La matematica del compact disc (J. van Lint)

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1 La matematica del compact disc (J. van Lint) S. Bonaccorsi Corso di Mathematical model for the Physical, Natural and Social Sciences Outline Indice 1 Introduzione. 1 2 La matematica del compact disc Parole e codici Codici a barre Dalla musica ai bit Come trasformare la musica in bit? Il codice Reed-Salomon QR code 6 1 Introduzione. Introduzione. Che cosa succede quando ascoltiamo la musica da un CD? Perché il suono non è così rovinato come su un vinile o una audiocassetta? Descrizione. Il compact disc è composto da un disco di policarbonato trasparente, generalmente di 12 centimetri di diametro, accoppiato nella parte superiore ad un sottile foglio di materiale metallico sul quale, nella parte inferiore vengono memorizzate le informazioni come successioni di buchi e terre (in inglese pits e lands) successivamente letti per mezzo di un laser (per questo motivo sono detti anche dischi ottici). I pit sono larghi circa 0,5 µm, lunghi da 0,83 fino a 3,55 µm, profondi tra 0,1 e 0,2 µm. Lo spazio tra due tracce è di circa 1, 6µm. Contrariamente a quanto ci si potrebbe aspettare, lands e pits non rappresentano le cifre binarie 0 e 1. Il metodo usato si basa invece sull alternarsi di lands e pits. Ogni transizione pit-land e land-pit viene interpretata come un bit 1, mentre le aree piane, che si trovano prima e dopo ogni transizione, sono qualificate come uno o più bit 0 consecutivi. Le transizioni devono essere frequenti: in pratica, non si possono avere due 1 consecutivi ed il numero di zeri tra due bit a 1 può andare da un minimo di due ad un massimo di dieci. I dati sono ordinati lungo un unica traccia a forma di spirale, che parte al centro (contrariamente ai dischi in vinile) e procede verso l esterno, permettendo così di avere CD più piccoli dello standard (per esempio i mini-cd o i CD a forma di carta di credito). 1

2 Dato che il laser deve leggere i dati a velocità uniforme, sia che si tratti della parte esterna sia quella interna del disco, si deve variare la velocità di rotazione del disco, che passa da 500 giri al minuto al centro a 200 giri al minuto all esterno. Nel complesso, la spirale dei dati è lunga circa 5 km. 2 La matematica del compact disc. 2.1 Parole e codici. Distanza di Hamming Iniziamo con un alfabeto Q di simboli. Definizione. La distanza di Hamming tra due stringhe di ugual lunghezza è il numero di posizioni nelle quali i simboli corrispondenti sono diversi. In altri termini, la distanza di Hamming misura il numero di sostituzioni necessarie per convertire una stringa nell altra, o il numero di errori che hanno trasformato una stringa nell altra. Example 2.1. La distanza di Hamming tra e è 2. La distanza di Hamming tra e è 3. Per una fissata lunghezza n la distanza di Hamming è una metrica sull insieme delle stringhe aventi quella lunghezza, poiché soddisfa le condizioni di non negatività, identità di due elementi aventi distanza nulla, simmetria, e disuguaglianza triangolare. Wikipedia dice che... Viene usata nelle telecomunicazioni per contare il numero di bit errati in una parola binaria a lunghezza fissa, allo scopo di stimare l errore. Per questo motivo viene anche chiamata distanza del segnale. Parole e codici Diremo che una stringa a di lunghezza n su un alfabeto Q è una parola. Se la prossima parlla è scritta con una lettera sbagliata, allora sappiamo che ha distanza di Hamming 1 dalla parola corretta. La ragione per cui possiamo riconoscere la parola corretta è che nel nostro linguaggio è l unica ad avere una distanza così piccola dalla parlla scritta sbagliata. Il nostro scopo è costruire un linguaggio (ossia, un codice) tale che la distanza tra due parole a caso sia almeno 2e + 1, dove e 1 è un intero. 2e + 1 è detta la distanza minima del codice; se una parola è scritta con al massimo e errori, allora esiste una unica parola nel codice che ha distanza minima dalla parola data. 2.2 Codici a barre Consideriamo ad esempio i codici a barre: ad ogni prodotto viene assegnato un numero di 12 cifre (decimali); ogni cifra viene rappresentata da una stringa di lunghezza 7 sull alfabeto binario; ogni 0 viene rappresentato da un sottile barra vuota, ogni 1 da una sottile barra piena. 2

