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1 Nicolò Beveini Appunti di Fisica pe il Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio della Spezia G. Maconi

2 Nicolò Beveini Appunti di fisica Indice 1. La misua delle gandezze fisiche Le gandezze fisiche Il Sistema Intenazionale di unità di misua Equazioni dimensionali Gandezze scalai e gandezze vettoiali Vettoi ed algeba vettoiale Che cos è un vettoe Le opeazioni fondamentali Le componenti di un vettoe Modulo di un vettoe Vesoi Opeazioni vettoiali in temini delle componenti Il moto nello spazio tidimensionale La legge oaia del moto La velocità L acceleazione L acceleazione centipeta I pincipi della dinamica Il pincipio d inezia Il secondo pincipio della dinamica Il pincipio di azione e eazione Le unità di misua di massa e di foza La massa e il peso Alcuni esempi di foze e di moto L equazione del moto Foze costanti e il moto unifomemente acceleato Il moto di un gave Le foze vincolai: la foza nomale La tensione di una fune La foza d attito statico La foza d attito dinamico Foze d attito viscoso...40 Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 1

3 Nicolò Beveini Appunti di fisica 6. L enegia ed il lavoo L enegia cinetica Il lavoo di una foza costante Il podotto scalae di due vettoi Il lavoo effettuato dalla foza peso Definizione geneale di lavoo Foze elastiche e lavoo di una foza elastica Il teoema dell enegia cinetica Applicazioni del teoema dell enegia cinetica La potenza L enegia potenziale e il pincipio di consevazione dell enegia Le foze posizionali e i campi di foze Foze consevative e foze dissipative L enegia potenziale Enegia potenziale elastica Alti esempi di consevazione dell enegia Il bilancio enegetico in pesenza di foze dissipative I poblemi d uto L uto ta due copi Uti anelastici Uti elastici I copi estesi Il cento di massa Moto del cento di massa Enegia potenziale di un copo esteso soggetto alla foza peso La densità Il copo igido e il momento di una foza La statica del copo igido La statica di un copo immeso in un liquido La foza di gavitazione univesale Le foze fondamentali della natua Il campo gavitazionale Il moto dei pianeti e le leggi di Kepleo L enegia potenziale gavitazionale...75 Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 2

4 Nicolò Beveini Appunti di fisica 11. Il campo elettostatico La legge di Coulomb Il campo elettico Il pincipio di sovapposizione Linee di foza e flusso del campo elettico Il teoema di Gauss Copi conduttoi e copi isolanti Campo geneato da una sfea caica conduttice Il potenziale elettostatico e i condensatoi Il potenziale elettostatico Potenziale elettostatico di una caica puntifome Potenziale di un conduttoe I condensatoi Il condensatoe piano Enegia immagazzinata in un condensatoe La coente elettica Definizione di coente La esistenza elettica Cicuiti elettici Cicuiti in seie ed in paallelo Il campo magnetico La foza di Loentz Il podotto vettoiale Moto di una caica in un campo magnetico unifome La foza magnetica su un conduttoe pecoso da coente Geneazione dei campi magnetici Foza ta due conduttoi paalleli pecosi da coente: Legge di Ampèe Campo magnetico in un solenoide L elettomagnetismo Il flusso del campo magnetico Il flusso concatenato con una spia L induzione elettomagnetica Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 3

5 Nicolò Beveini Appunti di fisica 1. La misua delle gandezze fisiche 1.1 Le gandezze fisiche La fisica si popone di studiae i fenomeni natuali e di compendee le elazioni intecoenti ta essi, costuendo un modello che coeli tamite elazioni matematiche cause ed effetti. Pe fa questo è necessaio quantificae i fenomeni in esame, definendo in pimo luogo con pecisione un insieme di gandezze le cui misue ne danno la descizione. In paticolae la definizione di una gandezza fisica dovà esplicitae il modo in cui può essee misuata in appoto con una unità di misua; si dice peciò che la definizione deve essee opeativa. Ad esempio, la lunghezza e la laghezza di un tavolo possono essee definite dalla loo misua ispetto ad un campione, uno stumento cioè che è calibato ispetto all unità di misua scelta pe le lunghezze (ad esempio, un meto a nasto). Ovviamente, il isultato numeico dell opeazione dipende da quale sia l unità di misua pescelta: oggi noi d abitudine usiamo un nasto taato in meti e nelle sue fazioni decimali e misueemo, ad e- sempio, una lunghezza di 2,10 meti. Qualcun alto, che possieda un ighello taato in unità anglosassoni, vi dià invece che quello stesso tavolo è lungo 6 piedi e 7/8. L infomazione di quale sia l unità utilizzata è peciò indispensabile; essa deve sempe essee esplicitata. Anziché pe dietto confonto con un campione, la misua di una gandezza può essee effettuata in maniea indietta, patendo da una misua di gandezze di genee diveso ed utilizzando una elazione geometica o fisica che lega tali gandezze con quella che si vuole misuae. Consideiamo ad esempio la gandezza aea. L unità di misua delle aee può essee definita a patie dalla definizione dell unità di misua delle lunghezze, come l aea del quadato di lato unitaio. Se le lunghezze si misuano in meti, l unità di misua che così si ottiene pe la misua delle aee è il meto meto, ovveo il meto quadato. Con un agionamento analogo, patendo dalla definizione di velocità di un copo come il appoto ta lo spazio da esso pecoso ed il tempo impiegato a pecoelo, possiamo misuae la gandezza velocità, eseguendo Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 4

