I Compito di Geometria - Ingegneria Edile - 25 ottobre 2000 Tra parentesi [ ] è indicato il punteggio di ogni esercizio.

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1 I Compito di Geometria - Ingegneria Edile - 25 ottobre 2000 Tra parentesi [ ] è indicato il punteggio di ogni esercizio. A [8] Sono date le matrici A M 34 (IR) e b M 31 (IR) A = k 1 k, b = k 2 +2k k 0 k 1. Per ogni k IR dire se la matrice 3 5 (A b) è ridotta e in caso contrario determinarne una ridotta equivalente. 2. Dire per quali k IR esiste almeno una matrice X M 41 ( IR ) tale che A X = b. 3. Nei casi k = 1, k= 0 determinare tutte le matrici X tali che A X = b (se ce ne sono). B Sono date le matrici A, B in M 33 (IR): A = , B = Dire se la matrice A è invertibile e in caso affermativo determinare A 1.[3] 2. Dire se la matrice B è una matrice elementare e in caso affermativo dire quale operazione elementare viene eseguita su una matrice generica C mediante la moltiplicazione B C. Quante righe e quante colonne può avere la matrice C? [2 ] 3. Risolvere l equazione X A = B, dove X M 3,3 ( IR ).[3] 4. Risolvere l equazione (Y +2I) A = B, dove Y M 3,3 (IR), I = matrice identica 3x3. [2] C Segnare la risposta esatta alle seguenti domande. 1. Sia A matrice 10x10 tale che il sistema A X = b, X, b M 10,1 (IR) ha 2 soluzioni allora: [1] (a) La caratteristica di A è ρ(a) 8 (b) La caratteristica di A è ρ(a) 8 (c) La caratteristica di A è ρ(a) = 8 (d) Niente si può dire sulla caratteristica di A. 2. Sia A matrice 10x10 tale che il sistema A X = b, X,b M 10,1 ( IR ) ha almeno 2 soluzioni allora: [1] (a) La caratteristica di A è ρ(a) 8 (b) La caratteristica di A è ρ(a) 8 (c) La caratteristica di A è ρ(a) = 8 (d) Niente si può dire sulla caratteristica di A. 3. Sia A matrice 10x10 tale che il sistema A X = b, X,b M 10,1 ( IR ) non ha soluzioni allora: [1] (a) La caratteristica di A è ρ(a) 9 (b) La caratteristica di A è ρ(a) = 10 (c) Niente si può dire sulla caratteristica di A. 4. Sia A matrice invertibile 10x10, allora il sistema A X = b, X,b M 10,1 ( IR ) ha: [1] (a) Almeno 1 soluzioni per ogni b M 10,1 (IR) (b) Il numero di soluzioni dipende dalla matrice b M 10,1 (IR). (c) Il sistema ha sempre una sola soluzione per ogni b M 10,1 (IR). (d) Il sistema non ha soluzioni. 1

2 ( 1 2 D Data la matrice A M 2,2 (IR), A = 0 1 tale che per ogni matrice X M 2,2 ( IR ) si abbia F (X) =A X + A t. ), si consideri l applicazione F : M 2,2 (IR) M 2,2 (IR) 1. Calcolare: F (A 1 ), F(I) (I matrice identica) e F 1 (0), cioè la controimmagine della matrice nulla 0.[4] 2. Determinare l insieme {X M 2,2 (IR) tali che F (X) è matrice simmetrica}.[2] 3. Dire se l applicazione F è iniettiva e/o surgettiva.[3] I Compito di Geometria - Ingegneria Edile - 31 ottobre 2001 k +21 2k 6 0 k +1 k +20 k +21 3k 9 0 k +1 k +2 k +2 A [9] Date le matrici A M 4,4 (IR), b M 4,1 (IR): A = 1. Dire per quali k IR esiste almeno una matrice X M 4,1 ( IR ) tale che A X = b. 2. Nei casi in cui ci sono infinite soluzioni, determinare tutte le X tali che A X = b. 3. Data la matrice Y =(1, 0, 1, 0), dire se esiste k IR tale che AY T = b B Data la matrice A = k 1 : Determinare la caratteristica di A al variare di k IR., b = 2 2 k Per quali valori di k IR si puo scrivere la colonna c 4 come combinazione lineare delle altre colonne? Per tali valori (se ce ne sono) determinare tutte le combinazioni lineari possibili. [3] 3. Per quali valori di k IR si puo scrivere la riga r 4 