GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 16 GENNAIO Compito A

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1 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 16 GENNAIO Compito A (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione lineare g : R 4 R 3 definita da: g(x, y, z, t) = (2x 2y, x y, 3x 3y t). (a) Trovare il nucleo ker(g) dell applicazione, determinandone una base. (b) Determinare l immagine di g, specificandone una base e stabilire se l applicazione sia iniettiva, suriettiva, o un isomorfismo. (c) Indicato con V = (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1) il sottospazio di R 4 generato dai vettori (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), determinare l immagine g(v ) di V tramite g. (d) Calcolare ker(g) + (1, h, 0, 0), (0, 1, 0, 1) al variare del parametro h R, specificando di volta in volta se si tratta o meno di una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 1

2 Esercizio 2. Sono dati il piano π e la retta r di equazioni rispettive: { x = 2t π : x + y z 1 = 0 r : y = t + 1 z = t. Determinare: (a) l equazione della retta s perpendicolare a π e passante per il punto A(0, 1, 1); (b) l equazione del piano π perpendicolare a π e contenente la retta r; (c) se le rette r ed s sono sghembe; (d) la distanza tra A ed r. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 2

3 Esercizio 3. Si consideri l applicazione ϕ : R 2 R 2 R definita da: ϕ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + 2y 1 y 2. (a) Stabilire se ϕ è un prodotto scalare per R 2, motivando la risposta. (b) In caso affermativo calcolare il sottospazio ortogonale a (0, 1) E2 rispetto a ϕ. (c) Definita la norma v ϕ di un vettore v come v ϕ = ϕ(v, v), calcolare la norma di tutti i vettori della base canonica E 2. (d) Scrivere una base ortonormale di R 2 rispetto a ϕ. Svolgimento dell esercizio 3 (3 punti)

4 Esercizio 4. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da: f(x, y, z) = (x + 2y + z, x + 2y + z, 2x + 2z). Determinare: (a) la matrice rappresentativa A di f rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo; (b) se f sia semplice o meno; (c) gli autospazi di f; (d) due matrici M, D R 3,3, con D diagonale, tali che MDM 1 = A. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)

5 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 16 GENNAIO Compito B (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione lineare g : R 4 R 3 definita da: g(x, y, z, t) = (2x 2y, x y, 3x 3y t). (a) Trovare il nucleo ker(g) dell applicazione, determinandone una base. (b) Determinare l immagine di g, specificandone una base e stabilire se l applicazione sia iniettiva, suriettiva, o un isomorfismo. (c) Indicato con V = (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1) il sottospazio di R 4 generato dai vettori (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), determinare l immagine g(v ) di V tramite g. (d) Calcolare ker(g) + (1, h, 0, 0), (0, 1, 0, 1) al variare del parametro h R, specificando di volta in volta se si tratta o meno di una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 1

6 Esercizio 2. Sono dati il piano π e la retta r di equazioni rispettive: { x = 2t π : x + y z 1 = 0 r : y = t + 1 z = t. Determinare: (a) l equazione della retta s perpendicolare a π e passante per il punto A(0, 1, 1); (b) l equazione del piano π perpendicolare a π e contenente la retta r; (c) se le rette r ed s sono sghembe; (d) la distanza tra A ed r. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 2

7 Esercizio 3. Si consideri l applicazione ϕ : R 2 R 2 R definita da: ϕ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + 2y 1 y 2. (a) Stabilire se ϕ è un prodotto scalare per R 2, motivando la risposta. (b) In caso affermativo calcolare il sottospazio ortogonale a (0, 1) E2 rispetto a ϕ. (c) Definita la norma v ϕ di un vettore v come v ϕ = ϕ(v, v), calcolare la norma di tutti i vettori della base canonica E 2. (d) Scrivere una base ortonormale di R 2 rispetto a ϕ. Svolgimento dell esercizio 3 (3 punti)

8 Esercizio 4. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da: f(x, y, z) = (x + 2y + z, x + 2y + z, 2x + 2z). Determinare: (a) la matrice rappresentativa A di f rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo; (b) se f sia semplice o meno; (c) gli autospazi di f; (d) due matrici M, D R 3,3, con D diagonale, tali che MDM 1 = A. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)