6 Nicolò Beveini Appunti di fisica il appoto ta una misua di lunghezza e una misua di tempo. Se pe misuae le lunghezze l unità di misua è il meto e pe il tempo si utilizzail secondo, toneà natuale definie come unità di misua della velocità il meto/secondo. Queste gandezze, come l aea, il volume, la velocità, le cui u- nità di misua vengono definite a patie da alte unità già definite in pecedenza sono dette gandezze deivate; mente quelle, come la lunghezza ed il tempo, pe cui viene data una definizione indipendente dell unità di misua, sono dette gandezze fondamentali. Si può così costuisce un sistema di unità di misua, definendo un insieme di unità di misua di gandezze consideate fondamentali e deivando da queste le unità di misua pe le alte gandezze di inteesse fisico. Un sistema d unità di misua di tal tipo si dice coeente, peché le unità di misua delle gandezze deivate sono definite automaticamente a patie dalle unità delle gandezze fondamentali in base alla definizione delle gandezze stesse. La scelta di quali e quante siano le gandezze da consideae fondamentali è a pioi abitaia e così pue è a pioi abitaia la definizione di quale sia l'unità di misua da utilizzae pe una gandezza fondamentale. Al fine di accescee la compensione ecipoca e evitae confusioni, è chiaamente oppotuno addivenie ad un accodo quanto più univesale possibile e scegliee come unità di misua fondamentali quelle definibili con maggioe pecisione e più facilmente ipoducibili. Una convenzione intenazionale ha atificato il cosiddetto Sistema Intenazionale di unità di misua (S.I.), adottato oggi in quasi tutto il mondo come unico sistema legale (in patica mancano all'appello solo gli Stati Uniti d'ameica, dove l uso del S.I. è solo facoltativo). L utilizzo di unità di misua coeenti fa loo dà l oppotunità di pote inseie diettamente nelle fomule fisiche i valoi numeici delle misue delle singole gandezze ed ottenee automaticamente il valoe numeico coetto pe il isultato. Ciò non capita ovviamente utilizzando unità non coeenti ta loo, definite cioè in modo indipendente l'una dall'alta. Pe e- sempio si possono misuae le lunghezze in meti e usae come unità di volume il lito, anziché il meto cubo, che è l unità coeente; ma ciò impoà l'aggiunta di costanti numeiche alle fomule fisiche (il volume di un cubo di spigolo 1 meto è infatti pai a 1000 liti). 1.2 Il Sistema Intenazionale di unità di misua. Tamite una convenzione intenazionale è stato definito il Sistema Intenazionale di unità di misua (simbolo: SI), il cui aggionamento è stato affidato al Bueau Intenational des Poids et des Mésues, di sede a Paigi. Il Sistema Intenazionale si basa sulla definizione di sette unità fondamentali (v. tab. I), scelte in modo da copie i divesi campi della fisica e della tecnologia; a patie da queste, esso definisce l'insieme delle unità deivate. Nei potocolli della Convenzione sono pue definiti i simboli che appesentano le vaie unità. Pe le applicazioni di meccanica sono state definie te gandezze fondamentali: lunghezza (unità di misua il meto, simbolo m); tempo (unità di misua il secondo, simbolo s) e di massa (unità di misua il kilogam- Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 5

7 Nicolò Beveini Appunti di fisica mo, simbolo kg). Da esse si icavano tutte le unità di misua delle gandezze meccaniche, pincipalmente velocità, acceleazione, foza, lavoo e enegia, potenza, pessione. L'unità di tempo è quella oggi definita con la più elevata accuatezza (una misua di tempo può essee eseguita con una pecisione miglioe di una pate su 1015). Pe definie le gandezze elettomagnetiche viene intodotta una quata gandezza fondamentale, la coente elettica, la cui unità è denominata ampèe (simbolo A). Una quinta unità fondamentale, il kelvin (K), misua la tempeatua temodinamica ed è utilizzata nelle applicazioni temodinamiche. Pe la descizione dei fenomeni chimici, in cui più che la massa è impotante il numeo di molecole o di atomi, è stata definita una ulteioe gandezza fondamentale, denominata quantità di mateia, che misua il numeo di paticelle elementai contenuto in un campione macoscopico; l unità di misua è la mole (mol). Un ulteioe unità di misua, di uso limitato alle fotometia, è la candela (cd), che misua l'intensità luminosa). Come si è detto, da queste unità fondamentali si icavano le vaie u- nità deivate. Alcune di queste, paticolamente impotanti nelle applicazioni tecnologiche, hanno icevuto pe agioni di paticità un nome popio e un simbolo paticolae. Ad esempio, la foza è definita come il podotto di una massa pe un acceleazione ed essa ha quindi come unità nel SI il kg m/s2; a tale unità è stato assegnato il nome di newton (simbolo N). In questi casi il nome delle unità è pe il solito mutuato da quello di un eminente scienziato, che ha lasciato un impotante contibuto in quel paticolae campo della fisica (tab. 2). La convenzione pescive che il nome di tali unità venga scitto con l iniziale minuscola, mente il simbolo coispondente ha l'iniziale maiuscola. Il isultato della misua di una gandezza fisica può, al vaiae dell'oggetto specifico, diffeie di molti odini di gandezza. Consideiamo pe esempio le lunghezze: la distanza ta Roma e Los Angeles è dell'odine della decina di milioni di meti, mente le dimensioni di un batteio sono dell'odine del milionesimo di meto. I isultati delle misue, espessi nell unità del SI, sono quindi numei molto gandi ovveo estemamente piccoli, poco patici da maneggiae. Il SI pevede a tal fine la possibilità di utilizzae multipli o sottomultipli delle unità definite pima, ottenuti anteponendo al nome o al simbolo dell'unità oppotuni pefissi moltiplicativi, il cui significato è indicato in tab. 3. Il pefisso kilo (k) espime peciò che l'unità di misua indicata va moltiplicata pe 1000 e il pefisso mico (µ) indica che l'unità di misua indicata va divisa pe 10 6 : 1 km è peciò una lunghezza di 1000 m, così come 1 ka è una coente elettica di 1000 A; 1 µm equivale a 10 6 m e 1 µa è pai a 10 6 A. Le misue delle masse fanno eccezione alla egola pe agioni stoiche. Come unità SI di massa è stato scelto il kilogammo (kg), così chiamato come multiplo di quella che ea stata definita più anticamente come unità di massa, il gammo (g). Si saebbe dovuto cambiane la denominazione, ma data l'omai univesale diffusione di tale unità, non lo si è itenuto oppotuno. Di conseguenza, in questo caso i pefissi sono ifeiti non all'unità attuale ma alla vecchia unità, il gammo. Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 6

