Fullereni, simmetrie e colorazioni

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1 ISTITUTO UNIVERSITARIO DI STUDI SUPERIORI CORSI ORDINARI CLASSE DI SCIENZE E TECNOLOGIE Fullereni, simmetrie e colorazioni Relatore: Prof. Ludovico Pernazza Correlatore: Prof. Franco rezzi Tesi di diploma di Andrea Moiola Anno accademico 2007/2008

2 Fullereni, simmetrie e colorazioni Andrea Moiola 27 ottobre 2008

3 Indice Introduzione 2 1 Definizioni e notazione Le colorazioni dei poligoni Notazione per i gruppi algebrici I fullereni planari La costruzione di Goldberg-Coxeter dei fullereni sferici Classificazione delle colorazioni invarianti La famiglia PPI Non esiste una colorazione con G p = T h La colorazione ottimale I casi di GC 2,0 e GC 3, La famiglia PPO Non esiste una colorazione con G p = T h Le colorazioni simmetriche Il caso di GC 1, I fullereni sferici chirali I fullereni non planari I fullereni toroidali I fullereni non orientabili Un grafo toroidale contenente ettagoni ibliografia 34

4 Introduzione Molto spesso, assemblando moduli origami per costruire dei poliedri particolarmente complessi, capita di chiedersi: ho scelto di unire i moduli dei diversi colori secondo un certo schema, ma ne esistono altri migliori? Esiste una colorazione che sia in assoluto la migliore? Quali sono dei criteri ragionevoli secondo cui una colorazione è preferibile rispetto ad un altra? In questa piccola tesi ho provato a dare una risposta parziale a queste domande. Ci limitiamo a studiare poliedri i cui grafi sono fullereni, cioè grafi cubici formati da pentagoni ed esagoni. Visto che questi solidi sono facilmente costruibili ad esempio con i moduli di tipo PHiZZ [16], ci interessano solo le colorazioni per spigoli, in particolare le 3-colorazioni. I criteri principali per preferire una colorazione ad un altra saranno la sua simmetria e la presenza o l assenza di pattern particolari. Nonostante esistano numerosi origami modulari corrispondenti a fullereni o a poliedri simili, è molto difficile trovare discussioni e risultati che riguardino la scelta delle colorazioni. Un esempio è [15], in cui ci si limita a costruire una colorazione per ogni fullerene sferico senza indagarne le proprietà. D altro canto esistono diversi articoli che studiano alcune caratteristiche dei grafi di fullereni per applicazioni alla chimica, ma sono in generale abbastanza distanti da quanto riguarda le colorazioni. Le proprietà più studiate sono quelle che riguardano i perfect matching, i cicli hamiltoniani, i cosiddetti zigzag, lo spettro della matrice di adiacenza e le enumerazioni efficienti dei fullereni planari. Le tecniche utilizzate e gli obiettivi perseguiti in questa tesi sono invece più vicini ad altri ambiti legati alla teoria dei grafi e al calcolo combinatorio: la teoria di Ramsey, il combinatorial design, i gruppi di simmetrie puntuali e cristallografici. Le colorazioni dei grafi per vertici e per spigoli sono studiate in molti ambiti teorici e applicativi, dall informatica all ottimizzazione Nel Capitolo 1 introduciamo alcune definizioni e proprietà di base. Nel Capitolo 2 studiamo e classifichiamo i fullereni che possono essere tracciati su una sfera, dimostriamo che ognuno di questi possiede una colorazione e che la massima simmetria possibile per una colorazione è tetraedrale chirale, cioè senza riflessioni. In diversi casi vedremo come costruire una colorazione con la simmetria massima e con altre proprietà. Nel Capitolo 3 analizziamo e classifichiamo i fullereni tracciati su un toro, per ognuno di essi dimostriamo l esistenza di una 3-colorazione per spigoli e ne osserviamo almeno una con la massima regolarità. Per ogni coppia di interi positivi a e b, dimostriamo che è possibile costruire un fullerene toroidale colorato in cui gli spigoli di due coppie di colori formano un link torico di parametri (a, b). Infine commentiamo brevemente i fullereni tracciati su superfici non orientabili: sul piano proiettivo mostriamo un esempio di fullerene non 3-colorabile mentre sulla bottiglia di Klein dimostriamo l esistenza di una colorazione per ogni grafo.

5 Capitolo 1 Definizioni e notazione Consideriamo un grafo come una coppia di insiemi, quello dei vertici V e quello degli spigoli E, con E V 2, in modo tale che e = (v 1, v 2 ) è lo spigolo che unisce i vertici v 1 e v 2. Non consideriamo i loops, quindi (v, v) / E, e consideriamo gli spigoli senza una direzione privilegiata, quindi se (v, w) E allora (w, v) E. Diciamo che un grafo è tracciato su una superficie quando può essere rappresentato come un suo sottoinsieme, in modo tale che ad ogni vertice corrisponda un punto, e allo spigolo (v, w) un arco che congiunge i punti corrispondenti ai vertici v e w, e gli spigoli non si intersechino. Quando gli archi di un grafo tracciato su una superficie delimitano regioni semplicemente connesse parleremo di poliedro, e chiameremo tali regioni facce. Queste non sono però necessariamente da intendere come facce piane, come negli usuali poliedri. Diciamo che un grafo è n-regolare se ogni vertice è incidente a n spigoli, e n-connesso se togliendo meno di n vertici il grafo rimane connesso. Un grafo 3-regolare si dice cubico. I grafi che prenderemo in considerazione sono i fullereni, definiti come i grafi cubici, 3-connessi, tracciati su una superficie in modo tale che tutte le facce individuate dal grafo siano omeomorfe ad un disco aperto di R 2 e possiedano esattamente 5 o 6 spigoli. Questo tipo di poliedri è molto noto e studiato nella chimica fisica, poiché esistono delle molecole composte unicamente di carbonio la cui struttura è rappresentata con questo tipo di grafi. La più nota di queste molecole, scoperta sperimentalmente nel 1985 da Kroto, Curl e Smalley, è il C 60, detta anche fullerite o buckminsterfullerene. Il suo grafo corrisponde a quello di un icosaedro tronco o, come vedremo, a GC 1,1. La parola fullerene deriva dal nome di uckminster Fuller, architetto noto per la costruzione di cupole geodetiche, strutture rappresentabili con un grafo il cui duale è proprio un fullerene. Molti fullereni, in particolare quelli più regolari, sono facilmente rappresentabili mediante origami modulari, ad esempio con i moduli di tipo PHiZZ, [16]. Poiché deve essere soddisfatta la relazione di Eulero χ = v e + f,

