ESERCIZIO 1 Si consideri il sistema con ingresso u(t) ed uscita y(t) descritto dalle seguenti equazioni

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1 ESERCIZIO 1 Si consideri il sistema con ingresso u(t) ed uscita y(t) descritto dalle seguenti equazioni ẋ 1 (t) x 1 (t) + 3x 2 (t) + u(t) ẋ 2 (t) 2u(t) y(t) x 1 (t) + x 2 (t) 1. Si classifichi il sistema (lineare o no, tempo invariante o no, ecc.) e se ne studi la stabilità. Il sistema dinamico, a tempo continuo, è lineare, tempo invariante, SISO e strettamente proprio. La matrice dinamica del sistema è [ ] 1 3 A 0 0 ed ha i due autovalori, s 1 1 e s 2 0. Il sistema è quindi semplicemente stabile. 2. Si calcoli il movimento libero dell uscita del sistema con stato inziale generico x(0) [x 10 x 20 ] T. Poichè A ha due autovalori reali distinti può essere diagonalizzata attraverso la matrice di trasformazione T che ha come colonne i due autovattori di A. L autovettore associato all autovalore s 1 1 è [ ] α z 1 0 ed in particolare si ponga L autovettore associato all autovalore s 2 0 è ed in particolare si ponga z 1 z 2 z 2 La matrice T, che permette di portare A in forma diagonale, e la sua inversa risultano essere [ ] [ ] 1 3 T T così che [ ] 1 0 [ α α 3 ] [ ] 3 1 [ ] [ ] [ ] [ e At 1 3 e t e t 3 3e t ] Il movimento libero dello stato a partire dallo stato iniziale generico x(0) [x 10 x 20 ] T è quindi [ e t 3 3e x l (t) t ] [ ] [ x10 e t x x 20 3e t ] x 20, t x 20 x 20 Il movimento libero dell uscita a partire dallo stato iniziale generico x(0) [x 10 x 20 ] T è quindi y l (t) e t x x 20 3e t x 20, t 0 3. Si trovi il valore numerico di un particolare stato iniziale x(0), se esiste, tale che il movimento libero dell uscita si annulli asintoticamente. In base al movimento libero dell uscita calcolato al punto precedente è evidente che, ponendo x(0) [ x 10 0] T, x 10, tale movimento converge sempre asintoticamente a zero.

2 4. Si scrivano i comandi Matlab necessari per calcolare e tracciare il grafico del movimento libero dello stato e dell uscita del sistema dinamico assegnato a partire dallo stato inziale x(0) [3 0] T. 1 A[ 1 3 ; 0 0 ] ; B[1 1 ] ; C[1 1 ] ; D0; 2 ss s (A,B,C,D) ; 3 x0[3 0 ] ; 4 [ y, t, x ] i n i t i a l ( s, x0 ) ; 5 p l o t ( t, y ), g r i d

3 ESERCIZIO 2 Si consideri il seguente schema a blocchi: dove G(s) 0.5 (1 + s)(1 0.5s). 1. Progettare un regolatore R(s), utilizzando il luogo delle radici, in modo che il sistema in anello chiuso sia caratterizzato da due poli reali e concidenti in 1. Iniziamo ipotizzando di utilizzare un regolatore statico R(s) ρ, la funzione di trasferimento d anello risulta quindi 0.5 L(s) ρ (s + 1)(s 2) Come si può facilmente verificare tracciando il luogo delle radici, non esistono valori di ρ, positivi o negativi, che stabilizzano il sistema. Possiamo quindi optare per un regolatore dinamico costituito da uno zero, scelto per cancellare il polo in 1 di G(s), ed un polo, scelto in modo che l asintoto del luogo intersechi l asse reale in 1. Si ottiene quindi il seguente regolatore R(s) ρ s + 1 s + 4 e la funzione di trasferimento d anello 0.5 L(s) ρ (s + 4)(s 2) 2 Root Locus Imaginary Axis (seconds -1 ) Real Axis (seconds ) Possiamo infine ricavare il valore di ρ punteggiando nel punto 1 ρ La funzione di trasferimento del regolatore è quindi R(s) 9 s + 1 s + 4

