorema fondamentale del calcolo integrale ψ(x ϕ(x ϕ(x f(x, y dy = F (x, ψ(x F (x, ϕ(x, dove F (x, y è una primitiva di f(x, y rispetto ad y, cioè F y (x, y = f(x, y Poiché la primitiva F (x, y può sempre essere scelta in modo che sia continua, F (x, ψ(x F (x, ϕ(x è a sua volta continua e il teorema fondamentale del calcolo integrale assicura f(x, y dxdy = G(b G(a dove G (x = F (x, ψ(x F (x, ϕ(x Chiaramente il teorema vale anche per insiemi normali rispetto all asse y = (x, y R 2 y [a, b], ϕ(y x ψ(y }, in cui l ordine di integrazione nell integrale iterato è scambiato ( b ψ(y f(x, y dxdy = f(x, y dx dy Esempio 6 L integrale della funzione continua f(x, y = x 2 + y sull insieme = (x, y R 2 y x 2, y 1 } a ϕ(y = (x, y R 2 x [ 1, 1], x 2 y 1 } = (x, y R 2 y [0, 1], y x y }, che è normale sia rispetto a x sia rispetto a y, vale 1 ( 1 1 (x 2 +y dxdy = (x 2 + ydy dx = (x 2 y + y2 1 1 x dx = x 2 1 oppure ( 1 y 1 (x 2 + y dxdy = 0 (x 2 + ydx dy = 2 ( x3 y xy y dy = 2 0 ((x (x4 + x4 2 dx = 16 15, 1 0 ( y y 3 2 dy = Il seguente esempio mostra come l esistenza degli integrali iterati non garantisca l integrabilità della funzione Esempio 7 Sia f(x, y = x2 y 2 con (x, y (0, 0 e f(0, 0 = 0 (x 2 +y 2 2 Poiché f(x, y = x x (x 2 + y 2 = y y (x 2 + y 2 (x, y (0, 0,

7 allora 1 ( 1 1 y f(x, ydy dx = (x 2 + y 2 y=1 dx = arctan x 1 = π y=0 0 4, ma 1 ( 1 1 x f(x, ydx dy = (x 2 + y 2 x=1 dy = arctan y 1 = π x=0 0 4 La funzione f non è continua in (0, 0 e non è limitata in un intorno di (0, 0 poiché 1 lim f(x, 0 = lim x 0 x 0 x 2 = + Il seguente teorema mostra come cambia l integrale tramite una trasformazione regolare di coordinate Teo 4 (Cambiamento di variabili Sia Φ :  R 2 R 2 una trasformazione regolare di coordinate tra gli aperti  e = Φ( x = x( x, ŷ Φ : ( x, ŷ y = x( x, ŷ  Se f : R vale f(x, y dxdy = f(x( x, ŷ, y( x, ŷ det J Φ ( x, ŷ d xdŷ b purché uno dei due integrali esista Il seguente esempio mostra il significato geometrico del fattore det J Φ ( x, ŷ Esempio 8 Sia Φ : R 2 R 2 la trasformazione di coordinate lineare x = a x + bŷ Φ : y = c x + dŷ dove a, b, c, d R tali che ad bc 0 Sia  = ]0, 1[ ]0, 1[ il quadrato di vertice l origine e lato 1, allora = Φ( è il parallelogramma con vertice l origine e lati i vettori (a, c e (b, d L area di tale parallelogramma è m( = 1 dxdy = det J Φ ( x, ŷ d xdŷ = ad bc d xdŷ = ad bc, Φ( b b b in accordo con la geometria elementare Il seguente esempio mostra l uso combinato del teorema di convergenza monotona e del cambiamento di coordinate Esempio 9 Vogliamo mostrare che R 2 e (x2 +y2 dxdy = π La funzione f(x, y = e (x2 +y 2 è continua e positiva, per cui è integrabile su ogni insieme B n = B(O, n = (x, y R 2 x 2 + y 2 n 2} Sia Φ(r, θ = (r cos θ, r sin θ la trasformazione di coordinate angolari Posto B n = [0, n] [0, 2π], poiché (1 Φ è una trasformazione regolare di coordinate tra l aperto Ân = B n e l aperto (2 m( B n \ Ân = 0, (3 m(b n \ n = 0, n = Φ(Ân = (x, y R 2 x 2 + y 2 < n 2} \ (x, y R 2 x = 0, y 0 }, 7