6 Capitolo 1. Definizioni e notazione 4 un fullerene può essere tracciato solo su quattro differenti superfici compatte: la sfera S 2, il toro T 2, il piano proiettivo reale P 2 e la bottiglia di Klein K 2, [5]. Chiamiamo v il numero dei vertici, e quello degli spigoli, f p il numero dei pentagoni e f e quello degli esagoni. Valgono chiaramente: v = 5f p + 6f e 3, e = 5f p + 6f e. 2 La caratteristica di Eulero della superficie su cui il grafo è tracciato è ( 5 χ = v e + f p + f l = 3 5 ) f p + ( )f e = 1 6 f p. Quindi deve essere χ 0, e le uniche superfici compatte che rispettano questo requisito sono queste quattro. In particolare la superficie su cui il fullerene è tracciato determina il numero delle facce pentagonali: rispettivamente 12 pentagoni su una sfera, 6 sul piano proiettivo e 0 altrimenti. Una n-colorazione per spigoli di un grafo è l assegnazione ad ogni suo spigolo di un colore, cioè di un elemento dell insieme C = {1, 2,..., n}, in modo tale che due spigoli adiacenti abbiano colori diversi. Per semplicità chiameremo semplicemente colorazione di un grafo una sua 3-colorazione per spigoli. In un fullerene, assegnata una colorazione, ogni vertice è incidente esattamente ad uno spigolo per ogni colore. Nelle immagini rappresenteremo sempre il colore 1 in rosso, il 2 in giallo e il 3 in blu. Per ogni grafo G è possibile definire l indice cromatico χ (G), il numero minimo n per cui è possibile trovare una n-colorazione per spigoli. Detto ρ il numero massimo di spigoli adiacenti ad un vertice, il teorema di Vizing, [6, Teorema 5.3.2], [11, Teorema 5.1], afferma che per ogni grafo χ (G) è uguale a ρ oppure a ρ + 1. I grafi per cui χ (G) = ρ si dicono di classe 1, altrimenti di classe 2. La classificazione dei grafi di classe 1 e 2 è un problema aperto e NP-completo. Dimostreremo che tutti i fullereni tracciati su superfici orientabili e sulla bottiglia di Klein sono di classe 1, mentre mostreremo un noto controesempio di classe 2 per i fullereni proiettivi. Data una 3-colorazione per spigoli di un grafo cubico, gli spigoli corrispondenti ad un colore formano un sottografo 1-regolare contenente ogni vertice, cioè un perfect matching. L insieme degli spigoli corrispondenti a due colori forma un sottografo 2-regolare, cioè un insieme di cicli. Se questo sottografo è composto da un unico ciclo, questo è un ciclo hamiltoniano, cioè un ciclo connesso che attraversa ogni vertice del grafo. Dato un grafo con gruppo degli automorfismi G e data una sua colorazione, consideriamo due sottogruppi significativi di G: il gruppo degli automorfismi che conservano la colorazione G c e il gruppo degli elementi di G che conservano la colorazione a meno di permutazione dei tre colori G p. È evidente che G c è un sottogruppo di G p, è anche un sottogruppo normale. Inoltre il gruppo quoziente G p /G c deve essere isomorfo ad un sottogruppo di S 3, considerato come gruppo delle permutazioni dei tre colori. Con un piccolo programma realizzato con Matlab, dato un grafo generico, siamo in grado di calcolare tutte le sue n-colorazioni (per spigoli, vertici o facce). Il programma è particolarmente efficiente per le colorazioni per spigoli

7 Capitolo 1. Definizioni e notazione 5 dei grafi cubici, in particolare per i fullereni. Un grafo non molto grande però può avere un numero molto alto di colorazioni, o comunque richiedere un tempo di elaborazione molto lungo. Ad esempio un fullerene sferico con 120 spigoli (GC 2,0 ) ha colorazioni (a meno di permutazione dei colori), un fullerene tracciato sul piano proiettivo con 135 spigoli (PGC 3,0 ) ha ben colorazioni. Considerazioni di simmetria permettono di ridurre di 5 volte il numero delle colorazioni per ogni poliedro avente una simmetria pentagonale e in questo modo per il primo fullerene sono necessari circa 4 minuti di calcolo su un personal computer, per il secondo circa 7 ore. Il numero delle colorazioni, e soprattutto il tempo, aumentano molto velocemente in funzione della dimensione del grafo e non è possibile usare il programma per poliedri troppo grandi. Non si può nemmeno sperare di riuscirci migliorando l algoritmo: il risultato è comunque una matrice di grandi dimensioni, ad esempio nel caso di un fullerene sferico con 270 spigoli (GC 3,0 ) la matrice è dell ordine del centinaio di gigabytes. Per i grafi di cui conosciamo il gruppo degli automorfismi, un altro programma permette di distinguere le colorazioni che non possono essere identificate da automorfismi. Quindi possiamo avere a disposizione le colorazioni che sono effettivamente distinte tra loro. Nel caso dei fullereni sferici tale auto-omeomorfismo può essere indotto da una trasformazione lineare di R 3. Poiché il nostro scopo ultimo è la costruzione di un poliedro origami, siamo interessati a trovare le colorazioni di un fullerene che siano ottimali rispetto a qualche parametro. La prima caratteristica che vogliamo ottenere è la simmetria: se una colorazione ha un gruppo di simmetria molto alto allora significa che poliedro ha lo stesso aspetto osservato da diverse posizioni, quindi è più regolare. Una simmetria di tipo cilindrico su un poliedro tracciato su una sfera è meno interessante delle simmetrie corrispondenti ai solidi platonici, poiché individua una direzione privilegiata e due punti, i poli, che devono essere conservati da ogni trasformazione. Un altra caratteristica importante è la presenza o l assenza di pattern piacevoli o meno: vedremo che alcuni fullereni sferici e tutti quelli sul toro possono essere colorati in modo che ogni esagono abbia due spigoli per ogni colore, evitando quindi gli esagoni più irregolari. La presenza di cicli hamiltoniani costituiti da classi di colori è un altra proprietà importante, soprattutto per i fullereni toroidali. Queste caratteristiche possono sembrare astratte, ma osservando un poliedro origami sono molto evidenti e il loro studio ha sicuramente applicazione immediata. 1.1 Le colorazioni dei poligoni Prima di passare alle colorazioni dei poliedri, vediamo quelle dei poligoni che li compongono, pentagoni ed esagoni. Se il grafo è tracciato su una superficie orientabile (S 2 o T 2 ) consideriamo gli spigoli di ogni poligono come se fossero letti in senso orario sulla superficie esterna del solido. I pentagoni sono fatti tutti allo stesso modo: due spigoli di un colore, due di un altro e l ultimo del colore rimanente. Chiamiamo pentagoni di tipo 1 6 quelli con gli spigoli colorati secondo la tabella 1.1. I tipi di pentagono sono a due a due simmetrici: quelli di tipo 1 e 4 diremo che appartengono alla prima