di A come combinazione lineare delle altre righe? Per tali valori (se ce ne sono) determinare tutte le combinazioni lineari possibili. [3] C Sono date le matrici A, B in M 33 (IR): A = 0 1 2, B = Dire se la matrice A è invertibile e in caso affermativo determinare A 1. [3] 2. Dire se la matrice M = A A T è invertibile e in caso affermativo determinare M 1. [2] 3. Risolvere l equazione A X A 1 = AB I, dove X M 3,3 (IR). [4] ( ) 1 2 D Data la matrice M = M 1 1 2,2 (IR), trovare {Y M 2,2 ( IR ) t.c. Y sia diagonale e M Y sia matrice simmetrica}. [4]. I Compito di Geometria (recupero) - Ingegneria edile k +1 1 k k k 1 k 0 k 2 3 k +1 k +1 3k 1 4 A Date le matrici A M 4,4 (IR), b M 4,1 (IR): A = 1. Dire per quali k IR esiste almeno una matrice X M 4,1 ( IR ) tale che AX = b. 2. Nei casi in cui ci sono infinite soluzioni, determinare tutte le X tali che AX = b. 3. Data la matrice Y =(1, 1, 0, 0), dire se esiste k IR tale che AY T = b., b = k k 2 + k. 2

3 4. Dire se esiste k IR tale che l insieme delle soluzioni del sistema sia un sottospazio di IR 4. B Data la matrice A = : 1 1 k 1. Determinare per quali valori di k IR si può scrivere la riga r 3 di A come combinazione lineare delle altre righe. Per tali valori (se ce ne sono) determinare tutte le combinazioni lineari possibili. 2. Per k = 0 verificare che A è invertibile e trovare A Dire al variare di k IR quante soluzioni ha l equazione AXA T = I, con X M 3,3 (IR). Per k = 0, scrivere tutte le soluzioni dell equazione AXA T = I. 4. Determinare {X M 3,3 (IR) AX è matrice triangolare superiore } II Compito di Geometria - Ingegneria edile - dicembre 2001 A Sia ϕ :IR 4 IR 4 l operatore associato mediante le basi canoniche alla matrice M = 1. Calcolare ϕ(x, Y, Z, T). [1] 2. Determinare una base e la dimensione per i sottospazi Ker(ϕ) e Im(ϕ). [3] 3. Dire se il vettore (1, 0, 0, 0) appartiene ad Im(ϕ).[2] 4. Determinare ϕ 2 (1, 1, 0, 0). [1] Dire se ϕ è semplice e, in caso affermativo, determinare una base di autovettori e due matrici P e, P invertibile, diagonale, che diagonalizzano la matrice M. B Sia dato il numero complesso α = i. 1. Scrivere α in forma trigonometrica ed esponenziale. [1] 1 2. Disegnare nel piano di Gauss i numeri α, α, α, α8. [6] 3. Determinare e poi disegnare nel piano di Gauss le radici quarte di α (ossia le soluzioni dell equazione X 4 = α ). [3] 4. Scrivere un polinomio P (X) a coefficienti reali di grado minimo avente α come radice doppia e tale che P (0) = 1. [2]. C 1. Dire perche B := { (i, 0), (0, 1) } e una base del Cl -spazio vettoriale Cl 2. [2 ] 2. Trovare le coordinate del vettore v =(3 i, 2) rispetto a tale base B. [2 ] 3. [1] Dire se esistono applicazioni lineari f : Cl 2 Cl 3 tali che f(i, 0) = (1,i,1 i) e f(0, 1) = (2, 1,i). 4. In caso affermativo dire quante ce ne sono, calcolare f(3 i, 2) e (facoltativo) determinare Im(f), Ker(f) e f 1 (3,i 1, 1). [1] + [3] 3

4 III Compito di Geometria - Ingegneria edile A Nel fascio di piani avente per asse la retta r : x y =2x + z 1 = 0 determinare se esistono: 1. Il piano ortogonale alla retta a : x = y =2z. 2. Il piano π contenente la retta s : { x =12+t ; y = t ; z =1 2t }. Determinare inoltre: 3. la distanza tra le rette r e s ; 4. una rappresentazione cartesiana per la circonferenza tangente alla retta r in P (0, 0, 1) e tangente a s. { x B Data la circonferenza Γ : 2 + y 2 + z 2 2x +4z +1=0 x + y + z 2=0 1. Determinare centro e raggio di Γ. 2. Determinare le equazioni delle sfere contenenti Γ e aventi raggio 2. C Data la famiglia di coniche C k di equazione 3x 2 4xy + ky 2 +(8 2k)y =0. 