Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 16: 2 maggio 2012

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa lezone 16: 2 maggo 2012 professor Danele Rtell 1/19?

2 CCT/CCTEu S tratta d un ttolo a cedola varable: s ha l esborso d un captale nzale C a seguto da n cedole, che s solto sono ndczzate al rendmento de BOT, e dalla resttuzone del captale C r contestualmente all ultma cedola. L esborso nzale ed l rmborso fnale per svarat motv possono non essere concdent. Sono ttol d credto al portatore o all ordne, con rendmento a tasso varable. Gl nteress sono corrspost tramte cedole semestral postcpate (v sono stat cas, n passato, d emsson con cedola annuale), l cu rendmento è par al rendmento de BOT semestral nell ultma asta che precede l godmento della cedola, aumentato d uno spread che dal 1996 è stato fssato a 15 punt base (0,15%). Il rmborso avvene alla par n un unca soluzone alla scadenza. 2/19?

3 Nel 2010 CCT sono stat modfcat e sosttut dal CCTEu. Il ttolo è sempre a tasso varable ma è ndczzato al tasso d nteresse nterbancaro Eurbor 6 mes. La prma emssone d questa tpologa d ttol era d 5 ann, successvamente d 7. Il mnstero del Tesoro non esclude la possbltà d cambament al rguardo, n base alle preferenze espresse dal mercato. C a C 1 C 2 C n 1 CnC r n1 n 3/19?

4 Nel 2010 CCT sono stat modfcat e sosttut dal CCTEu. Il ttolo è sempre a tasso varable ma è ndczzato al tasso d nteresse nterbancaro Eurbor 6 mes. La prma emssone d questa tpologa d ttol era d 5 ann, successvamente d 7. Il mnstero del Tesoro non esclude la possbltà d cambament al rguardo, n base alle preferenze espresse dal mercato. C a C 1 C 2 C n 1 CnC r n1 n R() = C a + C s (1 + ) s + C r (1 + ) n s=1 3/19?

5 Nel caso de CCT non c sono semplfcazon nel calcolo: occorre rsolvere la corrspondente equazone algebrca d grado n (= numero delle cedole) n cu compaono tutt termn. 4/19?

6 Consderazon teorche La rcerca del tr, è, n generale, un problema mal posto, nel senso che non è dato sapere, a pror, se l rea s annull n corrspondenza d un tasso fnanzaramente sgnfcatvo. Il problema pù semplce Un nvestmento C 0 è effettuato al tempo zero, po seguono n entrate, C 1,..., C n a temp, t 1 = 1,..., t n = n. 5/19?

7 Teorema. Sa assegnato l flusso d cassa C 0, C 1,..., C n. Supposto che sa: (a) C 0 < 0, C 1,..., C n 0 (b) C C n > C 0 allora esste un solo tale che R( ) = 0. 6/19?

8 Dmostrazone. onamo v = (1 + ) 1. Consderamo la funzone: f(v) = k=0 C k v k. ( ) 7/19?

9 Dmostrazone. onamo v = (1 + ) 1. Consderamo la funzone: f(v) = k=0 C k v k. ( ) er le potes (a) e (b) la funzone ntrodotta n ( ) ammette una radce nell ntervallo aperto ]0, 1[: f(0) = C 0 < 0, f(1) = C k > 0. k=0 7/19?

10 Dmostrazone. onamo v = (1 + ) 1. Consderamo la funzone: f(v) = C k v k. ( ) k=0 er le potes (a) e (b) la funzone ntrodotta n ( ) ammette una radce nell ntervallo aperto ]0, 1[: f(0) = C 0 < 0, f(1) = C k > 0. Resta da far vedere l unctà d tale radce. La dervata f (v) è strettamente postva: f (v) = k C k v k 1 k=1 7/19? k=0

11 Crtero d Nostrøm A Suffcent Condton for a Unque Internal Rate of Return The Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, Vol. 7 No. 3 (1972) /19?

12 Teorema. Dato l flusso d cassa a 0, a 1,..., a n consderamo l flusso cumulato non attualzzato all stante 0 t n A t = t k=0 a k Dremo flusso d cassa cumulatvo l flusso A 0, A 1,..., A n. Allora l flusso a 0, a 1,..., a n ha unco tr se l flusso d cassa cumulatvo camba segno una sola volta e A n 0. 9/19?

13 La condzone d E. Lev Utlzzamo una notazone dversa da quella con cu abbamo presentato fluss d cassa. Le uscte, che sono le partte negatve del flusso, saranno denotate con la lettera u e saranno numerate n ordne crescente: u 1, u 2,..., u s. Le valute delle uscte saranno ndcate con la sequenza temporale t 1, t 2,..., t s. 10/19?

14 La condzone d E. Lev Utlzzamo una notazone dversa da quella con cu abbamo presentato fluss d cassa. Le uscte, che sono le partte negatve del flusso, saranno denotate con la lettera u e saranno numerate n ordne crescente: u 1, u 2,..., u s. Le valute delle uscte saranno ndcate con la sequenza temporale t 1, t 2,..., t s. Le entrate avranno scadenze τ 1,..., τ r, r N, anche esse sono rappresentate n ordne crescente e denotate da e 1,..., e r. 10/19?

15 La condzone d E. Lev Utlzzamo una notazone dversa da quella con cu abbamo presentato fluss d cassa. Le uscte, che sono le partte negatve del flusso, saranno denotate con la lettera u e saranno numerate n ordne crescente: u 1, u 2,..., u s. Le valute delle uscte saranno ndcate con la sequenza temporale t 1, t 2,..., t s. Le entrate avranno scadenze τ 1,..., τ r, r N, anche esse sono rappresentate n ordne crescente e denotate da e 1,..., e r. Qu ammettamo possble pù d una uscta e non faccamo l potes che le valute delle uscte debbano precedere le valute delle entrate. 10/19?

