PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I, ANNO 2015/16

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1 PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I, ANNO 5/6 Prova scritta del //6 Si studi, al variare di x, il comportamento della serie n= n Ax n Ax, dove A denota il numero delle lettere del nome. Si studi la funzione f(x) = sin x (sin x + )(sin x + ), determinando il campo di esistenza, eventuali asintoti, massimi e minimi relativi e/o assoluti. Inoltre, si deduca l esistenza di almeno un punto di flesso. Si calcoli il seguente integrale definito: B 6 dx x(b + x), ove B denota il numero delle lettere del cognome. Soluzioni compito //6 Per x >, la serie é a termini positivi, e il termine generale é infinitesimo, di ordine Ax. Dunque, per il criterio di confronto asintotico, si ha convergenza per x >, mentre si ha divergenza a + per < x. A A Per x <, la serie risulta a termini negativi, e il termine generale é ancora infinitesimo, di ordine Ax. Dunque, per x < si ha convergenza, e per x < la serie A A diverge a. La funzione data é definita per x IR, e non ha singolarita, dunque non vi sono asintoti verticali. Poiche f é anche periodica, di periodo π, essa non presenta altri asintoti e sara sufficiente studiarla per x [, π]. Poiché il denominatore é sempre positivo, il segno di f é lo stesso di sin x, quindi positivo per x ], π[,

2 negativo in ]π, π[, e nullo in, π, π. Per determinare l andamento e i punti di massimo e minimo, calcoliamo la derivata: si ha f sin x + sin x (x) = cos x (sin x + ) (sin x + ). Essendo t + t = (t )(t + t + ), si vede facilmente che il segno della derivata é lo stesso di cos x, e inoltre la derivata si annulla (limitatamente a [, π]) nei punti x = π e x = π: dunque f ha massimo (relativo e assoluto) in x, con valore, e 9 minimo (relativo e assoluto) in x, con valore. Infine, per provare l esistenza di almeno un punto di flesso, osserviamo che f é continua e f (x ) = f (x ) = e f (π) =. Allora, nell intervallo ]x, x [, f ha un punto di minimo t (per il teorema di Weierstrass), che é quindi un punto di flesso per f, per definizione. Mediante la sostituzione x = t 6, l integrale diventa: B 6t B + t dt = 6 B = 6(B ) 6B B ( B )dt = 6(B ) 6 t + B B + ( t dt = ) B + z dz = 6(B ) 6B(π arctan B ). Prova scritta del //6 Dopo aver trovato l ordine di infinitesimo, per n, della successione n arctan(n + ) arctan(n), si studi, al variare di x IR +, il comportamento della serie n= (arctan(n + ) arctan(n)) x, e, in caso di convergenza, se ne calcoli la somma quando x =.. Si studi nel suo campo di esistenza, la funzione g(t) = t t t + t, determinando in particolare il segno, eventuali asintoti, massimi e minimi.

3 . Si studi quindi la funzione f(x) = g( x) = x x x + x, determinando il campo di esistenza, eventuali asintoti, massimi e minimi relativi e/o assoluti. Si calcoli il seguente integrale definito: π 6( sin x) (sin(x) + )(sin (x) + ) dx Soluzioni compito //6 La serie é a termini positivi, e certamente risultera divergente se il termine generale (arctan(n + ) arctan(n)) x non é infinitesimo. Ora, per x <, chiaramente il termine generale (arctan(n + ) arctan(n)) x tende a + per n che diverge, e anche per x = il termine generale (arctan(n + ) arctan(n)) = non tende a. Dunque la serie non é convergente per x. Applicando il Teorema di Lagrange nell intervallo [n, n + ], si trova: arctan(n + ) arctan(n) =, + t n ove t n é un opportuno punto compreso fra n e n +. Pertanto, si ha e quindi < arctan(n + ) arctan(n) < + (n + ) + n in virtu del teorema dei carabinieri. lim (arctan(n + ) n arctan(n))n =, Questo vuol dire che la successione n arctan(n + ) arctan(n) é infinitesima di ordine per n, e quindi, per x =, la serie converge in virtu del confronto asintotico. Per x > il termine generale (arctan(n + ) arctan(n)) x é infinitesimo, e, per quanto visto in precedenza, esso ha ordine x. Pertanto, in virtu del confronto asintotico, si ha convergenza per x > e divergenza per x <. Per x = la serie data risulta telescopica: si ha infatti arctan(n + ) arctan(n) = arctan(n + ) arctan(n + ) + arctan(n + ) arctan(n)

