Homework 4 Corso di Fondamenti di Comunicazioni

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1 Homework 4 orso di Fondamenti di omunicazioni nno ccademico 2003/2004 xx/yy/2003 Principi della Modulazione nalogica Esercizio (27*) Il segnale, modulato DSB, viene moltiplicato per una portante locale " porgendo il segnale # $ Tale segnale viene filtrato mediante un LPF con banda uguale alla banda del messaggio $ ottenendo il segnale $ Indicate con ' la potenza del segnale all uscita del filtro passabasso e con '( la potenza del segnale modulato, si tracci l andamento di ) ( in funzione di, per *,+ + Soluzione Sia M- la potenza del segnale llora, il segnale modulato $/$0 avrà potenza M( M- 2 In ricezione, il segnale mixato # $ è dato da # /$ 0 8 :9 $<88>= Il filtro passa basso taglia le componenti del segnale a frequenza superiore a, dove è la banda del segnale Pertanto, all uscita del LPF si avrà $@ $ llora la potenza del segnale è M M- Quindi, M M( D B

2 Una rappresentazione grafica di M M per * + + è data nella prossima figura Esercizio 2 (2) La trasformata di Fourier del segnale $ è rappresentata in Figura a]fig:exemodanp- 52 Tale segnale viene elaborato tramite il sistema di Figura b]fig:exemodanp- 52 allo scopo di generare il segnale $ Tracciare 6, trasformata di Fourier di $ 2 Dimostrare che, se il segnale trasmesso è $, il ricevitore può essere realizzato come una replica del sistema di Figura b]fig:exemodanp-52 per riottenere il segnale $ Soluzione 2 ) Il segnale $ /$ all uscita del primo mixer avrà spettro <6 9 >= Dopo il filtro passa alto, con banda ideale = 9 segnale con spettro pari a 6 9 Pertanto, se spettro si può ottenere dallo spettro >=, si otterà un ), la cascata mixer-hpf produce un segnale reale, il cui 06 del segnale originario, scalato di un fattore 2, traslando di la parte a frequenze positive e, simmetricamente, di la parte a frequenze negative 2

3 Moltiplicando l uscita del filtro HPF per > si ottiene il segnale con spettro 63 "9 7 >= "9 0 B 0, >= 8 7 0, 7 0, 0, 0 < < B Il filtro LPF taglia le componenti a frequenza doppia, lasciando lo spettro 06 9 La prossima figura mostra 6 per 0 0, >= 06 come da problema 2) ome si può osservare dallo spettro di 06, il sistema sposta le componenti dello spettro del segnale originario a frequenza positiva, sull asse di frequenze negative e viceversa Se trasmettiamo il segnale attraverso il sistema, quindi, avremo una versione scalata dello spettro originario 6 Esercizio 3 (2245) Un segnale FM è dato da $ ** *<* # # dove è mostrato in Figura Disegnare la frequenza istantanea come una funzione del tempo 2 Determinare la massima deviazione della frequenza 3

4 * Soluzione 3 ) La frequenza istantanea è data da dove B, ( $ / "$ *<* Una rappresentazione di è data nella prossima figura $ B 2) La deviazione di frequenza massima è ( *<* " * Esercizio 4 (2270 *) Si vogliono trasmettere 60 segnali vocali # $$, * con una modulazione SSB (upper sideband) ed una multiplazione a divisione di frequenza (FDM) Tutti i 60 segnali hanno la medesima tf di Fourier il cui modulo è rappresentato in Figura Si osservi che il segnale vocale è limitato in banda a 3 khz Se ogni segnale venisse traslato in frequenza singolarmente, si richiederebbe un sintetizzatore di frequenze che produca 60 frequenze portanti per realizzare la multiplazione a divisione di frequenza D altro canto, se si suddividono i canali in ' gruppi di sottocanali ciascuno, in modo che ' D( *, si può ridurre il numero di frequenze del sintetizzatore a ' Illustrare la tf di Fourier dei segnali SSB in un gruppo di sottocanali 2 Determinare ' e tali che ' D * e ' sia minima 3 Determinare le frequenze delle portanti se i 60 segnali FDM occupano una banda di frequenze di khz, ed ogni gruppo di segnali occupa la banda di frequenze da 0 khz a * 8) khz Soluzione 4 ) L idea è quella di suddividere i * segnali in ' gruppi Ogni gruppo è composto da segnali distinti che vengono dapprima distribuiti su sottocanali adiacenti in frequenza (con sintetizzatori) llora, indicando con la banda minima di ogni sottocanale associato a un segnale SSB e con, la minima frequenza del sintetizzatore, il segnale risultante occuperà la banda di frequenze 4

