AL210 - Appunti integrativi - 2

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1 AL210 - Apputi itegrativi - 2 Prof. Stefaia Gabelli - a.a Classi laterali e Teorema di Lagrage Se G è u gruppo fiito, il umero degli elemeti di G si chiama l ordie di G e si idica co G. J.-L. Lagrage ha dimostrato che se G è u gruppo fiito, l ordie di ogi sottogruppo H di G ecessariamete divide l ordie di G. Per dimostrare questo teorema, itroduciamo il cocetto di classe laterale rispetto a u sottogruppo. Sia G u gruppo (i otazioe moltiplicativa) e sia H G u sottogruppo. Per ogi g G, defiiamo i due sottoisiemi: gh = {gh ; h H} (classe laterale siistra di H rispetto a g); Hg = {hg ; h H} (classe laterale destra di H rispetto a g). Osservazioi 1. Se il gruppo G o è commutativo, può essere Hg gh per qualche g G. I sottogruppi H tali che isiemisticamete Hg = gh per ogi g G si chiamao sottogruppi ormali e verrao studiati i seguito. Ricordiamo che ua famiglia {X i } i I di sottoisiemi di u isieme X è ua partizioe di X se (1) X = i I X i, (2) comuque scelti i, j I, risulta X i = X j oppure X i X j =. Proposizioe 2. L isieme delle classi laterali siistre (rispettivamete, destre) di H formao u partizioe di G. Cioè: (1) G è uioe delle classi laterali siistre (rispettivamete, destre) di H, ovvero G = g G gh = g G Hg; (2) Due classi laterali siistre (rispettivamete, destre) di H coicidoo oppure soo disgiute, ovvero, se g, g G, risulta gh = g H oppure gh g H = (rispettivamete, Hg = Hg oppure Hg Hg = ). Dimostrazioe. Per il puto 1, basta otare che ogi elemeto di G appartiee alla sua classe laterale siistra e destra di H. Ifatti e H e duque g = ge gh e g = eg Hg. Per il puto 2, suppoiamo g 1 H g 2 H e sia x g 1 H g 2 H. Allora x = g 1 h 1 = g 2 h 2, co h 1, h 2 H. Ne segue che h 2 h 1 1 H e g 1 = g 2 (h 2 h 1 1 ) g 2 H. Duque g 1 H g 2 H. Simmetricamete, g 2 H g 1 H, da cui g 1 H = g 2 H. Aalogamete si vede che due classi laterali destre di H coicidoo oppure soo disgiute. 1

2 Lemma. Sia H u sottogruppo di G. Allora le applicazioi gh H Hg, gh h hg soo biuivoche, per ogi g G. I particolare, se G è fiito, tutte le classi laterali di H hao lo stesso umero di elemeti di H. Dimostrazioe. I u gruppo G, la moltiplicazioe siistra x gx, per u fissato elemeto g G, è biiettiva per l esisteza dell iverso. Ifatti è iiettiva: se gx = gy allora x = y (legge di cacellazioe) ed è suriettiva: per ogi y G, risulta y = g(g 1 y). Aalogamete per la moltiplicazioe destra. Teorema 4 (Lagrage). Sia G u gruppo fiito di ordie e sia H u suo sottogruppo. Allora l ordie d di H divide l ordie di G. Dimostrazioe. L isieme delle classi laterali siistre (o destre) di H è fiito, suppoiamo che abbia m elemeti. Ioltre ogi classe laterale ha d elemeti. Poiché le classi laterali formao ua partizioe di G, risulta = md. Se G è u gruppo, la cardialità dell isieme delle classi laterali di u sottogruppo H si chiama l idice di H i G e si idica co [G : H]. Per il Teorema di Lagrage, se G è fiito, risulta [G : H] = G / H. Osservazioi 5. Vedremo i seguito che se G è u gruppo fiito commutativo, allora per ogi divisore d del suo ordie esiste u sottogruppo H di ordie d. Tuttavia, se G o è commutativo questo può o essere vero. Ad esempio, si può verificare direttamete che il gruppo altero A 4 di grado 4, che ha ordie 12, o ha sottogruppi di ordie 6. Gruppi ciclici Sia G u gruppo moltiplicativo. Se g G e > 0, defiiamo g = g g g, volte ; g 0 = e ; g = (g ) 1. Dato u sottoisieme S di G, si verifica subito che il sottogruppo di G geerato da S, ovvero il più piccolo sottogruppo di G coteete S, è H := S = {g z gz ; g i S, z i Z, i = 1..., }. Se S = {g} è formato da u solo elemeto, il sottogruppo di G geerato da S si idica co g. Questo sottogruppo g := {g z, z Z} si chiama il sottogruppo ciclico di G geerato da g. Il gruppo G si dice ciclico se esiste g G tale che G = g. I (sotto)gruppi ciclici soo commutativi. Esempi 6. Esempi di gruppi ciclici soo: (Z, +), (Z, +), il gruppo delle radici -sime dell uità ( 2), il gruppo delle rotazioi di u poligoo regolare. 2

