Algebra dei vettori OPERAZIONI FRA VETTORI SOMMA DI VETTORI

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1 Algebra dei vettori Il vettore è un oggetto matematico che è caratterizzato da modulo, direzione e verso. Si indica graficamente con una freccia. Un vettore è individuato da una lettera minuscola con sopra una freccetta Il modulo di un vettore, cioè la sua intensità, si indica o semplicemente con la lettera senza freccetta, oppure con il simbolo di vettore fra due sbarrette verticali: le due scritture: a e hanno lo stesso significato e si leggono: modulo di. Nota: attenzione a non confondere il vettore con il suo modulo; il modulo è un numero (associato eventualmente ad un unità di misura), il vettore ha anche direzione e verso. Es. Il vettore viene utilizzato in fisica per rappresentare le grandezze vettoriali, cioè quelle grandezze che sono caratterizzate dall intensità, dalla direzione, dal verso (es.: la forza, la velocità, l accelerazione, la velocità angolare, la quantità di moto, il momento di una forza, il momento angolare). Si chiama scalare una grandezza che è individuata solo dal suo valore numerico (sono grandezze scalari la massa, il tempo, il volume) Anche il modulo di un vettore è uno scalare a) Vettori non paralleli fra loro OPERAZIONI FRA VETTORI SOMMA DI VETTORI La somma di due vettori non paralleli si può ottenere graficamente in due modi: 1. regola del parallelogramma: = + Per sommare i vettori e se ne trasla uno dei due in modo che i loro primi estremi coincidano (ricordiamo che si può sempre traslare un vettore) e si traccia la diagonale del parallelogramma come in figura.

2 2. metodo punta-coda Si trasla il vettore in modo che il primo estremo di coincida con la punta di. Poi si congiunge il primo estremo di con il secondo estremo di Attenzione: il modulo del vettore somma non è la somma dei moduli dei vettori e, così come la lunghezza di un lato di un triangolo non è uguale alla somma degli altri due lati. b) Vettori paralleli 1. I due vettori sono paralleli e hanno verso concorde: Questo è l unico caso in cui il modulo della somma è uguale alla somma dei moduli: Attenzione: queste due scritture indicano cose diverse : la prima è una somma di vettori, la seconda è una somma di moduli 2. I due vettori e sono paralleli e hanno verso opposto: il modulo della somma è uguale alla differenza dei moduli La prima scrittura indica la somma di vettori, la seconda l operazione che permette di trovare il modulo della somma: il modulo della somma è il valore assoluto della differenza dei moduli

3 Esempio: Esempi di somma di grandezze fisiche vettoriali Esempio 1 Una persona cammina per 5 m in una direzione che forma un angolo di 30 con l asse x, da A a B. Poi cammina in una direzione che forma un angolo di 120 per 4m. Qual è lo spostamento totale? In che punto si trova alla fine? Siamo in presenza di due vettori spostamento, ed Lo spostamento totale è la somma due vettori ATTENZIONE: la somma di due grandezze vettoriali può essere solo una somma vettoriale. Il vettore è stato ottenuto applicando il metodo punta-coda. Se avessimo applicato il metodo del parallelogramma avremmo ottenuto naturalmente lo stesso risultato

4 MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE PER UNO SCALARE k: il prodotto è un vettore che ha: per direzione la stessa del vettore per modulo il prodotto dello scalare k per il modulo del vettore come verso lo stesso di se k >0, il verso contrario ad se k < 0 Es. k = 2 k = Naturalmente quando si dice moltiplicazione si intende anche divisione : per dividere per uno scalare basta moltiplicare per il suo reciproco. Esempi di moltiplicazione di una grandezza vettoriale per uno scalare Esempio 1 Per calcolare le velocità dividiamo lo spostamento tempo Δt ( grandezza scalare): (grandezza vettoriale) per un intervallo di Esempio 2 La forza è il prodotto della massa (grandezza scalare) per l accelerazione (grandezza vettoriale): DIFFERENZA DI VETTORI Per disegnare il vettore = ci sono due metodi: 1 metodo: si moltiplica il vettore per 1, ottenendo il vettore che ha verso opposto a. Poi si sommano e seguendo la regola del parallelogramma

5 2 metodo: Per disegnare il vettore si traslano i vettori e in modo che il primo estremo di uno coincida con il primo estremo dell altro, poi, partendo dal secondo estremo di, si traccia il vettore che congiunge le due punte. VETTORI SCRITTI IN COMPONENTI CARTESIANE Si chiama versore un vettore di modulo 1 Gli assi cartesiani (nel piano) sono individuati da versori che ne indicano il verso e la direzione è il versore che indica l asse x è il versore che indica l asse y Scomponiamo un vettore qualsiasi lungo i due assi cartesiani

6 a x e a y sono due segmenti orientati (non sono vettori), rappresentati da due numeri reali: sono le componenti cartesiane del vettore Per trovare i valori numerici delle componenti a x e a y, se è noto il modulo del vettore, utilizziamo il seguente teorema sui triangoli rettangoli: Teorema sui triangoli rettangoli In un triangolo rettangolo ogni cateto è uguale all ipotenusa per il coseno dell angolo compreso, oppure all ipotenusa per il seno dell angolo opposto C = cos = sin = cos = sin A B Applichiamo questo teorema al vettore e alle sue componenti: a x = a cos a y = a sin