8 Nicolò Beveini Appunti di fisica L uso di questi pefissi moltiplicativi si è esteso a tutta la letteatua scientifico-tecnologica ed è quindi oppotuno memoizzae almeno quelli più comuni, ta e Va tenuto pesente che la Convenzione pevede che, quando un'unità di misua con pefisso viene elevata a potenza, si intende che l'esponente si ifeisce sia al pefisso sia all'unità: 2 cm 3 è peciò equivalente a 2 (10-2 m) 3 = m 3 e 3 µs -1 equivalgono a 3 (10 6 s) 1 = s -1. Pe la misua degli angoli, il SI pevede infine l'uso del adiante (ad) pe la misua degli angoli piani e dello steadiante (s) pe la misua degli angoli solidi. Ricodiamo che il adiante è definito come l'angolo piano compeso ta due aggi di un cechio che, sulla ciconfeenza, intecettano un aco di lunghezza uguale al aggio stesso. Lo steadiante è definito come l'angolo solido che ha il vetice al cento di una sfea ed intecetta sulla supeficie di questa un'aea equivalente al quadato del aggio. L intea supeficie sfeica sottende quindi un angolo solido di 4π steadianti. Pe meglio aggiungee il suo obiettivo di omogeneizzazione univesale delle misue, la Convenzione del SI scoaggia l'uso di unità di misua non coeenti (e l Unione Euopea ecepisce tale accomandazione, imponendo l'uso delle unità SI in tutte le applicazioni commeciali). La Convenzione ammette comunque l uso di alcune unità di misua, che sono al di fuoi del sistema SI, ma che sono lagamente diffuse e ivestono un uolo impotante nella vita di tutti i gioni. E il caso del minuto, dell'oa e del giono (simboli min, h, d) quali unità di tempo, i gadi, i minuti pimi e i minuti secondi (,',") pe la misua degli angoli, il lito (l) (definito equivalente a 1 dm 3 ) pe le misue di capacità e la tonnellata (t), equivalente a 1000 kg, pe misue di massa. Alte unità di misua non coeenti con il SI sono in uso in alcuni campi specifici della fisica (ad esempio l atmosfea pe le misue di pessione). E' chiao che, quando si utilizzano misue espesse in unità non coeenti, occoeà fae la massima attenzione nell'applicae le fomule pe evitae eoi gossolani. 1.3 Equazioni dimensionali Come si è già detto. una legge fisica espime una elazione funzionale ta le misue di diffeenti gandezze. Essa ha quindi la foma di un'uguaglianza (o di un equazione), ta due espessioni. Peché un uguaglianza abbia un senso, è ovviamente indispensabile che le quantità espesse dai due membi siano omogenee ta loo e siano quindi misuate con la stessa unità di misua. E' lo stesso concetto mai abbastanza ibadito alle scuole elementai, in base a cui le pee si sommano alle pee e gli asini agli asini, mente è pivo di senso sommae gli asini alle pee. Questa popietà può tonae utile pe veificae l esattezza o meno di una fomula, utilizzando le cosiddette equazioni dimensionali. Come si è visto, nell'ambito di un sistema coeente d unità di misua sono definite alcune gandezze come fondamentali e da esse sono deivate le alte. Qualunque sia la foma di una supeficie, la sua aea è comunque sempe e- Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 7

9 Nicolò Beveini Appunti di fisica spessa dal podotto di due misue di lunghezza (eventualmente con l'aggiunta di costanti numeiche); così il volume di un solido è sempe espesso dal podotto di te misue di lunghezza e una velocità è sempe iconducibile al appoto ta una misua di lunghezza e una misua di tempo. Si dice alloa che la gandezza aea ha le dimensioni fisiche di una lunghezza moltiplicata pe se stessa (ovveo una lunghezza al quadato), che la gandezza volume ha le dimensioni di una lunghezza al cubo, che la gandezza velocità ha le dimensioni di una lunghezza divisa pe un tempo. Affemae che i due membi di un'eguaglianza (o gli addendi di una somma) devono essee omogenei ta loo è equivalente a veificae che essi hanno le stesse dimensioni fisiche e quindi sono espimibili nelle stesse unità di misua. Una fomula non ispetti questo citeio è senza dubbio eata. Ancoa, le equazioni dimensionali isultano utili, quando l'espessione di una legge fisica contiene delle costanti fisiche. Pe esempio, si considei la legge di stato dei gas pefetti: pv = nrt Essa espime la elazione esistente ta la pessione, la tempeatua e il volume occupato di una quantità n di moli di gas pefetto. La costante R, che compae in questa fomula, non è un numeo puo, quale può essee invece π nella fomula che espime l'aea del cechio in funzione del aggio. Se si effettua l'analisi dimensionale della legge dei gas pefetti, si scope che è necessaio attibuie una dimensione fisica anche alla costante R, affinché i due membi dell'equazione abbiano uguali dimensioni. Il valoe di R non è quindi un numeo puo, ma dovà essee espesso nelle adeguate unità di misua. Nel SI, in cui l'unità di volume è il m 3 e l'unità di pessione è il Pascal (Pa), R vale cica 8,314 J/mol K. Se si usasseo diffeenti unità di misua, il valoe numeico di R vaieebbe di conseguenza: nell'uso comune dei chimici, abituati a misuae i volumi in liti e le pessioni in atmosfee, infatti R vale 0,082 l atm/(mol K). Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 8

10 Nicolò Beveini Appunti di fisica Tab. 1 Gandezze fondamentali Unita' di misua Simbolo Definizione Tempo secondo s il secondo è pai a peiodi di una tansizione atomica del Cs133 Lunghezza meto m il meto è lo spazio pecoso dalla adiazione elettomagnetica nel vuoto in 1/ di secondo Massa kilogammo kg il kilogammo è la massa del campio-ne consevato pesso il Bueau Intenational des Poids et des Mésues a Paigi Coente ampèe A l'ampèe è l'intensità di una coente costante, che, mantenuta in due conduttoi paalleli, di lunghezza infinita e di sezione tascuabile, posti alla distanza di 1 m uno dall'alto nel vuoto, poduce ta tali conduttoi la foza di newton pe meto di lunghezza Tempeatua temodinamica Quantità di mateia Intensità luminosa kelvin K il kelvin è 1/273,16 la tempeatua temodinamica del punto tiplo dell'acqua mole mol la mole appesenta una quantità di paticelle elementai pai al numeo di atomi contenuti in 0,012 g di 12 C candela cd la candela è pai all'intensità luminosa di un copo neo alla tempeatua di fusione del platino Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 9

11 Nicolò Beveini Appunti di fisica Tab.2 Gandezza Unità Simbolo Espessione in unità SI Espessione in unità fondamentali SI fequenza hetz Hz s -1 s -1 foza newton N m kg s -2 m kg s -2 pessione pascal Pa N/m 2 m -1 kg s -2 enegia (lavoo) joule J N m m 2 kg s -2 potenza watt W J/s m 2 kg s -3 caica elettica coulomb C A s A s potenziale elettico volt V W/A m 2 kg s -3 A -1 capacità elettica faad F C/V m -2 kg -1 s 4 A 2 esistenza elettica ohm Ω V /A m 2 kg s -3 A -2 conduttanza siemens Si A/V m -2 kg -1 s 3 A 2 flusso di induzione webe Wb V s magnetica m 2 kg s -2 A -1 induzione magnetica tesla T 2 Wb/m kg s- 2 A -1 induttanza heny H Wb/A m 2 kg s -2 A -2 attività (adioattiva) becquéel Bq s -1 s -1 dose assobita gay Gy J/m 3 m -1 kg s -2 Tab 3 Pefisso Simbolo Valoe Pefisso Simbolo Valoe deca da 10 deci d 10-1 etto h 10 2 centi c 10-2 kilo k 10 3 milli m 10-3 mega M 10 6 mico µ 10-6 giga G 10 9 nano n 10-9 tea T pico p peta P femto f exa E atto a zetta Z zepto z yotta Y yocto y Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 10