9 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 16 GENNAIO Compito C (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione lineare g : R 4 R 3 definita da: g(x, y, z, t) = (2x 2y, x y, 3x 3y t). (a) Trovare il nucleo ker(g) dell applicazione, determinandone una base. (b) Determinare l immagine di g, specificandone una base e stabilire se l applicazione sia iniettiva, suriettiva, o un isomorfismo. (c) Indicato con V = (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1) il sottospazio di R 4 generato dai vettori (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), determinare l immagine g(v ) di V tramite g. (d) Calcolare ker(g) + (1, h, 0, 0), (0, 1, 0, 1) al variare del parametro h R, specificando di volta in volta se si tratta o meno di una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 1

10 Esercizio 2. Sono dati il piano π e la retta r di equazioni rispettive: { x = 2t π : x + y z 1 = 0 r : y = t + 1 z = t. Determinare: (a) l equazione della retta s perpendicolare a π e passante per il punto A(0, 1, 1); (b) l equazione del piano π perpendicolare a π e contenente la retta r; (c) se le rette r ed s sono sghembe; (d) la distanza tra A ed r. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 2

11 Esercizio 3. Si consideri l applicazione ϕ : R 2 R 2 R definita da: ϕ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + 2y 1 y 2. (a) Stabilire se ϕ è un prodotto scalare per R 2, motivando la risposta. (b) In caso affermativo calcolare il sottospazio ortogonale a (0, 1) E2 rispetto a ϕ. (c) Definita la norma v ϕ di un vettore v come v ϕ = ϕ(v, v), calcolare la norma di tutti i vettori della base canonica E 2. (d) Scrivere una base ortonormale di R 2 rispetto a ϕ. Svolgimento dell esercizio 3 (3 punti)

12 Esercizio 4. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da: f(x, y, z) = (x + 2y + z, x + 2y + z, 2x + 2z). Determinare: (a) la matrice rappresentativa A di f rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo; (b) se f sia semplice o meno; (c) gli autospazi di f; (d) due matrici M, D R 3,3, con D diagonale, tali che MDM 1 = A. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)

13 Cognome e Nome: Matricola: Corso di laurea: GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE Prova scritta del 16 GENNAIO Compito D (a) (b) (c) (d) Parziali Regole: TOTALE: Scrivere solo con penna nera o blu (niente matita!), in modo leggibile ed ordinato. Scrivere i vari passaggi motivandoli con spiegazioni brevi e precise, niente brutta copia. Esercizio 1. Sia data l applicazione lineare g : R 4 R 3 definita da: g(x, y, z, t) = (2x 2y, x y, 3x 3y t). (a) Trovare il nucleo ker(g) dell applicazione, determinandone una base. (b) Determinare l immagine di g, specificandone una base e stabilire se l applicazione sia iniettiva, suriettiva, o un isomorfismo. (c) Indicato con V = (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1) il sottospazio di R 4 generato dai vettori (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), determinare l immagine g(v ) di V tramite g. (d) Calcolare ker(g) + (1, h, 0, 0), (0, 1, 0, 1) al variare del parametro h R, specificando di volta in volta se si tratta o meno di una somma diretta. Svolgimento dell esercizio 1

14 Esercizio 2. Sono dati il piano π e la retta r di equazioni rispettive: { x = 2t π : x + y z 1 = 0 r : y = t + 1 z = t. Determinare: (a) l equazione della retta s perpendicolare a π e passante per il punto A(0, 1, 1); (b) l equazione del piano π perpendicolare a π e contenente la retta r; (c) se le rette r ed s sono sghembe; (d) la distanza tra A ed r. (1 punto) Svolgimento dell esercizio 2

15 Esercizio 3. Si consideri l applicazione ϕ : R 2 R 2 R definita da: ϕ((x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )) = x 1 x 2 + x 1 y 2 + y 1 x 2 + 2y 1 y 2. (a) Stabilire se ϕ è un prodotto scalare per R 2, motivando la risposta. (b) In caso affermativo calcolare il sottospazio ortogonale a (0, 1) E2 rispetto a ϕ. (c) Definita la norma v ϕ di un vettore v come v ϕ = ϕ(v, v), calcolare la norma di tutti i vettori della base canonica E 2. (d) Scrivere una base ortonormale di R 2 rispetto a ϕ. Svolgimento dell esercizio 3 (3 punti)

16 Esercizio 4. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da: f(x, y, z) = (x + 2y + z, x + 2y + z, 2x + 2z). Determinare: (a) la matrice rappresentativa A di f rispetto alle basi canoniche in partenza e in arrivo; (b) se f sia semplice o meno; (c) gli autospazi di f; (d) due matrici M, D R 3,3, con D diagonale, tali che MDM 1 = A. Svolgimento dell esercizio 4 (1 punto)