1. Riconoscere il tipo della conica C k al variare di k IR, specificando per quali k la conica è degenere. 2. Ridurre a forma canonica e disegnare la conica C 0 della famiglia (ottenuta per k = 0 ). Fornire le formule di cambiamento di coordinate tra il sistema Oxyz e un sistema O x y z in cui l equazione della conica si scrive in forma canonica. D Nell IR -spazio vettoriale V 3, nel quale ogni vettore è indicato mediante le sue coordinate rispetto a una base ortonormale E : ı, j, k., consideriamo il sottospazio W = {(a, b, a b) :a, b IR }. 1. Trovare una base B di W. 2. Provare che il vettore v =(1, 1, 0) appartiene a W e trovare le coordinate di v rispetto alla base B. 3. Trovare una base ortonormale di W e completarla ad una base ortonormale di V Determinare i vettori di W che formano un angolo di π/3 con il vettore v =(1, 1, 0). 5. Utilizzando i risultati precedenti, determinare nello spazio in cui abbiamo fissato un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxy z, i vertici e il volume di un tetraedro (piramide regolare a base triangolare) con due vertici nei punti O(0, 0, 0) e A(1, 1, 0). III Compito di Geometria (recupero) - Ingegneria edile A Dati nello spazio in cui è stato fissato un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz il punto P (1, 0, 1) e la retta r : x 2z = y z 1=0, determinare: 1. Il punto P simmetrico di P rispetto alla retta r. 2. Una rappresentazione cartesiana della circonferenza Γ ottenuta ruotando il punto P attorno alla retta r. 3. Delle equazioni parametriche o cartesiane per la retta tangente in P alla circonferenza Γ. 4. Una sfera contenente la circonferenza Γ che sia tangente al piano di equazione y 3 = L equazione del piano contenente la retta r e il punto P. B Sia fissata in V 3 una base ortonormale destrorsa E = {i, j, k} e siano v =2i + j k, t = i +2j + k. 1. Provare che W = {w V 3 tali che w v} è sottospazio di V 3 e determinarne una base ortonormale. 4

5 2. Determinare l angolo formato dai vettori v e t. 3. Determinare tutti i vettori paralleli a v la cui proiezione ortogonale sul vettore t ha modulo = 1. C Dati nello spazio i 3 punti A(1, 2, 2), B(2, 3, 0) C(2, 1, 2), provare che il triangolo ABC è rettangolo e determinare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza circoscritta ad esso. D Data la famiglia di coniche C k di equazione kx 2 +2(k 3)xy +4ky 2 +2x 2y =0. 1. Riconoscere il tipo della conica C k al variare di k IR, specificando per quali k la conica è degenere e disegnando le coniche degeneri del fascio. 2. Ridurre a forma canonica e disegnare la conica C 3 della famiglia (ottenuta per k = 3 ). Fornire le formule di cambiamento di coordinate tra il sistema Oxyz e un sistema O x y z in cui l equazione della conica si scrive in forma canonica. Esame di Geometria - Ingegneria edile A 1. Dire perchè le condizioni seguenti definiscono un applicazione lineare f :IR 4 IR 4 f(1, 0, 0, 1) = ( 1, 0, 0, 1) f(1, 1, 0, 1)=( 1, 0, 0, 1) f(0, 0, 1, 0) = ( 0, 0, 0, 0) f(1, 1, 0, 1) = ( 1, 0, 0, 1) 2. Determinare la matrice A associata all applicazione f mediante le basi canoniche. 3. Determinare f(1, 2, 3, 4). 4. Determinare una base per i sottospazi Ker(f) e Im(f). 5. Verificare che f è semplice e determinare una matrice P invertibile e una matrice diagonale tali che P 1 AP =. B Sia Fissato nello spazio un sistema di coordinate ortogonali monometriche Oxyz. Sia π il piano di equazione x + z = 2e siano A(2, 0, 0), B(0, 0, 2) due punti. 