12 Nicolò Beveini Appunti di fisica 1.4 Gandezze scalai e gandezze vettoiali Alcune gandezze possono essee compiutamente espesse dal pocesso di misua così come è stato descitto nei paagafi pecedenti, cioè da un numeo e dall unità di misua. E quanto accade quando si misuano intevalli di tempo, masse, enegie o caiche elettiche. Gandezze di questo tipo vengono dette gandezze scalai. In alti casi la situazione è più complessa. Noi viviamo in un mondo tidimensionale, in cui i concetti di desta e sinista, di avanti e indieto, di su e giù possono essee impotanti. Indicando una foza, pe valutane gli effetti non mi basta dane il valoe della sua intensità, ma devo specificae anche in quale diezione essa agisce. Così la gandezza velocità è compiutamente indicata solo fonendo anche la diezione del moto stesso. Questo tipo di gandezze sono dette gandezze vettoiali. Pe esse non è dunque sufficiente espimee il isultato della misua con un numeo, ma con un vettoe, cioè con un qualcosa che contiene infomazione anche sulla diezione. In questo testo noi indicheemo che una gandezza v è una gandezza vettoiale, sovapponendo al suo simbolo una feccetta: v. Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 11

13 Nicolò Beveini Appunti di fisica 2. Vettoi ed algeba vettoiale 2.1 Che cos è un vettoe La misua di una gandezza vettoiale non è semplicemente espimibile con un numeo, ma con un entità matematica più complessa, che contenga anche l infomazione sulla diezione. Definiamo questa entità un vettoe. Che cosa sia un vettoe si può capie ossevando la natua di una tipica gandezza vettoiale, quale è il vettoe spostamento. Il vettoe spostamento misua il cambiamento di posizione di un copo da un punto dello spazio ad un alto. Pe definilo compiutamente occoe pecisae la distanza ta punto di patenza e punto d aivo (quello che si dice il modulo o il valoe assoluto del vettoe) ed identificane la diezione. Gaficamente il vettoe spostamento può essee indicato disegnando una feccia, che congiunga il punto di patenza con il punto d aivo, dietta veso quest ultimo, così come, in due dimensioni, è appesentato in fig Fig Nel seguito del capitolo nelle figue esemplificheemo sempe pe chiaezza di disegno i vettoi in due dimensioni, anche se nel testo paleemo in temini geneali di vettoi nello spazio tidimensionale. Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 12

14 Nicolò Beveini Appunti di fisica Si noti che il vettoe spostamento è definito esclusivamente dalla misua della distanza dei due punti e dalla diezione della congiungente e non da quale siano le coodinate del punto di patenza e del punto d aivo. I due vettoi a e b, appesentati in fig. 2 da fecce della stessa lunghezza e paallele ta loo, sono in effetti, in base alla nosta definizione, lo stesso vettoe ( a = b ). Fig Le opeazioni fondamentali Definiamo oa la somma e la diffeenza di due vettoi. Fig. 2-3 Desciviamo (Fig. 2-3a) uno spostamento dal punto A al punto B (spostamento appesentato dal vettoe a ), seguito da uno spostamento dal punto B veso il punto C (spostamento appesentato dal vettoe b ). Lo spostamento complessivo (cioè la somma dei due spostamenti) è dunque dal punto A al punto C (spostamento appesentato dal vettoe c ). Diemo quindi che il vettoe c appesenta la somma dei due vettoi a e di b. Dal disegno di Fig. 2-3b e icodando quanto appena detto ( 2.1), che cioè due fecce paallele di uguale lunghezza appesentano lo stesso vettoe, disegnando i due vettoi in modo che escano da uno stesso punto, isulta che la somma di due vettoi è appesentata dalla diagonale del paallelogam- Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 13

15 Nicolò Beveini Appunti di fisica ma avente pe lati i vettoi da sommae e che gode della popietà commutativa ( a + b = b + a ). Pe definie la diffeenza di due vettoe, definiamo pima l opposto di un vettoe b, indicandolo con b, come quel vettoe che aggiunto a b dà come isultato zeo. In temini di vettoe spostamento, è lo spostamento che, aggiunto allo spostamento dato mi ipota nella posizione di patenza. Gaficamente, è il vettoe che si ottiene scambiando base e punta della feccia (Fig. 2-4). Fig. 2-4 La diffeenza a b ta due vettoi è quindi definita come quel vettoe che è la somma di a con l opposto di b, cioè a " b = a + (" b ). Dalla Fig. 2-4 si vede che, costuendo il paallelogammo che ha pe lati i vettoi a e di b, la diffeenza a " b è data dalla diagonale che congiunge le punte dei due vettoi. 2.3 Le componenti di un vettoe. Come si può quantificae l infomazione della diezione del vettoe? Definiamo nello spazio tidimensionale una tena di assi catesiani mutuamente otogonali, convenzionalmente indicati come asse x, asse y ed asse z. Al solito, consideeemo il caso del vettoe spostamento, che saà poi genealizzabile ad un qualunque tipo di vettoe. Facendo ifeimento al sistema di ifeimento catesiano, possiamo pensae un vettoe spostamento a come la somma di uno spostamento nella diezione x, appesentato dal vettoe a x, di uno nella diezione y, appesentato dal vettoe a y, e di uno nella diezione z, appesentato dal vettoe a z. I vettoi a x, a y e a z sono detti i vettoi componenti (ispetto al sistema di ifeimento catesiano Oxyz ) di a. E quindi a = a x + a y + a z. I numei ax, ay, e az, che espimono la lunghezza dei vettoi a x, a y e a z (col segno positivo se questi sono oientati ve- Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 14

16 Nicolò Beveini Appunti di fisica so il senso positivo degli assi, col segno negativo in caso contaio) si dicono le componenti (scalai) del vettoe a. Assegnae una tena di numei a x, a y, e a z definisce in modo completo ed univoco il vettoe a. Fig. 2-5 In molti casi la fenomenologia può essee descitta con vettoi giacenti tutti sullo stesso piano. Oientando oppotunamente gli assi del nosto sistema catesiano, si può alloa fa sì che la componente di tutti questi i vettoi in una diezione sia sempe identicamente nulla. Pe esempio, se gli assi x e y definiscono il piano in questione, la componente z saà sempe nulla. In questo caso saà sufficiente pe definie il vettoe dae solo le due componenti non nulle (caso bidimensionale). Nel caso poi che tutti i vettoi d inteesse abbiano la stessa diezione, oientando uno degli assi in tale diezione, il vettoe si iduce ad una sola componente (caso unidimensionale). 2.4 Modulo di un vettoe Dato un vettoe V, di componenti Vx, Vy, Vz la quantità V x 2 +V y 2 +V z 2, che è la diagonale del paallelepipedo di spigoli Vx, Vy, Vz, e che nel caso del vettoe spostamento appesenta la lunghezza dello spostamento complessivo, pende il nome di modulo o valoe assoluto del vettoe e viene indicata con il simbolo V o più semplicemente, quando non ci sia peicolo di confusione, eliminando la feccetta sul simbolo: [2.1] V = V = V 2 x +V 2 2 y +V z Dalla definizione discende ovviamente che il valoe del modulo di un vettoe è sempe espesso da un numeo maggioe o uguale a zeo. 2.5 Vesoi Dividendo un vettoe pe il suo modulo, si ottiene un vettoe di modulo 1 la cui diezione coincide con quella del vettoe dato. E comodo usae una notazione paticolae pe indicae un tale vettoe unitaio, che pende il nome di vesoe, ponendo un apice ^ al posto della feccia al disopa del simbolo. Ad esempio, dato un vettoe, si può indicae la sua Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 15