8 Capitolo 1. Definizioni e notazione 6 Tabella 1.1: I tipi di pentagoni per colore degli spigoli. tipo tipo tipo tipo tipo tipo famiglia, quelli di tipo 2 e 5 alla seconda famiglia e quelli di tipo 3 e 6 alla terza famiglia. Chiamiamo spigolo dispari quello di colore diverso dagli altri quattro. Per gli esagoni esistono forme molto diverse, addirittura 14 tipi, raggruppati in quattro famiglie (vedi tabella 1.2). Gli esagoni della prima famiglia contengono due soli colori, quelli della seconda uno spigolo di un colore, due di un altro e tre dell ultimo, quelli della terza e della quarta famiglia hanno due spigoli per colore. Esteticamente quelli della seconda famiglia sono i più irregolari, e un parametro di bellezza di una colorazione è la loro assenza. Tabella 1.2: Le famiglie e i tipi di esagoni. 1 a famiglia tipo tipo tipo a famiglia tipo tipo tipo tipo tipo tipo a famiglia tipo tipo a famiglia tipo tipo tipo Si dimostra facilmente, verificando tutte le combinazioni possibili, una cosa che si rivela interessante per i fullereni sferici. Se un grafo contiene un pentagono circondato da cinque esagoni, fissata una colorazione (ad esempio del tipo 3) per il pentagono, esistono esattamente quattro colorazioni per i cinque esagoni che non contengono elementi della seconda famiglia. La tabella 1.3 mostra a quali famiglie appartengono i cinque esagoni nei quattro casi possibili. Le ultime due colorazioni sono tra loro speculari. Da questo fatto segue che tutti fullereni sferici senza esagoni della seconda famiglia devono contenerne della terza e della quarta, e non necessariamente della prima.

9 Capitolo 1. Definizioni e notazione 7 Tabella 1.3: Le famiglie dei cinque esagoni che circondano un pentagono fissato. prima colorazione seconda colorazione terza colorazione quarta colorazione Notazione per i gruppi algebrici Useremo queste notazioni per indicare i gruppi algebrici finiti che ci interessano: C n D n S n A n il gruppo ciclico di ordine n generato da una rotazione di 2π/n; il gruppo diedrale di 2n elementi; il gruppo simmetrico delle permutazioni di n oggetti (n! elementi); il gruppo alterno delle permutazioni pari di n oggetti (n!/2 elementi); T il gruppo delle rotazioni del tetraedro (12 elementi, T = A 4 ); T h il gruppo tetraedrale completo (24 elementi, T h = T C 2 ); O il gruppo delle rotazioni dell ottaedro (24 elementi, O = S 4 ); O h il gruppo ottaedrale completo (48 elementi, O h = O C 2 ); I il gruppo delle rotazioni dell icosaedro (60 elementi, I = A 5 ); I h il gruppo icosaedrale completo (120 elementi, I h = I C 2 ).

10 Capitolo 2 I fullereni planari I fullereni planari sono quelli che possono essere tracciati su una sfera o equivalentemente (mediante proiezione stereografica) sul piano. In questo capitolo proviamo l esistenza di una colorazione per ogni fullerene planare e dimostriamo che la massima simmetria possibile per queste colorazioni è tetraedrale chirale (G p = T ). In diversi casi costruiamo esplicitamente una colorazione con questa regolarità, ne osserviamo alcune semplici proprietà e infine studiamo nel dettaglio le colorazioni di alcuni fullereni tra quelli più noti agli origamisti. Il Teorema 2.3 riassume i principali risultati del capitolo. Per ogni grafo appartenente a questa categoria esiste sempre almeno una 3-colorazione per spigoli. Questo risultato non è banale, anzi è equivalente al celebre Teorema dei quattro colori. La dimostrazione è istruttiva perché verrà ripresa nella Sezione 2.5. Teorema 2.1 (Tait, 1880). Ogni fullerene planare è 3-colorabile per spigoli. Dimostrazione. Se il grafo viene tracciato sul piano reale, divide quest ultimo in regioni connesse che, per il teorema citato, possono essere colorate con quattro diversi colori. Chiamiamo questi colori come gli elementi del gruppo C 2 C 2 : (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Assegniamo anche ad ogni spigolo uno di questi colori, quello ottenuto sommando (con le regole di C 2 C 2 ) i colori delle due facce adiacenti ad esso. Nessuno spigolo sarà del colore (0, 0) perché le due facce interessate devono essere diverse tra loro. Spigoli adiacenti avranno colori diversi perché si uniscono in un vertice di grado tre, quindi tutte le tre facce coinvolte devono avere colori diversi tra loro. Per la dimostrazione del fatto che ad ogni 3-colorazione per spigoli corrisponde una 4-colorazione per facce si veda il Teorema 4.4 di [11]. Esistono numerosi fullereni planari; il più semplice è il grafo del dodecaedro (20 vertici, 30 spigoli, 12 pentagoni, 0 esagoni). Per ogni n 0, n 1, pari esiste almeno un fullerene planare con n vertici, n spigoli e n esagoni, [5]. Il numero dei fullereni non isomorfi tra loro aventi lo stesso numero di elementi aumenta rapidamente all aumentare del numero dei vertici, circa come n 9. Esistono diversi algoritmi per classificare tutti i fullereni fino ad un dato ordine [12, 1, 19].

11 Capitolo 2. I fullereni planari 9 Questi fullereni planari generici peró sono molto irregolari, in generale possono addirittura non avere automorfismi non banali. Ci interessiamo di una categoria più ristretta di grafi. Definiamo fullereni sferici o buckyballs tutti i fullereni planari che hanno gruppo degli automorfismi isomorfo a I o I h. Questa è la simmetria massima che può avere un fullerene. In questo caso è possibile tracciare il grafo su una sfera in modo tale che i centri dei pentagoni siano disposti come i vertici di un icosaedro. Se il gruppo di simmetria è I h, il poliedro è indistinguibile dalla sua immagine mediante una riflessione, pertanto lo chiameremo achirale, in caso contrario lo chiameremo chirale. 2.1 La costruzione di Goldberg-Coxeter dei fullereni sferici Per i fullereni sferici esiste una classificazione molto semplice introdotta da Goldberg in [13] e ripresa da Coxeter in [4]. Dati due numeri naturali, vediamo come è possibile costruire un grafo, che denoteremo con GC k,l. Consideriamo la tassellazione del piano formata da triangoli equilateri e due numeri naturali k 1, 0 l k. A partire da un vertice A percorriamo k spigoli della tassellazione in una direzione, poi cambiamo direzione ruotando di 60 in senso antiorario, procediamo di l spigoli e arriviamo al vertice. Da qui ruotiamo di altri 60, ripetiamo il procedimento e arriviamo al punto C. Se ripetiamo ancora una volta ci ritroviamo nel punto A. Abbiamo così individuato un triangolo equilatero più grande di quelli che costituiscono il reticolo. Ora sostituiamo ad ogni faccia di un icosaedro questo grande triangolo AC con tutti i piccoli triangoli della tassellazione originale al suo interno. Incollando a due a due le parti dei triangoli lungo gli spigoli del dell icosaedro otteniamo un poliedro costituito da soli triangoli. Consideriamo il suo duale: il poliedro che ha per vertici i centri delle facce del poliedro di partenza, e in cui due vertici sono adiacenti se le facce corrispondenti lo sono nel poliedro originale. In questo modo abbiamo ottenuto un fullerene sferico, che chiameremo GC k,l. Questo procedimento si può generalizzare per costruire grafi complessi a partire da un qualsiasi grafo 3-regolare tracciato su una superficie orientabile, come analizzato nel dettaglio in [8]. Il caso più semplice è GC 1,0 e corrisponde al dodecaedro. Se i lati dei triangoli più piccoli hanno lunghezza unitaria, il punto A è l origine e il primo segmento percorso è orientato nella direzione positiva dell asse delle ascisse, il punto ha coordinate (k l, 3 2 l) e il segmento A è lungo k 2 + kl + l 2. Indichiamo t(k, l) = k 2 + kl + l 2, il rapporto tra l area del triangolo AC e quella di un triangolo della tassellazione. Il grafo ottenuto ha 20t vertici, 30t spigoli, 12 pentagoni e 10(t-1) esagoni. Il grafo ha simmetria I h se l = 0 oppure se k = l; queste due condizioni costituiscono due famiglie importanti di fullereni. In caso contrario il poliedro ottenuto è chirale, cioè è diverso dal proprio riflesso e il gruppo degli automorfismi è solo I. Il simmetrico di GC k,l è GC l,k. In [13] e nel Teorema 5.2(iv) di [8], con semplici considerazioni di simmetria, si dimostra il seguente notevole risultato.

