Analisi di scenario File Nr. 10

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1 1 Analisi di scenario File Nr. 10 Giorgio Calcagnini Università di Urbino Dip. Economia, Società, Politica Anno accademico, 2011/2012

2 Una serie storica (y t ) è l insieme delle realizzazioni, nel corso del tempo, di una variabile casuale. Spesso siamo interessati a prevedere i valori di y t al tempo t+1, t+2, ecc. utilizzando solo le informazioni disponibili sulla stessa variabile (i valori correnti e passati). L andamento temporale di y t può essere attribuito a diverse componenti quali il trend, la componente ciclica, quella stagionale e, infine, la componente puramente casuale. Y t = Trend + Ciclo + Stagionalità + Errore. Perché è importante conoscere queste diverse componenti? Perché ci permettono di effettuare una previsione migliore.

3 3 Figura: Andamento di una serie descritta dal modello additivo.

4 4 Nell espressione precedente abbiamo ipotizzato che la scomposizione delle diverse componenti della serie sia di tipo additivo. Nel caso di modelli di tipo moltiplicativo avremo Y t = Trend Ciclo Stagionalità Errore Supponiamo per il momento che non ci sia la componente ciclica. Se riusciamo ad individuare la componente stagionale, nel caso additivo avremo che Trend + Errore = Y t Stagionalità. Mentre nel caso moltiplicativo Trend Errore = Y t Stagionalità.

5 5 Figura: Andamento di una serie descritta dal modello moltiplicativo.

6 6 Ipotizziamo per il momento che la nostra serie storica y t sia stazionaria (cioè che la componente Trend non sia presente). Ipotizziamo per semplicità che anche la componente Ciclo sia assente (questa ipotesi implica che le y t sono osservazioni serialmente indipendenti), così come quella Stagionale. Y t = α + Errore Dal momento che la componente di Errore è distribuita come media 0 e varianza σ 2 ɛ, la nostra migliore previsione di ŷ t+1 è la media aritmetica che, nel caso specifico, è uguale a α.

7 Figura: Andamento di una serie con media uguale a 4 e σ y = 0.32.

8 8 Se il fenomeno (la serie) non è stazionario ȳ non può essere utilizzata per fare la previsione di y t+1. In questa situazione si ricorre al calcolo della media mobile di y t. In parole semplici, il metodo delle medie mobili serve a livellare (to smooth) una serie storica dalle componenti diverse dal trend (stagionalità, fattori casuali). Ad esempio, nel caso di una media mobile di tre termini centrata sull osservazione y t il trend (al tempo t) è calcolato come: T y t = Y t 1 + Y t + Y t+1 3 Diversamente potremmo avere Tt y = Y t 2 + Y t 1 + Y t. 3 Questo secondo caso è utile per fare previsioni perché non si perdono osservazioni alla fine del periodo considerato.

9 9 La media mobile smorza le punte della serie e mantiene la tendenza di fondo (o trend). Il calcolo della media mobile presenta due svantaggi: 1 Per le rielaborazioni richiede che si tenga in memoria un certo numero fisso di dati (4 nel caso di dati trimestrali, 12 nel caso di dati mensili) 2 Può introdurre degli effetti ciclici spuri nella serie lisciata (o perequata).

10 10 Gretl può essere utilizzato anche per perequare una serie. Si seleziona una delle variabili contenute nel database aperto, poi dal menù in alto si seleziona Variabile Filtro Media mobile semplice. A questo punto si deve selezionare il numero di osservazioni da utilizzare per calcolare la media. In genere, anche se non è una regola ferrea, per dati con frequenza superiore all anno (trimestrali, mensili, ecc.) il numero di osservazioni è uguale alla frequenza (es. 4 con dati trimestrali). Si può anche scegliere di centrare la media attraverso la selezione dell apposita casella e di salvare la serie perequata con un nome diverso da quello della serie originale.

11 Figura: Andamento dell indice della produzione industriale destagionalizzato e di quello perequato.

12 12 Uno dei metodi di smoothing più di successo, e quindi utilizzato, è quello esponenziale (ES). L ES è una tecnica che usa pesi diversi per ponderare le diverse osservazioni, dove i pesi delle osservazioni passate diminuiscono in modo esponenziale. Se indichiamo con Ŷ la previsione di Y, allora l ES può essere scritto come Ŷ t+1 = ay t + (1 a)ŷ t (oppure anche come Ŷ t+1 = aɛ t + Ŷ t, dove ɛ è l errore di previsione). Sostituendo a Ŷ t il valore ottenuto slittando indietro l espressione precedente è immediato vedere che il peso delle osservazioni più lontane diminuisce in modo esponenziale. Ad esempio, Ŷ t+1 = ay t + (1 a)ay t 1 + (1 a) 2 Ŷ t 1

13 Minore è il valore di a, più la serie risulterà smooth (livellata). Va sottolineato che il metodo di medie mobili è un caso speciale dello smoothing esponenziale e corrisponde al caso in cui il periodo (il numero di osservazioni utilizzate per il calcolo) della media mobile è uguale al valore intero dell espressione (2 a) a Ovviamente il problema è fissare il valore di a. Quale criterio utilizzo? Un criterio è quello di trovare il valore di a che minimizza il MSE (Mean Square Error). Una volta trovato il valore migliore di a, posso utilizzare ES per fare la previsione a T + 1. La formula che utilizzo è: Ŷ t+1 = aɛ t + Ŷ t.

14 14 Per inizializzare la procedura di smoothing si assume che Ŷ t = Y t 1. Si vedano gli esercizi Single smoothing e Autonoleggio contenuti nel file Excel CompilationEsercizi.xls. Introduciamo ora in modo esplicito la presenza di un trend nella nostra serie storica Y t (continuando invece ad escludere le componenti ciclo e stagionalità). Il grafico precedente relativo alla produzione industriale è un tipo di una serie che presenta un trend. Per il momento trascuriamo la distinzione, (pur importante), di cui abbiamo parlato la settimana scorsa tra trend deterministico e stocastico. Come cambia la previsione tramite il metodo dell ES in presenza di una serie con trend (metodo di Holt)? Nel caso dell ES semplice la previsione è in sostanza la stima più recente del livello della nostra variabile.

15 In presenza di un trend dobbiamo considerare sia il livello che la pendenza (trend) della variabile. In questo caso la previsione sarà Ŷ t+k = m t + kb t, con k = 1, 2, 3,..., dove m t (così come nel caso più semplice di ES) è una combinazione lineare di Y t e di Ŷ t, mentre b t è la pendenza (del trend) della serie. In particolare: m t = α 0 Y t + (1 α 0 )(m t 1 + b t 1 ) con 0 < α 0 < 1 e b t = α 1 (m t m t 1 ) + (1 α 1 )b t 1 con 0 < α 1 < 1. Le due espressioni precedenti possono anche essere scritte come: m t = m t 1 + b t 1 + α 0 ɛ t e b t = b t 1 + α 0 α 1 ɛ t.

16 16 In presenza di trend, quindi, sono due i parametri che devono essere scelti cercando di minimizzare, ad esempio, il MSE: α 0 e α 1. Si trova spesso nelle applicazioni empiriche che 0.02 < α 0 e α 1 < 0.2, ma questi parametri devono essere stimati sulla base di qualche criterio di minimizzazione. In presenza di un trend è necessario quindi inizializzare due componenti della serie, m e b. A questo fine spesso si utilizzano le seguenti espressioni: m 1 = Y 1 e b 1 = Y 2 Y 1. Negli esercizi Offerta di credito e Holt smoothing, contenuti nel file Excel CompilationEsercizi.xls il valore di b 1 è una media di 3 termini di 3 successivi valori di Y.

17 Vediamo il seguente esempio secondo cui i prestiti di una banca sono aumentati ad un tasso relativamente costante nel corso degli ultimi anni. Calcoliamo le previsioni per i livelli attesi di crescita per i periodi assumendo che α 0 = 0.9 e α 1 = Questi valori sono stati stimati con il criterio di minimizzazione dell MSE.

18 18 Tabella: Andamento storico e previsto del credito di una banca Periodo Storico Previsto m b

19 19 Figura: Andamento dell offerta di credito (linea tratteggiata) e previsioni (linea continua).

20 Il metodo di Holt può essere esteso per tener conto della contemporanea presenza in una serie storica della componente trend e di quella stagionale. Il metodo di Holt-Winters (questo il nome) si presenta in due versioni a seconda che la componente stagionale sia di tipo additivo o moltiplicativo. Partiamo dal caso moltiplicativo. L espressione che si utilizza in questo caso per effettuare una previsione è:ŷ t+k = (m t + kb t )s t f +k, con k = 1, 2, 3,..., e con f uguale alla frequenza delle osservazioni: f = 4 o f = 12 nel caso rispettivamente di dati trimestrali o mensili. m e b hanno lo stesso significato visto in precedenza, mentre s è la componente stagionale.

21 21 In questo caso avremo anche che: Y m t = α t 0 s t f + (1 α 0 )(m t 1 + b t 1 ). b t = α 1 (m t m t 1 ) + (1 α 1 )b t 1 Y s t = α t 2 m t + (1 α 2 )s t f con 0 < α 2 < 1. Ovviamente la scelta dei tre coefficienti α 0, α 1 e α 2 deve avvenire cercando di minimizzare sempre, ad esempio, l MSE. Vediamo ora come inizializzare le tre componenti m, b e s.

22 Nel caso della componente m useremo la stessa scelta fatta in precedenza, cioè m 1 = Y 1. Similmente nel caso della componente b. In altri termini, useremo una media di differenze della variabile Y. Specificamente, ipotizzando con nel caso dell esercizio Holt-Winters smoothing contenuto nel file Excel CompilationEsercizi.xls che la frequenza della serie sia trimestrale: 4 t=1 b 1 = [(Yt Y 4)/4] 4 Per inizializzare la componente s è necessario calcolare in primo luogo degli indici di stagionalità (vedi esercizio Holt-Winters smoothing, righe 32-42). Una volta che si dispone di questi indici di stagionalità iniziali essi verranno aggiornati utilizzando l espressione Y s t = α t 2 m t + (1 α 2 )s t f. E importante verificare che la somma dei coefficienti di stagionalità sia sempre 4 (cfr. colonne G e H). 22

23 23 La versione additiva del metodo di Holt-Winters ha la seguente espressione: Ŷ t+k = m t + kb t + s t f +k, con k = 1, 2, 3,..., e con f uguale alla frequenza delle osservazioni: f = 4 o f = 12 nel caso rispettivamente di dati trimestrali o mensili. I cambiamenti che riguardano le espressioni per m e per s (quella relativa a b non cambia) sono: m t = α 0 (Y t s t f ) + (1 α 0 )(m t 1 + b t 1 ) s t = α 2 (Y t m t ) + (1 α 2 )s t f. I valori iniziali di m, b e s vengono determinati come nel caso già descritto del modello moltiplicativo (cfr. colonne M-P del foglio Holt-Winters smoothing nel file Excel CompilationEsercizi.xls). In questo caso la somma degli indici di stagionalità deve sempre essere uguale a 0!!!

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