FACOLTA DI INGEGNERIA

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1 FACOLTA DI INGEGNERIA Corso di laurea in Ingegneria Edile Arcitettura Prova scritta di Geometria assegnata il 5/3/ - Durata della prova: due ore - Non si può uscire dall aula prima di aver consegnato definitivamente il compito. - Non si possono consultare i libri di testo e/o appunti. - Usare solo la carta fornita dai Docenti. Nello spazio siano dati le due rette x + z + = r) : y = I ed s) : y + 3 = ) Verificare ce le due rette r ed s sono sgembe. Determinare le equazioni della retta t incidente ortogonalmente entrambe le rette r ed s. ) Scrivere e studiare il fascio di conice del piano bitangenti alla retta t (del punto precedente) nel punto (, ) ed alla retta x + y = nel punto (, ). 3) Studiare il seguente fascio di quadrice. x y + + xy + x + yz + y = III In IR, sia dato il seguente spazio vettoriale V = L(v, v, v 3 ) dove v, v e v 3 sono i vettori v = (,,, ), v = (,,, ) e v 3 = (,,, ). Sia f : V V l endomorfismo definito da con parametro reale. f(v ) = ( +,,, + ) f(v ) = (, +, +, ) f(v 3 ) = ( +,, + 5, + ). Studiare M B B (f) con B una base di V, al variare del parametro trovando una base per Imf e Kerf.. Studiare la semplicità di f, e nei casi in cui è semplice determinare una base di autovettori. 3. Trovare f (,,, ) al variare del parametro reale

2 Soluzione I Mettendo a sistema le due rette r ed s si vede ce il determinante ad esso associato è diverso da zero. La retta t si puó pensare come la rette incidente r ed s e passante per il punto improprio P ce individua la direzione ortogonale ad entrambe le rette. Il vettore direttivo della retta r è v r = (,, ) ed il vettore direttivo della retta s è v s = (,, ), pertanto il vettore direttivo (l, m, n) della retta t soddisfa le condizioni di perpendicolarità con v r ed v s, quindi v t = (,, ) e quindi P = (,,, ). nel fascio di piani ce per asse la retta r, scritto in coordinate omogenee percé dobbiamo imporre il passaggio per un punto improprio, cerciamo il piano passante per (,,, ). Si ottiene x+z+ =. Analogamente, nel fascio di piani ce per asse la retta s cerciamo il piano passante per (,,, ). Si ottiene. La retta t cercata é quella ottenuta come intersezione dei due piani trovati. Quindi t) : x + z + = Il fascio riciesto a equazione da cui ovvero t) : Φ : (x + y)(x + ) + y =, Φ : x + y + xy + x + y =. x + = pertanto Allora B = =. B = =. Per = si a la conica spezzata nelle due rette (x + y)(x + ) =. B e si anno conice irriducibili. Essendo A = = Si a: A = =. E si a la parabola, = x + y + xy + x + y = A > > e si anno ellissi. Nel nostro caso non si anno circonferenze. A < < e si anno iperboli. In particolare, T ra = = e quindi si a l iperbole equilatera I := x y +xy +x+y =.

3 ) la matrice del fascio di quadrice è la seguente e B = - = ( ) A = - = 3 Quindi: B = =,. Se = allora rk(b) = 3 ed essendo A = la quadrica è il cilindro:ψ : y + xy + x + y + =. Se = allora rk(b) = 3 ed essendo A = la quadrica è il cono:ψ : x y + x + xy + yz + y + =. Sia B,. In tal caso, si anno quadrice non degeneri; in particolare, essendo A = =, non si anno paraboloidi. Per sapere se ci sono iperboloidi e/o ellissoidi, studiamo il segno degli autovalori relativi al polinomio caratteristico associato alla sottomatrice A. Quindi: A IT = -T --T, -T = = T 3 + ( )T + ( + + )T 3 e dalla regola di Cartesio (vedi nota) si trova ce si sono sempre iperboloidi. In particolare, iperboloidi iperbolici per <, essendo B >. E e si anno iperboloidi ellittici per >,essendo B <. Nota Regola di Cartesio: dato un polinomio di grado n alla permanenza di segno di due coefficienti consecutivi, ovvero uno di grado n e l altro di grado n entrambi negativi o positivi, corrisponde una radice negativa del polinomio. E ad una variazione di segno tra i due, ovvero uno positivo ed uno negativo o viceversa, corrisponde una radice positiva del polinomio. Si può costruire la seguente tabella: (+) = ( + + ) dove i termini della prima riga in alto rappresentano i valori ce annullano i coefficienti della variabile T ; i termini a sinistra sono i coefficienti della T

4 in ordine decrescente rispetto alle potenze di T, ed i segni positivi e/o negativi in ogni riga rappresentano rispettivamente il segno di ogni coefficiente nell intervallo considerato. Si a II M = M B (f) = = ( + )( ) = = ( + )( )( + ) Quindi f è un isomorfismo per,,. Per =, il rango di M è uguale a. Quindi dimimf = ed una base di Imf è B = [(,, ) B, (,, ) B ]; inoltre dimkerf = e kerf = L( 3 z, z, z) B ed una base è ( 3,, ) B. Per =, il rango di M è uguale a. Quindi dimimf = ed una base di Imf è B = [(,, ) B, (,, ) B ]; inoltre dimkerf = e kerf = L(x,, ) B ed una base è (,, ) B = v. Per =, il rango di M è uguale a. Quindi dimimf = ed una base di Imf è B = [(,, ) B, (,, ) B]; inoltre dimkerf = e kerf = L(, y, y) B ed una base è (,, ) B = v + v 3. Studiamo la semplicità di f al variare di IR. Calcoliamo M IT = +-T - -T + -T = ( + T )[T 3T + ] = = ( + T )(T )(T + ) Si anno quindi i seguenti autovalori: ed essendo T = +, T = +, T 3 = T T T 3, in tal caso f a tre autovalori distinti e, quindi, f è semplice. Si a: V + = (x, y, z) B V y =, } = L ((x,, ) B ) ed una base di V + è data dal vettore a = (,, ) B = v. V + = (x, y, z) B V x =, z = y} = L ((, y, y) B ) ed una base di V + è data dal vettore a = (,, ) B.

5 V = (x, y, z) B V x = + z, y = ( + )z} = ( = L ( + ) z, ( + )z, z) B ed una base di V è data dal vettore a 3 = ( +, ( + ), ). Pertanto per, una base di autovettori per f è A = [a, a, a 3 ] Sia adesso =. Si a l autovalore T = 3 con m 3 = e T 3 = con m = ; Per T = il rango di M è due e quindi dimv = = m ; ma per T = 3 il rango di M 3I è uguale a due e quindi dimv 3 = m 3 ; allora in questo caso f non è semplice. Sia adesso =. Si a l autovalore T = con m = e T = con m = ; Per T = il rango di M +I è due e quindi dimv = = m ; per T = il rango di M è uno e quindi dimv = m ; allora in questo caso f è semplice. Una Base di V è (,, ) B, (,, ) B. Una base di V è (,, ) B. Pertanto una base di autovettori di V è [(,, ) B, (,, ) B, (,, ) B ]. Troviamo f (,,, ). Pertanto trovare f (w) equivale a risolvere il seguente sistema non omogeneo la cui colonna di termini noti è data da [(,,, )] B, ovvero: + + Applicando il teorema di Cramer per,, si a una ed una sola soluzione ( ) (x, y, z) B = ( + )( ),,. Per =,,, applicando il teorema di Rouce-Capelli il sistema è impossibile e quindi f (,, ) B = B