12 Capitolo 2. I fullereni planari 10 Figura 2.1: La costruzione di GC 4,2. C A L=2 K=4 Teorema 2.2 (Goldberg, 1937). Per ogni fullerene sferico F esiste una coppia di interi k 1, 0 l k, tale che F è isomorfo a GC k,l. Per il seguito definiamo per un fullerene sferico il suo tile come l insieme costituito dai tre pentagoni corrispondenti a facce mutuamente adiacenti nel dodecaedro inscritto (cioè un terzetto di pentagoni disposti a distanza minima) e dagli esagoni compresi tra essi. Ogni tile costituisce la parte del poliedro corrispondente ad una faccia dell icosaedro inscritto in esso. Chiamiamo interfaccia l insieme degli esagoni condivisi da due tiles diversi. Chiamiamo spigoli di interfaccia gli spigoli compresi tra due esagoni della stessa interfaccia oppure tra uno di questi esagoni e un pentagono. Un fullerene sferico può essere costruito assemblando venti tiles uguali lungo le rispettive interfacce. 2.2 Classificazione delle colorazioni invarianti Ora vogliamo studiare quali di questi grafi ammettono una 3-colorazione per spigoli con una buona regolarità. Vediamo qual è la massima regolarità possibile in generale. Ricordiamo che ogni pentagono colorato possiede uno spigolo dispari distinto dagli altri. Esistono quindi 12 spigoli dispari che devono essere conservati da G p. Fissato un pentagono A, per ogni pentagono esiste un unica rotazione che trasforma A in e ne conserva lo spigolo dispari, ed esiste un unica simmetria in I h \ I che fa lo stesso. Quindi G p e G c possono avere al massimo 24 elementi, di cui al massimo 12 rotazioni. Poiché I = A 5 non contiene elementi di ordine 6, i suoi sottogruppi di ordine 12 devono essere isomorfi a T il gruppo tetraedrale. Vogliamo capire quali sono i fullereni sferici tali che G p = T C 2 = T h o G p = T, le massime regolarità possibili. Vedremo nelle prossime sezioni che il primo caso non è mai verificato mentre il secondo in molti casi sì. Gli elementi di un qualsiasi sottogruppo di I isomorfo a T sono quelli che fissano uno dei tetraedri iscritti

13 Capitolo 2. I fullereni planari 11 nell icosaedro e permutano gli altri quattro. Qualunque simmetria rispetto a un piano non conserva i tetraedri, quindi è naturale pensare che possiamo avere un gruppo G p = T ma non più grande. I principali risultati che dimostreremo in questo capitolo si possono riassumere nel seguente teorema. Teorema 2.3. Il fullerene sferico GC k,l ammette una colorazione il cui gruppo delle simmetrie che permutano i colori è isomorfo a T quando (i) l = 0, k 1, (ii) (iii) l = k, pari, l k non è multiplo di 3 e almeno uno tra l e k è dispari. Nel caso k = l = 1 non esistono colorazioni con gruppo di simmetria T e in nessun caso esistono colorazioni con gruppi di simmetria con più di dodici elementi. La dimostrazione di questo teorema occuperà gran parte del capitolo. Nelle prossime due sezioni costruiremo esplicitamente le colorazioni corrispondenti ai punti (i) e (ii) del teorema e ne studieremo ulteriori proprietà relative agli esagoni che le compongono. Per quanto riguarda il punto (iii) dimostreremo nella Sezione 2.5 l esistenza di una colorazione con questa simmetria e vedremo come costruirla. Osserviamo che per un buckyball generico esistono solo poche colorazioni possibili per i pentagoni che rispettano una simmetria tetraedrale, cioè con G p = T. Lemma 2.4. Gli spigoli dei dodici pentagoni di un fullerene sferico GC k,l colorato con simmetria I o I h possono essere colorati in 9 modi diversi se il poliedro è achirale (l = 0 o k = l), in 15 modi diversi se è chirale, a meno di simmetria. I pentagoni saranno tutti dello stesso tipo rispettivamente in tre (poliedri achirali) o cinque (chirali) casi. Dimostrazione. Per iniziare fissiamo la colorazione di un pentagono, ad esempio dando a quello centrale (nella Figura 2.2) la colorazione del tipo 3 con lo spigolo dispari rivolto verso l alto. Il gruppo I ha cinque sottogruppi isomorfi a T e ognuno di questi contiene esattamente una rotazione di 180 intorno al punto medio di una delle cinque interfacce uscenti dal pentagono iniziale (che nel caso di GC 1,1 in Figura 2.2 si riducono a cinque spigoli). Facendo agire uno dei sottogruppi isomorfi a T, lo spigolo dispari del pentagono iniziale viene trasportato dagli undici elementi non banali in uno spigolo per ogni pentagono del grafo. Il sottogruppo può essere scelto in cinque modi diversi quindi esistono cinque configurazioni di spigoli dispari. Nel caso achirale quattro di queste configurazioni possono essere identificate a due a due da una riflessione lungo la retta verticale passante per il centro dell immagine, quindi il numero delle configurazioni diverse si riduce a tre. Il fatto che solo una di queste configurazioni è uguale alla propria immagine mediante riflessione, fa sì che solo questa configurazione permetterebbe ancora una simmetria G p = T C 2.