7 Se ora moltiplichiamo a x per e a y per (vedi il prodotto di uno scalare per un vettore) otteniamo due vettori, uno che sta sull asse x e l altro che sta sull asse y. I due vettori a y e a y sono i componenti cartesiani del vettore Se sommiamo vettorialmente i due vettori e con la regola del parallelogramma ( vedi somma di vettori) otteniamo come risultato proprio il vettore questo è il vettore forma cartesiana scritto in Scrivere un vettore in forma cartesiana significa scriverlo come somma di due vettori: uno è la componente lungo x moltiplicata per il versore, l altro è la componente lungo y per il versore Se conosciamo le componenti cartesiane di un vettore teorema di Pitagora: il suo modulo si trova applicando il = Per trovare l angolo che il vettore forma con il semiasse positivo delle x scriviamo.

8 Esempi: Esempio 1 Soluzione: Questo è il vettore scritto in forma cartesiana Esempio 2 Si noti che l angolo viene calcolato sempre da un punto sul semiasse positivo delle x e in senso antiorario

9 Somma e differenza di vettori in forma cartesiana Cominciamo con un esempio: Abbiamo due vettori scritti in forma cartesiana; li disegniamo e disegniamo la loro somma e la loro differenza Se guardiamo sul disegno le componenti cartesiane del vettore somma notiamo che sono e, cioè la somma delle rispettive componenti di e di In generale possiamo scrivere così la somma di due vettori: se e allora Regola analoga vale per la differenza:

10 Per esercizio considera i vettori: Disegnali su un piano cartesiano e disegna il vettore somma e il vettore differenza. Verifica che vale la regola vista sopra PRODOTTO SCALARE FRA DUE VETTORI Il prodotto scalare fra vettori è uno scalare ed è definito da: dove α è l angolo compreso fra i due vettori Ricordiamo che è la componente del vettore lungo la direzione di. Nello stesso modo è la componente del vettore sulla retta individuata da

11 Sia che pensiamo il prodotto scalare come otteniamo lo stesso valore scalare sia che lo pensiamo come Segno del prodotto scalare: dati due vettori e 1. = il prodotto scalare è positivo e ha valore massimo 2. il prodotto scalare è positivo e ha valore decrescente per valori crescenti di α 3. il prodotto scalare è nullo

12 4. il prodotto scalare è negativo e ha valore assoluto crescente per valori crescenti di α 5. il prodotto scalare è negativo e ha valore minimo (valore assoluto massimo) Il prodotto scalare gode della proprietà commutativa: Prodotto scalare in forma cartesiana Dati due vettori e scritti in forma cartesiana: e se li moltiplichiamo scalarmente otteniamo: = + ) Notiamo che perché sono paralleli e mentre perché sono perpendicolari. Quindi si ottiene: Esempi di prodotto scalare fra due vettori Esempio 1 Il lavoro di una forza è definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento: Esempio 2 Il flusso di un campo vettoriale è definito come il prodotto scalare fra il campo e il vettore superficie Vettore superficie dove: S è l area della superficie, è il versore perpendicolare alla superficie

13 è un qualsiasi campo vettoriale. Il suo flusso è definito come prodotto scalare: PRODOTTO VETTORIALE FRA DUE VETTORI Il prodotto vettoriale fra vettori è un vettore ed è quindi necessario definirne l intensità, la direzione e il verso. 1. Il modulo è: = 2. La direzione è la retta perpendicolare al piano individuato da i due vettori e 3. Il verso si ottiene con la regola della mano destra o della vite:

14 Si immagina di dover ruotare su seguendo l angolo più piccolo: se si deve fare una rotazione antioraria il prodotto vettoriale è uscente dal piano (nel disegno verso l alto), se si deve seguire una rotazione oraria il prodotto vettoriale è entrante (verso il basso) Il prodotto vettoriale non è commutativo: = Prodotto vettoriale in forma cartesiana Dati due vettori e scritti in forma cartesiana: e se li moltiplichiamo settorialmente otteniamo: = + )

15 Dobbiamo notare che Il prodotto vettoriale in forma cartesiana diventa: Esempi di prodotto vettoriale Esempio 1 Il momento di una forza calcolato rispetto ad un punto O, detto anche momento torcente, è il prodotto vettoriale fra il vettore posizione (vettore posizione del punto di applicazione della forza rispetto a O) e la forza. Vogliamo calcolare il momento della forza rispetto al punto O

16 1. Sia P il punto di applicazione della forza isegniamo il vettore posizione del punto P rispetto al punto O 2. Trasliamo il vettore in modo che il suo primo estremo vada in P 3. Calcoliamo il prodotto vettoriale Il risultato sarà un vettore che ha: a. come modulo = Nota che è l angolo fra e b. come direzione la retta perpendicolare al piano su cui stanno e c. come verso quello che si ricava dalla regola della mano destra.: ruotiamo su dobbiamo fare un movimento orario, quindi il verso è entrante

17 In effetti, una forza applicata come in figura su un oggetto imperniato nel punto O provoca una rotazione oraria Esempio 2 Una carica elettrica q, dotata di velocità, che si trova in una zona di spazio occupata da un campo magnetico avverte una forza (forza di Lorentz). La forza di Lorentz è il prodotto vettoriale fra la velocità della carica e il campo magnetico, moltiplicato per il valore della carica: