FONDAMENTI DI FISICA GENERALE
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- Sergio Campo
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1 FONDAMENTI DI FISICA GENERALE Ingegneria Meccanica Roa Tre AA/0-0 APPUNTI PER IL CORSO (Ripresi e sisteati, con differente organizzazione e varie integrazioni, dai testi di bibliografia) Roberto Renzetti PARTE TERZA LAVORO ED ENERGIA Bibliografia: Paul J. Tipler, Gene Mosca Corso di Fisica Zanichelli, 009 Jay Orear Fundaental Physics John Wiley & Sons Inc, 967 F.W. Sears, M.W. Zeansky - University Physics - Addison-Wesley Publishing Copany, 964 M. Alonso, E.J. Finn Fundaental University Physics - Addison- Wesley Publishing Copany, 969 R. Renzetti Vari appunti iei raccolti negli anni Lavoro Consideriao una particella A che si uove lungo una curva C sotto l'azione di una forza F (vedi figura). In un intervallo di tepo olto piccolo essa si uove da A ad A', lo spostaento essendo AA' dr.
2 Il lavoro copiuto dalla forza F durante tale spostaento è definito dal prodotto scalare () dl F dr Indicando con ds il odulo di dr (cioè la distanza percorsa), possiao anche scrivere la () nella fora () dl F ds cosθ dove θ è l'angolo copreso fra la direzione della forza F e lo spostaento dr. Ora, F cos θ è la coponente F T della forza lungo la tangente alla traiettoria, cosicché risulta (3) dl F ds T Possiao enunciare questo concetto dicendo che il lavoro è uguale al prodotto dello spostaento per la coponente della forza nella direzione dello spostaento. Osserviao che, se la forza è perpendicolare allo spostaento (θ 90 ), il lavoro copiuto dalla forza è nullo. Per esepio, questo è il caso della forza centripeta F c nel oto circolare (figura a) o della forza di gravità g quando un corpo si uove su di un piano orizzontale (figura b). La () fornisce il lavoro per uno spostaento infinitesio. Il lavoro totale copiuto sulla particella nel passaggio da A a B (vedi figura) è la soa di tutti i lavori infinitesii copiuti durante i successivi spostaenti infinitesii.
3 Cioè: L F r d r + F d r + F3 d (4) F d r B L F. ds A B A T Pria di poter calcolare questo integrale (detto anche integrale curvilineo di F), dobbiao conoscere F in funzione di x, y, e z. Inoltre, in generale, dobbiao conoscere l'equazione della traiettoria lungo la quale la particella si uove; oppure dobbiao conoscere F, x, y e z in funzione del tepo e di qualche altra variabile. Talvolta è conveniente rappresentare graficaente F T. Nella figura seguente abbiao riportato il diagraa di F T in funzione della distanza s. 3
4 Il lavoro dl F T.ds copiuto durante un piccolo spostaento ds, corrisponde all'area del rettangolo stretto. In tal odo possiao trovare il lavoro copiuto sulla particella per spostarla da A a B, dividendo dappria l'intera area tratteggiata della figura in tanti rettangoli stretti, e soando poi le loro aree. Cioè, il lavoro totale copiuto è dato dall'area totale sottesa dalla curva, dall asse s e dai segenti di perpendicolare tracciati dagli estrei considerati della curva e l asse s. Un interessante caso particolare è quello in cui la forza è costante in odulo e direzione, e il corpo si uove in linea retta nella direzione della forza (vedi figura). Allora F T F, e dalla (4) si ottiene: B B L F ds F ds F s (5) A A Cioè: il lavoro è dato dal prodotto della forza per lo spostaento, che è l'espressione riportata noralente nei testi eleentari. Se F x, F y ed F z sono le coponenti ortogonali di F, e dx, dy e dz sono le coponenti ortogonali di dr (vedi figura), la regola del prodotto scalare di due vettori ci perette di scrivere: 4
5 + (6) L ( Fxdx + Fydy Fzdz) B A Quando la particella è soggetta a nuerose forze F, F, F 3,..., il lavoro copiuto da ciascuna forza durante uno spostaento AA' dr (vedi figura) è dl F x dr, dl F x dr, dl 3 F 3 x dr, ecc. Osserviao che dr è lo stesso per tutte le forze, poiché tutte agiscono sulla stessa particella. Il lavoro totale dl copiuto sulla particella si ottiene soando i lavori infinitesii dl, dl, dl 3,..., copiuti da ciascuna forza. Allora: dl dl + dl + dl +... F dr + F (7) ( F + F + F +...) dr F dr 3 3 dr + F 3 dr
6 dove F F + F + F è la forza risultante. Ma l'ultio risultato fornitoci dall equazione precedente è il lavoro copiuto dalla forza risultante che agisce sulla particella. Ciò diostra allora che il lavoro copiuto dalla risultante di parecchie forze applicate alla edesia particella è uguale alla soa dei lavori copiuti dalle forze coponenti. Il lavoro è positivo se il oto si svolge nello stesso verso della forza e negativo se si svolge in verso opposto. L unità di isura è il joule: Le diensioni sono: J N. [Lavoro] [M.L.T -.L] [M.L.T - ] 5 Potenza Nelle applicazioni pratiche, specie in relazione alle acchine e ai problei di ingegneria, è iportante conoscere quanto lavoro viene copiuto nell'unità di tepo. La potenza istantanea è definita da: (8) W dl Cioè, la potenza è definita coe il lavoro copiuto per unità di tepo durante un intervallo di tepo olto piccolo. Usando le equazioni dl F dr e possiao anche scrivere v d r dr (9) W F F v e così la potenza si può anche definire coe il prodotto della forza per la velocità. La potenza edia durante un intervallo di tepo t si ottiene dividendo il lavoro totale L, dato dalla (4), per il tepo t, ottenendo così W ed L/t. 6
7 Da un punto di vista applicativo, il concetto di potenza è olto iportante, perché quando un ingegnere progetta una acchina, ciò che iporta è il rito col quale essa può produrre lavoro, piuttosto che la quantità totale di lavoro che la acchina può copiere. L unità di isura è il watt: W J. s - [sono in uso, coe unità di isura di energia, il wattora Wh 3600 J ed il KWh 3,6.0 6 J]. 6 Lavoro ed energia cinetica La curva della figura seguente rappresenta la traiettoria di una particella di assa che si uove nel piano x,y soggetta ad un forza risultante F che varia in odulo ed in direzione da un punto all altro della traiettoria In un oto curvilineo generico, coe già discusso, occorre considerare sia la forza tangenziale che quella centripeta per le quali valgono le seguenti relazioni già viste: Fs at dv () e 7
