UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO Svolgimento Prova scritta di Matematica II 09 Febbraio 2011

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SALERNO Prova scritta di Matematica II 9 Febbraio Esercizio In R si considerino le due rette: t r : 5 y ; s : y t ; a) calcolare una base ortonormale di R a artire dai vettori direzionali di r, s; c) calcolare l angolo formato dai vettori direzionali di r, s. a) I vettori direzionali di r ed s sono risettivamente v r (; 5) e v s ( ; ), che essendo non roorzionali, sono linearmente indiendenti e quindi costituiscono una base di R. Alichiamo ai due vettori il metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt: u v s jv s j ( ; ) q( ) ; u v r roj u v r v r (v r u ) u (; 5) (; 5) ; ; (; 5) ; (; 5) ; 9 ; 7 u u 9 ju j ; 7 q 9 7 ; 7 La base ortonormale di R è fu ; u g. 9 9 ; 7 b) L angolo formato dalle rette r ed s è l angolo formato dai risettivi vettori direzionali, quindi si ha: cr; s [v r ; v s arccos v r v s jv r j jv s j arccos arccos (; 5) ( ; ) 5 q( ) 4

2 Esercizio Data l endomor smo f di R, la cui matrice raresentativa è data da: A A (a) calcolare la dimensione e una base di ker f e di Im f; (b) calcolare f (; ; ); (c) dire se f è diagonalizzabile su R e su C. a) Il nucleo è de nito dal sistema lineare omogeneo y z A Osserviamo che jaj 6 da cui rka e di conseguenza dim ker f rka, da cui si deduce che ker f fg e non ci sono basi er ker f. Ricordando inoltre che le colonne di A costituiscono un insieme di generatori er Im f, si ha dim Im f rka, e quindi si deduce che Im f R e una base di Im f è la base canonica di R. b) La controimmagine f (; ; ) corrisonde al sistema lineare y z A 8 < : y y y z che ha un unica soluzione dal momento che jaj 6 che, calcolata con la regola di Cramer, è: jaj

3 y z jaj jaj Pertanto f (; ; ) ; ; c) Calcoliamo gli autovalori di A, attraverso l equazione caratteristica: h ja hij h h ( h) h h le cui soluzioni ci danno gli autovalori h con m a ( ) e h con m a (). Gli autovalori trovati aartengono tutti al camo reale, quindi ci resta da veri care se le moltelicità algebriche coincidono con quelle geometriche. Questo è banalmente vero er h, mentre er h si ha m g (h ) rk (A I). Osservando che A si ha rk (A I), essendo le tre righe di A roorzionali tra loro. Si deduce che m g (h ) m a (h ). Per il teorema rinciale di caratterizzazione della diagonalizzazione, si conclude che A è diagonalizzabile su R. Inoltre, essendo R C, si uò a ermare che A è diagonalizzabile anche su C. Esercizio Studiare la convergenza e, se ossibile, calcolare la somma della seguente serie numerica: X e n 4e n n e n 5 n In base al criterio della radice la serie converge, infatti: e n 4e n lim n! e n 5 Esercizio 4 A

4 Determinare gli eventuali unti di massimo e minimo relativo ed assoluto della funzione: f(; y) ln 7 ln y y y y : : rf (ln 5 ln 6; y 8y 7y ) da cui i unti stazionari risultano: ln 5 ln 6 y 8y 7y A(e ; ); B(e ; ); C(e ; 5); D(e ; 5); E(e ; ); F (e ; ): Calcoliamo l Hessiano: H ( ln 5) y 6y 7 da cui segue che essendo ( ln 5) (y 6y 7); H(A) e ln e 5 ( 6 7) :54 4 < H(B) e ln e 5 ( 6 7) :99 5 > ; f e ln e 5 > H(C) e ln e 5 ( ) : 64 < H(D) e ln e 5 ( ) : > ; f e ln e 5 > H(E) e ln e 5 ( 4 6 7) :46 > ; ; f e ln e 5 < H(F ) e ln e 5 ( 4 6 7) :49 6 < i unti A; C; F sono di sella, B; D sono minimi, mentre E è un massimo. Esercizio 5: Calcolare l integrale generale delle seguenti equazioni di erenziali a. y (e ) y e e b. y IV 9y y 65y 5 4

5 a. Si tratta di una equazione a variabili searabili: y (e ) e (y ) # dy y # e d e arctan y e arctan (e ) b. y 9y y 65y 5, equazione lineare a coe cienti costanti, la cui soluzione è Be5 C (cos ) e De sin y() A 65 Esercizio 6 Stabilire er quali valori del arametro reale la curva a (t) 6 arctan t ; a 6 con t [; ] ammette lunghezza ari a : 845 arctan t ; 6 arctan t : Calcoliamo il vettore velocità: a (t) ( t ; a t ; t ); da cui la curva è regolare, a questo unto calcoliamo la lunghezza diendente dal arametro a : v u t a t! a dt t t s a t dt (a ) t dt (a ) ; 8 da cui imonendo segue che Esercizio 7 (a ) 8 ; a 8: 5

6 Assegnata nel iano la forma di erenziale lineare seguente d!(; y) y cos sin y sin cos dy se ne studino l insieme di de nizione, la chiusura e l esattezza, e se ne determinino, se il caso, le rimitive. : Controlliamo la chiusura della forma di erenziale: d y dy cos sin y cos sin cos d d ( y sin cos ) y cos sin cos la forma è chiusa nel suo dominio che risulta: fsin cos 6 ) 6 k j k ; ovviamente il dominio non è semlicemente connesso, ma ammette comonenti che lo sono, infatti, ad esemio, esso uò essere visto come unione delle seguenti strisce di iano: ]; [[] ; [[] ; [[]; [[] ; [ calcoliamo dunque le sue rimitive: F y cos sin cos y f () f() c y sin cos dy cos sin f() y cos sin f() cos sin cos f () y cos sin cos f () y da cui y F cos sin c: 6

7 Esercizio 8 Calcolare il seguente integrale suer ciale: y d s dove S è la arte di suer cie del cono z 4 y limitata da z e z 4: La formula er il calcolo dell integrale suer ciale è q I g(; y) jrfj ddy D dove g (; y) y, f (; y) y e D (; y) R : y 4. Si osservi che l insieme D è stato determinato con l intersezione tra le due suer ci. In questo caso, essendo rf ; y, si ottiene: y y I y d s D y 4ddy Questo integrale doio uò essere facilmente risolto utilizzando le coordinate olari: cos y sin essendo D f(; ) : ; g : Quindi I 5 d d Esercizio 9 Calcolare il seguente integrale doio ddy y ln y dove D è il seguente insieme D 5 D (; y) R : jj y ; y 5 : L insieme D è normale e uò essere riscritto nel seguente modo D (; y) R : y y; y 7

8 quindi I D ddy y ln y y y ddy y ln y ydy y ln y dy y ln y " s ln y ln ln y # ln Si osservi che l integrale R dy è stato calcolato con il cambiamento di y( ln y) variabili: ln y t Esercizio (Facoltativo): Stabilire er quali valori del arametro R la funzione f (; y) sin cos (y) ha la derivata direzionale nella direzione! v ; nel unto P (; ) ari a : : La derivata direzionale di f nella direzione! v nel unto P ( ; y )è ( ; y ) (rf ( ; y ) ;! v ) In questo caso rf (; y) cos cos (y) ; sin sin (y) 8 (; y) R e rf (; ) (; ) : Di conseguenza er ogni valore di la derivata direzionale è nulla. r ln ln ln ln ln 8