4 e quindi le somme parziali hano la forma seguente: S n = arctan()+(arctan() arctan())+(arctan() arctan())+...+(arctan(n+) arctan(n)) = = arctan(n + ) + arctan(n + ) arctan() = arctan(n + ) + arctan(n + ) π. Dunque, n= (arctan(n + ) arctan(n)) = π π = π.. E facile vedere che g é definita e continua per ogni t, e ammette limite nullo per t. Si ha infatti g(t) = t t t +, per t. Dunque non vi sono asintoti verticali. Si vede facilmente anche che g é positiva per t > e t <. La funzione presenta inoltre l asintoto orizzontale bilatero y =. Per quanto riguarda eventuali punti di massimo o minimo, si vede facilmente che g (t) = t +t, (per t ) e quindi si avrebbe anche (t +) g () = se la funzione venisse estesa per continuita anche in. Lo studio di tale derivata evidenzia un punto di minimo (anche assoluto), per t = 7 e un punto di massimo (anche assoluto) per t = Chiaramente, ponendo t = x, é facile dedurre, dallo studio precedente di funzione, che anche f é definita per ogni x, e si ha f(x) > se e solo se x > 8 o x <. Anche f non presenta asintoti verticali, ed ha l asintoto orizzontale bilatero y =. Utilizzando i risultati trovati per la funzione g, é immediato che f (x) = x t + t (t + ), intendendo sempre t = x / e avendo derivato la funzione composta f(x) = g(x / ). Lo studio di tale derivata porta a escludere che essa esista in (anche supponendo di estendere per continuita la f in ), in quanto lim f (x) =. x Si evidenziano infine un punto di minimo (anche assoluto), per x = ( 7 ) e un punto di massimo (anche assoluto) per x = ( + 7 ).

5 Osservando che sin x = cos (x), l integrale proposto si puo scrivere: π 6 cos (x) (sin (x) + )(sin (x) + ) dx Ora, si ha cos (x)dx = d(sin (x)), per cui, ponendo u = sin (x), troviamo allora π 6( sin x) (sin(x) + )(sin (x) + ) dx = Usuali metodi di scomposizione portano a: (u + )(u + ) du (u + )(u + ) = u + + u u + = D(ln(u + )) D(ln(u + )) + u +. Essendo u + = + ( u ) = D(arctan( u )) avremo infine (u + )(u + ) du = ln() ln + arctan.956. dove a (x) = e Prova scritta del 6/6/6 Si consideri la serie n= a n+ (x) a n (x) a n (x), = sin (x), n per n =,,... e x IR. Si studi il comportamento della serie al variare di x e se ne determini la somma, ove convergente. Si studi nel suo campo di esistenza, la funzione g(x) = x x + x determinando in particolare il segno, eventuali asintoti, massimi e minimi. Si calcoli l integrale definito: dove g é la funzione dell. g(x)dx, 5

6 Soluzioni compito 6/6/6 Essendo a (x) =, troviamo a (x) = sin x, a (x) = sin x, a (x) = sin6 x 6,... e in generale a n (x) = sinn x (n )!, per n =,,... La serie e a segni negativi, ovviamente, e quindi si puo applicare il criterio del rapporto alla serie assoluta, e ovviamente, essendo a n+ (x) a n (x) essa risulta convergente per ogni x. = sin (x), n Per quanto riguarda la somma, essa si puo ricondurre a quella di una serie esponenziale: per ogni x. n= a n (x) = n= (sin x) n (n )! (sin x) h = = e sin x, h! Ovviamente, la g é definita per x, con x. Il segno della funzione é positivo per x > e negativo per x <, (annullandosi per x = e x = ), dunque lim g(x) = +, lim g(x) = x + x e naturalmente x = é asintoto verticale. Non vi sono asintoti orizzontali né obliqui, anche se lim x + g(x) = +. Passando alla derivata, si ha h= g (x) = x(x 8x 8) x + (x ), per x >, x. I punti critici sono dunque, +, : é punto di massimo relativo, mentre gli altri due sono punti di minimo (relativi). Tramite la sostituzione x + = u, si ha x = u, dx = udu e g(x)dx = u (u ) du u Operando la divisione tra polinomi, si perviene a g(x)dx = 6 (u + u u )du.