8 () F n a n v r La coponente F n, perpendicolare alla velocità v, è una forza centripeta ed ha la funzione di variare la direzione della velocità entre la coponente F s fa variare il odulo della velocità. Sia s la distanza di una particella da un punto fisso O della traiettoria. In generale il valore di F s, dato dalla (), sarà funzione di s di odo che v, oltre ad essere funzione di t, è anche funzione di s, risultando funzione di funzione. Applicando la regola di derivazione di una funzione di funzione troviao: dv dv ds ds v dv ds La () diventa quindi: Da cui: F s v dv ds F s ds v dv Se v e v sono rispettivaente le velocità ad s ed s, si deduce: s v (3) Fs ( s) ds s v v dv L integrale del prio ebro è il lavoro totale L fatto dalla forza risultante F nello spostare la particella da s ad s : (4) L s s F s ( s) ds L integrale del secondo ebro è invece: 8
9 v v v dv v v E c E c avendo indicato con E c la quantità: (5) Ec v che chiaiao energia cinetica. Con queste notazioni la (3) diventa: L E c E (6) c Abbiao allora il teorea dell energia cinetica: il lavoro fatto dalla forza F che agisce su una particella è uguale alla variazione dell energia cinetica della particella. Se φ è l'angolo tra la forza F e l'eleento di spostaento ds, la coponente della forza parallela a ds è F s F cos φ, coe si può vedere dalla figura. 9
10 Perciò l'equazione (4) per il lavoro eseguito da una forza F può essere scritta: (7) L Fsds F cos ϕ ds In generale, sia F sia φ variano entre la particella si uove lungo una curva tridiensionale. Si rilevi che cos φ ds è la coponente dello spostaento ds su una linea parallela alla forza. Perciò, si può considerare l'eleento di lavoro dl F cosφ ds o coe il prodotto dello spostaento ds per la coponente parallela della forza F cos φ o coe il prodotto della forza F per la coponente dello spostaento ds cos φ. La seconda interpretazione è talvolta utile quando la forza è costante in direzione. Per capire eglio, approfittando anche per apliare la conoscenza dell energia, consideriao un esepio. Un oggetto di assa parte dalla quiete e scende strisciando lungo un piano inclinato liscio che fora un angolo θ con il piano orizzontale. Cerchiao di calcolare il lavoro eseguito da tutte le forze e la velocità della particella dopo che ha percorso strisciando una distanza s lungo il piano. 0
11 Le forze che agiscono sulla particella sono il peso g e la forza di contatto N esercitata dal piano, la quale è perpendicolare al piano poiché questo è liscio. Queste forze sono indicate nella figura. La forza norale N, essendo perpendicolare al oto, non esegue lavoro. L'unica forza che esegue lavoro è il peso g, che ha la coponente g sin θ nella direzione del oto. (Si rilevi che l'angolo φ fra il peso e la direzione del oto è il copleento dell'angolo di inclinazione θ. Perciò l'eleento di lavoro eseguito dal peso è dl g cos φ ds g sin θ ds). Poiché il peso è costante, il lavoro eseguito sulla distanza s è sepliceente g sin θ s. È il lavoro totale eseguito da tutte le forze, e perciò è uguale alla variazione dell'energia cinetica, che è sepliceente ½v perché la particella parte dalla quiete. Perciò il teorea dell'energia cinetica dà: Ossia: L tot g sin θ s ½ v v s sin θ g gh dove h s sin θ è l'altezza verticale totale di cui la particella è discesa. Il lavoro eseguito dalla Terra sulla particella è gh ed è indipendente dall'angolo di inclinazione del piano. Se l'angolo θ auentasse, la particella percorrerebbe una distanza s più piccola per discendere della stessa distanza verticale h, a la coponente del peso parallela al oto g sin θ sarebbe aggiore, e il lavoro eseguito g sin θ s sarebbe perciò identico. I risultati di questo esepio possono essere generalizzati. Si consideri una particella che scende strisciando lungo una curva di fora qualsiasi sotto l'influenza della gravità. La figura seguente indica un piccolo spostaento ds parallelo alla curva.
12 Il lavoro eseguito dalla Terra durante questo spostaento è g cos φ ds, dove φ è l'angolo fra lo spostaento e la forza di gravità diretta verso il basso. La quantità ds.cos φ è sepliceente dh, la distanza verticale percorsa dalla particella nello scendere. Mentre la particella scende strisciando lungo la curva, l'angolo φ varia, a per ogni spostaento ds la coponente dello spostaento parallela al peso è ds cos φ dh e il lavoro eseguito dalla Terra è g ds cos φ g.dh. Perciò, il lavoro totale eseguito dalla Terra è gh, dove h è la distanza verticale totale percorsa dalla particella nella sua discesa. Se la curva è liscia (priva d'attrito), il peso è l'unica forza che esegue lavoro. In questo caso il odulo della velocità che la particella ha dopo essere discesa in una distanza verticale h si ricava da ½v - ½v 0 gh, dove v 0 è il odulo della velocità iniziale. Se la curva non è liscia, la forza d'attrito eseguirà un lavoro (questo lavoro sarà negativo perché la forza d'attrito ha verso opposto a quello del oto). Il lavoro eseguito dalla forza d'attrito dipende dalla lunghezza e dalla fora della curva e dal coefficiente d'attrito. 7 Energia potenziale Spesso il lavoro eseguito da una forza applicata a un corpo non produce un auento dell'energia cinetica del corpo perché altre forze eseguono un'uguale quantità di lavoro negativo. Per esepio, si consideri un blocco che viene sollevato lentaente lungo un piano inclinato liscio con velocità costante da una forza applicata F appl che equilibra esattaente la coponente del peso del blocco parallela al piano inclinato, F appl g sin θ. Il lavoro eseguito dalla forza applicata nello spostare il blocco di una distanza s è L Fappl s g senθ s gh Dove h sen θ.s è l'altezza a cui il blocco è stato sollevato rispetto alla sua altezza iniziale. In questo caso, l'energia cinetica del blocco non auenta perché il peso esegue una quantità di lavoro uguale a negativa: L Terra - g sinθ.s - gh Ma si può convertire in una variazione dell'energia cinetica il lavoro eseguito dalla forza applicata, liberando il blocco e lasciandolo ridiscendere strisciando lungo il piano inclinato. Il peso eseguirà allora una quantità di lavoro positiva g sin θ s gh, che è uguale all'auento dell'energia cinetica perché è l'unico lavoro eseguito sul blocco. Possiao usare l'attrazione gravitazionale che la Terra esercita sul blocco per accuulare il lavoro che eseguiao sul blocco, usandolo in seguito per ipartire al blocco un'energia cinetica. Diciao che il blocco all'altezza h ha un'energia
