Esercizi Riepilogativi Svolti

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1 Universita degli Studi di Roma - "Tor Vergata" - Facolta Ingegneria Esercizi GEOMETRIA Edile-Architettura e dell Edilizia SPAZI EUCLIDEI. TRASFORMAZIONI. ORIENTAZIONI. FORMULE DI GEOMETRIA IN R. Docente: Prof. F. Flamini Esercizi Riepilogativi Svolti Esercizio. Nello spazio affine R, con riferimento cartesiano standard RCO; x,, x, siano date le due coppie di punti P, P e Q, Q 4. i Determinare equazioni parametriche delle rette L : P, P e M : Q, Q cioe congiungenti rispettivamente P con P e Q con Q. ii Verificare che l affinita lineare data da x x f x trasforma la retta L nella retta M. iii Determinare gli eventuali punti fissi dell affinita f. Svolgimento. i L e la retta passante per P e con vettore direttore v P a P ; pertanto le sue equazioni parametriche sono x X t, X t, X t, t R. Analogamente M e la retta passante per Q e con vettore direttore v Q a Q ; pertanto le sue equazioni parametriche sono X t, X t, X t, t R.

2 ii E facile verificare che fp i Q i, i. Quindi l affinita lineare trasforma fra loro anche le varieta lineari generate da questi punti. iii I punti fissi dell affinita lineare sono tutti e soli i vettori di R che soddisfano la relazione x x in altri termini, l eventuale luogo di punti fissi di f e determinato dall autospazio di A relativo all autovalore. In effetti e autovalore di A e la sua molteplicita algebrica e geometrica e. In effetti, l autospazio e dato da che e l asse delle ascisse. X X Esercizio. Nel piano affine R, con riferimento cartesiano O, e, è data la retta r rappresentata dall equazione X X. Determinare tutte le affinità di R che fissano tutti i punti di r e che trasformano il punto P, nel punto Q,. Svolgimento. Sappiamo che i luogo dei punti fissi di un affinità se non vuoto è per forza una varietà lineare. Allora per avere affinità che fissano tutti i punti di r basta determinare quelle affinità che fissano punti distinti di r. Infatti, poichè l unione di due punti distinti non è una varietà lineare, se questi restano fissi sotto l azione di un affinità f, allora tutti i punti della retta r restano fissi sotto l azione di f. Prendiamo allora i due punti P, e P, su r. Un affinità è della forma a a x b fx A x b, a a b con A matrice invertibile. Se imponiamo fp P, fp P, x x ; otteniamo a a a a b b

3 e a a a a Si ottiene il sistema di 4 equazioni: b b. a a, a a, b a, b a. Quindi, le affinità che fissano tutti i punti di r sono dato che sono della forma: a a x a, a a a con a, a R parametri indipendenti, tali che a a, per la condizione di invertibilità di A. Ora imponiamo la condizione ulteriore che fp Q, che fornisce a a a a a. a Si determina allora a, a. Dunque esiste un unica affinità che soddisfa tutte le condizioni richieste. Le equazioni di tale affinità sono: Y X X Y X X. Esercizio. Si consideri il piano euclideo R, con riferimento cartesiano ortonormale O; x,. a Assegnato il vettore u,, espresso in componenti rispetto alla base canonica e le cui componenti sono scritte per comodita per riga, determinare tutti i vettori x che sono ortogonali ad u e che hanno norma uguale a. b Siano assegnati in seguito i punti P,, Q,, R,, le cui coordinate sono scritte per comodita per riga. Dopo aver verificato che i punti formano i vertici di un triangolo T, determinare il perimetro del triangolo T.

4 4 Svolgimento: a x x, e tale che u x x ; percio x α, α. Inoltre x implica α ±. Percio, i vettori cercati sono x, oppure x,. b I tre punti non sono allineati. Quindi formano i vertici di un triangolo. Per trovare il perimetro basta determinare le lunghezze di tutti e tre i lati con la formula della distanza fra due punti e poi sommare queste lunghezze. Esercizio 4. Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano ortogonale RCO; x,, sia data la trasformazione x F. 4 x i Stabilire se la trasformazione F e un isometria oppure un affinita di R. ii Sia r la retta di equazione cartesiana X X. Determinare l equazione cartesiana di F r, la retta ottenuta come trasformata mediante F della retta r. Svolgimento. i Poiche la parte lineare della trasformazione F ha una matrice a determinante 5, F e necessariamente un affinita di R. ii Per trovare equazioni cartesiane di F r basta scegliere due punti arbitrari su r, P e Q e determinare l equazione cartesiana della retta per punti. Esercizio 5. Siano v,, w, due vettori dello spazio vettoriale euclideo R, munito di base canonica e prodotto scalare standard. Sia S l isometria lineare data dalla riflessione rispetto all asse x, i.e. rispetto a Line. Calcolare OrSv, Sw. Svolgimento. Osserviamo che det Orv, w perciò la coppia ordinata di vettori è una base per R che, inoltre, è orientata positivamente. Riflettere rispetto all asse x vuol dire che, per ogni vettore x x,, Sx x,. Pertanto, l isometria lineare S è Sx x x.