7 Con metodi elementari, si ottiene infine g(x)dx = [ 5 u5 + u + 8u + (ln( u ) ln(u + )].687. Prova scritta del 7/6/6 Si studi al variare di x il comportamento della serie n= e n sin x cos x, e se ne determini la somma, ove convergente. Si studi nel suo campo di esistenza, la funzione g(x) = x + x + ln x + x + determinando in particolare il segno, eventuali asintoti, massimi e minimi, e tracciandone il grafico. Si determini, per n intero non-negativo, l integrale indefinito cos x cos(nx)dx, e si dica per quali valori di n l integrale definito risulta nullo. π π cos x cos(nx)dx Soluzioni compito 7/6/6 La serie assegnata é una serie geometrica, essendo e n( sin x cos x ) = (e sin x cos x ) n. Tale serie é ovviamente convergente se e solo se la ragione e sin x cos x é in modulo minore di. Poiché la ragione é sempre positiva, basta imporre e sin x cos x <, ossia sin x cos x <. Tale condizione equivale a sin x < cos x, ossia cos(x) >. Quindi la serie data converge se e solo se x k Z ] π + kπ, π + kπ[. In tale insieme la somma della serie é ovviamente S(x) = e sin x cos x 7

8 La funzione x x + x + é definita per x >. Tuttavia, dovendo anche risultare x + x + >, cio é possibile se e solo se x >. Dunque il campo di esistenza di g é la semiretta ], + [. Risulta poi g(x) se e solo se x +, x + 5 ossia (nel campo di esistenza) per x. Si ha poi lim x + g(x) =, dunque non vi sono asintoti verticali. Essendo poi g(x) lim g(x) = +, e lim x + x + x =, si deduce che non esistono asintoti orizzontali né obliqui. Il calcolo della derivata fornisce g (x) = ( x + (x + ) ln x + ) +. x + x + Nel campo di esistenza la derivata risulta positiva se e solo se ln x + x + >, ossia x + >. Elevando a quadrato (tutte le quantita sono positive per x > ), si x + e perviene a e (x + x + ) > x +, da cui e x + (e )x + e >. Le radici sono x = e e +, x e = e + e +, e e solo x é maggiore di -. Se ne deduce che la g decresce per x ], x [, cresce per x > x, e quindi x é punto di minimo. Osserviamo intanto che cos x = + cos(x). Inoltre, per le formule di prostaferesi di Trigonometria, risulta cos(x) cos(nx) = e quindi cos x cos(nx)dx = cos((n + )x) + cos((n )x), cos(nx)dx + cos((n + )x) + cos((n )x)dx = = sin(nx) + sin(nx + x) + sin(nx x) + C, n n + n 8

9 almeno per n e n. Per tali valori di n, é poi evidente che l integrale definito in [ π, π] é nullo. Per n =, si ha facilmente cos x + sin x cos x xdx = + C e in tal caso l integrale definito vale π. Per n =, si ha invece cos x cos(x)dx = sin(x) + x 6 + sin(x) + C e in tal caso l integrale definito vale π. Dunque l integrale definito é non nullo se e solo se n = oppure n =. Prova scritta dell /7/6 Si studi al variare di x il comportamento della serie n= x n + (n )!, n! e se ne determini la somma, ove convergente. Si studi nel suo campo di esistenza, la funzione g(x) = x + x + x + determinando in particolare il segno, eventuali asintoti, massimi e minimi, e tracciandone il grafico. Si determini l integrale indefinito della funzione g dell esercizio precedente. Soluzioni compito /7/6 La serie data é somma di due serie, xn n! +, entrambe convergenti. La prima é una serie esponenziale, ed ha come somma e x x. La n(n ) seconda é una serie telescopica, essendo n(n ) = n n, 9