13 potenziale gh rispetto alla posizione iniziale. Il lavoro eseguito dalla forza applicata auenta l'energia potenziale del blocco. Quando il blocco ridiscende strisciando sotto l'influenza del suo solo peso, il lavoro eseguito dalla Terra diinuisce l'energia potenziale auentando nello stesso tepo l'energia cinetica di una uguale quantità. In questo caso l'energia potenziale si converte in energia cinetica. Poiché la perdita di energia potenziale è uguale al guadagno di energia cinetica per ciascuna parte del oto discendente, la soa dell'energia potenziale e dell'energia cinetica è costante entre il blocco scende strisciando lungo il piano inclinato. È un esepio della conservazione dell'energia. Se si lancia un corpo dal basso verso l'alto lungo un piano inclinato con velocità iniziale v 0, il corpo si uove sul piano finché il lavoro negativo eseguito dalla Terra non annulla l'energia cinetica. Poiché questo lavoro negativo è uguale all'auento dell'energia potenziale gh, l'altezza assia raggiunta dal corpo è data da gh ½v 0 (vedi figura). (Di nuovo l'altezza è indipendente dall'angolo d inclinazione del piano). Il corpo si arresta oentaneaente a questa altezza e poi ridiscende strisciando lungo il piano, acquistando energia cinetica e perdendo energia potenziale. Quando raggiunge il suo punto di partenza, la sua energia cinetica è di nuovo ½v 0. Esistono olti altri tipi di energia potenziale. Si supponga di avere una assa attaccata ad una olla nella sua posizione di equilibrio. Se si allunga la olla applicando una forza uguale a quella esercitata dalla olla (dopo avere ipresso alla assa una lieve spinta), la olla esegue un lavoro negativo uguale in valore assoluto a quello eseguito dalla forza applicata, e l'energia cinetica non varia. Nella posizione allungata, la olla ha un'energia potenziale uguale al valore assoluto del lavoro (negativo) eseguito dalla olla. Quando la assa è lasciata libera, la olla esegue su di essa un lavoro positivo. Ciò auenta l'energia cinetica della assa e diinuisce l'energia potenziale. 3
14 8 Energia potenziale gravitazionale. Energia eccanica totale e sua conservazione Vediao in altro odo quanto detto sull energia potenziale riferendoci alla figura seguente: (a) (b) (c) Supponiao, coe ostrato in figura (a), di avere un corpo di assa e peso F P g che viene sollevato da una forza F r (risultante di tutte le altre forze). Il sollevaento porta il centro di assa del corpo da un altezza iniziale y ad una finale y rispetto ad un piano di riferiento (il suolo). Sia inoltre L il lavoro fatto da F r. Il lavoro L P fatto dalla forza peso F P è opposto a quello fatto nello spostaento verso l alto: () L F y y ) ( gy ) P P ( gy [si osservi che il lavoro della forza peso è quello ora dato sia che il corpo si uova verso l alto che verso il basso]. Consideriao ora, coe ostrato in figura (b), il corpo di assa che si sposta lungo una traiettoria qualunque (nella figura c si vede il dettaglio di una piccola parte della traiettoria). In questo caso, il lavoro fatto falla forza peso è: 4
15 s () L P FP cosθ ds [si veda la (7) del paragrafo 6] s Sia ora φ l angolo che ds fora con la sua coponente verticale dy. Allora dy ds.cos φ e, poiché φ 80 - θ risulterà: cos φ - cos θ > cos θ ds - dy Cosicché la () si può scrivere: y (3) LP FP dy FP ( y y) ( gy gy) y e si vede facilente che questo risultato è identico alla relazione (), cioè a quello trovato per un oto verticale. Ciò vuol dire che il lavoro fatto dipende solo dalle quote (posizioni) iniziali e finali, indipendenteente dalla traiettoria. Ricordiao ora che il lavoro totale L è uguale alla variazione dell energia cinetica, coe ostrato nella relazione (6) del capitolo 6: (6) - 6 c L E c E Ricordiao poi che L rappresenta il lavoro fatto da F r e che L P quello fatto da F P. Il lavoro totale sarà allora: L L' + L P E c E c Da cui: (4) L' ( gy gy ) v v Indicando con h (invece che con y) una quota generica rispetto ad un riferiento piano, si ha la quantità: (5) E P gh U 5
16 alla quale si dà il noe di energia potenziale gravitazionale che possiao indicare anche con U. Scriviao la (4) in altro odo: (6) L ' v + gh v + gh Dalla (6) vediao che in ogni quantità tra parentesi copare la soa di una energia cinetica e di una energia potenziale. Ebbene, tale soa è chiaata energia eccanica totale. La pria parentesi contiene l energia eccanica totale alla fine del processo, la seconda all inizio. Cosicché il lavoro di tutte le forze che agiscono sul corpo (eccetto quella gravitazionale) è uguale all auento della sua energia eccanica totale. Nel caso in cui l unica forza operante su un oggetto sia quella gravitazionale, il lavoro L sarà nullo e l ultia equazione scritta diventa: (7) v + gh v + gh E ciò vuol dire che: nelle condizioni dette, l energia eccanica totale si conserva. E T E... c + U Ec + U Ec3 + U3 costante 9 Lavoro ed energia Confrontiao la definizione scientifica di lavoro con l'uso quotidiano del terine. Si consideri una persona che tiene un peso a una distanza h dal paviento, coe nella figura. 6
17 Nel linguaggio quotidiano, si dice che bisogna eseguire un lavoro per far questo: si deve esercitare una forza, che stanca i uscoli; a nella nostra definizione scientifica, nessun lavoro è eseguito da una forza che agisce su un corpo fero. Si potrebbe eliinare lo sforzo di sostenere il peso legando sepliceente la fune a qualche oggetto fisso, e il blocco sarebbe sostenuto senza che si debba intervenire in alcun odo. Allo stesso odo, una persona che trasposti una pesante valigia su un arciapiede orizzontale piano, non fa alcun lavoro fisico (la forza risulta perpendicolare allo spostaento)a fatica olto. È utile considerare il lavoro, così coe è stato definito, coe una grandezza di cui deve essere pagato lo scotto in qualche odo. Il pagaento avviene ediante qualche tipo di perdita di energia da parte di qualunque agente che eserciti la forza. Per esepio, non si può sollevare il peso della figura a un'altezza aggiore se non si fornisce energia in una fora o in un'altra. Se si attacca un peso lieveente più grande alla fune e si solleva il peso iniziale lasciando cadere il secondo peso, si paga con la perdita di energia potenziale del secondo peso. Se si solleva sepliceente il peso con i uscoli, si paga lo scotto del lavoro eseguito con la perdita di energia chiica interna del corpo. Per continuare a eseguire lavoro con i uscoli, si deve finire per ripristinare questa energia con l'assunzione di nutriento. Se si attacca la fune a un otore elettrico per sollevare il peso, si spende energia elettrica per eseguire questo lavoro. 0 Capi conservativi Si definisce conservativo un capo di forze quando il lavoro fatto per spostarsi tra due punti A e B di esso è indipendente dal caino percorso (il capo è conservativo solo quando in esso agiscono forze conservative coe quella 7