3 Se g G, l ordie del gruppo g si chiama ache l ordie (o periodo) di g. Proposizioe 7. Siao (G, ) u gruppo e g G: (a) g ha ordie fiito se e soltato se esiste m > 0 tale che g m = e. I tal caso, se è il miimo di tali iteri positivi, l ordie di g è uguale a e g = {g, g 2,..., g 1, g = e}. (b) Se g ha ordie e a, b Z, si ha g a = g b se e soltato se a b mod. I particolare, g a = e se e soltato se divide a. (c) Se g ha ordie e z Z, allora g z = g d, dove d = MCD(z, ). Quidi g z e g d hao stesso ordie, uguale a d. (d) g e g 1 hao lo stesso ordie. Dimostrazioe. (a) Sia g e. Suppoiamo che esista m > 0 tale che g m = e e sia il miimo di tali iteri positivi. Sicuramete gli elemeti g, g 2,..., g 1, g = e soo tutti distiti. D altra parte, se z Z, scrivedo z = q+r, co > r 0, si ha g z = g r. Perciò g = {g, g 2,..., g 1, g = e}. I particolare g ha ordie. Viceversa, se il sottogruppo g è fiito, si ha g a = g b, per qualche a, b Z. I questo caso, risulta g a b = e = g b a e duque l isieme degli iteri positivi m tali che g m = e è o vuoto. (b) Scrivedo a b = q + r, co > r 0, si ha g a b = g r. Duque, per la miimalità di, g a b = e se e soltato se r = 0, cioè divide a b. (c) Se z = dt, allora g z = (g d ) t g d. Ioltre scrivedo d = a + bz (Idetità di Bezout), si ottiee g d = g a g bz = (g z ) b g z. Quidi g z = g d. Basta ora osservare che gli elemeti g d, g 2d,..., g d d = e soo tutti distiti per il puto (b). (d) segue da (c). Corollario 8. U elemeto g G ha ordie ifiito se e soltato se g e per ogi > 0 Dimostrazioe. Per la Proposizioe 7(a). Osservazioi 9. (1) Se G è u gruppo fiito di ordie, l ordie di ogi elemeto g è fiito ed è uguale ad u divisore positivo di (Teorema di Lagrage). Quidi g = e, per ogi g G. (2) G è ciclico di ordie se e soltato se ha u elemeto di ordie. Ioltre se G è ciclico esso è geerato da ogi elemeto di ordie. () U elemeto g ha ordie 1 se e soltato se g = e. (4) Se G è u gruppo fiito di ordie e d è u divisore positivo di, idichiamo co G d l isieme degli elemeti di ordie d. Allora la famiglia {G d ; G d } è ua partizioe di G; ifatti l ordie di u elemeto è uivocamete determiato. I altre parole G è l uioe disgiuta dei suoi sottoisiemi formati dagli elemeti di ordie fissato. Il risultato seguete implica che il umero dei geeratori di u gruppo ciclico di ordie, cioè il umero degli elemeti di ordie, è uguale al valore ϕ() della Fuzioe di Eulero.

