Derivate. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 1 / 33

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1 Derivate Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 1 / 33

2 Definizione: rapporto incrementale Sia f : domf R R. Dati x 1, x 2 domf con x 1 x 2, chiamiamo rapporto incrementale di f tra x 1 e x 2 il quoziente rf (x 1, x 2 ) = f (x 1) f (x 2 ) x 1 x 2. Osservazioni: 1. f è crescente rf f è strettamente crescente rf > 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 2 / 33

3 Definizione: derivata Siano I un intervallo, f : I R, e x 0 un punto interno ad I. Se esiste in R il limite f (x) f (x 0 ) f (x 0 + h) f (x 0 ) lim rf (x, x 0 ) = lim = lim x x 0 x x0 x x 0 h 0 h esso viene chiamato derivata di f nel punto x 0 e si indica con f (x 0 ). Se f (x 0 ) R, allora f si dice derivabile in x 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 3 / 33

4 Notazioni alternative per f (x 0 ): Df (x 0 ), d dx f (x 0). Esempio: data f (x) = x 2 + 3, calcoliamo f (1). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 4 / 33

5 Definizione: funzione derivata Siano I un intervallo, f : I R, tale che I = {x I : f è derivabile in x}. Notare: I I e in generale I I. Chiamiamo funzione derivata di f la funzione f : I R x f (x) Esempio: data f (x) = x calcoliamo f f (x + h) f (x) (x) = lim = 2x h 0 h Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 5 / 33

6 Significato geometrico della derivata f (x 0 ) è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico di y = f (x) nel punto (x 0, f (x 0 )). La retta passante per (x 0, f (x 0 )) e per (x 1, f (x 1 )) ha equazione y = f (x 0 ) + f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 (x x 0 ). Per x 1 x 0 questa retta secante tende alla retta tangente di equazione y = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 6 / 33

7 Derivate delle funzioni elementari Derivata della funzione costante Sia c R e sia f : R R data da f (x) = c x R. Allora f (x) = 0 x R. Derivata della funzione identità Sia f (x) = x x R. Allora f (x) = 1 x R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 7 / 33

8 Derivata della funzione potenza Sia f (x) = x n, n N, n 2. Allora f (x) = nx n 1 x R. Derivata della funzione reciproco Sia f (x) = 1 x per x R \ {0} Allora f (x) = 1 x 2 per x R \ {0} Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 8 / 33

9 Derivata della funzione esponenziale Sia f (x) = a x, con a R + \ {1}. Allora f (x) = a x log e a x R. In particolare (e x ) = e x. Derivata della funzione seno Sia f (x) = sin x x R Allora f (x) = cos x x R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 9 / 33

10 Derivate destra e sinistra Definizione Sia I intervallo, f : I R e x 0 un punto interno ad I. (i) Se esiste il limite lim x x 0 rf (x, x 0 ) = lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) = lim R h 0 h (cioè, il limite SINISTRO del rapporto incrementale), esso viene chiamato derivata sinistra di f in x 0 e si indica con f (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 10 / 33

11 Definizione (ii) Se esiste il limite lim x x + 0 rf (x, x 0 ) = lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 f (x 0 + h) f (x 0 ) = lim R h 0 + h (cioè, il limite DESTRO del rapporto incrementale), esso viene chiamato derivata destra di f in x 0 e si indica con f +(x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 11 / 33

12 Teorema: legame fra la derivata e le derivate unilatere Siano f : I R e x 0 un punto interno ad I. Allora f (x 0 ) R se e solo se f +(x 0 ) R, f (x 0 ) R e f +(x 0 ) = f (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 12 / 33

13 Esempio: la funzione modulo Sia f (x) = x e sia x 0 > 0. Allora rf (x, x 0 ) = x x 0 x x 0 = x x 0 x x 0 = 1 per tutti gli x > 0. Quindi f (x 0 ) = 1. Se invece x 0 < 0, allora rf (x, x 0 ) = x x 0 = x ( x 0) = 1 x x 0 x x 0 per tutti gli x < 0. Quindi f (x 0 ) = 1. Se x 0 = 0 si ha 1 se x > 0 rf (x, 0) = 1 se x < 0 Quindi f (x 0 ) = 1 e f +(x 0 ) = 1; in particolare non esiste f (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 13 / 33

14 Legame fra continuità e derivabilità Siano f : I R e x 0 un punto interno ad I. Allora f derivabile in x 0 f continua in x 0. Dimostrazione: dobbiamo mostrare che Per x x 0 si ha lim f (x) = f (x 0 ). x x 0 f (x) f (x 0 ) = f (x) f (x 0) x x 0 (x x 0 ). Quindi, lim (f (x) f (x 0 )) = f (x 0 ) lim (x x 0 ) = 0 x x 0 x x0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 14 / 33

15 NOTA BENE: NON VALE f continua in x 0 f derivabile in x 0. Esempio Sia f (x) = { x se x 0, x se x < 0. f è continua in x 0 = 0, ma f NON è derivabile in 0: f (0) = +. Esempio La funzione f (x) = x è continua in x = 0 ma non vi è derivabile. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 15 / 33

16 Regole di derivazione Teorema di linearità Sia I intervallo e x 0 punto interno a I. Se f, g : I R sono derivabili in x 0, allora - c R la funzione c f è derivabile in x 0, con (cf ) (x 0 ) = c(f (x 0 )), - la funzione f + g è derivabile in x 0, con (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 16 / 33