18 gravitazionale o elettrostatica). Dietro questa definizione vi è un fatto seplice. Supponiao che da un paesino A a fondovalle si voglia raggiungere una cia B. Tale cia, coe si sa, è raggiungibile per varie vie, da quella per principianti a quella per esperti scalatori. L una sarà una passeggiata che si servirà di olti tornanti, l altra punterà a perpendicolo verso la cia. Abedue, il principiante e lo scalatore, faranno un lavoro per andare da A a B. Nel caso del principiante si avrà l applicazione edia di una forza inore a il tragitto è più lungo; nel caso dello scalatore vi sarà l applicazione di una forza aggiore per un tragitto però più breve. Si tratta di capire quale lavoro è aggiore se ve ne è uno aggiore. La cosa non è priva di senso, sepliceente perché, ad esepio, dovendo costruire una strada si tenterà sepre di farlo lungo il preteso tragitto in cui il lavoro sia inio. Fin qui i sono riferito al capo gravitazionale. Stesse cose si possono dire per capi elettrici, agnetici, elettroagnetici, evidenteente con eseplificazioni diverse. Rappresentiao con un disegno i due punti A e B uniti da due tragitti, l ed il che ci perettono di andare da un punto all altro secondo il verso delle frecce (Fig. ). Tornando al capo conservativo e riferendoci alla figura, la definizione data vuol dire che se un capo è conservativo il lavoro fatto per andare da A a B lungo la linea deve essere lo stesso di quello che si fa lungo la linea : ;(L AB ) (L AB ) Dire questo equivale a dire che in un capo conservativo il lavoro che si fa per andare da A a B lungo una linea () è uguale e di segno opposto a quello che si fa per andare da B ad A lungo un altra linea (): (L AB ) (- L BA ) Ed in definitiva se si calcola il lavoro fatto per andare da A a B e quindi da B ad A, dopo aver percorso un giro copleto (Fig b), questo deve essere nullo: (L AB ) - (- L BA ) 0 (L AB ) + (L BA ) 0 8
19 Diostriao in un caso eleentare che il lavoro fatto per spostarsi lungo una linea chiusa in un capo gravitazionale è nullo, diostriao cioè che il capo gravitazionale è conservativo. Consideriao una assa sferica da dover caricare sul cassone di un caion. Le possibilità evidenti sono due: o facciao rotolare la assa fin sotto il cassone e poi la solleviao (caino ), o sisteiao una tavola, che ci serva da piano inclinato, su cui far rotolare la assa sul cassone del caion (caino ). Anche qui facciao un disegnino per capire eglio (Fig. ). Figura Occorre calcolarsi il lavoro fatto per andare da B ad A, quindi quello fatto per andare da A a C ed infine quello fatto per andare da C a B. La soa di questi valori fornisce il lavoro fatto per spostarsi lungo una linea chiusa all interno di un capo gravitazionale (si noti che, la linea rossa corrisponde al lavoro che si fa lungo un caino e la linea verde quello che si fa lungo l altro caino: per considerare l insiee dei due caini coe linea chiusa ho considerato uno dei due caini percorso in senso inverso, coe annunciato nella seconda relazione scritta). Ricordando che il lavoro è il prodotto scalare di forza per spostaento: si trova subito che: L BA p.s.cos α p.h (poiché la forza deve essere oltiplicata per la proiezione dello spostaento su di essa) L AC 0 (poiché la forza è perpendicolare allo spostaento e quindi cos α 0) L CB - p.h (poiché forza e spostaento hanno versi opposti). 9
20 L L BA + L AC + L CB p.h p.h 0. Con questo conticino eleentare si diostra (solo in questo caso seplice) che il capo gravitazionale è conservativo. Il caso è seplice perché abbiao supposto iplicitaente che le linee lungo cui agisce la forza gravitazionale sono parallele tra loro. Tale approssiazione è pure legittia a non fornisce una diostrazione rigorosa. Per diostrarlo in generale ci si può servire di identica diostrazione che darò per il capo elettrico, nel caso in cui le linee lungo cui agisce la forza di tale capo sono radiali, si dipartono cioè da una carica coe prolungaento dei suoi raggi. CONSERVATIVITA DEL CAMPO GRAVITAZIONALE: CASO RADIALE Consideriao la Terra, di assa M con il suo raggio R. Il capo radiale creato da tale sfera è dato da: G F M G r () t dove G è l intensità del capo gravitazionale definito coe la forza di gravitazione universale F per unità di assa (). Supponiao ora di avere una piccola assa che si sposti, seguendo una linea di capo, dal punto A (sulla superficie della Terra) ad un punto qualunque B. Figura 3 0
21 Ora calcolereo il lavoro che dobbiao fare contro le forze del capo per spostare tale piccola assa da A a B (caino ), quindi calcolereo il lavoro che dovranno fare le forze del capo per riportare la piccola assa in A lungo il caino. Ma torniao al calcolo del lavoro fatto per portare da A a B. Per farlo occorre partire con una osservazione di fondaentale iportanza, pena un calcolo errato in tutto. Lo spostaento è AB e qui non vi è nulla da osservare. Ma la forza (che si ottiene oltiplicando la per il capo G) è davvero un grave problea perché, osservando la (), ci si rende iediataente conto che essa varia con l inverso del quadrato della distanza (l analogo della forza gravitazionale). Le altre cose che copaiono nella forula sono delle costanti, anche M t è quella e basta. Il fatto che la forza vari con il quadrato della distanza, vuol dire che an ano che ci si allontana dalla Terra tale forza diinuisce. Fin qui è chiaro. Il fatto è che la variazione di tale forza avviene punto per punto. Ciò vuol dire che per calcolare il lavoro fatto per andare da A a B occorre soare infiniti lavori, quelli fatti punto per punto (della linea AB) che sono diversi tra loro. Seguiao il seguente etodo di calcolo per capire successivaente la potenza dell analisi ateatica. Suddividiao la distanza AB r R in tanti piccoli segenti tali che, in ognuno di essi la forza F.G sia approssiativaente costante, pari cioè al valor edio (attenzione: non edia aritetica!) nell intervallo. All inizio del prio intervallo (punto A) la forza che agisce sulla assa sarà data da: alla fine dello stesso intervallo sarà: Il problea è avere una edia nell intervallo di questi due valori. La edia aritetica (soare i due valori di forza per poi dividere per ) dovrebbe prevedere una diinuzione costante della forza nell intervallo. Ma qui la forza diinuisce con il quadrato, se cioè ci si allontana di la forza diventa un quarto, se ci si allontana di 3 la forza diventa un nono, Una edia che risponde allo scopo è la edia geoetrica, edia in grado di deterinare il tasso edio di decreento (o