4 Proposizioe 10. Sia G = g u gruppo ciclico e a Z. (a) Se G è fiito di ordie, g a geera G se e soltato se d := MCD(a, ) = 1. (b) Se G è ifiito, g a geera G se e soltato se a = ±1. Dimostrazioe. (a) g a ha ordie = d se e soltato se d = 1 (Proposizioe 7(c)). (b) Se G = g a, allora g = (g a ) m = g am, per qualche m Z. Allora g 1 am = e e 1 am = 0, ovvero am = 1 (Proposizioe 7(b)). Ne segue che a = ±1. Teorema 11 (Piccolo Teorema di Fermat). Sia 2. Se a Z è coprimo co, allora a ϕ() 1 mod. Dimostrazioe. Il gruppo moltiplicativo delle uità di Z è costituito dalle classi degli iteri coprimi co ed ha perciò ordie ϕ(). Allora, se a Z è coprimo co, a ϕ() = 1 (Osservazioe 1). Corollario 12. Sia p 2 u umero primo. Se a Z o è diviso da p, allora a p a mod p. Sottogruppi di gruppi ciclici Ogi gruppo G ha sottogruppi ciclici; ifatti ogi g G geera u sottogruppo ciclico di G. Come sappiamo dagli esempi, i geerale questi o soo tutti i sottogruppi di G, tuttavia lo soo se G è esso stesso ciclico. Proposizioe 1. Ogi sottogruppo di u gruppo ciclico è ciclico. Precisamete, se G = g e H è u sottogruppo di G, risulta H = g m, dove m è il miimo itero positivo tale che g m H. Dimostrazioe. Sia G = g u gruppo ciclico e sia H {e} u suo sottogruppo. Se g z H, ache g z H, quidi i H ci soo poteze di g co espoete positivo. Sia m > 0 il miimo itero positivo tale che g m H. Chiaramete g m H; mostriamo che H = g m. Se h = g a H, scrivedo a = mq + r, co > r 0, otteiamo che g r = g a mq = h(g m ) q H. Per la miimalità di m, deve essere allora r = 0 e h = (g m ) q g m. Corollario 14. Tutti e soli i sottogruppi di Z soo i sottogruppi Z, co 0. Proposizioe 15. Sia G = g u gruppo ciclico di ordie. Allora, G ha uo e u solo sottogruppo di ordie D, per ogi divisore D di. Questo è il sottogruppo ciclico g D. Dimostrazioe. Per ogi D, il sottogruppo g D ha ordie D (Proposizioe 7(c)). Sia H G u sottogruppo di ordie D. Per la Proposizioe 1, H è ciclico, diciamo H = g m. Se d = MCD(m, ), acora per la Proposizioe 7(c), risulta H = g d e D = d. Allora d = D e H = g D. 4

5 Corollario 16. Sia G u gruppo fiito di ordie 2. Soo equivaleti: (i) G o ha sottogruppi propri; (ii) G è ciclico di ordie primo; (iii) G ha ordie primo;. Dimostrazioe. (i) (ii). Se g G, g e, risulta G = g. Quidi G è ciclico. Ioltre il suo ordie è primo, altrimeti avrebbe sottogruppi propri (Proposizioe 15). (ii) (iii) è ovvio. (iii) (i). Se G ha ordie primo p, ogi elemeto di G diverso da e ha ordie p (Osservazioe 1). Quidi geera tutto G. Corollario 17. Sia G ciclico di ordie. Per ogi divisore positivo d di, G ha esattamete ϕ(d) elemeti di ordie d (dove ϕ(d) è la Fuzioe di Eulero di d). Dimostrazioe. Gli elemeti di ordie d soo i geeratori dell uico gruppo ciclico di ordie d di G. Diamo ora ua utile formula. Proposizioe 18. Se 1, risulta = d 1,d dove ϕ(d) è la Fuzioe di Eulero di d. ϕ(d), Dimostrazioe. Sia G ciclico di ordie. Per ogi divisore positivo d di, l isieme G d degli elemeti di ordie d è o vuoto ed ha ϕ(d) elemeti (Corollario 17). Poiché G è uioe disgiuta dei suoi sottoisiemi G d (Osservazioe 9(4)), la formula segue. Notiamo che se tutti i sottogruppi propri di u gruppo G soo ciclici (quidi commutativi), o è detto che G sia commutativo. Ad esempio si può cosiderare il gruppo S. Però vale la seguete iversa della Proposizioe 15. Proposizioe 19. Sia G u gruppo fiito di ordie. Se G ha al più u sottogruppo di ordie d, per ogi divisore positivo d di, allora G è ciclico (e quidi ha uo e u solo sottogruppo, ecessariamete ciclico, di ordie d). Dimostrazioe. Sia G d l isieme degli elemeti di ordie d, per ogi divisore positivo d di, e suppoiamo che G d abbia d elemeti (evetualmete d = 0). Poiché G è uioe disgiuta di tutti i suoi sottoisiemi G d o vuoti (Osservazioe 4), si ha = d. Osserviamo che d 0 se e soltato se esistoo elemeti, e quidi sottogruppi ciclici, di ordie d. Ne segue che, se per ogi d esiste al più u sottogruppo di ordie d, quado d 0 c è esattamete u solo sottogruppo ciclico di ordie d. Quidi d = ϕ(d). Usado la Proposizioe 18, vediamo che = d ϕ(d) =. 5