14 Capitolo 2. I fullereni planari 12 Figura 2.2: Le tre configurazioni di spigoli dispari con simmetria tetraedrale nel caso achirale (GC 1,1 ). Le stelle a cinque punte rappresentano i centri delle rotazioni di 180, quelle a quattro e sei punte i centri delle rotazioni di 120. Se consideriamo T come il gruppo delle rotazioni di un tetraedro inscritto, questi ultimi due simboli indicano rispettivamente i vertici e i centri delle facce del tetraedro. Ora supponiamo di avere una colorazione dei pentagoni del grafo con simmetria G p = T. Il gruppo delle simmetrie che preservano i colori G c è sottogruppo normale di questo, quindi deve essere isomorfo a T stesso, a C 2 C 2 o al gruppo banale. Questo ultimo caso è da escludere perché i dodici elementi del gruppo dovrebbero permutare i colori in dodici modi diversi, ma le permutazioni possibili dei tre elementi 1, 2 e 3 sono solamente sei. Nel caso in cui G c = G p tutti i pentagoni sono dello stesso tipo, quindi abbiamo una colorazione per ogni configurazione degli spigoli dispari. Nel caso rimanente una particolare rotazione di 120 può causare la permutazione dei colori (123) oppure (132), e ad ognuna di queste corrisponde una colorazione di tutti i pentagoni. Esistono quindi 3 3 o 5 3 colorazioni rispettivamente nel caso achirale e chirale (ad esempio quelle achirali sono mostrate nella Figura 2.3). Si osserva ancora che solo la prima delle nove colorazioni può permettere un gruppo di simmetrie G p = T h, dove le riflessioni scambiano i colori 1 e 2 mentre tutte le rotazioni conservano ogni colore. Dalla Figura 2.3 è chiaro però che nessuna di queste nove colorazioni simmetriche dei pentagoni permette una colorazione globale del poliedro nel caso raffigurato, cioè GC 1,1 : infatti in nessuna di queste immagini è possibile colorare in modo coerente gli spigoli compresi tra due esagoni (in grigio nella figura). Questo dimostra il caso k = l = 1 del Teorema 2.3; nel seguito ci occuperemo dei casi restanti, cominciando dai fullereni achirali. 2.3 La famiglia PPI La prima famiglia rilevante di fullereni sferici achirali è quella costituita dai grafi GC k,0, con k 1. Vengono chiamati PPI (pentagons pointing-in, [16]) perché i pentagoni rivolgono i vertici verso il centro dei tiles adiacenti. Il k- esimo buckyball PPI ha 20k 2 vertici, 30k 2 spigoli e 10(k 2-1) esagoni, il caso

15 Capitolo 2. I fullereni planari 13 Figura 2.3: Le nove colorazioni dei pentagoni con simmetria tetraedrale nel caso achirale (GC 1,1 ) k = 1 corrisponde al dodecaedro e quello k = 2 al grafo della molecola C 80. Questi fullereni vengono spesso chiamati chamfering [18] o k-inflation [8] del dodecaedro. Per quest ultimo poliedro la situazione è chiara: Proposizione 2.5. Il dodecaedro, a meno di simmetrie, possiede un unica 3- colorazione per spigoli e questa ha gruppi di simmetrie G c = C 2 C 2 e G p = T. Dimostrazione. Questo fatto può essere verificato facilmente a mano colorando il grafo Non esiste una colorazione con G p = T h Dimostriamo che non può esistere una colorazione di un fullerene sferico PPI con gruppo di simmetria con più di 12 elementi. Come visto prima l unico

16 Capitolo 2. I fullereni planari 14 Figura 2.4: I tiles di GC 2,0, GC 3,0, GC 4,0 con i loro duali. caso da escludere è quello G p = T h. Ipotizziamo per assurdo che G p abbia proprio questa struttura. I pentagoni dovranno essere colorati come nella prima delle nove colorazioni in Figura 2.3, (ruotando ogni pentagono di 180 ) con tutti i pentagoni uguali, dodici elementi conservano i colori (rotazioni) e altrettanti scambiano 1 e 2. Osservando la disposizione degli spigoli dispari nella Figura 2.5 notiamo che esistono tipi diversi di tiles: chiamiamo tile di tipo quelli in cui due dei tre pentagoni adiacenti rivolgono i propri spigoli dispari verso l interno del tile e chiamiamo A gli altri. Questi ultimi possono essere distinti in due categorie, A1 e A2, speculari tra loro. Possiamo immaginare i tiles A1 come i vertici del tetraedro fissato da G p e quelli A2 come i centri delle facce dello stesso tetraedro, oppure viceversa. I tiles A1 corrispondono alle stelle a sei punte nella Figura 2.2 e i tiles A2 a quelle a quattro punte. Figura 2.5: La disposizione dei tiles di tipo A1, A2 e in un buckyball PPI. A2 A1 A1 A2 A1 A2 A1 A2 Si verifica immediatamente che il gruppo G c = G p I = T agisce transitivamente su ognuno dei tre insiemi di tiles, mentre G p completo scambia tra loro i tiles A1 e A2. Quindi i tiles dello stesso tipo devono avere la stessa colorazione, A1 e A2 devono essere simmetrici tra loro scambiando i colori 1 e 2.

17 Capitolo 2. I fullereni planari 15 L interfaccia tra due tiles è attraversata da un piano di simmetria di G p, quindi i suoi spigoli sono punti fissi di una riflessione che scambia i colori 1 e 2, quindi sono tutti di colore 3. Questo fa sì che tutti gli spigoli del tile perpendicolari all interfaccia siano del colore 3 e quindi ci sia un incompatibilità con gli spigoli incidenti al pentagono opposto, come illustrato nella Figura 2.6. Figura 2.6: L interfaccia tra tiles fissa la colorazione degli spigoli verticali e crea un incompatibilità in. A2 A1 Abbiamo trovato un assurdo: non esiste nessuna colorazione con questa regolarità. Resta dimostrato il seguente risultato. Lemma 2.6. I fullereni sferici di tipo PPI non possiedono colorazioni con gruppo di simmetria con più di 12 elementi La colorazione ottimale I buckyballs di tipo PPI possiedono una colorazione con molte proprietà interessanti. Proposizione 2.7. Tutti i buckyball di tipo GC k,0, k 1, possiedono una colorazione con gruppo di simmetrie G p = T. Tutti gli esagoni contengono due spigoli per ogni colore. Dimostrazione. Costruiamo esplicitamente la colorazione. Sappiamo dalla Proposizione 2.5 che il dodecaedro ha un unica 3-colorazione per spigoli, a meno di simmetria. Coloriamo con questa colorazione gli spigoli dei pentagoni di GC k,0 e tutti gli spigoli di interfaccia. Infatti ogni interfaccia corrisponde ad uno spigolo dell icosaedro inscritto ma anche ad uno spigolo perpendicolare ad essa del dodecaedro inscritto. Questa condizione è sufficiente per definire tutta la colorazione del fullerene: l interno di ogni tile è una parte triangolare di una tassellazione esagonale, su cui sono stati imposti tre colori diversi sugli spigoli dei tre bordi, e si colora sempre in modo univoco. Questa colorazione ha gruppo di simmetria G p = T, il massimo possibile, perché è definita unicamente a partire dalla colorazione del dodecaedro che

