ESAME DI FISICA II- Sessione 16/07/2013 Compito per l Ordinamento 270 e i VV.OO.

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1 ESAME DI FISICA II- Sessione 16/07/2013 Compito per l Ordinamento 270 e i VV.OO. PROBLEMA 1 Una lastra di dielettrico (a=b=1 cm; spessore 0.1 cm), in cui si misura un campo elettrico di 10 3 V.m -1, presenta sulle superfici di 1 cm 2 una densità di carica di polarizzazione di 3.54*10-8 C.m -2. Calcolare: A. La capacità del condensatore piano con dimensioni pari a quelle della lastra che vi è inserita, e la costante dielettrica relativa del dielettrico; B. Di quanto varierebbe l energia elettrostatica del condensatore, se si distanziassero le placche del condensatore (mantenute con una d.d.p. costante di 1 V) di ulteriori 0.1 cm, senza inserire altri dielettrici nello spazio vuoto ottenuto con il distanziamento; C. Qual è la capacità del nuovo condensatore di cui al punto b), per metà riempito dalla lastra dielettrica, e per metà sotto vuoto? Soluzione del Problema 1 Il campo nella lastra dielettrica E k è dato nel testo, 10 3 V.m -1. Usando l equazione E k = (σ0/ε0) - (σ p /ε0) si può facilmente ottenere, conoscendo σ p, la densità di carica libera sulle armature del condensatore: σ0 = ε0e k + σ p = 4.43*10-8 C.m -2 a cui corrisponde un campo a vuoto E 0 = 5*10 3 V.m -1 A. Si può calcolare prima la costante dielettrica del dielettrico ε r = E 0 /E k = 5, e di conseguenza la capacità del condensatore che è ε r volte la capacità geometrica ε0*(area/distanza tra armature), cioè C k = 5* 8.85*10-12 (10-4 /10-3 ) F = 4.43 pf B. Occorre considerare che, dopo il distanziamento, la d.d.p. di 1 V sarà ottenuta da una somma di d.d.p., V 0 +V k, dove la prima è 5 volte la seconda (V 0 =0.833 V e V k =0.167 V). Ne consegue che l energia finale del sistema è U fin = 0.5* C 0 V * C k V 2 k = ( )10-13 J =3.69*10-13 J, mentre l energia iniziale era 0.5* C k V 2, con V = 1 V, cioè 22.2*10-13 J. La variazione di energia è dunque la variazione è U fin U in = ( ) J = *10-13 J (l energia è diminuita). C. La capacità del nuovo condensatore è quella equivalente del primo condensatore con dielettrico (C k = 4.43 pf) in serie con uno dalla stessa geometria, ma a vuoto, C 0 = C k /5. Allora C eq = (1/C 0 +1/C k ) -1 = 0.74 pf PROBLEMA 2 Una spira quadrata di lato l = 10 cm, resistenza R = 10 Ohm si muove nel piano xy in direzione x con velocità costante v o = 1 m/s, tale che l equazione del moto del bordo indicato in figura è x(t) = v o t. La spira è immersa in un campo magnetico non uniforme, B(x) = Bo + bx, diretto lungo l asse z, con b = 1 Weber/m 3. Calcolare: a) Valore e verso rispetto all asse z della corrente che scorre nella spira. b) La forza totale agente sulla spira, dovuta al campo magnetico B(x).

2 Soluzione del Problema 2 a) Calcolo della corrente Il flusso del campo B(x) concatenato con la spira si ottiene sommando i vari contributi di ciascun settore di altezza l e di larghezza dx, all interno dei quali il valore di B(x) è costante. Questa somma equivale ad un integrale definito tra due valori generici x 1 e x 2 dell ascissa dei due bordi della spira paralleli all asse y. Quindi: Ora, teniamo conto che è: x 2 = x 1 +l, per cui: Tenendo conto inoltre che l equazione del moto del bordo della spira più vicino all asse delle y è: x 1 = v o t, come indicato nel testo dell esercizio, possiamo rendere esplicita la dipendenza di dal tempo: Secondo la legge di Faraday-Neumann, la corrente che scorre nella spira è data da: Sostituendo i valori numerici forniti dal testo si ha: i = 10-3 A. Il verso della corrente visto dall asse z è orario. Infatti B(x) è concorde con z e aumenta all aumentare di x, quindi il campo B prodotto dall autoinduzione deve avere verso opposto a z. b) Calcolo della Forza Magnetica totale

