Es. 1 Es. 2 Es. 3 Es. 4 Totale Teoria

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1 Es. 1 Es. Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 1 Luglio 010 Compito A Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 6 punti; Es.: 1 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni: Riportare le soluzioni nelle caselle. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Calcolare, al variare del parametro reale α, il valore del seguente ite: sin x arctan x x 0 + (e x 1 + x α. Si noti che, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni di asintoticità sin x arctan x x (x x3 6 x3 = x3 3 6 e e x 1 + x (1 x + x 1 + x = x per x 0. Di conseguenza, tornando al ite, abbiamo 0 sin x arctan x +, se α < 3, x 0 + (e x 1 + x α = α 6 x 0 x3 α = + 3, se α = 3, +, se α > 3.

2 . Studiare la funzione f(x = 1 x 4 x Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio. Dominio di f: D(f = [, ]. Si osservi che la funzione è dispari, restringiamo quindi lo studio all intervallo [0, ]. Limiti agli estremi: f(0 = f( = 0 Eventuali asintoti: Nessun asintoto. Derivata prima: f (x = 1 4 x x 4 x = x 4 x Discutere la derivabilità di f: D(f = [0,. Inoltre, x f (x =. Studio del segno di f: f > 0 in (0,, f(0 = f( = 0. Si dica se f ammette punti di massimo o minimo ASSOLUTI: f ha un punto di massimo assoluto in x =. Derivata seconda:. f (x = x(x 6 (4 x 4 x x [0, Studio della convessità e della concavità: f (x < 0 per ogni x (0, e f (0 = 0. Quindi f è concava in (0, e x = 0 è un punto di flesso per f. Grafico di f:

3 3. Si consideri l equazione differenziale, dipendente dal parametro reale k, y (t = 3ty(t + kt. (a Determinare la soluzione che si annulla nell origine. (b Determinare k in modo che Giustificare le risposte, riportando i calcoli. y(t t 0 t = 1. Si tratta di un equazione differenziale lineare e si ottiene facilmente l integrale generale y = e 3 R tdt e 3 R tdt ktdt Imponendo la condizione y(0 = 0 si ha da cui c = k/3. La soluzione cercata è quindi = k 3 + ce 3 t c R, y = k 3 Per calcolare il ite, si ricordi il ite notevole 0 = k 3 + c, ( 1 e 3 t. e x 1 = 1, x 0 x e dunque Quindi, y(t k t 0 t = t = t 0 k 3 k = t 0 (1 e 3 t ( t (1 e 3 t 3 t e 3 t 1 3 t y(t t 0 t = 1 k =. = k.

4 4. Studiare, al variare del parametro reale β, la convergenza del seguente integrale improprio: + ( 3 x x arctan x ( + x β dx. 0 Si noti preinarmente che la funzione integranda è continua e positiva sul dominio di integrazione (0, +. Inoltre, non presenta singolarità per x 0 +. Di conseguanza è possibile applicare il criterio del confronto asintotico, e basta studiare il caso x +. Utilizzando la relazione (1 + t α 1 + αt per t 0 e per ogni α, abbiamo x 3 x = x 1/3 [ ( x Poichè valgono anche le (ovvie relazioni 1/3 ( 1] x 1/ x 1 = 1 3 x /3. per x +, deduciamo infine ( + x β x β e e arctan x π ( 3 x x arctan x ( + x β π 6 x /3 β per x +. Tale integrale converge se, e solo se, β > 1 3.

5 Es. 1 Es. Es. 3 Es. 4 Totale Teoria Analisi e Geometria 1 Docente: Politecnico di Milano Ingegneria Industriale 1 Luglio 010 Compito B Cognome: Nome: Matricola: Punteggi degli esercizi: Es.1: 6 punti; Es.: 1 punti; Es.3: 6 punti; Es.4: 6 punti. Istruzioni: Riportare le soluzioni nelle caselle. Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. I fogli di brutta non devono essere consegnati. 1. Calcolare, al variare del parametro reale α, il valore del seguente ite: x 0 + (e x 1 x α sin x arctan x. Si noti che, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin opportuni, possiamo dedurre le relazioni di asintoticità e x 1 x (1 + x + x 1 x = x e sin x arctan x x x3 6 per x 0. Di conseguenza, tornando al ite, abbiamo x 0 + (e x 1 x α sin x arctan x = 6 α x 0 + x 3+α = (x x3 = x , se α < 3, 3, se α = 3, 0 +, se α > 3.

6 . Studiare la funzione f(x = 1 3 x 9 x Riportare in tabella i risultati e il grafico. Riportare concisamente i calcoli sul retro del foglio. Dominio di f: D(f = [ 3, 3]. Si osservi che la funzione è dispari, restringiamo quindi lo studio all intervallo [0, 3]. Limiti agli estremi: f(0 = f(3 = 0 Eventuali asintoti: Nessun asintoto. Derivata prima: f (x = x + x 3 9 x. = x x Discutere la derivabilità di f: D(f = [0, 3. Inoltre, x 3 f (x = +. Studio del segno di f: f < 0 in (0, 3, f(0 = f(3 = 0. Si dica se f ammette punti di massimo o minimo ASSOLUTI: f ha un punto di minimo assoluto in x = 3/. Derivata seconda:. f (x = x(7 x 3(9 x 9 x x [0, 3 Studio della convessità e della concavità: f (x > 0 per ogni x (0, 3 e f (0 = 0. Quindi f è convessa in (0, 3 e x = 0 è un punto di flesso per f. Grafico di f:

7 3. Si consideri l equazione differenziale, dipendente dal parametro reale k, y (t = 5ty(t + kt. (a Determinare la soluzione che si annulla nell origine. (b Determinare k in modo che Giustificare le risposte, riportando i calcoli. y(t t 0 t = 1. Si tratta di un equazione differenziale lineare e si ottiene facilmente l integrale generale y = e 5 R tdt e 5 R tdt ktdt Imponendo la condizione y(0 = 0 si ha da cui c = k/5. La soluzione cercata è quindi = k 5 + ce 5 t c R y = k 5 Per calcolare il ite, si ricordi il ite notevole 0 = k 5 + c, ( 1 e 5 t. e x 1 = 1, x 0 x e dunque Quindi, y(t k t 0 t = t = t 0 k 5 k = t 0 (1 e 5 t ( t (1 e 5 t 5 t e 5 t 1 5 t = k. y(t t 0 t = 1 k =.

8 4. Studiare, al variare del parametro reale β, la convergenza del seguente integrale improprio: + ( 4 x x arctan x (3 + x β dx. 0 Si noti preinarmente che la funzione integranda è continua e positiva sul dominio di integrazione (0, +. Inoltre, non presenta singolarità per x 0 +. Di conseguanza è possibile applicare il criterio del confronto asintotico, e basta studiare il caso x +. Utilizzando la relazione (1 + t α 1 + αt per t 0 e per ogni α, abbiamo x 4 x = x 1/4 [ ( x Poichè valgono anche le (ovvie relazioni 1/4 ( 1] x 1/ x 1 = 1 4 x 3/4. per x +, deduciamo infine (3 + x β x β e e arctan x π ( 4 x x arctan x (3 + x β π 8 x 3/4 β per x +. Tale integrale converge se, e solo se, β > 1 4.