17 diezione tamite il vesoe Nicolò Beveini Appunti di fisica ) =. Con i simboli ) x, y ) e z ) si indicano i vesoi elativi ai te assi, cioè le diezioni Ox, Oy, Oz. 1 Essendo V x, V y, V z. le componenti lungo i te assi del vettoe quindi identificae il vettoe in base alla tena di numei: [2.2] V (V x, V y, V z) ovveo come: ) ) ) [2.3] V Vx x + Vy y + Vz z V, si può 2.6 Opeazioni vettoiali in temini delle componenti Scivee i vettoi in temini delle sue componenti pemette di effettuae numeicamente le opeazioni vettoiali, senza bisogno di icoee ai gafici. Osseviamo in pimo luogo che l uguaglianza ta due vettoi implica l uguaglianza delle ispettive componenti. Scivee a = b equivale a scivee: " a x = b x $ # a y = b y $ % a z = b z Ciò significa anche che un equazione vettoiale equivale in geneale ad un sistema di te equazioni scalai, una pe ogni componente spaziale. Fig. 2-6 La Fig. 2-6 illusta, in temini delle componenti, la somma di due vettoi nel caso bidimensionale. Si vede che la componente lungo la diezione x del vettoe c = a + b è uguale alla somma algebica delle componenti x dei due vettoi a e b e la componente lungo la diezione y del vettoe è uguale alla somma algebica delle componenti y dei due vettoi a e b (attenzione ai 1 In alcuni testi i vesoi elativi agli assi x, y, z sono invece indicati con Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 16 i ˆ, ˆ j, k ˆ

18 Nicolò Beveini Appunti di fisica segni: nel caso in figua i valoi di by e cy sono appesentati da numei negativi). Estendendo il agionamento al caso tidimensionale si tova che la scittua c = a + b equivale all insieme delle te elazioni scalai: " c x = a x + b x $ # c y = a y + b y $ % c z = a z + b z b è stata definita come la a + (" b ). Essendo pe defini- Nel 2.2 la diffeenza di due vettoi somma di a con l opposto di b, cioè zione " b quel vettoe tale che b + " b ( b x, b y, b z), si potà concludee che: # c x = a x "b % x $ c y = a y "b y % & c z = a z "b z a e c = a " b = ( ) = 0, le cui componenti sono peciò Si può facilmente definie anche il podotto di un vettoe a pe uno scalae k. Esso è un vettoe che ha la stessa diezione di a, se k è positivo, o diezione opposta, se k è negativo, e modulo uguale al podotto del modulo a pe il valoe assoluto di k. Le componenti di tale vettoe sono date dal podotto delle componenti di a pe lo scalae k. Cioè ka " ka x,ka y,ka z ( ). Il podotto di due vettoi è un opeazione più complessa. In effetti nel posieguo noi definiemo due tipi divesi di podotti ta vettoi, in un caso con il isultato che è uno scalae, nell alto in cui il isultato è un vettoe. Definiemo tali podotti quando ne inconteemo le applicazioni. Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 17

19 Nicolò Beveini Appunti di fisica 3. Il moto nello spazio tidimensionale 3.1 La legge oaia del moto La geometia analitica ci insegna che la posizione di un copo puntifome (cioè di dimensioni tascuabili) nello spazio può essee identificata in un sistema di ifeimento di coodinate catesiane da una tena di numei. Ricodando la definizione di vettoe data nel capitolo pecedente, tale tena può essee intepetata come l insieme delle componenti di un vettoe (il vettoe posizione), che ha la coda nell oigine degli assi e la punta nel punto occupato dal copo, le cui componenti sono appunto le te coodinate catesiane (Fig. 3-1). Quando il copo si muove nello spazio, il suo movimento può essee descitto, scivendo in funzione del tempo il valoe delle te coodinate: [3.1] " x = x t $ # y = y t $ % z = z t ovveo, visto che tali coodinate sono le componenti del vettoe posizione, scivendo in funzione del tempo il valoe di tale vettoe. [3.2] s = s t L espessione [3.2] è detta nomalmente legge oaia del moto. La linea nello spazio definita dalla [3.1] appesenta la taiettoia del moto. ( ) ( ) ( ) ( ) Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 18

20 Nicolò Beveini Appunti di fisica Fig. 3-1 Supponiamo che il copo si tovi all istante t 1 nel punto P 1, le cui coodinate siano x 1=x(t 1), y 1=y(t 1), z 1=z(t 1) e che successivamente, all istante t2, esso si tovi nel punto P2, le cui coodinate siano x2=x(t2), y2=y(t2), z 2=z(t 2). Secondo quanto si è detto sopa, il pimo punto è identificato dal vettoe posizione s 1 = s ( t 1 ) e il secondo dal vettoe posizione s 2 = s ( t 2 ). Definiamo spostamento il vettoe che connette i due punti, gaficamente appesentato da una feccia che pate dal punto P1 e ha la punta nel punto P 2. Tale vettoe, che indicheemo col simbolo " s, è dunque definito come la diffeenza ta i due vettoi s 2 e s 1 ; le sue componenti sono Δx = x2 x1, Δy = y 2 y 1, Δz = z 2 z La velocità Facendo il appoto ta il vettoe spostamento e l intevallo di tempo Δt=t2 t1 in cui tale spostamento avviene, si ottiene il vettoe v m, che è definito come la velocità media nell intevallo di tempo (t1,t2) del copo. In foma vettoiale si scive: s ( t [3.3] v m ( t 1,t 2 ) 2 ) " s ( t 1 ) = = # s. t 2 "t 1 #t La [3.3] equivale, espimendo i vettoi nei temini delle loo componenti catesiane, all insieme delle te elazioni scalai: $ ( v m ) = x ( t 2) " x( t 1 ) & = #x & x t 2 "t 1 #t & [3.4] ( v m ) y = y ( t 2) " y( t 1 ) % = #y & t 2 "t 1 #t & ( v m ) z = z ( t 2) " z( t 1 ) = #z '& t 2 "t 1 #t Patendo dalla definizione data di velocità media, applicando i pincipi dell analisi matematica, possiamo definie il valoe istantaneo v della ve- Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 19

