MATEMATICA MATURITA LINGUISTICA. Istituto Paritario A.Ruiz Istituto Paritario A.Ruiz

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1 MATEMATICA MATURITA LINGUISTICA Istituto Paritario A.Ruiz Istituto Paritario A.Ruiz 1

2 MATEMATICA MATURITA LINGUISTICA 1. CLASSIFICAZIONE FUNZIONI FUNZIONI ALGEBRICHE (in cui compaiono le quattro operazioni): Razionale intera (o polinomiale): se è espressa mediante un polinomio. Se il polinomio è di primo grado (la variabile x ha esponente massimo uguale a 1) allora la funzione si dice lineare, se il polinomio è di secondo grado (la variabile x ha esponente massimo uguale a 2) è detta quadratica. Razionale fratta: se è espressa mediante quozienti (frazione) di polinomi cioè se la variabile x compare a denominatore Irrazionale: se la variabile x compare sotto il segno di radice FUNZIONI TRASCENDENTI: Esponenziali: se la variabile x compare ad esponente Logaritmiche: se la variabile x compare come argomento di un logaritmo Goniometriche: se la variabile x compare come argomento di funzioni goniometriche come seno coseno tangente cotangente ecc 2

3 2. FUNZIONI CRESCENTI E DECRESCENTI Una funzione si dice crescente se comunque scelti due valori x1 ed x2 tali che x1<x2, risulta che f(x1)<f(x2) dove f(x1) è il valore che la funzione assume sostituendo x1 al posto di x ed f(x2) è il valore che la funzione assume sostituendo x2 al posto di x Una funzione si dice decrescente se comunque scelti due valori x1 ed x2 tali che x1<x2, risulta che f(x1)>f(x2) dove f(x1) è il valore che la funzione assume sostituendo x1 al posto di x ed f(x2) è il valore che la funzione assume sostituendo x2 al posto di x 3. FUNZIONI PARI E DISPARI Una funzione si dice pari se f(-x)=f(x) dove f(-x) si ottiene sostituendo nella funzione al posto di x la variabile x Una funzione si dice dispari se f(-x)=-f(x) dove f(-x) si ottiene sostituendo nella funzione al posto di x la variabile x, ed f(x) si ottiene cambiando tutti i segni nella funzione Diversamente, la funzione non sarà né pari né dispari 4. DOMINIO DELLE VARIE FUNZIONI Il dominio è definito come l'insieme dei valori che si possono attribuire alla variabile indipendente x per ottenere il valore della variabile dipendente y 3

4 In altre parole il dominio è l insieme dei punti in cui la funzione esiste. DOMINIO FUNZIONI ALGEBRICHE (in cui compaiono le quattro operazioni): Razionale intera (o polinomiale): ogni x reale Razionale fratta: denominatore deve essere posto diverso da zero Irrazionale: il radicando (argomento che si trova sotto radice) deve essere posto maggiore o uguale a zero DOMINIO FUNZIONI TRASCENDENTI: Esponenziali: ogni x reale Logaritmiche: argomento del logaritmo maggiore di zero Goniometriche: funzioni seno e coseno ogni x reale 5. INTERVALLI Un intervallo è un sottoinsieme di numeri reali (ad esempio un sottoinsieme di punti presi sull asse x del piano cartesiano) che corrisponde a una semiretta cioè c è solo un punto di partenza ma punto di arrivo all infinito (in questo caso si dice intervallo illimitato) o ad un segmento cioè è presente sia punto di partenza che di arrivo (in questo caso di dice intervallo limitato) 6. FUNZIONI CONTINUE 4

5 Una funzione si dice continua in un punto x0 se esiste il limite della funzione f(x) per x che tende ad x0, e tale limite è uguale al valore f(x0) cioè il valore che la funzione assume sostituendo x con xo 7. ASINTOTI Una retta è asintoto del grafico di una funzione se la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a zero quando l ascissa e l ordinata del punto tendono a infinito. In altre parole l asintoto è la retta che incontrerà e toccherà il grafico della funzione soltanto all infinito Gli asintoti possono essere verticali, orizzontali, obliqui 8. TEOREMA DELL UNICITA DEL LIMITE Se per x che tende ad un valore x0 la funzione f(x) ha per limite il numero reale L, allora tale limite è unico. In altre parole il teorema dell unicità del limite dice che il limite, quando esiste, è unico, cioè una funzione non può assumere al limite due valori diversi. 5