18 Capitolo 2. I fullereni planari 16 ha questa simmetria. La proprietà relativa agli esagoni segue: lungo le interfacce gli esagoni hanno due spigoli opposti dello stesso colore, all interno dei tiles sono colorati come nella colorazione della tassellazione esagonale. Il gruppo delle simmetrie che preservano i colori G c è isomorfo a C 2 C 2, l unico sottogruppo normale proprio di T. Questa è l unica colorazione possibile in cui gli spigoli di ogni interfaccia sono di un unico colore. Figura 2.7: La colorazione a simmetria tetraedrale di GC 3,0. Osserviamo alcune proprietà di tipo estetico. Il fatto che in questa colorazione tutti gli esagoni sono della terza o della quarta famiglia, cioè ognuno di essi ha due spigoli per colore, è ben visibile nel solido tridimensionale. Gli esagoni della quarta famiglia, i più irregolari tra le due presenti, sono concentrati solo sulle interfacce che dividono tiles con esagoni di tipo differente. Quindi all aumentare di k il loro numero è proporzionalmente sempre più piccolo: sono 12(k 1) poiché k 1 è il numero degli esagoni per ogni interfaccia e 12 sono gli spigoli di un dodecaedro 3-colorato che uniscono due vertici con i colori ordinati in modo diverso (123 e 132 in senso orario). Il numero degli esagoni della terza famiglia sarà quindi (k 1)(10k 2). Nei casi k = 2 e k = 3 una ricerca esaustiva al calcolatore ha mostrato che che questa è l unica colorazione avente esagoni solo di queste due famiglie. Consideriamo il ciclo formato dagli spigoli dei colori 1 e 2 passante per un pentagono con spigolo dispari di colore 3 (ad esempio quello centrale nella Figura 2.7). Questo ciclo corre lungo cinque interfacce e sei pentagoni prima di richiudersi, come in Figura 2.8, quindi non è hamiltoniano. Esistono quat-

19 Capitolo 2. I fullereni planari 17 tro pentagoni per ogni famiglia, quindi si può ripetere lo stesso ragionamento per ogni coppia di colori e non esiste alcun ciclo hamiltoniano. Figura 2.8: Un ciclo bicromatico nella colorazione a simmetria tetraedrale di GC 3,0. Non esistono cicli hamiltoniani. Ogni tile viene colorato con la colorazione più regolare della tassellazione piana esagonale, questo fa sì che il poliedro, costruito ad esempio con moduli PHiZZ, assuma un aspetto estremamente ordinato e piacevole. Se il nostro scopo iniziale era trovare colorazioni ottimali per i fullereni, almeno nel caso di quelli di tipo PPI, abbiamo trovato una soluzione ottimale sia dal punto di vista della simmetria che da quello dei poligoni presenti I casi di GC 2,0 e GC 3,0 Il primo fullerene PPI non banale è il GC 2,0, con 80 vertici, 120 spigoli e 30 esagoni, corrisponde alla molecola C80. Per questo poliedro ho calcolato tutte le possibili 3-colorazioni per spigoli, identificando quelle equivalenti per simmetria. Risulta che esistono 543 colorazioni distinte, di cui 426 hanno gruppo delle simmetrie banale, 105 hanno G p isomorfo a C 2, solo 12 hanno gruppi di simmetria più grandi. Nove casi hanno G c banale e G p = C 3 oppure G p = D 3 (rispettivamente tre e sei casi), due casi hanno G c = C 2 e rispettivamente G p = C 2 C 2 oppure G p = C 6 e infine l unico caso con G p = T è quello già visto nella sezione precedente. Studiando i tipi e le famiglie dei pentagoni e degli esagoni nelle diverse colorazioni si possono trovare alcuni risultati interessanti e selezionare le colorazioni più rilevanti. Ad esempio si nota che la colorazione già analizzata è l unica senza esagoni della seconda famiglia, ed è una delle tre con pentagoni opposti identici. Esistono quattro colorazioni in cui gli spigoli opposti sono dello stesso colore, tra cui quella con con simmetria cilindrica G p = C 6. Esiste un unica colorazione in cui ogni coppia di colori forma un ciclo hamiltoniano.

20 Capitolo 2. I fullereni planari 18 Si vede infine che per ogni colorazione esistono esattamente 4 pentagoni per ogni famiglia, fatto del tutto imprevedibile. Nel caso di GC 3,0 (180 vertici, 270 spigoli e 80 esagoni) non è possibile calcolare tutte le colorazioni, perché sono un numero computazionalmente ingestibile. Se ci si restringe a quelle con spigoli opposti identici, quindi quelle in cui la mappa antipodale appartiene a G c, condizione estremamente restrittiva, si trovano colorazioni distinte, di cui 94 hanno G p I non banale, tutte con G p = C 6. Non esistono colorazioni senza esagoni della seconda famiglia, né senza esagoni delle ultime due famiglie, né con tutti gli esagoni di una stessa famiglia. In sintesi non si trovano colorazioni interessanti tra quelle stabili rispetto alla mappa antipodale. 2.4 La famiglia PPO La seconda classe di fullereni sferici achirali è quella dei GC k,k, con k 1, i buckyballs PPO cioè pentagons pointing-out. Ognuno di questi ha 60k 2 vertici, 90k 2 spigoli, 30k 2-10 esagoni. Questi poliedri vengono spesso chiamati trasformazione leapfrog del dodecaedro. Come per i PPI dimostreremo che non esistono colorazioni con gruppo G p di 24 elementi, ma siamo in grado di dimostrare che esiste una colorazione con simmetria T solo nel caso di k pari. Nel caso k = 1 vedremo che non esiste nessuna colorazione con questa regolarità, mentre in tutti gli altri non lo sappiamo. Figura 2.9: I tiles di GC 1,1, GC 2,2 e GC 3, Non esiste una colorazione con G p = T h La dimostrazione di questa proprietà è molto simile al caso dei fullereni PPI, ma è più semplice. Come in quel caso assumiamo per assurdo l esistenza di una colorazione con gruppo di simmetria G p = T h. Come prima, i pentagoni dovranno essere colorati secondo la prima delle nove colorazioni in Figura 2.3. Possiamo anche qui distinguere tiles di tipo A1, A2 e.

