Complementi di Matematica A.A Laboratorio 10

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1 Complementi di Matematica A.A Laboratorio 10 Equazioni non lineari (fzero) Sia f : R R una funzione che ammette una radice α, ovvero t.c. f(α) = 0. Possiamo utilizzare la funzione predefinita di Matlab fzero per calcolare un approssimazione di α. Sintassi: alfa = fzero(f,[a,b],toll) input: output: f è indifferentemente la funzione definita con inline oppure la stringa che la descrive [a, b] sono gli estremi di un intervallo contenente la radice cercata che soddisfino f(a) f(b) < 0 toll precisione richiesta (opzionale, se omesso toll = 1e-6) alfa approssimazione della radice calcolata Osservazione: È possibile utilizzare fzero dando in input, al posto dell intervallo [a, b], un solo valore x0, a partire dal quale l algoritmo cercherà la radice di f: alfa = fzero(f, x0, toll)

2 Att.ne! Se x0 non viene scelto in maniera opportuna, l algoritmo potrebbe non convergere o, in caso di più radici, potrebbe convergere ad una radice diversa da quella cercata; questo rischio non si corre utlizzando la modalità precedente ed avendo l accortezza di scegliere come [a, b] un intervallo che contenga solo la radice voluta. In caso si volessero trovare più radici della stessa funzione è necessario ripetere la procedura per ogni singola radice. Onde localizzare ogni radice e scegliere un intervallo [a, b] che la contenga è utile tracciare preliminarmente un grafico della funzione f. Limitazioni La funzione fzero definisce uno zero come un punto in cui la funzione assegnata attraversa l asse x. Punti in cui la funzione tocca ma non attaversa l asse x non sono considerati zeri validi. Ad esempio la parabola f(x) = x 2 ha una radice doppia in 0 e quindi tocca ma non attraversa l asse x pertanto fzero non è in grado di determinare tale radice di f. >> f=inline( x.^2, x ); >> x=fzero(f,[-1,1])??? Error using ==> fzero at 293 The function values at the interval endpoints must differ in sign. 2

3 >> x=fzero(f,0.005) Exiting fzero: aborting search for an interval containing a sign change because NaN or Inf function value encountered during search. (Function value at e+154 is Inf.) Check function or try again with a different starting value. x = NaN La funzione fzero(f,x0) cerca di individuare punti in un intorno di x 0 in cui la f cambia segno, se la funzione assegnata è continua un tale punto corrisponde ad una radice di f altrimenti fzero può ritornare un punto di discontinuità anziché uno zero di f. Ad esempio >> f=inline( tan(x), x ); >> alfa=fzero(f,1) alfa = Esercizio 1. Eseguire il grafico delle seguenti funzioni negli intervalli specificati ed in seguito, con la funzione fzero, trovarne le radici: a. f(x) = e x sin(x) x [ 1, 5] b. f(x) = (x 3 3x + 2)e x, x [ 3, 1.5] 3

4 Function-files matlab Le funzioni matlab sono porzioni di codici scritte in un file indipendente che svolgono un determinato compito e comunicano con lo spazio di lavoro solo attraverso i parametri in ingresso ed in uscita. L intestazione di una function Matlab ha sempre la struttura: function }{{} parola chiave [out1, out2,...] }{{} parametri in uscita = nomefun }{{} (in1, in2,...) }{{} nome funzione parametri in ingresso L intestazione è seguita dalle istruzioni e la function terminerà con la parola chiave return. Prima di essa, deve essere stato assegnato un valore a ciascuno dei parametri in uscita out1,out2,... La funzione nomefun deve essere salvata nel file nomefun.m. Att.ne! Un file può contenere un unica funzione. Le variabili assegnate nel blocco istruzioni interno alla function sono locali, ovvero vengono cancellate dalla memoria al termine della chiamata. Per chiamare una function, ad esempio dallo spazio di lavoro: >> [value1,value2,value3]=nomefun(in1,in2,in3); Una funzione può richiamare o essere richiamata da altre. 4

5 Teorema degli zeri Sia f : R R, f C 0 ([a, b]), f(a)f(b) < 0, allora esiste α [a, b] tale che f(α) = 0. Metodo di Bisezione Sia [a, b] un intervallo in cui siano soddisfatte le ipotesi del teorema degli zeri inizializzazione: k = 1, a (1) = a, b (1) = b, calcolo x (1) = (a (1) + b (1) )/2 pongo err (1) = (b (1) a (1) )/2, finchè err (k) > toll itero le operazioni seguenti: se f(x (k) ) = 0, stop se f(a (k) ) f(x (k) ) < 0 a (k+1) = a (k), b (k+1) = x (k) se f(a (k) ) f(x (k) ) > 0 a (k+1) = x (k), b (k+1) = b (k) calcolo x (k+1) = (a (k) + b (k) )/2, pongo err (k+1) = err (k) /2 aggiorno k = k + 1 dove toll è la precisione voluta. Il metodo converge sempre, non è quindi necessario fissare un numero massimo di iterazioni consentite. 5

6 Costruire una MATLAB FUNCTION che implementi il metodo sopra descritto con la seguente sintassi. [x, nit] = bisezione(f, a, b, toll) input: output: f funzione definita con inline a, b con a < b: estremi di un intervallo contenente la radice cercata che soddisfino f(a)f(b) < 0 toll precisione richiesta x approssimazione della radice calcolata nit numero iterazioni effettuate Un esempio di possibile implementazione si trova nel file bisezione.m scaricabile dalla pagina web del corso 6

