1 + i 1 (t) v 12 (t) 2 i 2 (t) 3 i 3 (t) Dati: v 12 (t) = V 0 cos(ωt + π/4), V 0 = 12 6 V, ω = 300 rad/s, R = 3 Ω, L = 30 mh.

Transcript

1 A4 - Supponendo che la rete trifase mostrata in figura sia alimentata da una terna simmetrica diretta, determinare le correnti i (t), i (t) ed i (t). i (t) v (t) i (t) i (t) Dati: v (t) = V 0 cos(ωt π/4), V 0 = 6 V, ω = 00 rad/s, = Ω, = 0 mh. isposta: le tre correnti di linea valgono i (t) = 4 cos ωt - π 6, i (t) = 4 cos ωt π, i (t) = - 4 sen(ωt). A4 - Supponendo che la rete trifase mostrata in figura sia alimentata da una terna simmetrica diretta, calcolare le correnti I, I ed I. V I I X X X C X C I X X C

2 - Esercizi sui circuiti elettrici Dati: V = 00 V, = 5 Ω, X = Ω, X C = 6 Ω. isposta: le tre correnti valgono I = 40, - π 6, I = 40, - 5π 6, I = 40 j. A4 - Calcolare l indicazione fornita dal wattmetro, nella rete trifase simmetrica ed equilibrata mostrata in figura. i (t) i (t) W i (t) Dati: i (t) = I 0 sen(ωt), I 0 = 0 A, ω = 00 rad/s, = mh. isposta: indicazione del wattmetro = - 40 W. A44 - Supponendo di alimentare la rete trifase di figura con una terna simmetrica diretta di tensioni, determinare le tre correnti di linea.

3 - Esercizi sui circuiti elettrici V I I I I C I C I C I M I M I M M X X X Dati: V = 0 V, P M =.5 kw, Q M =.5 kvar, = X = 0 Ω. isposta: le correnti risultano pari a I = 46, - 5 π, I = 46, π, I = 46, π 4. A45 - Calcolare la tensione concatenata v (t) per la rete trifase simmetrica ed equilibrata mostrata in figura. v (t) X X X C X C v(t) X X C Dati: v(t) = V 0 sen(ωt - π/), V 0 = 0 V, = X = 5 Ω, = X C = 5 Ω.

4 4 - Esercizi sui circuiti elettrici isposta: la tensione richiesta vale v (t) = 660 sen ωt π 6. A46 - Supponendo di alimentare la rete trifase di figura con una terna simmetrica diretta di tensioni, dopo aver calcolato le tre correnti di linea I k, con k =,,, determinare l indicazione del wattmetro. I Z V I W I Z Dati: V = 0 V, Z = 0 ( j) Ω, Z = 5 ( j) Ω. isposta: il wattmetro fornisce l indicazione 9680 W. A47 - Supponendo che le tensioni e (t), e (t), e (t) costituiscano una terna simmetrica diretta, calcolare le tre correnti di linea j (t), j (t) e j (t). e potenze che definiscono il carico C, composto di soli resistori e condensatori, si intendono valutate alla frequenza di esercizio imposta dai generatori.

5 5 - Esercizi sui circuiti elettrici e (t) j (t) i (t) E 0 e (t) e (t) j (t) j (t) i (t) i (t) C 0' i C (t) i C (t) i C (t) C [Attenzione: si tratta di un esercizio veramente complicato in cui è necessario applicare la sovrapposizione degli effetti. Il generatore E eroga una tensione continua, non alternata]. Dati: E = 50 V, e (t) = E 0 sen(ωt), E 0 = 00 V, ω = krad/s, = Ω, = mh, C = mf, P C = kw, Q C = - 9 kvar. isposta: j (t) = 5 5 sen ωt - ϕ sen(ωt), j (t) = 5 sen ωt - ϕ - π sen ωt ϕ, j (t) = sen ωt - ϕ - 4 π sen ωt - ϕ, in cui, per semplificare la notazione, abbiamo posto ϕ = arctan 4 e ϕ = arctan 4. A48 - a rete di figura è alimentata da una terna simmetrica di tensioni concatenate. Determinare la corrente i (t) che circola nella seconda linea.

6 6 - Esercizi sui circuiti elettrici i (t) i (t) i (t) J C Dati: v (t) = V 0 cos(ωt), V 0 = 00 6 V, ω = 500 rad/s, J = 0 A, = 5 Ω, = mh, C = 4 mf. isposta: la corrente richiesta vale i (t) = cos 500t π. A49 - Determinare la corrente i(t) per la rete trifase mostrata in figura, supponendo di alimentare la rete con un terna di tensioni simmetriche. C v (t) G i(t) F [Potreste anche provare ad applicare il teorema di Thévenin dai terminali F e G].

7 7 - Esercizi sui circuiti elettrici Dati: v (t) = E 0 6 sen(ωt π/6), E 0 = 0 V, ω = krad/s, = Ω, = mh, C = mf. isposta: la corrente richiesta è pari a i(t) = 65 - sen 000t π. A50 - Supponendo che la rete trifase sia alimentata da una terna simmetrica diretta di tensioni concatenate, rifasare il sistema a cos ϕ = 0.9. I X V I X I X Dati: = X = 5 Ω, V = V 0 = 80 V, f = 50 Hz. isposta:» carico trifase e condensatori connessi a stella C S 64. µf;» carico trifase e condensatori connessi a triangolo C T 54.7 µf.