3 A causa della corrente i circolante nella spira e del campo magnetico B(x), ciascun lato della spira è soggetto ad una forza, che possiamo calcolare utilizzando la II Formula di Laplace: Applicando questa formula, si trova che le forze sui lati della spira paralleli all asse delle x sono uguali ed opposte e non hanno effetto sul moto, mentre le forze agenti sui lati paralleli all asse y hanno la stessa direzione, verso opposto, e modulo dato da: Le due forze F 1 ed F 2 hanno verso opposto, con F 1 concorde con v o. Inoltre risulta F 2 > F 1. La forza totale F tot agente sulla spira risulta quindi diretta in verso opposto al moto, ed ha modulo: Sostituendo i valori numerici otteniamo: Ftot = 10-5 N PROBLEMA 3 Due oggetti vicini risultano appena risolti se osservati in luce monocromatica con λ=510 nm attraverso un diaframma circolare di diametro D= 2 mm. Se si hanno a disposizione le seguenti sorgenti di luce monocromatica: S1 : λ= 430 nm S2 : λ= 500 nm S3 : λ= 620 nm (A) con quali di queste sorgenti risultano risolti i due oggetti? (B) Quanto dev essere grande il diametro D del diaframma, per vedere risolti gli oggetti con tutte le tre sorgenti? Soluzione del Problema 3 Per il criterio di Rayleigh la separazione angolare dei due oggetti vicini è Δθ = 1.22 λ/d = 0.31 mrad con λ=510 nm e D= 2 mm. (A) Con qulsiasi sorgente di lunghezza d onde inferiore a 510 nm i due oggetti risultano risolti (e quindi sia con S1 sia con S2). NON sono risolti con S3. (B) Se vogliamo soddisfare il criterio di Rayleigh con S3, dobbiamo aumentare il diametro D in modo tale che la separazione angolare resti 0.31 mrad. Ne risulta che D sarà 1.22 λ 3/ Δθ = 2.44 mm

4 ESAME DI FISICA II- Sessione 16/07/2013 Compito per l Ordinamento 509 PROBLEMA 1 Date tre cariche puntiformi sul piano, -q in P 1 (1,0) 2q in P 2 (1,1) e q in P 3 (0,1), con q=10-8 C e coordinate date in mm, trovare: A) Il vettore forza elettrica agente sulla carica 2q in P 2 ; B) La posizione di almeno un punto a potenziale zero sul piano xy; C) Il vettore momento di dipolo del sistema di cariche. Soluzione: A) su 2q si esercita una forza di Coulomb attrattiva sia verso l asse x (verso P 1 ) sia verso l asse y (verso P 2 ), ognuna in modulo pari a k(2q 2 )/1 2. La risultante è dunque una forza diretta lungo la diagonale (e dunque verso l origine O) di modulo 2*k(2q 2 ) = 1.414* ( ) N = N. B) Si tratta di due dipoli q -- +q, uno orientato da P 1 a P 2, l altro da P 3 a P 2. Le due mediane ai dipoli (che sono il luogo di potenziale zero per ogni dipolo) si incontrano in P 4 (0.5;0.5), che è quindi l unico punto nel piano xy a potenziale zero. C) Il vettore momento di dipolo sarà p, diretto lungo la diagonale del piano xy, con componenti uguali ai moduli dei momenti di dipolo P 1 P 2 e P 3 P 2. Quindi p(10-8, 10-8 ) Cm. PROBLEMA 2 Il circuito mostrato in figura è costituito da fili conduttori aventi resistenza per unità di lunghezza ρ = Ohm/m. Le dimensioni sono indicate in figura, con a = 10 cm. Il circuito è immerso in un campo magnetico perpendicolare al piano e variabile nel tempo secondo la legge B = k t con k = 0.12 Weber/(m 2 s). Determinare la corrente che circola nel ramo AB del circuito. Soluzione del Problema 2 Calcoliamo la resistenza di ciascun ramo del circuito. Sapendo che il filo ha resistenza per unità di lunghezza data da: ρ = Ohm/m, ciascun lato lungo a = 0.1 m ha resistenza: R a = ρa = Ohm. Possiamo dividere il circuito in due spire: la spira S 1 con il lato AB a destra, che è una spira quadrata di perimetro 4a, resistenza totale R 1 = 4 R a, e superficie a 2, e la spira S 2 con il lato AB sulla sinistra, che ha perimetro 3a, resistenza totale R 2 = 3 R a, e superficie a 2 /2.

5 Il flusso del campo B=k t concatenato con la spira S 1 è Φ 1 = a 2 k t, quello con la spira S 2 è Φ 2 = a 2 /2 Kt. Ciascuna spira è soggetta ad una forza elettromotrice secondo la legge di Faraday-Neumann: (f.e.m.) 1 = - dφ 1 /dt = a 2 k (f.e.m.) 2 = - dφ 2 /dt = a 2 /2 k e quindi la corrente che scorre in ciascuna spira è: i 1 = a 2 k/r 1 = a 2 k/(4 R a ) i 2 = a 2 /2 k/r 2 = (a 2 /2) k/(3 R a ) Le due correnti scorrono entrambe nello stesso verso, quindi, nel ramo AB, in comune tra le due spire, le due correnti scorrono in verso opposto. La corrente totale che scorre in AB è data perciò da: i AB = i 2 -i 1 = (a 2 K/R a )(1/4-1/6) = a 2 K/(12R a ). Sostituendo i valori numerici si ha: i AB = 0.1 A.