17 Teorema: derivata del prodotto (Criterio di Leibniz) Sia I intervallo e x 0 punto interno a I. Se f, g : I R sono funzioni derivabili in x 0, allora anche f g è derivabile in x 0, e si ha (f g) (x 0 ) = f (x 0 )g (x 0 ) + f (x 0 )g(x 0 ). Dimostrazione: si ha (fg)(x) (fg)(x 0 ) = f (x)(g(x) g(x 0 )) + g(x 0 )(f (x) f (x 0 )) Siccome f è continua in x 0, ne segue che (fg)(x) (fg)(x 0 ) g(x) g(x 0 ) lim = lim f (x) lim x x 0 x x 0 x x0 x x0 x x 0 f (x) f (x 0 ) + g(x 0 ) lim x x0 x x 0 = f (x 0 ) g (x 0 ) + g(x 0 ) f (x 0 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 17 / 33

18 Teorema: derivata della composizione di funzioni Siano I e J intervalli f : I R, g : J R, Se f è derivabile in x 0 g è derivabile in f (x 0 ) allora g f è derivabile in x 0, e si ha x 0 un punto interno a I tale che f (x 0 ) è interno a J. (g f ) (x 0 ) = g (f (x 0 )) f (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 18 / 33

19 Dimostrazione: Supponiamo per simplicità che esista un intorno di x 0 in cui per ogni x x 0 si abbia f (x) f (x 0 ). Allora, per x x 0 Quindi g(f (x)) g(f (x 0 )) = g(f (x)) g(f (x 0)) f (x) f (x 0). x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 (g(f (x)) g(f (x 0 )) g(f (x)) g(f (x 0 )) f (x) f (x 0 ) lim = lim lim x x 0 x x 0 x x0 f (x) f (x 0 ) x x0 x x 0 g(f (x 0 ) + h) g(f (x 0 )) = lim f (x 0 ) h 0 h = g (f (x 0 )) f (x 0 ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 19 / 33

20 Conseguenze del teorema sulla derivata della composizione Sia f : I R derivabile in I. Allora: 1 se f (x) 0 x I, allora d dx ( ) 1 (x) = 1 f f 2 (x) f (x) x I d dx (ef ) = e f f. d dx (sin f ) = cos f f. d dx (cos f ) = sin f f. 5 se f > 0, allora d dx (log(f )) = 1 f f. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 20 / 33

21 Calcoliamo la derivata di f (x) = x α, α R, dom(f ) = R + =]0, + [ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 21 / 33

22 Più in generale, date f, g : I R derivabili tali che f (x) > 0 x I, si ha ( f (x) g(x)) = g (x) log(f (x)) f (x) g(x) + g(x) f (x) f (x) g(x) 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 22 / 33

23 Teorema: derivata del quoziente Sia I intervallo e x 0 punto interno a I. Siano f, g : I R due funzioni derivabili in x 0 e g(x 0 ) 0. Allora f g è derivabile in x 0, e ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f (x 0 )g (x 0 ) g [g(x 0 )] 2. Dimostrazione: la tesi segue dalla regola per la derivata del prodotto (esercizio). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 23 / 33

24 Esempio f (x) = tan(x) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 24 / 33

25 Derivazione della funzione inversa Teorema Sia I intervallo, f : I R continua e invertibile in I. Sia x 0 interno ad I. Se esiste f (x 0 ), allora esiste anche la derivata di f 1 nel punto y 0 = f (x 0 ), e si ha d ( f 1 ) (y 0 ) = 1 dy f (x 0 ) cioè ( f 1 ) (y0 ) = 1 f (f 1 (y 0 )). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 25 / 33

26 Dimostrazione: siccome y = f (x) e y 0 = f (x 0 ), si ha d ( f 1 ) f 1 (y) f 1 (y 0 ) (y 0 ) = lim dy y y 0 y y 0 = lim y y 0 f 1 (y) f 1 (y 0 ) f (f 1 (y)) f (f 1 (y 0 )) da cui la tesi x x 0 = lim x x0 f (x) f (x 0 ) = 1 f (x 0 ), Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 26 / 33

27 Osservazioni: 1 La formula per la derivata dell inversa vale anche se f (x 0 ) = 0 o f (x 0 ) = ± 2 Se f (x 0 ) 0, allora f 1 è derivabile in f (x 0 ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 27 / 33

28 Esempio: Verifichiamo che, per a (0, + ) \ {1}, si ha d dx log a(x) = 1 x log e (a) In particolare d dx log(x) = 1 x Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 28 / 33

29 Esempio: Verifichiamo che d (arcsin x) = dx 1 1 x for x ] 1, 1[, 2 + for x = ±1. In particolare, notare che arcsin : [ 1, 1] R è derivabile solo su ] 1, 1[. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 29 / 33

30 Usando il teorema sulla derivata della funzione inversa, si verifica che 1 d dx (arccos x) = 1 1 x 2 mentre arccos (x) = per x = ±1. x ] 1, 1[ 2 d 1 (arctan x) = dx 1 + x 2 x R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 30 / 33

31 Esercizio 1 Determinare il dominio e derivata di f (x) = (log x) arctan(x) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 31 / 33

32 Esercizio 2 Siano f (x) = exp(8 8x) 8 log(x) x 5 e g = f 1. Calcolare 1 g (0). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 32 / 33

33 Esercizio 3 Calcolare (f 1 ) ( 4), con f (x) = exp(4 arctan(x + 1)) + 4x 5 + x. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate Analisi A 33 / 33