8 8 - Esercizi sui circuiti elettrici Una piccola tavola di integrali Appendici a maggior parte degli integrali proposti possono essere ottenuti integrando per parti oppure adoperando identità trigonometriche e sono, a nostro giudizio, quelli più frequenti nelle applicazioni. Ciascun integrale, come è ovvio, è dato a meno di una costante additiva. x exp(ax) dx = ax - exp(ax) x exp(ax) dx = (ax) - ax a a exp(ax) x sen(ax) dx = sen(ax) - ax cos(ax) a x cos(ax) dx = cos(ax) ax sen(ax) a exp(ax) sen(bx) dx = exp(ax) cos(bx) dx = a sen(bx) - b cos(bx) a b a cos(bx) b sen(bx) a b exp(ax) exp(ax) dx a x = a arctan x a sen(ax) sen(bx) dx = sen [(a - b) x] (a - b) - sen [(a b) x] (a b) a b cos(ax) cos(bx) dx = sen [(a - b) x] (a - b) sen [(a b) x] (a b) a b sen(ax) cos(bx) dx = - cos [(a - b) x] (a - b) - cos [(a b) x] (a b) a b

9 9 - Esercizi sui circuiti elettrici sen (ax) dx = x - sen(ax) 4a cos (ax) dx = x sen(ax) 4a x sen(ax) dx = x a sen(ax) - a x - a cos(ax) x cos(ax) dx = x a cos(ax) a x - a sen(ax) exp(ax) sen (bx) dx = a sen(bx) - b cos(bx) sen(bx) b a a 4 b exp(ax) exp(ax) cos (bx) dx = a cos(bx) b sen(bx) cos(bx) b a a 4 b exp(ax) Qualche utile relazione trigonometrica Presentiamo qui qualche utile relazione trigonometrica che potete adoperare sia per il calcolo di alcune primitive, sia per i calcoli di potenza che coinvolgono grandezze sinusoidali. sen(a b) = sen a cos b cos a sen b cos(a b) = cos a cos b - sen a sen b sen(a - b) = sen a cos b - cos a sen b cos(a - b) = cos a cos b sen a sen b sen a sen b = sen a b cos a - b sen a - sen b = sen a - b cos a b cos a cos b = cos a b cos a - b cos a - cos b = - sen a b sen a - b sen a sen b = cos(a - b) - cos(a b) cos a cos b = cos(a - b) cos(a b) sen a cos b = sen(a b) sen(a - b) sen(a) = sen a cos a cos(a) = cos a - sen a = cos a - = - sen a

10 0 - Esercizi sui circuiti elettrici cos a = cos(a) sen a = - cos(a) tan(a b) = tan a tan b - tan a tan b tan(a - b) = tan a - tan b tan a tan b tan(a) = tg a - tg a Piccolo dizionario tecnico Proponiamo la traduzione inglese di alcune parole che possono essere utili a chi fra voi continuerà gli studi in una facoltà tecnica e si accinge a leggere un libro di Elettrotecnica o di Teoria dei Circuiti, appartenenti alla letteratura tecnica e scientifica inglese oppure americana. Circuito Albero Carico Corrente Tensione Corrente continua Generatore Dipendente egge Maglia Percorso chiuso Nodo ato (ramo) esistenza esistore Energia Potenza Induttore Induttanza Condensatore Capacità Circuit Tree oad Current Voltage Direct current (DC) Source Dependent aw Mesh (oop) Closed path Node Branch esistance esistor Energy Power Inductor Inductance Capacitor Capacitance

11 - Esercizi sui circuiti elettrici Fasore Phasor Sorgente sinusoidale Sinusoidal source Angolo di fase (fase) Phase angle (Phase) Valore massimo Amplitude Valore medio Average value Valore efficace oot mean square (r.m.s.) value Potenza media Average power Potenza reattiva eactive power Fattore di potenza Power factor Potenza complessa Complex power Triangolo - stella Delta - Wye ( - Y) Trifase equilibrato Balanced three-phase Wattmetro Wattmeter Trasformatore lineare inear transformer Mutua induttanza Mutual inductance Variabile di stato State variable Attenuato Damped Costante di tempo Time constant isposta all impulso Pulse response Gradino unitario Unit step function Transitorio Transient Interruttore Switch Evoluzione libera Natural response isposta forzata Forced response Potenza istantanea Instantaneous power adice caratteristica Characteristic root Segnale elettrico Electric signal Soluzione esponenziale Exponential solution Istante iniziale Initial time Trasformata Transform Frazione parziale Partial fraction

12 - Esercizi sui circuiti elettrici adice (zero) Polo Valore iniziale Valore finale Funzione di trasferimento Integrale di convoluzione Sorgente impulsiva Tempo - invariante Soluzione esponenziale Istante iniziale oot (zero) Pole Initial value Final value Transfer function Convolution integral Pulse source Time - invariant Exponential solution Initial (start) time