6 Allora o puó mai essere d = 0; cioè, per ogi d esistoo elemeti di ordie d. I particolare esistoo elemeti di ordie e quidi G è ciclico. Corollario 20. Sia K u campo. Ogi sottogruppo fiito del gruppo moltiplicativo di K è ciclico. Dimostrazioe. Sia G u sottogruppo di ordie di (K, ) e sia d u divisore positivo di. Se H è u sottogruppo di G di ordie d, si ha h d = 1, per ogi h H. Duque h è radice del poliomio X d 1 a coefficieti i K. Poiché le radici di questo poliomio soo al più d, G ha al più u sottogruppo di ordie d. Possiamo allora applicare la proposizioe precedete. Esempi 21. Se p è primo, il gruppo delle uità di Z p è ciclico di ordie p 1. Il gruppo ciclico delle radici complesse -sime dell uità Le radici complesse del poliomio f(x) := X z C[X], per 1, si chiamao le radici complesse -sime di z. Poiché, per 2, il poliomio derivato f (X) = X 1 ha come uica radice lo zero, se z 0, i poliomi f(x) e f (X) o hao radici i comue; quidi le radici -sime di z soo tutte distite. Per determiarle, si possoo usare le Formule di De Moivre per la moltiplicazioe dei umeri complessi i forma trigoometrica. Se z 1 := ρ 1 (cos(θ 1 ) + ı si(θ 1 )) ; z 2 := ρ 2 (cos(θ 2 ) + ı si(θ 2 )) co ρ 1, ρ 2 umeri reali positivi, allora usado le proprietà delle fuzioi trigoometriche risulta z 1 z 2 = ρ 1 ρ 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + ı si(θ 1 + θ 2 )). Sia duque z := ρ(cos(θ) + ı si(θ)), ρ > 0. Se ζ := σ(cos(ϕ) + ı si(ϕ)) è ua radice -sima di z, deve risultare: σ (cos(ϕ) + ı si(ϕ)) = ρ(cos(θ) + ı si(θ)), da cui σ = ρ e ϕ = θ + 2kπ, k Z, ovvero σ = ρ ; ϕ = θ + 2kπ. Notiamo ora che, se k Z e k = q + r co 0 r <, risulta θ + 2kπ = θ + 2rπ + 2qπ e duque le fuzioi trigoometriche di θ + 2kπ e θ + 2rπ soo le stesse. Ne segue che le radici complesse -sime di z si ottegoo tutte per k = 0, 1,..., 1 6

7 e soo precisamete i umeri complessi ( ( ) ζ k := θ + 2kπ ρ cos + ı si ( θ + 2kπ )). Per z := 1 = cos(2π) + ı si(2π), le formule precedeti foriscoo le radici complesse -sime dell uità, che soo i umeri: ( ) ( ) 2kπ 2kπ ζ k := cos + ı si, per k = 1,...,. Poiché, per le formule di De Moivre, risulta ζ1 k = ζ k, posto ( ) ( ) 2π 2π ξ := ζ 1 := cos + ı si, possiamo scrivere le radici complesse -sime dell uità come ζ 1 =: ξ, ζ 2 = ξ 2,..., ζ 1 = ξ 1, ζ = ξ = 1. Quidi tali radici formao u gruppo moltiplicativo ciclico di ordie. Notiamo che, se ζ C ha modulo uguale a 1, idicado co ζ il coiugato di ζ, si ha ζζ = 1, da cui ζ 1 = ζ. Quidi le radici ξ k e ξ k soo umeri complessi coiugati. I geeratori del gruppo ciclico delle radici complesse -sime dell uità soo le radici ξ k = ζ k co MCD(k, ) = 1 (Proposizioe 7(a)). Questi umeri complessi si chiamao le radici -sime primitive dell uità e soo le radici -sime che o soo ache radici m-sime per qualche m <. Tale termiologia fu itrodotta da Eulero metre l esisteza di radici primitive, ovvero il fatto che il gruppo delle radici -sime è ciclico, fu dimostrata da Gauss el suo trattato Disquisitioes Arithmeticae, del Il umero delle radici primitive -sime dell uità è dato allora dal valore ϕ() della fuzioe di Eulero. Notiamo che, per, le radici complesse -sime dell uità si rappresetao el piao di Gauss come i vertici di u poligoo regolare di lati che ha u vertice i 1. Ioltre, se m divide, le radici m-sime si rappresetao come i vertici di u poligoo regolare di m lati che ha acora u vertice i 1 ed è iscritto el primo. Osserviamo ifie che, per le formule di De Moivre, tutte le radici -sime di u umero complesso z si possoo scrivere come il prodotto di ua qualsiasi radice -sima ζ di z per tutte le radici -sime dell uità, e quidi esse soo esattamete i umeri complessi ζξ, ζξ 2,..., ζξ 1, ζξ = ζ, dove ξ è ua radice primitiva -sima dell uità. Per, questi umeri complessi si rappresetao el piao di Gauss come i vertici di u poligoo regolare di lati co cetro ell origie e u vertice i ζ. 7

