Geometria BAER A.A. Canale I Foglio esercizi 4

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1 Geometria BAER A.A. Canale I Foglio esercizi 4 Esercizio. Si trovino basi degli spazi delle soluzioni dei seguenti sistemi lineari Soluzione: Sol(S ) = L[ x + 3x x 3 + 5x 4 = S : x + 3x x 3 + x 4 = S x + 8x x 3 + 9x 4 = 3x + 5x x 3 + 7x 4 = 3, Esercizio. Si considerino i vettori,,. 3 3, ]; Sol(S ) = L[ 3, ] (a) Si verifichi che i tre vettori formano una base di R 3 (b) Si trovino le coordinate del vettore rispetto a quesa base. Soluzione: a) Il determinante della matrice con colonne i tre vettori è 4. b) (/, /, /). Esercizio 3. Dati i vettori di R 3 (a) Si verifichi che formano una base di R 3 e si trovino le coordinate del vettore e rispetto a questa base (b) Si trovino le coordinate del vettore generico di R 3, v = (a, b, c) t rispetto a questa base Soluzione: Il determinante della matrice A con colonne i tre vettori è 4. Risolvendo il sistema Ax = (a, b, c) t che è sempre Crameriano troviamo x = 3a b+c 4, y = b a+c, z = 3c b+a 4 Esercizio 4. Dati i vettori u = (a) Si scrivano equazioni cartesiane per L[u, v], v =

2 Soluzione: aggiungendo una colonna di incognite, e calcolando i determinanti degli orlati del minore costituito dalle prime due righe dei due vettori otteniamo x + x + x 3 = x x 4 = (b) Si completino i due vettori ad una base di tutto R 4 Soluzione: si possono aggiungere, ad esempio, i vettori e, e, oppure i vettori e 3, e 4 Esercizio 5. Sia {e, e, e 3 } la base canonica di R 3, si trovi una base e la dimensione dei seguenti sottospazi.. V = L[e + e 3, e 3, e + e 3 ] V = [e, e e, e + e 3 ] V 3 = L[e, e, e e 3, e + e e 3 ] Soluzione: Rispettivamente delle basi sono {e + e 3, e 3 }, {e, e, e 3 }, {e e 3, e }. Esercizio 6. Il vettore u di R ha coordinate (5, 4) t rispetto alla base B = {(, ) t (, 3) t }. (a) quali sono le coordinate di u rispetto alla base canonica? ( ( ( Soluzione: u = 5 4 =. Quindi le coordinate rispetto alla base canonica sono (, ) ) 3) ) t (b) quali sono le coordinate rispetto alla base B = {(, ) t, (5, 6) t }? Soluzione: Sono l unica soluzione del sistema ( ( ) ( 5 x = 6) y ) ovvero (, 4) t. Esercizio 7. Si consideri lo spazio vettoriale dei polinomi di grado strettamente minore di 4, R 4 [x]. Si dimostri che il sottoinsieme U = {p(x) R 4 [x] p() = } è un sottospazio, e se ne determini una base. Soluzione: Se p() = q() =, k R, allora (p + kq)() = p() + kq() = quindi U è chiuso rispetto a somma e prodotto per uno scalare. I polinomi x, ( x), ( x) 3 sono linearmente indipendenti. Allora U ha dimensione almeno tre, ma al massimo quattro; però se la dimensione fosse 4 avremmo U = R 4 [x], ma il polinomio costante non appartiene a U. Esercizio 8. ({ ) 5 x + x + x 3 + x 4 = Siano E = Sol, F = L[ x x 3 x 4 =, 5 6 ]. 4 (a) Si trovino basi di E ed F (b) È vero che F E? (c) Si estenda la base di E ad una base di tutto R 4.

3 3 3 Soluzione: a) Una base di E è {,, i deu generatori dati per F sono linearmente indipendenti dunque formano una base. b) No. Il secondo generatore soddisfa il sistema, ma il primo no. c) Dalla parte precedente sappiamo che / E Dunque i due vettori della base di E e questo vettore sono linearmente indipendenti. Formando la matrice con questi tre vettori e il quarto vettore della base canonica e 4 come colonne, si vede che il determinante è diverso da zero quindi questi vettori formano la base cercata. Esercizio 9. Sia U = L[(,,, ) t, (,,.) t, (,,, ) t ]. Si trovino equazioni cartesiane di U. Soluzione: Una base di U è data dal primo e dal terzo vettore. Affiancando una colonna di incognite e facendo gli orlati del minore composto dalle prime due righe e dalle prime due colonne troviamo un sistema formato dalle equazioni x x 3 =, x x 4 = Esercizio. SI mostri che le matrici ( ) A = A = ( ) 3 A 3 = ( ) ( ) formano una base dello spazio Mat() e si trovino le coordinate della matrice ( ) B =. Soluzione: Abbiamo che ( ) x + x x A + x A + x 3 A 3 + x 4 A 4 = 3 x 4 x + 3x x 3 + x 4 = X x x x 4 x x 4 e uguagliando la matrice X ad una matrice qualsiasi otteniamo un sistema lineare di quattro equazioni in quattro incognite crameriano, quindi con un unica soluzione. Dunque ogni matrice si scrive in modo unico come combinazione delle A i che quindi formano una base. Risolvendo X = B troviamo le coordinate (3,, 4, 3) Esercizio. Si considerino i vettori (colonna) di R 5 u = (,,,, ) t, v = (,,,, ) t, w = (,,,, ) t. Si trovino equazioni cartesiane per L[u, v, w] considerando gli orlati del minore della matrice mat(u, v, w, x) dato dalle prime tre righe e prime tre colonne, poi si trovino altre equazioni cartesiane considerando gli orlati del minore dato dalle ultime tre righe e prime tre colonne e si mostri che i due sistemi sono wquivalenti per righe. Soluzione: 3x + 6x 3 + 3x 4 = x x + x 3 + 3x 5 = e x + x4 + x 3 = x x 3 x 4 + 3x 5 Esercizio. Una matrice quadrata A si dice simmetrica se A = A t, antisimmetrica se A = A t. Si consideri l insieme S delle matrici simmetriche e T delle matrici antisimmetriche.