21 Capitolo 2. I fullereni planari 19 Figura 2.10: Gli spigoli dispari e tipi di tiles A1, A2 e per un fullerene PPO. A2 A1 A2 A1 A2 A1 A1 A2 Figura 2.11: Non è possibile colorare un tile di tipo rispettando una simmetria assiale che scambia i colori 1 e 2 e la colorazione dei pentagoni data dalla simmetria globale. La colorazione dei tiles deve essere tale che la simmetria rispetto ad un altezza del triangolo scambi i colori 1 e 2. Quindi tutti gli spigoli del tile che intersecano questa altezza devono essere di colore 3, e di conseguenza anche tutti quelli del tile perpendicolari a tale altezza. Come si vede dalla Figura 2.11 questo porta ad un incompatibilità con la colorazione dei pentagoni, fissata in modo univoco, nella posizione. Questo ci dà un assurdo: i fullereni PPO non ammettono colorazioni con questo gruppo di simmetria, e quindi con nessun gruppo con più di 12 elementi. Ma i buckyball PPI e PPO esauriscono i fullereni sferici achirali, cioè con gruppo degli automorfismi I h, tutti gli altri hanno gruppo I, e quindi le loro colorazioni, nella migliore delle ipotesi, hanno gruppo di simmetria da 12 elementi. Abbiamo quindi provato un altro tassello del Teorema 2.3.

22 Capitolo 2. I fullereni planari 20 Proposizione 2.8. Non esistono fullereni sferici che ammettono colorazioni con gruppi di simmetria aventi più di dodici elementi Le colorazioni simmetriche Nel caso k = 1 abbiamo visto che non esistono colorazioni con simmetria tetraedrale. Infatti non è possibile completare una colorazione del poliedro in nessuno dei casi in Figura 2.3. Veridfichiamo il punto (iii) del Teorema 2.3. Nel caso k = 2 è possibile colorare i pentagoni con la colorazione numero quattro di Figura 2.3 e i tiles di tipo A1, A2 e come in Figura Figura 2.12: I tre tipi di tiles per la colorazione con simmetria tetraedrale di GC 2,2. A1 A2 A2 A1 Nel caso k 4 pari possiamo costruire una colorazione con gruppi di simmetria G c = G p = T in questo modo. Coloriamo i pentagoni secondo la prima colorazione di Figura 2.3. Coloriamo tutti i tiles di tipo A1 con una tassellazione di esagoni della prima famiglia, cioè ognuno di soli due colori, eccetto gli esagoni adiacenti ad un pentagono, come in Figura Coloriamo i tile di tipo A2 come il simmetrico di questi, scambiando i colori 1 e 2. Infine coloriamo i tiles con lo stesso tipo di tassellazione eccetto che lungo l interfaccia tra due tile dello stesso tipo, qui useremo una colorazione come in Figura Il fullerene risultante ha esagoni della prima famiglia all interno di ogni tiles (10(3k 2 6k + 2) in totale), lungo le interfacce esistono complessivamente solo 54k 12 esagoni della seconda famiglia e 6(k 3) della terza. Questo modo di colorare il poliedro non va bene nel caso di k dispari perché l interfaccia tra due tiles deve essere stabile rispetto ad una rotazione di 180 intorno al proprio punto medio. Adattando questa colorazione ad un buckyball con k dispari, dimezzando la parte di interfaccia evidenziata dal rettangolo, si ottiene una colorazione quasi tetraedrale, cioè che viola questa simmetria solo su 12 spigoli, uno per ogni tile di tipo.

23 Capitolo 2. I fullereni planari 21 Figura 2.13: I tre tipi di tiles per la colorazione con simmetria tetraedrale di un buckyball PPO con k pari (GC 6,6 ). Lungo l interfaccia tra due tiles di tipo la parte indicata con il rettangolo si ripete k 2 2 volte. A1 A2 Interfaccia - A2 A Il caso di GC 1,1 Il buckyball PPO più semplice è sicuramente il fullerene più noto: infatti corrisponde alla struttura della molecola di carbonio C 60 (buckminsterfullerene), il primo fullerene di cui è stata scoperta l esistenza in natura. Inoltre corrisponde alla forma del classico pallone da calcio. Questo poliedro è chiamato abitualmente icosaedro tronco. Si può verificare al calcolatore che le teoriche 3190 colorazioni possibili si riducono a 39 distinte a meno di simmetria: di esse 20 hanno gruppo G p banale, in nove casi questo ha solo due elementi, in due casi è isomorfo a C 3, in quattro a C 6, in tre a D 3 e in uno a C 2 C 2. Una colorazione è stabilizzata da una simmetria che non conserva l orientazione se e solo se G p è isomorfo a C 6. La colorazione con G p = C 2 C 2 è anche l unica in cui tutte le coppie di colori formano un ciclo hamiltoniano. L unica colorazione in cui ogni spigolo ha lo stesso colore del proprio antipodale è l unica con G c = C 6. Questa è anche l unica in cui G c contiene

24 Capitolo 2. I fullereni planari 22 una trasformazione che non con conserva l orientazione, quindi è l unica colorazione identica alla propria speculare. Questa colorazione ha un ulteriore regolarità. L insieme di tutti gli spigoli dei colori 1 e 3 formano 6 pattern (componenti connesse) identici, a forma di doppio esagono: un esagono del tipo 6 e uno del tipo 7 uniti per l unico spigolo del colore 2, come nella Figura Questi pattern si dispongono al centro delle facce di un cubo circoscritto al buckyball, sono allineati con gli spigoli di questo cubo e sono collegati tra loro da elementi del colore 2. In un buckyball costruito con questa colorazione la presenza del pattern è abbastanza appariscente ed ha un effetto grafico piacevole. Figura 2.14: Il pattern ripetuto sei volte nella colorazione di GC 1,1 con simmetria G c = C I fullereni sferici chirali Ora dimostriamo il punto (iii) del Teorema 2.3: anche per alcuni fullereni sferici chirali, cioè non appartenenti alle due famiglie che abbiamo analizzato finora, è possibile costruire una colorazione a simmetria tetraedrale. Usiamo la tecnica introdotta in [15] e descritta nel seguito per costruire una colorazione. Sappiamo dalla dimostrazione del Teorema 2.1 che una 3-colorazione per spigoli corrisponde ad una 4-colorazione per facce dello stesso grafo. Coloriamo con tre colori le facce di un tile, usando l unica 3-colorazione della tassellazione esagonale. Si possono presentare due casi (Figura 2.15): se i pentagoni ai vertici del tile hanno lo stesso colore possiamo costruire una colorazione a partire da una 3-colorazione per facce dell icosaedro. In questo caso questo metodo non porta ad alcun risultato perché non esiste una 3-colorazione per facce dell icosaedro con simmetria tetraedrale. Per verificare questo ultimo fatto basta notare che una rotazione di 120 ha centro in un triangolo, quindi deve fissare tutti i tre colori, in particolare i tre triangoli adiacenti a quello centro della rotazione hanno lo stesso colore; osservando come sono disposti in un icosaedro i vertici di un tetraedro inscritto (corrispondenti ai centri di queste rotazioni) si conclude facilmente. Nel caso contrario i tre pentagoni di uno stesso tile hanno tre colori diversi. Questo caso si verifica esattamente quando k non è congruo a l modulo tre, cioè k l non è multiplo di tre, come si vede nell esempio in Figura Coloriamo i pentagoni secondo l unica (a meno di simmetria) 4-colorazione