10 per n. In forma estesa, si ha n= e si trova subito che la somma é. n(n ) = ( ) + ( ) + ( )... Dunque, la somma complessiva della serie assegnata é e x x, per ogni x IR. Chiaramente, il campo di esistenza di g é la semiretta ], + [. Poiché il numeratore é sempre positivo, e cosi i due fattori a denominatore, la g é sempre strettamente positiva. Si ha poi, chiaramente, lim x g(x) = +, quindi la retta x = é asintoto verticale. Inoltre g presenta un infinito di ordine a +, quindi non vi sono asintoti orizzontali, ma puo esistere un asintoto obliquo. Risulta g(x) lim x + x =, e lim (g(x) x ) = x + dunque la retta y = x é asintoto obliquo. Per svolgere il calcolo della derivata, conviene esprimere g nel modo seguente: ottenendo g(x) = x + x + x +, g (x) = x + 6x x. (x + x + ) Essendo x + 6x x = (x )(x + ), l unica radice accettabile e x =, ove si trova un minimo (relativo e assoluto). Conviene scrivere g(x) = x +, x + x + e porre x + = t, cosi che (x + )(x + ) = t 9. Dunque g(x)dx = + t + t 9 t + dt = 9 t t 9t dt. 9

11 Ora, mediante la sostituzione t = cosh(u), dt = sinh(u)du, e osservando che cosh (u) = sinh (u), si ottiene Facilmente ora si ricava g(x)dx = g(x)dx = ( 9 cosh (u) 9 u + sinh(u) cosh(u) 8 9 cosh(u) + 9 )du. sinh(u) + 9 u + C = arccosh(t) + t 9t 9t arccosh(t) + C = 9t arccosh(x + ) + (t 8) + C = 8 = ln(x + + 9x + x + 9x + x + ) + (x ) + C. 6 Prova scritta del 5/9/6 Si studi, al variare di x IR, la serie dove a (x) =, e a n+ (x) a n (x) n= a n (x), = n + x per ogni n > e ogni x. n In caso di convergenza, si calcoli poi la somma. Si studi nel suo campo di esistenza, la funzione g(x) = ln(x/ + /) ln(x + x + /) determinando in particolare il segno, eventuali asintoti, massimi e minimi. Si calcoli l integrale indefinito: x + g(x)dx, dove g é la funzione dell. Soluzioni compito 5/9/6

12 Dai dati assegnati, si deduce che a (x) =, a (x) = x, a (x) = x,... e in generale a n (x) = nx n, per n =,,... Facilmente si vede, per esempio con il criterio del rapporto, che tale serie converge se e solo se x <. Inoltre, per tali valori di x, la somma si puo calcolare tenendo conto che nx n é la derivata di x n, per cui la somma cercata non é altro che la derivata della somma della serie geometrica + n= xn = x. Dunque, la somma richiesta é S(x) = ( x). Per quanto riguarda il campo di esistenza, bisogna imporre x + >, ossia x >, e x + x + > e anche x + x +, il che porta a escludere anche il valore x =. Pertanto, il campo di esistenza di g é ], [ ], + [. In tale insieme, si ha x + x + = (x + ) = ( x + ), e quindi g(x) = ln(x/ + /) ln() + ln(x/ + /). Con un semplice calcolo, si vede che g(x) é negativa se e solo se < x <. Svolgendo i limiti, si ha poi: lim x ( )+ lim g(x) = = lim g(x), x + x g(x) =, lim x ( ) g(x) = +. Dunque, si ha un asintoto verticale per x = e uno orizzontale (y = ) a +. Il calcolo della derivata fornisce poi g (x) = ln (x/ + /)(ln + ln(x/ + /)), da cui si vede facilmente che la g é sempre crescente in entrambi gli intervalli ], [ e ], + [, quindi non ammette minimi o massimi relativi, a meno che non si definisca per continuita g( ) =, nel qual caso ivi si avrebbe minimo relativo.

13 Tenendo conto che x + x + / = (x + /) = (x + ), si puo scrivere g(x) = ln(x + ) ln ln(x + ) ln (x + ) e che x/ + / = nel suo insieme di definizione. Allora, posto z = ln(x + ), con dz = l integrale diviene x + g(x)dx = z ln z ln dz = ( ln z ln )dz x + dx, Facilmente ora si ottiene ( ln )dz = z ln ln(z ln ) + C z ln e quindi, in conclusione x + g(x)dx = (ln(x + ) ln ln(ln(x + /)) + C