22 accresciento) di un fenoeno (nel nostro caso: decreento della forza). Si definisce coe edia geoetrica tra N valori (nessuno dei quali negativo o nullo), la radice N- esia del loro prodotto. Nel nostro caso abbiao valori e quindi dovreo calcolare la radice quadrata del loro prodotto. Chiaando con F la nostra edia, si trova: Nel secondo intervallo (quello che va da r ad r ) si troverà: e così via:.. Il lavoro che la forza F copie nel prio intervallo, sarà: Analogaente, per L, L 3,, si trova:. Poiché il lavoro coplessivo L 3 fatto dalla forza elettrica in questi prii tre intervalli sarà:
23 si ha: cioè: Estendendo il ragionaento a tutti gli intervalli, osservando che il secondo terine dentro una parentesi tonda si annulla con il prio della parentesi tonda successiva, si trova che il lavoro totale L AB, per spostare la da A a B è dato da: Pria di andare oltre si deve notare che questo lavoro è fatto contro le forze del capo (è contro il capo gravitazionale della Terra che spostiao la assa da A a B) e non da esse coe nel caso in cui la assa fosse lasciata cadere da B verso A. In quest ultio caso l espressione doveva essere cabiata di segno. Ma torniao alla discussione che stavao facendo. Resta un piccolo problea: siao sicuri che il calcolo della edia geoetrica ci dia proprio il valore cercato? Mi sebra chiaro che il valore igliore per la forza non dovrebbe essere ediato su un intervallo a dovrebbe essere quello che la forza ha punto per punto. Si tratterebbe quindi di soare infiniti contributi infinitesii. L integrale è l operazione che perette questo tipo di soa. Facendo l integrale da A a B (cioè da R ad r) delle forza gravitazionale (nella quale l erre che copare al denoinatore non sarà né R né r a un ρ variabile tra R ed r, cioè: R ρ r) 3
24 oltiplicata per l intervallo infinitesio dρ della linea di forza, abbiao il lavoro L AB che abbiao pria trovato con la lunga elaborazione vista: Mi pare sia chiaro che il calcolo, l analisi, è qualcosa di fondaentale. Non si viaggia più per tentativi (per quanto sofisticati) a si arriva a risultati certi in tepi brevissii e con operazioni generalente olto seplici (l integrale ora fatto è uno degli integrali eleentari). Volendo ora chiudere il discorso sul capo gravitazionale, capo conservativo, occorre fare il conto del lavoro che si fa per tornare da B ad A, attraverso la linea della figura 3. Se facendo questo conto, troviao lo stesso valore (cabiato di segno) che abbiao ora trovato per il lavoro, allora potreo concludere che il lavoro fatto per andare da A a B è indipendente dal caino percorso in accordo con quanto detto all inizio: il lavoro fatto lungo una linea chiusa è nullo. Figura 4 Riferendoci alla figura 4, sofferiaoci sulla linea curva che unisce B ad A. Anche qui i servirò di ragionaenti analitici. Tale linea la posso pensare costituita da tanti tratti radiali (paralleli alle linee di forza) e da tanti archi di cerchi concentrici alla sfera. Lungo tali archi la forza che sposta la carica non copie lavoro perché la forza è perpendicolare allo spostaento (la forza agisce lungo la linea di forza e tale linea è un raggio della sfera e quindi perpendicolare alla sua superficie ed a tutte le superfici concentriche ad essa). Nel tragitto curvo restano allora solo da considerare i 4
25 contributi radiali e la soa di tali contributi non è altro che il tratto BA. Pertanto il lavoro coplessivo (lavoro fatto dalle forze del capo) per portare la assa da B ad A lungo la linea curva non è altro che quello che abbiao già trovato cabiato di segno. Pertanto: L BA - L AB > L L AB + L BA 0. Con questo abbiao diostrato la conservatività del capo gravitazionale. Quando arrivereo a trattare il capo elettrico fareo un discorso del tutto siile trattando la conservatività nel caso radiale. IL POTENZIALE Riferendoci all ultia relazione scritta, iniziao con il ricordare che la variazione di energia potenziale tra due punti A e B è definita coe il lavoro fatto per andare da A a B: U B - U A L AB avendo anche qui indicato con U l energia potenziale. Facciao ora un esercizio puraente teorico, ricaviao la nuova grandezza potenziale nel caso gravitazionale. L esercizio è qui teorico perché non si usa quasi ai tale grandezza nel caso gravitazionale. Nel caso quindi che discutiao, quello gravitazionale, abbiao iediataente: U B U A GM t R r Consideriao ora U A coe energia potenziale di riferiento ponendola uguale a zero in corrispondenza di un capo che vale zero: U A 0 quando il capo gravitazionale 0. Ora il capo gravitazionale 0 a distanza infinita, quando cioè r (se si ricorda la F M t relazione, G G, si vede subito che al tendere della distanza ad infinito, il r capo tende a zero). Quindi abbiao: U 0 GM t R B > E questo risultato è valido in generale, cioè: U B GM t R 5
26 U GM rappresenta il lavoro copiuto per portare la assa da un certo punto (a distanza r da M t ) all infinito. Introdotta U è possibile definire il potenziale V coe energia potenziale per unità di assa: t R V U G M R t Chiunque studi fisica si accorgerà dell iportanza del concetto di conservatività e di quello di potenziale e quanto detto avrà rilevanza soprattutto nel caso elettrico. Rivediao ora esattaente le stesse cose da riferire però al caso elettrico in cui la forza è (coe vedreo) quella di Coulob ed il capo è quello elettrico E: KqQ R F q KQ R F ed E Nel caso che ora discutiao, quello elettrostatico, abbiao iediataente: U B U A KqQ R r Consideriao ora U A coe energia potenziale di riferiento ponendola quindi uguale a zero in corrispondenza di un capo E che vale zero: U A 0 quando E 0. Ora E 0 a distanza infinita, quando cioè r. Quindi abbiao: U 0 KQq U KQq B R > B R E questo risultato è valido in generale, cioè: 6
27 U KQq R rappresenta il lavoro copiuto per portare la carica q da un certo punto (a distanza r da M t ) all infinito. Introdotta U è possibile definire il potenziale V coe energia potenziale per unità di carica: V U q K Q R Chiunque studi fisica si accorgerà dell iportanza del concetto di conservatività e di quello di potenziale e quanto detto, coe annunciato, avrà rilevanza nel caso elettrico. Ancora sulla conservazione dell energia. In un capo conservativo, fissato un punto A qualunque (a noi conveniente), il lavoro che le forze del capo copiono lungo una traiettoria qualsiasi che conduca da A a B, è dato da: B ) A () LAB F ds ( U B U A U A U B U Allora l energia potenziale nel punto A sarà data da: A B U F ds + U A Ma in questa espressione U B non ha un valore deterinato sia perché B è scelto arbitrariaente, sia perché ad U B si può assegnare un valore a piacere. Ciò significa che l energia potenziale U in un punto qualunque del capo è deterinata solo a eno di una costante additiva. Ma questa costante non ha influenza nei fenoeni fisici se si considerano differenze di energia potenziale. Diciaolo in altro odo, ricordando la relazione () che possiao scrivere nel odo seguente: B 7
28 U U () B U A F ds Questa espressione, per spostaenti ds olto piccoli, diventa: (3) du F ds Essendo definita soltanto la variazione dell'energia potenziale, il valore della funzione U in qualunque punto non è specificato dalla definizione. Si è liberi di scegliere il valore di U in qualunque punto arbitrariaente. Di solito si assegna a U il valore zero in un certo punto di riferiento. L'energia potenziale in qualunque altro punto è quindi la differenza fra l'energia potenziale in quel punto e quella nel punto di riferiento. Il lavoro eseguito da una forza non-conservativa (ved i subito dopo) agente su una particella che si sposta dal punto A al punto B può anche essere scritto coe un integrale di linea, coe nell'equazione (), a questo lavoro può dipendere dalla traiettoria seguita dalla particella, dalla velocità della particella, e da altre grandezze. Poiché questo lavoro non è sepliceente una funzione della posizione iniziale e della posizione finale della particella, ad una forza non-conservativa non è associata una funzione energia potenziale. FORZE NON CONSERVATIVE B A È iportante capire che una funzione energia potenziale U(x) può essere definita dalle equazioni () e (3) solo se la forza F è conservativa (ricordo che il lavoro in un capo conservativo può essere solo fatto da forze conservative), cioè, se F è costante o è una funzione della sola posizione. Si può coprendere la ragione di questa liitazione considerando forze che dipendono da grandezze diverse dalla posizione, per esepio, dalla velocità della particella. In questo caso, il lavoro eseguito su una particella entre essa si sposta dal punto A al punto B dipende dalla velocità della particella. Non potendo espriere questo lavoro coe funzione dei punti A e B, non si può definire un'energia potenziale U(x) ediante l'equazione (). Un esepio di tale forza non-conservativa è la resistenza viscosa, che cresce in odulo al crescere del odulo della velocità e ha orientazione opposta a quella della velocità della particella. Un altro esepio di forza non-conservativa, a cui si è già accennato, è l'attrito allo strisciaento. Si consideri un blocco che striscia su un piano scabro dal punto A al 8
29 punto B. La forza d'attrito dipende dalla velocità del blocco e non può essere espressa in funzione della posizione del blocco. Per esepio, se il blocco è in quiete e non è soggetto ad alcuna forza, la forza d'attrito è nulla. Se il blocco si uove verso destra, la forza d'attrito è diretta verso sinistra; se il blocco si uove verso sinistra, la forza d attrito è diretta verso destra. Anche se il odulo della forza d'attrito è approssiativaente indipendente dalla velocità, il verso della forza dipende dal verso della velocità. Perciò, non si può espriere il lavoro eseguito da questa forza in funzione delle posizioni iniziale e finale e non si può definire una funzione energia potènziale associata a questa forza. Il lavoro eseguito da questa forza dipende dal odo in cui il corpo è spostato da un punto a un altro. Un altro esepio coune di forza non-conservativa è una forza applicata da un agente uano, quale una spinta o una trazione. Supponiao di voler sollevare un peso di una distanza verticale h. Si può applicare una forza verticale uguale al peso, equilibrando esattaente la forza di gravità in odo che il peso non acceleri. Oppure si può applicare una forza aggiore del peso, in odo che il peso acceleri. È chiaro che la forza applicata non dipende soltanto dalla posizione e perciò non è conservativa. COME RICAVARE LA FORZA DALL ENERGIA POTENZIALE Finora abbiao ricavato la funzione energia potenziale da una data forza. Consideriao ora il problea inverso, ricavare la forza da una data funzione energia potenziale. Per la aggior parte dei casi che ci interessano (oto unidiensionale e forze centrali) la forza ha soltanto una coponente e l'energia potenziale è una funzione di una sola variabile. In questi casi la forza è sepliceente l'opposto della derivata dell'energia potenziale. Secondo l'equazione (3), la forza e la funzione energia potenziale sono legate dalla relazione: da cui du F x dx (4) F x du dx La forza è perciò l'opposto in segno della derivata di U rispetto a x. Per le forze centrali, per esepio per la forza gravitazionale e la forza elettrostatica, abbiao: (5) F r du dr 9
30 Nel caso più generale di uno spostaento curvilineo s, abbiao a che fare proprio con la (3), che riporto di seguito: (3) du F ds Consideriao vari spostaenti di odulo ds a con differenti orientazioni. Se ds è perpendicolare a F, la variazione dell'energia potenziale è nulla. La assia variazione di U si ha quando ds è parallelo o antiparallelo alla forza. Quando ds è parallelo alla forza, si può scrivere: F du ds Un vettore orientato secondo la assia variazione di una funzione scalare e avente coe odulo la derivata della funzione rispetto alla distanza in quella direzione è chiaato gradiente della funzione. Perciò, in generale, la forza è l'opposto del gradiente dell'energia potenziale. Energia potenziale elastica Riferiaoci alla figura seguente: Applicando alla assa una forza F A che la sposta di un tratto x, si genera una forza elastica F - kx (Legge di Hooke). 30