4 2. Modificare il regolatore progettato al punto precedente in modo che il sistema in anello chiuso sia caratterizzato da due poli complessi e coniugati a pulsazione naturale 2 e smorzamento 1. 2 Due poli complessi e coniugati a pulsazione naturale 2 e smorzamento 1 2 sono caratterizzati da parte reale 1 e parte immaginaria ±j, si trovano quindi sull asintoto del luogo delle radici determinato al punto precedente. Per soddisfare la richiesta è quindi sufficiente utilizzare lo stesso regolatore progettato nel punto precedente, ricalcolando il valore di ρ punteggiando nel punto 1 + j ρ La funzione di trasferimento del regolatore è quindi R(s) 10 s + 1 s + 4

5 ESERCIZIO 3 Si consideri lo schema di controllo in anello chiuso rappresentato in figura dove G(s) s e 0.5s. 1. Si progetti un regolatore PI R(s) in modo che la funzione di trasferimento d anello L(s) sia un integratore con ritardo e il sistema in anello chiuso soddisfi le seguenti specifiche: (a) sia asintoticamente stabile; (b) l errore a transitorio esaurito e generato da un riferimento y o (t) sca(t) con d(t) 0 sia nullo; (c) il margine di fase sia ϕ m 50 ; (d) la pulsazione critica sia approssimativamente massimizzata. Trattandosi di un regolatore PI e di un processo con un solo polo possiamo procedere tarando per cancellazione, ovvero scegliendo la costante di tempo dello zero del PI pari a 10 secondi. In questo modo la funzione di trasferimento d anello risulta L(s) 10 µ s e 0.5s e la pulsazione critica sarà pari a ω c 10µ. Al fine di massimizzare la pulsazione critica possiamo scegliere il guadagno µ imponendo che il margine di fase non sia inferiore al minimo richiesto dalla specifica, ovvero ϕ m µ π 90 2µ 180 π 50 da cui si ricava µ π Scegliamo, quindi, come guadagno µ 0.34 a cui corrisponde una pulsazione critica ω c 3.4 rad/s. La funzione di trasferimento del regolatore sarà quindi R(s) s s 2. Si determini il modulo dell errore a transitorio esaurito generato da un disturbo d(t) 5ram(t). L errore a transitorio esaurito dovuto al disturbo d(t) è dato da e d lim s 0 s L(s) s 2 lim s 0 s 5 s + 3.4e 0.5s s lim s s + 3.4e 0.5s

6 ESERCIZIO 4 Si consideri un sistema dinamico a tempo discreto descritto da quattro matrici (A, B, C, D). Calcolandone la funzione di trasferimento si ottiene la seguente espressione: G(z) C(sI A) 1 B + D 1. Si determinino tipo e guadagno di G(z). Valutando numeratore e denominatore di G(z) in 1 si ottiene z 2 (z + 0.2)(z + 2) N(1) 1 D(1) Non essendoci zeri o poli in z 1 la funzione di trasferimento ha tipo 0. Il guadagno di G(z) è invece pari a µ N(1) D(1) Si discuta la stabilità del sistema. A causa della presenza di un polo a modulo maggiore di 1 il sistema è instabile. 3. Si determini l equazione alle differenze ricavabile da G(z). La funzione di trasferimento si può riscrivere come G(z) z 2 (z + 0.2)(z + 2) z 2 z z Da qui si ricava immediatamente l equazione alle differenze z 1 2z z z 2 y(k) 2.2y(k 1) 0.4y(k 2) + u(k 1) 2u(k 2) 4. Si determini, facendo uso degli appositi teoremi, il valore iniziale e, se possibile, il valore finale della risposta di G(z) allo scalino unitario. Dal teorema del valore iniziale si ottiene z(z 2) y(0) lim Y (z) lim z z (z + 0.2)(z + 2)(z 1) 0 Il teorema del valor finale non è invece applicabile poichè il sistema non è asintoticamente stabile.