21 Nicolò Beveini Appunti di fisica locità ad un ceto istante t0, calcolando il limite pe t1 t0 (ovveo, ponendo Δt = t 1 t 0 il limite pe Δt 0) dei appoti che compaiono nella [3.4]: [3.5] % ' v x t 0 ' ' & v y t 0 ' ' (' ( ) = lim ( ) = lim v z ( t 0 ) = lim v ( t 0 ) = lim t 1 "t 0 ( ) # x ( t 0 ) x t 1 t 1 "t 0 t 1 #t 0 ( ) # y( t 0 ) y t 1 t 1 "t 0 t 1 #t 0 ( ) # z( t 0 ) z t 1 t 1 "t 0 t 1 #t 0 $x = lim $t "0 $t $y = lim $t "0 $t $z = lim $t "0 $t Le fomule che definiscono vx(t0), vy(t0), vz(t0) nella [3.5], matematicamente espimono l opeazione di deivata in t0 delle funzioni x(t), y(t), z(t). L insieme di queste te elazioni può essee espesso vettoialmente nella foma: s t 1 s t 0 ( ) # ( ) [3.6] t 1 #t 0 Questa fomula definisce la gandezza v t 0 s t = lim $t "0 ( ) come la deivata della funzione ( ) nel punto t0; tale gandezza pende il nome di velocità istantanea all istante t0. L opeazione può essee ipetuta pe qualunque valoe di t. Si definisce così la funzione vettoiale v ( t), che espime il valoe della velocità istan- tanea in funzione del tempo, come la deivata vettoiale ispetto al tempo della funzione s ( t): [3.7] [3.8] v t # % v x t % $ v y t % % v z t &% ( ) = s "( t) = d s dt ( ) = x "( t) = d x dt ( ) = y "( t) = d y dt ( ) = z "( t) = d z L espessione deivata vettoiale esplicita che al numeatoe del appoto incementale figua una diffeenza ta due vettoi e che di conseguenza il isultato dell opeazione di passaggio al limite fonisce un vettoe. Un ossevazione impotante. La [3.7] indica che il vettoe velocità ha la diezione dello spostamento istantaneo, che è quella della tangente alla taiettoia. La velocità istantanea ha dunque sempe la diezione della tangente alla taiettoia. dt. $ s $t Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 20

22 Nicolò Beveini Appunti di fisica 3.3 L acceleazione Così come si è definito il vettoe velocità a patie dal vettoe posizione, si definisce a patie dal vettoe velocità istantanea il vettoe acceleazione. a m nell intevallo di tempo Si definisce come acceleazione media (t 1,t 2). il vettoe dato dal appoto ta la diffeenza delle velocità agli istanti t2 e t1 e l intevallo di tempo Δt=t2 t1, in cui tale vaiazione avviene. In foma vettoiale si scive: [3.9] a m ( t 1,t 2 ) = v t 2 = # v t 2 "t 1 #t. ( ) " v ( t 1 ) La [3.9] può essee scitta in temini delle componenti catesiane come l insieme di te elazioni scalai nella foma: $ ( a m ) x = v x ( t 2) "v x ( t 1 ) & = #v x & t 2 "t 1 #t & [3.10] ( a m ) y = v t y( 2) "v y ( t 1 ) = #v y % & t 2 "t 1 #t & ( a m ) z = v z( t 2 ) "v z ( t 1 ) = #v z '& t 2 "t 1 #t Pe ottenee il valoe istantaneo a dell acceleazione ad un ceto i- stante t1 occoe calcolae il limite dell espessione [3.9] o [3.10] pe t2 t1 (che è come die pe Δt = t2 t1 0): v ( t [3.11] a ( t 0 ) 1 ) # v ( t 0 ) $ v = lim = lim t 1 "t 0 t 1 #t $t "0 0 $t [3.12] % ' a x t 0 ' ' & a y t 0 ' ' a z t 0 (' ( ) = lim ( ) = lim ( ) = lim ( ) #v x ( t 0 ) v x t 1 t 1 "t 0 t 1 #t 0 ( ) #v y ( t 0 ) v y t 1 t 1 "t 0 t 1 #t 0 ( ) #v z ( t 0 ) v z t 1 t 1 "t 0 t 1 #t 0 $v = lim x $t "0 $t $v = lim y $t "0 $t $v = lim z $t "0 $t Tale opeazione può essee effettuata pe ogni valoe di t, definendo così l acceleazione istantanea come la deivata vettoiale della funzione velocità. Si definisce così la funzione (vettoiale) a t ( ) che espime il valoe della velocità istantanea in funzione del tempo, come la deivata ispetto al tempo della funzione v ( t): [3.13] Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 21 ( ) = v "( t) = d v a t dt

23 Nicolò Beveini Appunti di fisica [3.14] # % a x t % $ a y t % % a z t &% ( ) = v x " ( t) = dv x dt ( ) = v y " ( t) = dv y dt ( ) = v z " ( t) = dv z dt 3.4 L acceleazione centipeta. Se un copo si muove con velocità in modulo costante, ciò non implica che la sua acceleazione sia nulla. Il fatto che il modulo della velocità sia costante, non implica affatto che sia costante il vettoe velocità. In effetti, il vettoe velocità ha, istante pe istante, la diezione dello spostamento d s, che è quello della tangente alla taiettoia. Se la taiettoia non è ettilinea, la diezione della sua tangente e quindi quella del vettoe velocità cambia; in base alla [3.13] il cambiamento della velocità implica che c è un acceleazione. Consideiamo il caso più elementae di un copo che si sta movendo lungo una taiettoia cicolae con velocità in modulo costante (moto cicolae unifome) e calcoliamo esplicitamente il valoe di tale acceleazione. Con ifeimento alla Fig. 3-2, detto v il valoe (costante) del modulo della velocità, vediamo che la diffeenza ta il valoe della velocità all istante t2 e t1 è in modulo pai a " v = 2v sin #, essendo α l angolo al cento (misua- 2 to in adianti) coispondente allo spostamento avvenuto lungo la ciconfeenza nell intevallo di tempo Δt = t2 t1. Poiché l aco pecoso in tale tempo è v (t2 t1), si ha " = v # $t. Fig. 3-2 Il modulo dell acceleazione media ta gli istanti t1 e t2 è quindi: [3.15] ( ) = " v a m t 1,t 2 "t = 2v sin# 2 "t e, passando al limite pe Δt 0, si tova che l acceleazione istantanea vale in modulo: " v [3.16] a = lim "t #0 "t = lim 2v sin$ 2 & v 2 = lim $ #0 $ v $ #0 % sin$ 2 ) ( + = v2 ' $ 2 * lim sin$ 2 $ #0 $ 2 Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 22