8 8 il teorema di cambiamento di coordinate e quello su domini normali assicurano n (10 e (x2 +y2 dxdy = e r2 rdrdθ = 2π e r2 rdr = πe r2 n = π(1 B n bb n 0 0 e n2 Posto f n : R 2 R f n (x, y = e (x 2 +y 2 (x, y B n 0 (x, y B n la successione (f n n 1 è crescente e converge puntualmente ad f La (10 implica che le funzioni f n sono integrabili su R 2 e lim f n (x, y = lim e (x2 +y2 dxdy = lim π(1 R 2 B e n2 = π n Il teorema della convergenza monotona assicura che f è integrabile e e (x2 +y2 dxdy = lim e (x2 +y2 dxdy = π R 2 B n Calcolando l integrale usando la formula di integrazione su domini normali, si ricava che ( n n e (x2 +y2 dxdy = lim e (x2 +y 2 dxdy = lim e x2 dx e y2 dy = π R 2 [ n,n] [ n,n] n n da cui + e x2 dx = π La teoria dell integrazione si estende in modo naturale a funzioni definite in R n In particolare la misura di un sottoinsieme di R 3 di misura finita si chiama volume volume( = m( = 1 dxdydz Per quanto riguardo il calcolo, il teorema di cambiamento di variabili si estende in modo naturale, mentre la formula di riduzione dà luogo a due casi Teo 5 (Integrazione per fili Sia un insieme della forma = (x, y, z R 3 (x, y D, ϕ(x, y z ψ(x, y} ed f : R una funzione continua, allora (11 f(x, y, z dxdydz = D dove ( ψ(x,y f(x, y, z dz dxdy ϕ(x,y Teo 6 (Integrazione per strati Sia un insieme della forma = (x, y, z Ω z [a, b], g(x, y, z 0} ed f : R una funzione continua, allora (12 f(x, y, z dxdydz = b a dove ϕ, ψ : D R continue D R 2 chiuso e limitato, g : Ω R continua Ω R 3 chiuso e limitato, ( f(x, y, z dxdy dz z dove, fissato z [a, b], z = (x, y R 2 (x, y, z Ω, g(x, y, z 0 } R 2 L insieme z R 2 è detto strato di quota c Nei due teoremi, l insieme risulta chiuso e limitato, per cui f è integrabile e, nella formula di integrazione per strati, z è chiuso e limitato Entrambe le formule (11 e (12 riducono l integrale triplo ad un integrale iterato, un integrale unidimensionale in dz ed un integrale doppio in dxdy, che a sua volto può essere ridotto La differenza consiste nell ordine in cui vengono calcolati i due integrali e nel dominio di integrazione Per entrambe le tecniche di riduzione, valgono analoghe formule permutando tra di loro le variabili x, y e z

9 Esempio 10 Calcoliamo il volume del solido = (x, y, z R 3 (x z 2 + (y z 2 1 z 2 } integrando per strati la funzione 1 Posto g(x, y = (x z 2 + (y z 2 + z 2 1, per ogni z > 1 l insieme z è vuoto, mentre se z [ 1, 1] lo strato z rappresenta un cerchio di centro (z, z e raggio 1 z 2 Poiché area( z = 1 dxdy = π(1 z 2 z si ha 1 ( 1 volume( = 1 dxdy dz = π(1 z 2 dz = 2π(z z3 1 1 z 1 3 = 4π 0 3, che è il volume della sfera di raggio 1 B = (x, y, z R 3 x 2 + y 2 + z 2 1} Questo è conseguenza del principio di Cavalieri: due solidi e B per cui i corrispondenti strati z e B z hanno la stessa area per ogni z [a, b] (e lo strato è vuoto se z [a, b] hanno lo stesso volume Esempio 11 (Volume di un solido di rotazione Sia D un sottoinsieme misurabile del semipiano xz delle x positive D (x, y, z R 3 x 0 e y = 0} Si consideri il solido V ottenuto ruotando D intorno all asse z di un angolo di 2π V = (x, y, z R 3 ( x 2 + y 2, 0, z D} Il volume di V è dato dalla formula di Guldino volume(v = 1 dxdydx = 2π V D x dxdz = 2πx b area(d dove x b è l ascissa del baricentro di D visto come insieme bidimensionale nel piano xz Per dimostrare il risultato, sia Φ la trasformazione di coordinate cilindriche x = r cos θ Φ(r, θ, z = y = r sin θ r ]0, + [, θ ] π, π[, z R z = z La funzione Φ è iniettiva, di classe C 1 e det J Φ (r, θ, z = det cos θ r sin θ 0 sin θ r cos θ = r > 0, per cui definisce una trasformazione regolare di coordinate tra gli aperti =]0, + [ ] π, π[ R e = Φ(Â = R3 \ (x, y, z R 3 y = 0, x 0} Il teorema di cambiamento di variabili implica che 1 dxdydx = 1 dxdydx = r drdθdz V V = 2π = 2π (r,θ,z b (r,0,z D, θ ] π,π[} (x,z R 2 (x,0,z D} xdxdz (x,z R 2 (x,0,z D} xdxdz area(d area(d 9