16 Il concetto crucale della condzone d Lev è quello d scadenza meda artmetca: 11/19?

17 Il concetto crucale della condzone d Lev è quello d scadenza meda artmetca: ζ u = t 1u t s u s u u s 11/19?

18 Teorema Se l flusso fnanzaro, composto dalle uscte u 1,..., u s e dalle entrate e 1,..., e r, con le scadenze rspettve t 1, t 2,..., t s e τ 1,..., τ r è tale che: 1. la somma delle entrate supera quella delle uscte: r s e k > u j, k=1 j=1 12/19?

19 Teorema Se l flusso fnanzaro, composto dalle uscte u 1,..., u s e dalle entrate e 1,..., e r, con le scadenze rspettve t 1, t 2,..., t s e τ 1,..., τ r è tale che: 1. la somma delle entrate supera quella delle uscte: r s e k > u j, k=1 j=1 2. la scadenza meda artmetca delle uscte precede la prma entrata: ζ u < τ 1, 12/19?

20 Teorema Se l flusso fnanzaro, composto dalle uscte u 1,..., u s e dalle entrate e 1,..., e r, con le scadenze rspettve t 1, t 2,..., t s e τ 1,..., τ r è tale che: 1. la somma delle entrate supera quella delle uscte: r s e k > u j, k=1 j=1 2. la scadenza meda artmetca delle uscte precede la prma entrata: ζ u < τ 1, esste allora uno ed un solo tasso nterno d rendmento dell operazone fnanzara. 12/19?

21 Rendte n progressone artmetca Una rogressone artmetca è una successone d numer real (x n ) n cu la dfferenza d fra due termn successv è costante. x n x n 1 = d. (1) 13/19?

22 Rendte n progressone artmetca Una rogressone artmetca è una successone d numer real (x n ) n cu la dfferenza d fra due termn successv è costante. x n x n 1 = d. (1) (x n ) è ndvduata unvocamente se s assegna l prmo termne x 1. Infatt se ponamo x 1 = a R: x 1 = a, x 2 = a + d, x 3 = a + 2d,... 13/19?

23 Rendte n progressone artmetca Una rogressone artmetca è una successone d numer real (x n ) n cu la dfferenza d fra due termn successv è costante. x n x n 1 = d. (1) (x n ) è ndvduata unvocamente se s assegna l prmo termne x 1. Infatt se ponamo x 1 = a R: x 1 = a, x 2 = a + d, x 3 = a + 2d,... ragonando nduttvamente per ogn n N : x n = a + (n 1) d. (1 ) 13/19?

24 Rendte n progressone artmetca Una rogressone artmetca è una successone d numer real (x n ) n cu la dfferenza d fra due termn successv è costante. x n x n 1 = d. (1) (x n ) è ndvduata unvocamente se s assegna l prmo termne x 1. Infatt se ponamo x 1 = a R: x 1 = a, x 2 = a + d, x 3 = a + 2d,... ragonando nduttvamente per ogn n N : x n = a + (n 1) d. (1 ) a è detto prmo termne e d la ragone. 13/19?

25 Teorema Sa (x n ) una progressone artmetca d prmo termne x 1 e ragone d, s ha: x k = n 2 (x 1 + x n ). (2) k=1 14/19?

26 Montante d una rendta n progressone artmetca Regme semplce Sa ρ la ragone e C l prmo termne C k = C + (k 1)ρ. C C+! C+ k! C+ (n - 1)! O k n 15/19?

27 Montante d una rendta n progressone artmetca Regme semplce Sa ρ la ragone e C l prmo termne C k = C + (k 1)ρ. C C+! C+ k! C+ (n - 1)! O k n Il montante è: V n = C k [1 + (n k)] = k=1 [C + (k 1)ρ] [1 + (n k)]. k=1 15/19?

28 V n = C [1 + (n k)] + ρ k [1 + (n k)] k=1 ρ [1 + (n k)]. k=1 (3) k=1 16/19?

29 V n = C [1 + (n k)] + k=1 ρ [1 + (n k)]. k=1 ρ k [1 + (n k)] Il prmo e l terzo addendo a secondo membro n (3) s calcolano con la somma de prm n natural: C [1 + (n k)] = C k=1 ρ [1 + (n k)] = ρ k=1 k=1 [ n + [ n + ] n(n 1), 2 ] n(n 1) 2, (3) 16/19?

30 per l secondo addendo del secondo membro d (3) c occorre la relazone k=1 k(n k) = n3 n 6 (4) 17/19?

31 per l secondo addendo del secondo membro d (3) c occorre la relazone k=1 k(n k) = n3 n 6 che permette d dedurre ρ k [1 + (n k)] = ρ k=1 n(n + 1) 2 + ρ n3 n, 6 (4) 17/19?

32 In defntva abbamo: [ ] n(n 1) V n = C n ρ [ n(n 1) 2 + ] n(n 1)(n 2). (5) 6 18/19?

33 In defntva abbamo: [ ] n(n 1) V n = C n + 2 [ n(n 1) + ρ 2 + ] n(n 1)(n 2). (5) 6 (5) s può scrvere usando coeffcent bnomal [( ) ( )] [( ) ( )] n n n n V n = C + + ρ (6) 18/19?

34 Costture n regme semplce al tasso = 0, 025 l captale con trenta versament n progressone artmetca, n modo che l trentesmo versamento sa l doppo del prmo. 19/19?