6 9. TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO Se il limite di una funzione per x che tende al valore x0 è un numero L diverso da zero, allora sia la funzione che il limite L sono entrambi positivo oppure entrambi negativi. In poche parole la funzione ed il limite L hanno lo stesso segno. Il teorema non è valido se il limite L è uguale a zero, poiché lo zero non ha segno 10. TEOREMA DEL CONFRONTO Siano h(x), f(x), g(x) tre funzioni definite nello stesso dominio e tali che e il limite delle funzioni h(x) e g(x) per x che tente ad uno stesso valore x0 sia lo stesso valore L, allora anche f(x) per x che tende al valore x0 avrà come limite L. In poche parole se una funzione f(x) è compresa tra altre due h(x) e g(x), se le due funzioni che la comprendono convergono allo stesso valore L allora anche la funzione in mezzo cioè f(x) convergerà a tale valore 11. FORME INDETERMINATE Le forme indeterminate sono forme non accettabili che possono comparire quando si calcolano i limiti. Tali forme sono : ; ; ; ; ; ; Allora prima di calcolare il limite occorre effettuare delle semplificazioni algebriche. 6

7 Esempio: allora: 12. TEOREMA DI WEIERSTRASS Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b] allora essa assume, in tale intervallo, massimo e minimo assoluto. In parole povere se consideriamo una parte del grafico di una funzione troveremo sempre un valore massimo e un valore minimo che la funzione assumerà nella parte del grafico considerata. 13. TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b] allora essa assume almeno una volta tutti i valori compresi tra massimo e minimo. In parole povere se consideriamo una parte del grafico di una funzione, siccome troveremo sempre un valore 7

8 massimo e un valore minimo, allora troveremo tutti i valori compresi (intermedi) tra il valore massimo e il valore minimo che la funzione assumerà nella parte del grafico considerata. 14. TEOREMA DELL ESISTENZA DEGLI ZERI Se f(x) è una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a;b] e negli estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto c in cui la funzione si annulla cioè vale zero. In altre parole se consideriamo una parte del grafico della funzione e in un estremo ad esempio la funzione è negativa (il grafico sta sotto l asse delle x) mentre nell altro estremo la funzione è positiva (il grafico sta sopra l asse delle x) allora esiste un punto c intermedio tale che la funzione si annulla (cioè taglia l asse delle x) 15. PUNTI DI DISCONTINUITA Un punto x0 si dice punto di discontinuità di prima specie per la funzione f(x) quando per x che tende ad x0 il limite destro e sinistro sono diversi tra loro. In altre parole la funzione appare spezzata o tagliata e nella parte sinistra di tale taglio (limite sinistro) abbiamo un valore diverso dalla parte destra (limite destro). I punti di discontinuità possono essere: di prima specie se il limite destro e sinistro sono finiti e diversi 8

9 di seconda specie se il limite destro e sinistro sono diversi ed o il limite destro o il sinistro è infinito o non esiste di terza specie quando esiste il limite di f(x) per x che tende ad x0 ma la stessa funzione non è definita in x0, ed in altre parole c è un buco. Tale discontinuità è particolare e si distacca leggermente dal concetto di limite destro e sinistro definito prima 16. DERIVATA DI UNA FUNZIONE La retta tangente ad una curva in generale è una retta che tocca tale grafico in un solo punto. La derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare (cioè l inclinazione) della retta tangente al grafico della funzione in tale punto. 17. FUNZIONE DERIVABILE Una funzione si dice derivabile in un punto c se esiste la derivata in tale punto ed occorre che siano verificate le seguenti condizioni: la funzione è definita nel punto c la funzione sia continua nel punto c (limite destro della funzione in c deve essere uguale al limite sinistro della funzione in c) la derivata della funzione sia continua nel punto c (limite destro della derivata in c deve essere uguale al limite sinistro della derivata in c) 9

10 18. PUNTI STAZIONARI Data una funzione f(x) ed un suo punto c, se la derivata nel punto c è zero allora tale punto si dice punto stazionario o punto a tangente orizzontale. I punti stazionari possono essere massimi, minimi e flessi (punti in cui la funzione cambia concavità) a tangente orizzontale 19. TEOREMA DI ROLLE Data una funzione f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato [a;b] tale che: f(x) è continua nell intervallo [a;b] (estremi compresi) f(x) è derivabile nell intervallo ]a;b[ (estremi esclusi) f(a)=f(b) cioè la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell intervallo allora esiste almeno un punto c interno all intervallo, in cui la funzione ha derivata zero In poche parole se consideriamo una parte del grafico della funzione, e tale funzione assume lo stesso valore agli estremi di tale parte di grafico, allora ci sarà almeno un punto intermedio o di massimo o di minimo cioè in cui la derivata vale zero ossi la tangente è orizzontale 20. TEOREMA DI LAGRANGE Data una funzione f(x) definita in un intervallo chiuso e limitato [a;b] tale che: f(x) è continua nell intervallo [a;b] (estremi compresi) f(x) è derivabile nell intervallo ]a;b[ (estremi esclusi) 10

11 allora esiste almeno un punto c interno all intervallo, in cui vale: In poche parole la parte a sinistra dell equazione indica la formula del coefficiente angolare (cioè l inclinazione) della retta tangente al grafico della funzione, invece la parte a destra indica la derivata nel punto c. Quindi la derivata di una funzione in un punto c rappresenta il coefficiente angolare (cioè l inclinazione) della retta tangente al grafico della funzione in tale punto. 11