25 Capitolo 2. I fullereni planari 23 Figura 2.15: I due casi che si possono presentare: i tre pentagoni hanno colore diverso (GC 4,3, k / (3) l) oppure uguale (GC 4,1, k (3) l) per facce del dodecaedro. Questo ci permette di colorare gli esagoni di ogni tile con i tre colori corrispondenti ai pentagoni posti sui suoi vertici. Lungo le interfacce tra due tile colorati con lo stesso terzetto di colori le colorazioni degli esagoni corrispondono. Sulle interfacce tra due tile colorati con terzetti di colori diversi (ad esempio 123 e 234) possono verificarsi sovrapposizioni tra due esagoni dei colori non condivisi tra i tiles (nell esempio 1 e 4). Lungo le interfacce che non sono centro di una rotazione di 180 non ci sono problemi, si può ad esempio scegliere di usare negli esagoni dubbi solo il colore del tile adiacente centro di una rotazione di 120. Nel caso contrario i due tiles adiacenti all interfaccia in esame devono essere scambiati tra loro dalla rotazione, con una permutazione dei colori. Se almeno un parametro tra k ed l è dispari, il centro della rotazione di 180 corrisponde ad un vertice o al punto medio di un segmento (indicato dalla stella nella Figura 2.16). Quindi ogni possibile esagono di dubbia colorazione compare con un simmetrico (rispetto alla rotazione centrata nel punto medio dell interfaccia), e può essere colorato rispettando la simmetria assegnando l altro colore possibile proprio al suo simmetrico. Se invece k ed l sono entrambi pari, la rotazione ha centro in un esagono a cui non è possibile assegnare un colore in modo tale che la colorazione sia stabile (con una permutazione dei quattro colori) rispetto ad essa. In questo caso, usando questa tecnica, non si può assegnare una colorazione del poliedro coerente con la regolarità tetraedrale richiesta. Questi due casi si possono osservare nella Figura Siamo così in grado di costruire una 4-colorazione delle facce del fullerene, avente simmetria tetraedrale, ogni volta che k l non è multiplo di tre e almeno uno dei due parametri è dispari. La simmetria è di tipo tetraedrale perché è costruita a partire dalla colorazione delle facce del dodecaedro che ha proprio questa simmetria. Da questa otteniamo univocamente la 3-colorazione per spigoli usando lo stesso procedimento usato nella dimostrazione del Teorema 2.1. Rimane così dimostrata la parte rimanente del Teorema 2.3.

26 Capitolo 2. I fullereni planari 24 Figura 2.16: Nel caso GC 4,3 si può colorare l interfaccia tra due tiles in modo simmetrico rispetto alla rotazione di 180 centrata in, con la permutazione dei colori (14)(23). Nel caso GC 4,2 non è possibile scegliere coerentemente un colore per l esagono centrale Per i fullereni sferici achirali può esistere un altro caso in cui il gruppo G p ha 12 elementi: quando le rotazioni formano un gruppo isomorfo a D 3 ed esistono simmetrie in G p I h \ I. Questo é il più ampio sottogruppo del gruppo icosaedrale che conserva una coppia di vertici antipodali del dodecaedro. Quindi esistono due vertici oppure due esagoni privilegiati (i poli ) e il risultato è meno interessante che il caso G p = T. Fin qui abbiamo analizzato solamente i fullereni sferici, ma non dobbiamo dimenticarci che esistono anche fullereni planari non sferici, cioè con minore simmetria. Non è possibile avere simmetria ottaedrale, perché le rotazioni di 90 richiedono una faccia quadrata oppure un vertice incidente a quattro spigoli. Se invece la simmetria del grafo è tetraedrale, essi possono ammettere colorazioni con questa simmetria (G p = T ), come quello di 138 spigoli rappresentato nella Figura Anche in questo esempio, come per tutti i fullereni sferici, non è possibile costruire una colorazione con gruppo di simmetria pari a quello del grafo (T h ); vedremo che questo accade per fullereni tracciati su altre superfici.

27 Capitolo 2. I fullereni planari 25 Figura 2.17: Una colorazione con G p = T e G c = C 2 C 2 di un fullerene planare non sferico a simmetria tetraedrale.

28 Capitolo 3 I fullereni non planari Abbiamo visto nel Capitolo 1 che i fullereni possono essere tracciati solo su quattro diverse superfici compatte. Ci occuperemo ora di quelli tracciati sul toro, sulla bottiglia di Klein e sul piano proiettivo. Nei primi due casi siamo in grado di dimostrare l esistenza di una colorazione con esagoni della terza famiglia per ogni fullerene. Nel caso del piano proiettivo mostriamo un esempio in cui non esiste alcuna colorazione coerente. 3.1 I fullereni toroidali Tutte le facce dei fullereni tracciati sul toro sono esagonali e possiamo classificare questi grafi seguendo un metodo introdotto in [20]. Per usare questa classificazione dobbiamo prendere in considerazione i grafi duali dei fullereni toroidali, cioè le triangolazioni 6-regolari. Vogliamo definire una nozione di equivalenza topologica per grafi tracciati su una superficie. Consideriamo un grafo G come un 1-complesso simpliciale. Un embedding di G in una superficie F è una mappa continua f : G F tale che G e f(g) siano omeomorfi. Due embedding f i : G i F i sono equivalenti se esistono un omeomorfismo h : F 1 F 2 e un isomorfismo σ : G 1 G 2 tali che h f 1 = f 2 σ. Vediamo che un grafo toroidale 6-regolare, senza spigoli multipli o loop, deve essere una triangolazione. Infatti detto E il numero degli spigoli, i vertici sono V = 1 3 E e le facce F = 2 ne, dove n è il numero medio di lati delle facce. Deve valere 0 = χ = V E + F = ( n )E, quindi n = 3 e tutte le facce devono essere triangoli. Definiamo G come l unione dei punti di tutte le rette di R 2 parallele agli assi o alla bisettrice del primo quadrante e passanti per punti a coordinate intere. Dati tre numeri naturali p, q e r, con pr 0, definiamo il gruppo (p, q, r) di tutte traslazioni di R 2 ( ) ( ) ( ) x x 0 + α y y p ( ) r + β, α, β Z. q L azione di questo gruppo su R 2 è libera e lascia G invariante. Lo spazio delle orbite R 2 / (p, q, r) è il toro e T (p, q, r) = G/ (p, q, r) è una sua triangolazione, eventualmente con spigoli doppi e loop.