24 Nicolò Beveini Appunti di fisica Ricodando che sinx lim, si ottiene: x "0 x [3.17] a = v2 Ci esta da identificae la diezione del vettoe acceleazione. Ossevando ancoa la figua 1, ci si ende conto che, quando α 0, la diezione di " v tende a divenie otogonale alla diezione di v e quindi ad essee nella diezione del aggio della ciconfeenza. Si può dunque concludee che un copo che si muova di moto cicolae unifome è soggetto ad una acceleazione, costante in modulo e dietta lungo il aggio nella diezione del cento della taiettoia cicolae. Pe tale agione questa acceleazione pende il nome di acceleazione centipeta. Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 23

25 Nicolò Beveini Appunti di fisica 4. I pincipi della dinamica 4.1 Il pincipio d inezia Peché un copo si muove in un ceto modo? La isposta a questa domanda è l agomento della dinamica. Nel capitolo pecedente sono stati foniti gli stumenti necessai pe descivee il moto di un copo; oa affonteemo il poblema di deteminae quali siano le cause del moto e di definie le leggi con cui queste agiscono. A fondamento di tutto il quado teoico della fisica classica sta il cosiddetto pincipio d inezia, che è il pimo dei te assiomi fomulati da Newton nel 1687 nella sua opea fondamentale PHYLOSOPHIÆ NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA: Ciascun copo pesevea nel popio stato di quiete o di moto ettilineo unifome, eccetto che sia costetto a mutae quello stato da foze impesse. Lo stato natuale di moto di un copo isolato, che non inteagisce cioè con alti copi, è quindi di muovesi di moto ettilineo unifome (la quiete è un caso paticolae, in cui la velocità è nulla). Pe cambiae tale moto occoe che intevenga qualcosa dall esteno, qualcosa poveniente dall inteazione con qualche alto copo. In effetti, nell espeienza quotidiana noi osseviamo che un copo, che non subisca spinte estene, in moto su un piano dopo un tempo più o meno lungo si fema; ma ciò non contaddice l affemazione fatta: il allentamento infatti è dovuto all inteazione ta tale copo e l ambiente, pe esempio all attito adente ta il copo ed il piano su cuisi muove o a quello viscoso conto l aia. Facendo sì che tali inteazioni con l esteno diminuiscano (pe esempio togliendo l aia), vedemo il copo consevae più a lungo il suo stato di moto. Potemo dedune che, se fossimo in gado di isolalo completamente dall ambiente esteno, il movimento continueebbe in pepetuo. Il caso di un copo non inteagente con alti copi è puamente teoico; ma seve a stabilie la base teoica pe i nosti agionamenti. Noi cecheemo oa nella dinamica di stabilie le leggi che govenano le inteazioni di un copo con l ambiente in cui si muove, mettendo a fuoco i pincipi geneali ed in paticolae i cosiddetti pincipi di consevazione. Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 24

26 Nicolò Beveini Appunti di fisica 4.2 Il secondo pincipio della dinamica Pe cambiae lo stato di moto di un copo occoe dunque che su di esso agiscano cause estene ovveo delle foze. Una foza è la gandezza che misua l inteazione del copo in oggetto con il modo esteno. La foza peso è ad esempio geneata dall inteazione ta la massa del copo e la massa della Tea, la foza elastica è dovuta all azione di una molla, la foza elettica è dovuta all inteazione ta la caica elettica del copo consideato e le caiche esistenti nel mondo esteno. La misua del cambiamento del moto di un copo dà la misua della foza che è stata ad esso applicata. In paticolae, si potà affemae che due foze applicate ad uno stesso copo sono uguali se, agendo pe uno stesso intevallo di tempo, ne modificano allo stesso modo il moto, cioè ne cambiano la velocità di un uguale quantità " v. Qual è l effetto di foze uguali agenti pe lo stesso tempo Δt su copi divesi? Si tova che la velocità di essi cambia in agione invesamente popozionale alle loo masse ovveo, espesso in fomula " v [4.1] "t = f m ATTENZIONE La velocità è una gandezza vettoiale e quindi sono gandezze vettoiali sia la vaiazione di velocità " v sia la foza. Definiamo oa la gandezza (anche questa vettoiale) quantità di moto come il podotto ta la massa di un copo e la sua velocità: [4.2] q = mv. In base a tale definizione, si può eintepetae la [4.1], dicendo che l effetto di una foza costante f applicata pe un tempo Δt ad un copo ne fa vaiae la quantità di moto di una quantità pai a f "t ovveo: [4.3] f "t = " q L equazione [4.3[ è la fomulazione matematica di quanto Newton ha enunciato come 2 pincipio della dinamica. La gandezza h = f "t pende il nome di impulso. Dobbiamo qui fae una consideazione: il agionamento svolto sopa e la definizione data dell impulso pesuppone che la foza applicata al copo sia costante. Se ciò non si veifica, se cioè f vaia nel coso dell intevallo di tempo consideato e non è peciò univocamente definita, è oppotuno icoee ai metodi dell analisi matematica. Consideando alloa intevalli di tempo molto piccoli o, usando più popiamente il linguaggio dell analisi, passando al limite pe Δt 0, si potà iscivee la [4.3] usando i valoi i- stantanei: [4.4] f = d q, dt che, icodando la definizione della quantità di moto e che a = d v è equivalente a: dt Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 25

27 [4.5] Nicolò Beveini Appunti di fisica f = ma Utilizzando ancoa il linguaggio dell analisi, si può dae una definizione dell impulso, che sia valida anche nel caso geneale in cui la foza non è costante: t [4.6] h = " 2 f dt ovveo: [4.7] avendo definito t 1 h = f m "t, t # 2 f dt ciò che diemo il valo medio di f m = 1 "t t 1 E evidentemente sempe vea l espessione [4.8] h =" q, che potemo leggee nel seguente modo, che costituisce una fomulazione altenativa del 2º pincipio della dinamica: La vaiazione della quantità di moto di un copo è pai all impulso delle foze su di esso agenti nell intevallo di tempo consideato. f. 4.3 Il pincipio di azione e eazione Analizziamo oa più in dettaglio quanto accade nell inteazione ta due copi. Si pensi ad esempio a due caelli che si utano. Pima d utasi, essi hanno quantità di moto ispettivamente q 1 e q 2. Pe effetto della collisione, sul pimo caello agisce un impulso dovuto all azione del secondo caello h 2"1, che ne cambia la quantità di moto di una quantità " q 1. Simmeticamente, sul secondo caello agisce un impulso dovuto all azione del pimo caello h 1"2, che ne cambia la quantità di moto di una quantità " q 2. Come ha ossevato Newton, i due impulsi h 1"2 e h 2"1 sono uguali e contai: h 2"1 = # h 1"2. Di conseguenza " q 1 = # " q 2. Questo fatto costituisce il cosiddetto tezo pincipio della dinamica o pincipio di azione e eazione, che viene spesso enunciato nella foma: ad ogni azione coisponde una eazione uguale e contaia. Esso ha un valoe univesale: un copo appoggiato su un piano oizzontale subisce dal piano stesso una foza, dietta veso l alto uguale e contaia alla foza con cui il copo peme sul piano; su una palla che imbalza conto un muo agisce una foza impessa dal muo uguale e contaia a quella che il muo iceve dalla palla; una pieta che faccio uotae, legata ad uno spago, intono al dito iceve da esso una foza, necessaia a fonile la dovuta acceleazione centipeta, uguale e contaia alla tazione che la pieta, tamite lo spago, esecita sul dito; la mela che Newton vede cadee dall albeo è attatta dalla Tea con una foza uguale e contaia a quella con cui la mela stessa attae la Tea. Quest ultimo caso può sembae a pima vista paadossale; ma facciamo attenzione a quanto affema il tezo pincipio. Esso asseisce che le foze, e di conseguenza gli impulsi e le vaiazioni di quantità di moto, Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 26