31 Il lavoro L el fatto dalla forza elastica, l area sottesa dalla retta di figura fino all ascissa presa in considerazione, è dato da: F ds F cos L θ dx el Poiché nel nostro caso cos θ - (il - che copare nell equazione che ci fornisce F), sostituendo ad F il suo valore si ha: x x L el x kx dx x Da cui: L el kx kx Indicando con L il lavoro della forza applicata F A si ha che il lavoro totale L vale: cioè: L L + L el E c L ' kx kx v v 3
32 Da cui L ' kx kx + v v Da cui ancora L ' v + kx v + kx Anche qui, coe nell equazione (6) del capitolo 8, si trova in ogni quantità tra parentesi copare la soa di una energia cinetica e di una energia potenziale. Ebbene, tale soa è l energia eccanica totale. La pria parentesi contiene l energia eccanica totale alla fine del processo, la seconda all inizio. Cosicché il lavoro di tutte le forze che agiscono sul corpo (eccetto quella gravitazionale) è uguale all auento della sua energia eccanica totale. Nelle relazioni scritte copare una quantità che è l energia potenziale elastica U el : () U ( x) kx RAPPRESENTAZIONE GRAFICA La figura seguente ostra un diagraa dell'energia potenziale in funzione di x per una assa attaccata a una olla. La funzione energia potenziale, dall'equazione precedente è: U ( x) kx 3
33 Supponiao che la assa, all'estreità della olla, venga tirata (o pressata), e che di conseguenza la olla si allunghi (o si copria) di un tratto x x x 0. In tal caso il lavoro copiuto su sarà L ½ kx 0 e verrà iagazzinato dalla olla sotto fora di energia potenziale U ½ kx 0. Se lasciao andare la assa, in assenza di attrito, oscillerà di oto aronico seplice (vedi oltre); quando x diinuisce rispetto al suo valore assio x diinuirà corrispondenteente l'energia potenziale, e auenterà l energia cinetica. Poiché in un sistea isolato la quantità E C + U riane costante, si può ottenere facilente il valore di E C da un grafico dell'energia potenziale. La parabola in figura rappresenta il grafico di U in funzione di x, per una olla allungata (o copressa). La retta orizzontale individua il valore L 0 kx 0 tale valore rappresenta l'energia potenziale elastica del sistea quando la olla è allungata di un tratto x 0. Poiché l'energia totale si conserva, allora E C + U L 0 > E C L 0 U In altre parole l'energia cinetica, per un allungaento x della olla, è data dalla distanza del punto della curva (parabola) di ascissa x dalla linea colorata orizzontale. 33
34 In questo odo, per ogni valore di x, si ottiene iediataente dal grafico dell energia potenziale il valore corrispondente di E C. 3 Urti elastici ed anelastici In un urto elastico si conserva sia l energia cinetica che la quantità di oto. Consideriao l urto tra due asse ed dotate rispettivaente di velocità v e v. Applicando le due conservazioni suddette, si ha: () () ' v + v v + + ' ' v + v v v v ' Si tratta di due equazioni indipendenti dalle quali, date le asse e le velocità iniziali, è possibile ricavare le velocità finali. Si può ricavare v dalla () e v dalla () ottenendo: (3) v v + /. (v v ) (4) v v + /. (v v ) Dalla (3) e dalla (4) otteniao rispettivaente: (5) v - v /. (v v ) (6) v - v /. (v v ) Sviluppiao la (6): (7) (v - v )( v + v ) /. (v v )(v + v ) Sostituiao la (5) nella (7): (8) /. (v v )(v + v ) /. (v v )(v + v ) Seplificando: (9) (v + v ). (v + v ) 34
35 Da cui un risultato: (0). (v v ) - (v v ) Resta da trovare v e v. Per farlo occorre tornare al sistea delle () e (). Dalla () si ricava, ad esepio, v e dalla () v. Si sostituisce questo secondo valore nel prio e si fanno i conti, trovando alla fine il valore di v : () v ' v + v ( + ) Allo stesso odo, ricavando dalla () v e dalla () v e facendo i calcoli, si trova: () v ' v + v( + ) La (0) ci perette di afferare che in un urto centrale elastico, la velocità relativa del corpo rispetto al corpo dopo l urto, cioè (v v ), è uguale, a con verso invertito, alla velocità relativa degli stessi due corpi pria dell urto, cioè (v v ). Ogni altro urto è chiaato anelastico entre quello per il quale la velocità relativa dopo l urto è nulla, cioè v v 0, è chiaato copletaente anelastico (i due corpi, urtandosi, restano legati insiee e viaggiano con una edesia velocità). Se l urto è copletaente anelastico si avrà: v v w e la conservazione () della quantità di oto diventa: (3) v + v ) w ( + E ciò vuol dire che i due corpi, dopo l urto, restano legati tra loro. Passando all energia cinetica, essa, pria dell urto varrà: (4) E C v + v 35
36 Dopo l urto: (5) E C + ( ) w Consideriao il caso del corpo inizialente a riposo (v 0). Avreo: (6) E C v E la (3) diventa: v ) w ( + > (7) w v + Mentre E C resta con il valore dato dalla (5). Calcoliaoci ora il rapporto tra E C ed E C. C ( + ) (8) E E C Sostituendo la (7) nella (8) si trova: v w (9) E E C C + E ciò vuol dire che in urto anelastico l energia cinetica totale diinuisce. 5 Oscillazioni: Moto aronico seplice 36
37 Riprendiao qui, per approfondire, alcune delle cose già dette nella Parte Pria. Coe già detto nel oto aronico seplice (MAS), il più seplice dei oti oscillatori o periodici, lo spostaento (o elongazione) x della particella dalla sua posizione di equilibrio in funzione di t è dato dall equazione (confronta con la relazione 5 del capitolo della Parte Pria): () x A.sen (ωt + φ) dove A, ω e φ sono delle costanti. Si può trovare la relazione esistente tra la posizione iniziale x 0 e le costanti A e φ ponendo t 0 nella relazione precedente: () x 0 A.sen φ La velocità di una particella che si uove di MAS è: (3) v x dx/ Aω.cos (ωt + φ) L accelerazione è: (4) a x d x/ dv x / - ω A.sen (ωt + φ) E, tenendo conto della (), sarà: (5) a x - ω x Consideriao ora un corpo che oscilli di MAS intorno alla sua posizione di equilibrio O coe ostrato in figura. Avreo: 37
38 F kx a dv v v dv v dx dv v dv dx Dalla catena di uguaglianze precedente abbiao, in particolare: (6) kx v dv dx Da qui, elaborando successivaente: dv v + kx 0 > dv + kx dx 0 dx v dv + kx dx 0 > v + kx C > > E c + U E > (7) > v + kx E dove con E abbiao indicato il valore dell energia totale. v > Ed anche qui abbiao una curva uguale a quella che abbiao incontrato nel capitolo (Energia potenziale elastica. Rappresentazione grafica): 38
39 Anche qui, dalla curva si vede che, agli estrei del oto, tutta l energia è potenziale, al centro è tutta cinetica e la assa avrà il assio di velocità: v ax Ec > v ax ± E c Per una elongazione qualsiasi, dalla (7) si trova che la velocità vale: (8) v E kx Agli estrei della traiettoria l elongazione è assia (x ax A): kx ax E > x ax ± E k > A xax E k Sostituendo quest ultia espressione nella (8) si ha: v E kx k E k x k k ( A x ) A x 39