8 Esempi 22. (1) Le radici complesse terze dell uità soo i umeri complessi ( 2π ξ := cos ( 4π ξ 2 = cos ) + ı si ) + ı si ( ) 2π ( ) 4π ξ = cos (2π) + ı si (2π) = 1. = ı 2 ; = 1 2 ı 2 ; Ivece le radici quarte soo ( π ) ( π ) ξ := cos + ı si = ı ; 2 2 ı 2 = 1 ; ı ; ı 4 = 1. (2) Le radici complesse -sime di 1 = cos(π) + ı si(π) soo i umeri: ( ) ( ) π + 2kπ π + 2kπ ζ k := cos + ı si ( ) ( ) (2k + 1)π (2k + 1)π = cos + ı si, per k = 0,...,. Notiamo che, essedo (X 2 1) = (X + 1)(X ( 1), se ξ è ua radice π ( π primitiva 2-sima dell uità, ad esempio ξ := cos + ı si, le radici - ) ) sime di 1 soo le poteze pari di ξ, metre le radici -sime di 1 soo le poteze dispari di ξ. () La forma trigoometrica di u umero reale r positivo è r = r 1 = r(cos(2π) + ı si(2π)), metre ogi umero reale r egativo si scrive i forma trigoometrica come r = r ( 1) = r (cos(π) + ı si(π)). Le radici complesse -sime di r si ottegoo allora moltiplicado per r le radici complesse -sime di 1 o di 1, a secoda che r sia positivo o egativo. il poliomio moico su C che ha per radici tutte e sole le radici primitive - sime dell uità si chiama l -simo poliomio ciclotomico e si idica co Φ (X). Duque risulta Φ (X) := (X ξ k ), MCD(,k)=1 i particolare Φ 1 (X) = X 1, Φ 2 (X) = X + 1. Se = p è u umero primo tutte le radici p-esime diverse da 1 hao ordie p e perciò soo tutte primitive. Ne segue che Φ p (X) = Xp 1 X 1 = Xp 1 + X p

9 e X p 1 = Φ 1 (X)Φ p (X). I geerale, idicado co R d le radici primitive d-sime dell uità, abbiamo che gli isiemi R d, al variare dei divisori positivi d di, formao ua partizioe del gruppo delle radici -sime (Osservazioe 4). Allora si ha che X 1 = (X ξ k ) = Φ d (X). 0 k 1 d>0,d Questa formula permette di determiare Φ (X) per ricorsioe. Ifatti risulta Φ (X) = X 1 >d>0,d Φ d(x). Ad esempio Φ 1 (X) = X 1; Φ 2 (X) = X2 1 Φ 1 (X) = X2 1 X 1 = X + 1; Φ (X) = X 1 Φ 1 (X) = X 1 X 1 = X2 + X + 1; Φ 4 (X) = Φ 6 (X) = Φ 8 (X) = e così via. X 4 1 Φ 1 (X)Φ 2 (X) = X 4 1 (X 1)(X + 1) = X2 + 1; X 6 1 Φ 1 (X)Φ 2 (X)Φ (X) = X 6 1 (X 2 1)(X 2 + X + 1) = X2 X + 1; X 8 1 Φ 1 (X)Φ 2 (X)Φ 4 (X) = X 8 1 (X 2 1)(X 2 + 1) = X4 + 1; Il prossimo risultato è di importaza fodametale, ma verrà dimostrato i seguito. Proposizioe 2. Per ogi 1, l -simo poliomio ciclotomico Φ (X) ha coefficieti iteri ed è irriducibile su Q (ed essedo moico, ache su Z) Ua prima dimostrazioe dell irriducibilità del p-esimo poliomio ciclcotomico su Q, co p primo, è stata data da F. Gauss (Disquisitioes Arithmeticae, 1801). Questa dimostrazioe è stata successivamete semplificata da L. Kroecker, el 1845, ed ua dimostrazioe diversa è stata poi data da F. G. Eisestei el Ifie, la prova dell irriducibilità di Φ (X) su Q, per ogi itero 1, è stata otteuta da R. Dedekid el