5 Denotata con M la matrice ortogonale dell isometria S, det M cioè S è un isometria lineare inversa. Pertanto i.e. la base non è equiorientata con e. OrSv, Sw detm Orv, w, b Sv, Sw Esercizio 6. Determinare tutte le rette passanti per P, e formanti con l asse x un angolo convesso pari a π/. Determinare i due angoli convessi fra le due rette ottenute. Svolgimento: Sia r l, m un vettore direttore di una delle rette da determinare. Allora: cosπ r ±e r e ±l l m, che determina l ± m. Otteniamo percio, a meno di proporzionalita, due vettori direttori: r, e r,. Le equazioni cartesiane delle rette cercate sono: Ora r : x e r : x. quindi θ {π/, π/}. cosθr, r cosθ±r, r ±, Esercizio 7. Siano assegnate nel piano cartesiano R le rette: { x t s : t, t R s : x e s : x. i Determinare un equazione cartesiana di s ; 5

6 6 ii Determinare un equazione cartesiana della retta r parallela ad s e passante per P s s ; iii Determinare l equazione cartesiana della retta n per P s s e perpendicolare a s ; iv Verificare che la retta per i punti Q, /4 e Q, /4 e parallela a s. Tale retta coincide con s? Svolgimento: i Poiche t, un equazione cartesiana e x, cioe x. ii Per determinare il punto P basta risolvere il sistema lineare non omogeneo che ha come soluzione x x x /5, 4/5. Un vettore direttore della retta s e,, equivalentemente,. Quindi, l equazione cartesiana della retta che si vuole determinare sara data da: x 7 5. iii Per trovare le coordinate di P, basta sostituire nell equazione di s, x t e t, che determina t /, cioe x /, /. Un vettore normale a s e,, come si determina direttamente dalla sua equazione cartesiana. Percio la retta cercata e quella che passa per P e che ha parametri direttori,, cioe : x. iv Un vettore direttore della retta per Q e Q e dato dal vettore OQ OQ, /. Quindi, un vettore direttore e anche,, che e un vettore direttore anche di s. Ora pero la retta per Q e Q e parallella a s ma non coincide con s perche, ad esempio, le coordinate di Q non soddisfano l equazione di s.

7 7 Esercizio 8. Nel piano cartesiano R, con riferimento standard O, e, sono dati i tre punti di coordinate P P P. i Dopo aver verificato che i tre punti non sono allineati, si considerino tali punti come vertici di un triangolo Λ. i Il punto Q che e intersezione delle tre altezze del triangolo Λ viene detto l ortocentro del triangolo Λ. Calcolare le coordinate dell ortocentro di Λ. ii Determinare l area di Λ. Svolgimento: i Per verificare che i tre punti non siano allineati, e sufficiente dimostrare che i vettori P a P e P a P non sono proporzionali, come effettivamente e. ii Un vettore direttore della retta per P e P e dato da P P 4,. Analogamente, un vettore direttore della retta per P e P e, e per P e P e,. Ora dobbiamo considerare, per ogni i j k, la retta per P i e perpendicolare alla retta per P j e P k. Le equazioni di queste tre rette sono x, x 9, x. Risolvendo il sistema fra due di queste tre rette troviamo il punto di coordinate x 6 e 9. Poiche tale punto appartiene pure alla terza retta, allora queste sono proprio le coordinate dell ortocentro. ii Il segmento P P misura 5. La retta per P e P ha equazioni parametriche x 4t, t mentre la retta per P e perpendicolare ad essa ha equazioni parametriche x s, 4s. Il punto di intersezione di tali due rette e il punto H di coordinate 9/5, /5, che corrisponde al punto sulla seconda retta relativo al valore del parametro s /. L altezza di Λ relativa al cateto P P e quindi il segmento P H che misura 5/5. Percio, l area di Λ e aλ. Esercizio 9. Nel piano affine R, con riferimento O, e, sia dato il triangolo di vertici O,, A, e B,. Si considerino i parallelogrammi:

8 8 OABC, avente OA ed AB per lati ed OB per diagonale, e OADB, avente OB ed OA per lati ed AB per diagonale. Sia E il punto di intersezione tra le rette r AC e r OD. Dimostrare che B, E ed il punto medio F del segmento OA sono allineati. Svolgimento. La retta r A,B ha giacitura generata dal vettore B a A, ; quindi un equazione che determina questa giacitura è Il punto C è l intersezione delle rette X X. X X e X quindi C,. Il punto D è l intersezione delle rette X e X quindi D,. La retta per A e C è la retta passante per A e con giacitura generata dal vettore C a A, quindi è Analogamente, quella per O e D è X X. X X ; quindi, essendo E il punto di intersezione di queste ultime due rette, si ha E /, /. Infine F, essendo punto medio del segmento OA, ha coordinate F /,. La retta r E,F è quindi X X. Le coordinate di B soddisfano quest equazione, quindi B appartiene a r E,F. Esercizio. Nel piano cartesiano R, con riferimento cartesiano standard RCO; x,, 6 sia dato il punto C. Sia inoltre P. i Determinare l equazione cartesiana della retta l passante per P e perpendicolare alla retta congiungente C con P. ii Scrivere l equazione del fascio proprio di rette di centro Q 4 e determinare l unica retta del fascio parallela a l.

9 iii Data l affinita f x disegnare nel piano la retta fl. Svolgimento. i Un vettore direttore della retta congiungente C con P e dato dal vettore P a C un equazione cartesiana per l e data da x. Questo sara il vettore normale della retta l: in altre parole, X 6 5 X che fornisce X X 4. ii L equazione del fascio di rette e λx 4 µx, cioe λx µx λ 4λ µ. La condizione di parallelismo con l fornisce che deve essere µ proporzionale a, i.e. λ µ, che determina X X 7. iii Basta considerare i trasformati mediante f di due punti su l e scrivere l equazione della retta per i due punti trasformati., 9