5 Un esempio dello spettro del segnale risultante con K=3, * khz e khz è mostrato nella figura seguente (lo spettro è rappresentato solo per frequenze positive) * i valori possibili che possono essere assunti dalla coppia ' * * * * $, * (oppure per ' *, D( ) 2) on ' (oppure ' ) sono di ' è ottenuto per ' 3) ssumendo ' Il valore minimo e * sono necessarie * portanti dispongono i segnali di ogni gruppo su frequenze portanti Le sottocanali adiacenti Poichè, per ipotesi, si assume che ad ogni segnale sia riservata una banda khz, il segnale risultante occuperà la banda di frequenze che va da * khz a * khz Pertanto, facendo riferimento a quanto detto al punto ), si ha * khz e khz Quindi, * / * La banda occupata da ogni gruppo di segnali è di * khz Ognuno dei gruppi di segnali viene dunque moltiplicato per una delle ' frequenze portanti l fine di evitare sovrapposizioni, le portanti devono essere distanziate di almeno * khz Quindi, ad esempio, si può avere * * * * * * Esercizio 5 (230) Un segnale DSB-S $ con densità spettrale di potenza mostrata in Figura a]fig:exemodanfig2 è corrotto da rumore addittivo avente PSD ) nella banda passante del segnale Il segnale ricevuto è demodulato e filtrato con un passa basso $ riportato in Figura b]fig:exemodanfig2 Determinare l SNR all uscita del filtro LPF 5

6 Soluzione 5 Per una modulazione di tipo DSB il rapporto segnale rumore risulta dato da: M- dove è il coefficiente moltiplicativo introdotto dal solo canale, M- è la potenza del segnale utile in trasmissione avente banda, mentre ) è la densità spettrale di potenza del rumore all ingresso del demodulatore Nel caso in esame, il canale non introduce attenuazione, pertanto Per calcolare la potenza M- del segnale utile in trasmissione, possiamo sfruttare la relazione che lega il segnale in trasmissione $ e il segnale modulato /0 Passando allo potenze, si ha M( M- ) La potenza di si può derivare dalla sua densità spettrale, risultando: Quindi M- ) M( Esercizio 6 (232) ( 6 > che, sostituita in () porge M-, Un canale di comunicazione è caratterizzato da un attenuazione di 90 db e da un rumore bianco addittivo con PSD ) * * V /Hz Il messaggio ha un ampiezza uniformemente distribuita sull intervallo 9 ed una banda di 5 MHz Se si vuole un SNR dopo la demodulazione di 30 db, trovare in ciascuno dei seguenti casi la potenza necessaria al trasmettitore Modulazione SSB 2 M convenzionale con indice di modulazione * 3 Modulazione DSB-S () Soluzione 6 Ricordiamo, innanzitutto, che una modulazione M convenzionale si ottiene moltiplicando il segnale modulante $ sommato a una opportuna costante per la portante $ Il segnale modulato risultante è $ 2 m $, dove m / ), $, $ ) L indice di modulazione m deve essere inferiore a uno per garantire l assenza di distorsione di inviluppo Quindi, tale modulazione corrisponde a Eq (205) pag 4 di Principi di Mod nalog 2 Eq (22) pag Principi di Mod nalog 6

7 4 4 una modulazione, ovvero con trasmissione della portante Poiché l ampiezza del segnale modulante assume valori uniformi in, il fattore di forma risulta pari a M- # - # # Il fattore di efficienza della modulazione vale 3 - ) ( m m # * * # I rapporti SNR comunemente utilizzati per le modulazioni M sono: 4 : SNR concenzionale all uscita del canale, dato dal rapporto tra la potenza del segnale trasmesso M( e la potenza del rumore su una banda convenzionale pari alla banda del segnale modulante $, ovvero M( (2) a dove ) è l ampiezza della PSD del rumore all ingresso del demodulatore, la banda del segnale modulante e il fattore di attenuazione di potenza introdotto dal canale Nel caso in esame si ha ) * * ) Hz,, mentre a db * da cui a * : SNR a valle del ricevitore (misura le prestazioni), dato dal rapporto tra la potenza del segnale desiderato e la potenza del rumore all uscita del demodulatore, ovvero, in assenza di distorsione, M dove M- è la potenza del segnale utile in trasmissione, è il fattore di amplificazione di potenza equivalente per modulatore, canale e demodulatore, mentre M è la potenza del rumore all uscita del demodulatore Per cui, dalla (), la potenza del segnale trasmesso M( necessaria per avere un SNR di 30 db all uscita del demodulatore sarà pari a: M( a * < * * * M- (3) dove si ricava da in base alle relazione precedenti Dalla teoria sappiamo che la relazione che lega i due valori di SNR dipende dal tipo di modulazione considerata In particolare si ha quanto segue 5 3 Eq (25) pag di Principi di Mod nalog 4 Vedi pg 40 e 4 di Principi di Mod nalog 5 Si considerano le formule per demodulazione coerente: eq (28) e (220) e (206) a pag4 43 di Principi di Mod nalog 7