4 (a) Si dimostri che S e T sono sottospazi vettoriali di Mat( ). (b) Si trovi una base B di S ed una base B di T (c) È vero che B B è una base di Mat( )? (questo esercizio è stato svolto in classe per matrici quadrate di qualsiasi ordine) Soluzione: a) Si deve avere a = ±a a seconda che si abbiano matrici simmetriche o antisimmetriche. Quindi S e T sono lo spazio delle soluzioni di un equazione omogenea nei coefficienti delle matrici, o nelle coordinate rispetto alla base canonica. Lo spazio delle soluzioni dunque è uno spazio vettoriale. Alternativamente è facile verificare che l insieme delle matrici che soddisfano a = ±a contiene la matrice nulla ed è chiuso rispetto a somma e prodotto per uno scalare. ( ) ( ) ( ) ( ) b) {,, } e { }. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c) Si perchè ogni per matrice = a + d + c d (b + c) + (b c) e poichè Mat( ) ha dimensione 4 quattro generatori sono linearmente indipendenti. Esercizio 3. Sia A Mat(n n) una matrice quadrata qualsiasi. a) Mostrare che A + A t é una matrice simmetrica e che A A t é una matrice antisimmetrica. b) Usare la parte a) per mostrare che ogni matrice quadrata si scrive come somma di una matrice simmetrica ed una antisimmetrica. Soluzione: a) Abbiamo che (A + A t ) t = A t + (A t ) t = A t + A = A + A t quindi A + A t è simmetrica. (Alternativamente, l entrata ij di (A + A t ), denotata (A + A t ) ij, è a ij + a ji, e (A + A t ) ji = a ji + a j ). Analogamente (A A t ) t = A t A = (A A t ). b) Per ogni matrice quadrata A, possiamo scrivere A = (A + At ) + (A At ). Esercizio 4. Dati i vettori u =, u =, b = si consideri l equazione x u + x u + x 3 v = b dove v = (x, y, z) t è un vettore di incognite. Si trovino, se possibile (a) I vettori v tale che l equazione ammette un unica soluzione (b) I vettori v tale che l equazione non ammetta soluzione (c) I vettori v tale che l equazione ammette infinite soluzioni. Soluzione: Il rango della matrice Mat(u, u, b) è tre, quindi b / L[u, u ]. D altra parte u, u sono linearmente indipendenti, dunque aggiungendo un qualsiasi vettore v che estenda a una base di tutto R 3 rende l equazione compatibile con soluzione unica. Dunque per tutti i v / L[u, u ] la soluzione è unica. Al contrario se v L[u, u ], abbiamo che L[u, u ] = L[u, u, v] e dunque la soluzione non esiste Esercizio 5. Si mostri che data una matrice M con vettori riga {v,..., v m }, se M è ottenuta da M tramite un operazione di riga e w,..., w m sono le sue righe allora L[v,..., v m ] = L[w...., w m ]

5 Soluzione: Se l operazione è scambiare due righe, non c è nulla da mostrare. Supponiamo che sia w = kv, k ossia che l operazione di riga sia la moltiplicazione per uno scalare non nullo (supporre che sia la prima riga a meno di scambi di riga non lede la generalità). Allora si ha che v i = w i per ogni i e u = a v a m v m u = a k w a m w m Analogamente u = b w b m w m u = kb v b m v m. Infine se w = v + kv (ancora supporre che le righe coinvolte siano le prime due non lede la generalità) abbiamo ancora v i = w i per ogni i e e u = a v + a... + a m v m a w + (a ka )w... + a m w m u = b w b m w m u = b v + (b + kb )v... + b m v m. Quindi ogni vettore che si scrive come combinazione lineare delle righe di M si scrive anche come combinazione lineare della righe di M. Esercizio 6. Siano E, F V sottospazi di uno spazio vettoriale V. (a) Si dimostri che E F è un sottospazio di V. (b) Si dimostri con un controesempio che E F non è un sottospazio. Soluzione: a) Se u, v sono nell intersezione, appartengono sia ae che ad F, e qualsiasi combinazione lineare au + bv deve appartenere sia ad E che F visto che entrambi sono sottospazi. Stesso discorso per. b) Ad esempio, se u, v sono linearmente indipendenti L[u] L[v] non è sottospazio visto che non contiene u + v. (Si pensi all unione dei due assi cartesiani in R ).