1. Trovare delle equazioni per la retta r proiezione ortogonale dell asse x sul piano π e verificare che il punto B appartiene a r. 2. Trovare l equazione del piano σ che contiene r e l asse x (se non già trovato sopra). 3. Determinare un punto P sull asse x in modo che il triangolo PAB sia rettangolo in P e scrivere una rappresentazione cartesiana per la circonferenza circoscritta al triangolo AP B. C Studiare e disegnare la conica di equazione 4x 2 +12xy +9y 2 +6x 4y =0. D Sia dato il numero complesso α = ( 3 i) 5 i( 1+i) Scrivere α in forma trigonometrica ed esponenziale. 2. Disegnare nel piano di Gauss le soluzioni dell equazione X 4 = α. Esame di Geometria - Ingegneria edile A Sia fissata nello spazio vettoriale V 3 una base ortonormale destrorsa E = {i, j, k}. Sono dati i vettori v 1,v 2,v 3 (espressi in coordinate rispetto alla base E ): v 1 =(1,a,2), v 2 =(2,a+1, 2a +2), v 3 (1, 1, 4), a IR, e sia W = L{v 1,v 2 } 1. Determinare la dimensione e una base di W, al variare di a IR. 2. Dire per quali a IR il vettore v 3 appartiene a W ; per tali valori di a determinare le coordinate del vettore v 3 rispetto alla base di W trovata al punto 1. 5

6 3. Per a = 1 trovare una base ortonormale di W e completarla ad una base ortonormale di V Per a = 1 calcolare l angolo formato dai vettori v 1,v 2. B Data la conica x 2 +2xy + λy 2 +2λx +1=0, λ IR, riconoscere al variare di λ IR il tipo di conica e disegnare quella ottenuta ponendo λ = 1. C Dire perchè esiste una trasformazione lineare ϕ :IR 4 IR 4 tale che ϕ(0, 0, 1, 1) = (1, 1, 1, 1) ϕ(1, 1, 0, 0) = (2, 2, 0, 0) ϕ(1, 0, 0, 1) = (1, 1, 1, 1) ϕ(1, 0, 0, 0) = (1, 0, 0, 0). 1. Scrivere la matrice Mϕ KK associata a ϕ mediante la base canonica K. 2. Determinare ϕ(x, y, z, t). 3. Calcolare dimensione e basi per i sottospazi Kerϕ e Imϕ. 4. Dire se ϕ è semplice, e in caso affermativo diagonalizzare Mϕ KK ogni autospazio di ϕ. D Dati la retta r : {x =2y = z}, il piano π : x + y + z = 5 ed il punto P =(1, 0, 1) :,se ϕ non è semplice trovare una base per 1. Trovare la retta s contenuta in π, s ortogonale a r e incidente r. 2. Scrivere l equazione della sfera con centro in P e tangente alla retta r. 3. Trovare la circonferenza di asse r e passante per P. E Disegnare nel piano di Gauss: 1. Il numero complesso z = e 1+2i. 2. Le soluzioni dell equazione X 4 = 1+i 3. Esame di Geometria - Ingegneria edile - 7 giugno 2002 x A Dato il sistema lineare AX = b, dove X = y (A, b) = 1 k 2k 1 z 2 k +1 2k Discutere per ogni k IR il numero di soluzioni del sistema. 2. Considerare ora il sistema omogeneo AX = 0 associato al sistema precedente. Dire per ogni k IR qual è la dimensione del sottospazio costituito dalle soluzioni di AX = 0. B. Data l applicazione lineare φ :IR 3 IR 3 tale che φ(x, y, z) =(x +2y +2z, 2x +4y 4z, 2x 4y +4z) : 1. Scrivere la matrice M E,E φ associata a φ rispetto alla base canonica E e determinare una base ortonormale per i sottospazi ker(φ) e Im(φ); 2. Sia v =(1, 2, 2) : dire perchè v è autovettore per φ. Verificare che φ è semplice (N.B. non sono necessari molti conti!) e scrivere una matrice ortogonale P e una matrice diagonale che diagonalizzano la matrice (simmetrica) M E,E φ. : 6