8 : M( M- 2 DSB-T: M( M- 3 DSB-S: M( M- ) Se si usa una modulazione " si ha * db M( * kv 2) Se si usa una modulazione M con indice di modulazione m * si ha M( * kv 3) Per una modulazione DSB-S si ha infine * db M( * kv Esercizio 7 (239) Un canale di comunicazione ha una banda di 00 khz Questo canale viene usato per la trasmissione di un segnale analogico, con $, la cui banda è khz La potenza del messaggio è di 0 V Trovare il rapporto tra l SNR in uscita di un sistema FM che utilizza tutta la banda e l SNR all uscita di un sistema convenzionale M con un indice Quanto vale questo rapporto in decibel di modulazione * 2 Mostrare che se sono impiegati un sistema FM e un sistema PM e questi sistemi hanno lo stesso rapporto segnale rumore allora si ha ( ( Soluzione 7 ) La banda convenzionale occupata da un segnale FM $ ottenuto da un segnale modulante $ è data dalla Formula di arson: ( / è l indice di modulazione per FM ffinché il segnale modulato FM occupi tutta la banda dove khz è la banda del segnale modulante e *<* khz del canale, si deve avere *<* 8 ** <

9 Il rapporto segnale rumore (SNR) in uscita per una modulazione FM è dato da 6 dove è il fattore di forma e è il rapporto segnale rumore all ingresso del demodulatore L SNR in uscita per un sistema convenzionale M 7 è dato da dove m a ) m m è l indice di modulazione per un sistema M Pertanto il rapporto richiesto risulta pari a: m Ora, il quadrato del fattore di forma è dato da: m (4) - * a dove si è assunto conservativamente a, essendo $ Sostituendo in () si ricava m 4 m * << * * < db (5) 2) L SNR in uscita di un sistema PM è dato da: ssumendo che i sistemi PM e FM forniscano lo stesso SNR, si ha ovvero Quindi, applicando la formula di arson, il segnale modulato PM occuperà una banda convenzionale Infine, si ha ( ( ( * 6 Eq (364) pag63 di Principi di Mod nalog 7 Si ricorda che un sistema convenzionale M è un DSB-T con indice di modulazione m < 9

10 Esercizio 8 (2324*) Nella trasmissione di segnali telefonici su collegamenti a microonde di tipo LOS viene spesso impiegata una combinazione di FDM-SSB e FM Si supponga che i segnali siano e che la modulazione adottata sia la SSB Un diagramma a blocchi di tale sistema è mostrato in Figura iascuno dei segnali B ha banda limitata di Hz ed è modulato con una SSB sulle portanti < $ dove, + + Si indichi con la somma di tutti i segnali modulati SSB : $@ tale segnale viene modulato FM su una portante con frequenza e indice di modulazione Si suppone il canale di tipo WGN con PSD del rumore $ pari a ) B Disegnare uno spettro tipico del segnale $ 2 Determinare la banda di 3 l ricevitore, il segnale $ $ è prima demodulato FM e poi passa attraverso un banco di demodulatori SSB Mostrare che la potenza del rumore in uscita a questi demodulatori dipende da 4 Determinare un espressione per il rapporto tra la potenza del rumore in e la potenza del uscita al demodulatore la cui frequenza portante è rumore in uscita al demodulatore con frequenza, ome dovrebbero essere scelte le ampiezze delle portanti per garantire che, dopo la demodulazione SSB, il rapporto segnale rumore sia lo stesso per tutti i canali Soluzione 8 ) Nella prossima figura è rappresentato uno spettro tipico del segnale $ per (sono mostrate solo le frequenze positive) 2) La banda del segnale è chiaramente ( 0

11 3) La potenza del rumore all uscita del filtro LPF del demodulatore FM è 8 dove M 06> ( è l ampiezza del segnale FM ome osservato, la potenza di rumore in ingresso al demodulatore " è proporzionale al cubo del numero di segnali multiplexati L esimo segnale modulato " occupa la banda di frequenze 9 = Poiché la densità spettrale di potenza del rumore all uscita del demodulatore FM è 06 6, si conclude che la potenza del rumore all uscita del esimo demodulatore è: M M 6 > 0 0 Quindi, la potenza del rumore all uscita dell esimo demodulatore " dipende da 4) Usando i risultati dei punti precedenti, si ha M M 5) Ricordando che, nelle ipotesi del problema, l esimo modulatore " fa uso della portante <0 $, la potenza del segnale in uscita all esimo demodulatore " è M( M- Quindi, l SNR all uscita dell esimo demodulatore M- ssumendo che M- sia uguale per tutti gli, allora al fine di garantire un costante si deve scegliere proporzionale a è 8 Eq (359) e (360) a pag 62 di Principi di Mod nalog