40 Da questa espressione si ottiene l elongazione assia x in funzione del tepo sostituendo a v la sua espressione dx/. dx k A x > A x all integrale dei due ebri) dx dx A x k > (passando k > k arcsen t + C (9) x A Troviaoci la costante C osservando che a t 0 risulta x x 0. Quindi a t 0 l ultia relazione scritta diventa: x0 arcsen A C Il valore di C è allora quello di un angolo in radianti il cui seno vale x 0 /A. Chiaiao questo angolo θ 0. Abbiao allora: Possiao quindi sostituire θ 0 a C nella (9): x0 x0 senθ 0 > θ0 arcsen > A A C θ 0 x k arcsen t +θ 0 > A k (0) > x A sen t + θ 0 L elongazione x è quindi una funzione sinusoidale del tepo t. All interno della parentesi vi è un angolo isurato in radianti che si chiaa fase del oto. L angolo θ 0 è la fase iniziale. 40
41 Se poniao t 0 quando l oscillazione si trova nel suo punto centrale o quando si trova agli estrei della sua traiettoria, le equazioni scritte assuono una fora più seplice. Supponiao t 0 quando il corpo oscillante è nella sua assia elongazione positiva, allora si ha: x 0 + Asenθ 0 e π θ 0 e, per t 0: x π Asen ωt + Acosωt v ω. Asenωt a ω Acosωt > a - ω.xν Ciò vuol dire che, invece di avere uno sfasaento qualunque: si ha la curva cosinusoidale seguente (l origine si sposta in O ): 4
42 Se poniao t 0 quando il corpo si trova nella posizione centrale, in oto verso destra, si ha: x 0 0, sen θ 0 0, θ 0 0 e l origine si sposta in O : x A sen ωt v ωa cos ωt a - ω A sen ωt Per trovare il periodo T osserviao che l elongazione x ha lo stesso valore a t ed a t + T. Ciò vuol dire che la fase auenta di π nel tepo T. Poiché l angolo è dato da k t +θ 0 si avrà: Da cui si ricava T: k k t + T ) + θ0 θ t + + π ( 0 T π che è indipendente dall apiezza, cioè dall energia totale (isocroniso). k 4
43 La frequenza ν è data da: La pulsazione è data da: ν T π k () k ω πν > ω k Questo risultato ci perette di scrivere la (0) nel odo seguente: x A sen (ωt + θ 0 ) da cui: v dx/ ωa cos (ωt + θ 0 ) a dv/ - ω A sen (ωt + θ 0 ) e poiché A sen (ωt + θ 0 ) 0, si avrà: a - ω x CONSIDERAZIONI ENERGETICHE SUL MOTO ARMONICO SEMPLICE Abbiao visto nella relazione () che nel MAS vale la conservazione dell energia eccanica: () E c U E E dalla (7) che: + > v + kx E (7) x A.sen (ωt + φ) Utilizziao ora quanto abbiao detto nella nota (*) riportata alla fine della Parte Pria in riferiento all equazione (5) e cioè che lo spostaento x può essere anche dato nell altra fora: 43
44 () x A.cos (ωt + φ) > dx ω ( ω + ϕ (3) v A sen t ) > a d x (4) Aω cos( ωt + ϕ) Sostituendo il valore di x dato dalla () e di v dato dalla (3) nella () e ricordando k la () e cioè, ω,otteniao successivaente: dx + kx ( Aω) sen ( ωt + ϕ) + ka cos ( ωt + ϕ) A k sen ( ωt + ϕ) + ka cos ( ωt + ϕ) ka sen ( ωt + ϕ) + ka cos ( ωt + ϕ) ka [ sen ( ωt + ϕ) + cos ( ωt + ϕ) ] ka Ed in definitiva abbiao che l energia totale E è data da: 44
45 (5) E ka 6 Oscillazioni sorzate Quando l energia eccanica di un oscillatore diinuisce con il tepo, si ha a che fare con un oscillatore sorzato. Si ha invece un oscillatore forzato quando una forza esterna continua a antenere l oscillazione, coe accade, ad esepio, in una altalena. 45
46 Consideriao una olla (spring di figura) con una assa sospesa (block di figura) che disponga di una appendice (vane di figura) che si uova in un liquido. Ma si può anche pensare alla assa stessa che, entre oscilla, peschi in un liquido in odo da variare lo sorzaento dell oscillazione al variare della densità del liquido (la cosa è realizzabile anche nell esepio precedente dove si può anche intervenire facendo variare la fora dell appendice che pesca nel liquido). Una forza (F s ) che si può pensare render conto di uno sorzaento di questo tipo deve essere proporzionale ed opposta alla velocità della assa sospesa alla olla: () F s - b.v dove b è una costante che descrive il grado di sorzaento: al crescere di b lo sorzaento cresce (nella figura precedente ed anche nella seguente sono 46
47 riportati i grafici di alcuni sorzaenti con cui si ha a che fare: il prio grafico è relativo ad un piccolo sorzaento entre i successivi sono relativi a sorzaenti sepre aggiori). Il grafico giallo è relativo a nessuno sorzaento, quello rosso ad un grande sorzaento. Poiché la forza () dipende dalla velocità, non è conservativa e copie sepre un lavoro negativo facendo diinuire l energia eccanica del sistea. Calcoliao la potenza che tale forza sviluppa (osservando che forza e spostaento hanno stessa direzione e stesso verso). () W L t F s t F v bv v bv La seconda legge di Newton, F, applicata al oto della assa legata ad una olla di costante elastica k e con forza di sorzaento bv, è: a 47
48 dv dv (3) F x kx bv > + kx bv L energia eccanica totale del sistea è: (4) E v + kx Osservando che v ed x sono funzioni di funzione (possono essere, ad esepio, funzioni sinusoidali di una funzione del tepo), la rapidità di variazione dell energia eccanica è data da: (5) de dv dx dv dv v + k x v + kxv v + kx a dalla (3) abbiao che l espressione tra parentesi ora trovata vale bv, quindi: (6) de bv Si può quindi concludere che la rapidità di variazione dell energia eccanica è identica alla potenza W essa in gioco dalla forza di sorzaento (si confronti la 6 con la ). Ci si può fare un idea del coportaento di un oscillatore sorzato senza risolvere nei particolari l equazione (3). Vediao. Se lo sorzaento è piccolo ci si aspetta che la assa oscilli con una pulsazione ω approssiativaente uguale alla pulsazione propria del oto non sorzato ω 0 : (7) ω ' ω 0 k Ci si attende quindi che l apiezza dell oscillazione diinuisca lentaente. La variazione dell energia in un periodo T è: 48
49 T de v (8) E bv b 0 0 T T 0 bt v dove abbiao indicato con v il valore edio della velocità al quadrato, valore edio che, per definizione, è: (9) v Nel oto aronico seplice, l'energia oscilla fra l'energia potenziale e l'energia cinetica. Il valore edio dell'energia cinetica o dell'energia potenziale è la età dell'energia totale. Perciò: (0) v Ec U E ossia: T T 0 v () v E Cobinando le equazioni 8 e, si ottiene, per la perdita di energia in un periodo T: E E bt v bt () > E T b (3) E Un criterio ragionevole per lo sorzaento debole è che la perdita di energia in un periodo sia una piccola frazione dell'energia totale: (4) - E << E cioè: E E bt << b << > T 49
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