28 Nicolò Beveini Appunti di fisica sono uguali e contai; mente invece le acceleazioni e le vaiazioni di velocità della mela e della Tea sono ben diffeenti, essendo invesamente popozionali alle ispettive masse. E pe questo che noi vediamo la mela cadee veso la Tea e non vicevesa. 4.4 Le unità di misua di massa e di foza. Nei paagafi pecedenti abbiamo palato di masse, senza dae pima una definizione fomale pecisa di tale gandezza. L equazione [4.1] del 4.2 ci fonisce un metodo pe confontae due masse ta loo. Possiamo confontae la massa di un copo con quella di un alto (in paticolae con una massa assunta come unità di misua), applicando ai due copi un i- dentico impulso (cioè una stessa foza pe un identico intevallo di tempo) e misuando il appoto ta le loo vaiazioni di velocità. Come si è detto nel cap. 1, nel S.I. la massa è assunta come una delle unità fondamentali e la sua unità di misua è il kilogammo (kg). Pe quanto iguada la foza, essa è consideata una gandezza deivata. Pe la sua definizione si può utilizzae la elazione [4.5] f = ma. Si ha quindi: L unità di misua di foza è quella foza che impime alla massa unitaia l acceleazione unitaia. Nel sistema intenazionale la foza unitaia è dunque quella foza che, applicata ad un copo di massa di 1 kg, gli impime un acceleazione di 1 m/s 2. L unità di misua di foza è quindi il kg m/s 2. Tale unità assume il nome di newton (N). 4.5 La massa e il peso Il concetto di massa non deve assolutamente essee confuso con quello di peso. La massa espime l inezia di un copo, cioè la sua esistenza a vaiae la velocità di fonte all azione di una foza. Il peso di un copo è invece la foza che agisce su di esso, dovuta all attazione gavitazionale della Tea. In più, la massa è una gandezza scalae; il peso è una gandezza vettoiale. Sono due gandezze divese, senza elazione a pioi ta loo, espesse in unità di misua diffeenti. L espeienza mosta peò che, in un qualunque punto dello spazio in possimità della supeficie teeste, esiste una elazione di popozionalità dietta ta il peso F p di un copo che lì si tova e la sua massa, indipendentemente da qualunque alta popietà del copo stesso: [4.9] F p = mg Il vettoe g che appae nella elazione [4.9] e che ha le dimensioni fisiche di un acceleazione, pende il nome di vettoe del campo gavitazionale Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 27

29 Nicolò Beveini Appunti di fisica o acceleazione di gavità. Il modulo di g in possimità della supeficie teeste alle noste latitudini vale all incica 1 9,81 m/s 2. Peso e massa sono dunque diettamente popozionali ta loo; confontae le masse di due copi oppue i loo pesi (nello stesso posto) dà dunque lo stesso isultato. Gan pate delle bilance commeciali infatti di noma pe misuae le masse confontano i pesi dei copi. I due concetti non vanno peò confusi ta loo e le due gandezze vanno espesse utilizzando le ispettive unità di misua: 1 kg di pee in effetti pesa cica 9,81 N. Spostandomi sulla supeficie della tea il loo peso vaieebbe da 9,78 N in possimità dell equatoe a 9,83 N al Polo. Se poi andassi sulla Luna, la massa delle pee esteebbe sempe 1 kg, ma il loo peso si iduebbe a cica 2,5 newton. 1 Il valoe di g vaia con la latitudine da un valoe minimo di cica 9,780 all equatoe a cica in possimità dei poli Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 28

30 Nicolò Beveini Appunti di fisica 5. Alcuni esempi di foze e di moto 5.1 L equazione del moto. La descizione completa del moto di un copo è contenuta, come si è detto nel Eo Refeence souce not found. dalla cosiddetta legge oaia del moto, ossia dalla funzione s (t), che espime il valoe del vettoe posizione in funzione del tempo. Il poblema fondamentale della dinamica è quello di deteminae quale sia la legge oaia del moto, conoscendo le foze agenti sul copo. Ciò può essee ottenuto sfuttando la seconda legge della dinamica. Questa, infatti, nella sua foma [4.5] f = ma, collega, istante pe istante, il valoe della isultante delle foze agenti sul copo all acceleazione del moto. Ricodiamo che nel cap. 2 abbiamo definito l acceleazione come la deivata seconda della legge oaia del moto. La [4.5] può quindi essee iscitta nella foma: [5.1] f = m d2 s t dt 2 Se si conosce il valoe in ogni istante di tale foza isultante (palando in temini matematici, se si conosce come vaia la funzione f ( t) ), questa elazione è un equazione diffeenziale, che viene comunemente detta equazione del moto, la cui incognita è la funzione s (t). Matematicamente, isolvee tale equazione significa deteminae quale sia quella funzione che, sostituita nella [5.1] la ende un identità pe qualunque valoe di t. 5.2 Foze costanti e il moto unifomemente acceleato. Risolvee esplicitamente l equazione del moto può essee in geneale un aduo poblema matematico. Noi affontiamo qui il caso semplice del moto di un copo che sia soggetto ad una foza costante. Se il valoe della foza si mantiene costante (icodiamo che, essendo la foza una gandezza vettoiale, ciò significa che esta costante sia il valo- ( ) Coso di lauea in Infomatica Applicata Polo Univesitaio G. Maconi della Spezia 29

durante lo spostamento infinitesimo dr la quantità data dal prodotto scalare F dr

durante lo spostamento infinitesimo dr la quantità data dal prodotto scalare F dr 4. Lavoo ed enegia Definizione di lavoo di una foza Si considea un copo di massa m in moto lungo una ceta taiettoia. Si definisce lavoo infinitesimo fatto dalla foza F duante lo spostamento infinitesimo

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