7 Esercizio 2. Si consideri il problema della ricerca degli zeri α 1 e α 2 (con α 1 < α 2 ) della funzione non lineare f(x) = e x x 2 sin(x) 1, 2 x Tracciare un grafico della funzione nell intervallo considerato. Localizzare graficamente gli zeri di f(x) = 0 con l aiuto dello zoom ed eventualmente del comando axis. 2. Il metodo di bisezione è applicabile per calcolare tutti gli zeri? 3. Applicare il metodo, quando possibile, utilizzando il programma bisezione con tolleranza eps=1e-8 e considerando un opportuno intervallo di partenza. Esercizio 3. Eseguire il grafico delle seguenti funzioni negli intervalli specificati ed in seguito trovarne le radici con il metodo di bisezione: a. f(x) = e x sin(x), x [ 1, 5] b. f(x) = (x 3 3x + 2)e x, x [ 3, 1.5] 7

8 Metodo di Newton Costruire una MATLAB FUNCTION che, dati dall utente: una funzione f una funzione f1 (derivata di f) un punto iniziale x 0 una tolleranza TOL un numero massimo di iterazioni NMAX, trovi uno zero della funzione f(x) usando il metodo di Newton x k+1 = x k f(x k) f (x k ) k = 0, 1, 2, 3,... Il programma deve fermarsi qualora almeno una delle seguenti condizioni sia soddisfatta il modulo della differenza tra il valore x k calcolato nel passo corrente e il valore x k 1 calcolato nel passo precedente è inferiore a TOL il numero totale di iterazioni effettuate è maggiore o uguale a NMAX. Esercizio 4. Si applichi il metodo di Newton alla funzione f(x) = x 2 7 con x 0 = 10, TOL= e NMAX=200. Esercizio 5. Si applichi il metodo di Newton alla funzione f(x) = sin (x 2 ) 8

9 con x 0 = 1/2, TOL=10 12, NMAX=200. Esercizio 6. Eseguire il grafico delle seguenti funzioni negli intervalli specificati ed in seguito trovarne le radici con il metodo di Newton: a. f(x) = sin(e x ), x [0, 2.5] b. f(x) = e x sin(x), x [ 1, 5] c. f(x) = (x 3 3x + 2)e x, x [ 3, 1.5] Esercizio 7. Combinazione di bisezione e Newton Applicare sia il metodo di bisezione (con la scelta di intervallo [ 15, 20]) che il metodo di Newton (con punto iniziale 20), entrambi con T OL = 10 12, alla seguente funzione f(x) = arctg(x). (1) Commentare i risultati. Sono soddisfacenti in entrambi i casi? Si scriva un programma che usi in successione il metodo di bisezione (toll = 0.001) e quello di Newton (toll = 1e-12) passando a Newton come valore di innesco il valore ottenuto con le bisezioni, e lo si applichi alla funzione f(x) = arctg(x) sull intervallo [ 15, 20]. 9

10 Esercizio 8. Si consideri la funzione f(x) = x 1 sin(x) Si approssimi la radice α di f nell intervallo [0, 5] utilizzando la function di Matlab fzero con tolleranza 1e Si approssimi la radice α di f nell intervallo [0, 5] utilizzando il metodo di Bisezione con tolleranza 1e Si approssimi la radice α di f nell intervallo [0, 5] utilizzando il metodo di Newton con tolleranza 1e-8 e numero massimo di iterazioni

11 Esercizio 9. Si consideri la funzione f(x) = 2x 2 1 cos(x 2 ) Si approssimi la radice α di f nell intervallo [0, 5] utilizzando la function di Matlab fzero con tolleranza 1e Si approssimi la radice α di f nell intervallo [0, 5] utilizzando il metodo di Bisezione con tolleranza 1e Si approssimi la radice α di f nell intervallo [0, 5] utilizzando il metodo di Newton con tolleranza 1e-6 e numero massimo di iterazioni

12 Metodo di punto fisso Costruire una MATLAB FUNCTION che, dati dall utente: una funzione g una funzione g1 (derivata di g) un punto iniziale x 0 una tolleranza TOL un numero massimo di iterazioni NMAX, trovi un punto fisso della funzione g(x) tramite il ciclo iterativo visto a lezione x k+1 = g(x k ) k = 0, 1, 2, 3,... Il programma deve fermarsi qualora almeno una delle due seguenti condizioni sia soddisfatta La stima dell errore è soddisfacente, cioè accade che g (x k ) < 1 e inoltre x k+1 x k 1 g (x k ) < T OL (2) il numero totale di iterazioni effettuate è maggiore o uguale a NMAX. Si applichi il metodo alle funzioni g 1 (x) = log (x) + 2 e g 2 (x) = e x 2, per i punti iniziali x 0 =..., TOL= 10 12, NMAX=200. In quali casi converge? 12

13 Si applichi poi il metodo alle funzioni g 1 (x) = (1 p)x + 1 e g 2 (x) = x(2 px) p (0, 1), le quali hanno lo stesso punto fisso 1/p. La prima funzione ha un bacino di convergenza più grande (tutta la retta reale), ma la convergenza è solo lineare; la seconda funzione ha viceversa un bacino di convergenza più piccolo (l intervallo (0, 2/p)), ma la convergenza è quadratica. Per testare questo, applicare il programma ad entrambe le funzioni con entrambi i punti iniziali x 0 = 4/p e x 0 = 1/2p (TOL=10 12, NMAX=200). Confrontare i risultati. Converge? Quante iterazioni sono state necessarie? 13