7 C. Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate { cartesiane ortogonali { monometriche destrorse x y =0 2x y + z =0 Oxyz, sono dati il punto P (1, 1, 1) e le rette r : x + z =1, s :. y + z =0 1. Trovare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza γ con centro in P e tangente alla retta r. 2. Scrivere delle equazioni per il cilindro che proietta γ parallelamente all asse z. 3. Dire se le rette r e s sono sghembe o complanari, dire qual è la loro distanza e, se esiste, determinare il piano che le contiene. D. Riconoscere, ridurre a forma canonica e disegnare la conica C di equazione E. Dato il numero complesso α = 1+i 3 1 i 1. Calcolare modulo e argomento di α 20. 4xy +3y 2 4x +2y 4=0. 2. Disegnare nel piano di Gauss le soluzioni dell equazione X 4 = α Trovare un polinomio P (X) a coefficienti reali di grado minimo avente α 2 come radice di molteplicità µ(α) = 2e tale che P (0) = 1. Esame di Geometria - Ingegneria Edile x + y + kz =2 A Dato il sistema lineare nelle incognite x, y, z : kx + ky + z = k 2 + k 2kx + (k 2 + k)y + 2z =2k +2 discuterne per ogni k in IR il numero di soluzioni e risolverlo, se possibile, per k = 0, k = 1. B 1. Determinare una base per il sottospazio V = {v IR 3 : v (1, 2, 1)} IR Definire un applicazione lineare f : IR 4 IR 4 tale che ker(f) =V, λ = 2sia autovalore per f e (1, 2, 1) sia autovettore associato a tale autovalore. 3. Determinare la matrice M associata a f mediante la base canonica. Se possibile, diagonalizzare M mediante una matrice ortogonale P. (N.B. Non è necessario trovare il polinomio caratteristico!) C Dato il numero complesso α = 2i 1 i Cl : Risolvere in Cl l equazione X 6 = α 6, e Z = α i e disegnare nel piano di Gauss tutte le soluzioni D Nello spazio, nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche destrorse Oxyz, sono dati il punto P ( 1, 1, 1) e il piano π : x + y z =0. 1. Determinare la proiezione ortogonale H di P sul piano π. 2. Trovare l equazione cartesiana del piano σ contenente P e l asse y. 3. Scrivere delle equazioni per la circonferenza Γ ottenuta ruotando P attorno alla retta r = π σ. E Riconoscere, ridurre a forma canonica e disegnare la conica γ di equazioni 4x 2 +4xy y 2 10x +5y =0. Esame di Geometria per Ingegneria Edile - 17 ottobre 2002 A Sono date al variare di k IR le applicazioni lineari f :IR 4 IR 4 associate tramite la base canonica alla matrice k k 2 1 k (k +1)/4 0 k k k 7

8 1. Determinare dim(ker(f)) e dim( Im(f)) per ogni k IR. 2. Dire per quali k il vettore (1,k+1, (k 2 + k)/4, 0) appartiene a Im(f). 3. Per k = 0, scrivere tutti gli autovettori di f e dire se f è diagonalizzabile. B Riconoscere, ridurre a forma canonica e disegnare la conica di equazione 3X 2 +6XY 5Y 2 16Y =0. C Risolvere in Cl l equazione (1 + i)z 3 =2 i nell incognita z e disegnarne tutte le soluzioni nel piano di Argand-Gauss. D Nell IR -spazio V 3 è fissata una base ortonormale B : ı, j, k e i vettori che seguono sono assegnati mediante le loro coordinate rispetto a B. Sia W = L{(1, 1, 0), (1, 2, 2)}. 1. Scrivere una base ortonormale B per W. 2. Completare B a base ortonormale B 1 per V Dire per quale λ IR il vettore v = j + λ k appartiene a W. E Nello spazio nel quale è stato fissato un sistema di coordinate cartesiane ortogonali monometriche destrorse Oxyz, sono dati il punto P (1, 2, 3) e la retta r di rappresentazione cartesiana { 1. Calcolare il punto Q, proiezione di P su r. x + z =0 r : 2. Scrivere il piano β contenente P e r. 2x y +1=0 3. Determinare una rappresentazione cartesiana per la circonferenza di centro P e tangente a r. 8