3 Example 2.2. Ad esempio, 4 si codifica come , quindi una barra bianca (di una unità di larghezza), poi una barra nera (di una unità), quindi una barra biancha (di 3 unità) e una nera (di due unità). Quando il prodotto viene passato dallo scanner del supermercato, può accadere che un bit (ossia una barra, ossia uno 0 o un 1) sia letto incorrettamente. Il codice scelto per gli errori e per i prodotti è tale che il lettore si accorge dell errore e dà un segnale alla cassiera di ripetere la lettura. Codici a correzione di errore Il primo codice a correzione di errore efficiente fu scoperto da R. W. Hamming, presso i laboratori Bell, nel Consideriamo un blocco di 4 cifre binarie; l idea è di aggiungere un blocco di 3 bit di correzione, in questo modo. I quattro bit sono scritti nelle parti con i numeri da 1 a 4; i bit di correzione si trovano nei posti 5,6 e 7. La regola vuole che ogni cerchio deve contenere un numero pari di 1. Una configurazione di 7 bit che contiene un errore produrrà uno o più cerchi con un numero dispari di 1. Allora, il bit che appartiene a tutti i cerchi con la parità sbagliata e a nessun cerchio con parità corretta è sbagliato e deve essere modificato. Il codice di Hamming è un codice in cui ogni parola di lunghezza 7 contiene 4 bit di informazione. Diremo che è un codice binario [7,4]. Se avessimo semplicemente ripetuto le cifre, avremmo ottenuto un codice [8,4] che quindi aveva un tasso di informazione pari a 4 8 < 4 7 del codice di Hamming, e in più questo codice può determinare l esistenza di un errore ma non correggerlo. 3 Dalla musica ai bit. 3.1 Come trasformare la musica in bit? 1. Per codificare la musica, il segnale analogico viene campionato volte al secondo. Questo tasso di 44,1 khz è sufficiente per poter udire le frequenze fino a Hz. 2. Ogni campione viene codificato usando 16 bit, quindi, dato che vogliamo ascoltare in stereo, ogni campione richiede in realtà 32 bit (4 successivi byte). 3. La successione dei byte viene creata usando gruppi di lunghezza fissata a cui vengono aggiunti i gruppi di byte di correzione. In un CD, ogni sequenza di 24 byte viene trasformata, in due passi, in una parola di lunghezza 32 bytee. I codici che vengono usati sono codici di Reed-Solomon di tipo [28,24] e [32,28], rispettivamente. 4. Infine, un 33-esimo byte (il subcode) viene aggiunto, che contiene le informazioni da visualizzare sul display. In definitiva: 6 campioni vengono trasformati in un frame di 33 byte di dati. 3

4 Come trasferire la musica sul CD? Abbiamo 33 data byte: li trasformiamo ulteriormente in una successione di bite che infine dovremo trasferire sul supporto fisico data bit vengono trasformati in 17 channel bit; 2. una sequenza di 27 channel bit viene aggiunta ogni 33 sequenze di 17 channel bit (ossia, dopo 33 sequenze di 8 data bit); questa sequenza serve come sincronizzazione e viene usata per identificare l inizio del prossimo blocco di dati. Dovremo quindi scegliere come sequenza di sincronizzazione una successione di bit che non può comparire tra i dati, in modo che non possa nascere alcuna confusione. 3. Nel complesso, abbiamo allora questo schema: 6 campioni 33 8 = 264 data bit = 588 channel bit. Quanti errori sul CD? In conclusione: un secondo di musica corrisponde a bit sulla traccia audio del vostro CD. Se il lettore CD legge il segnale facendo in media 1 errore ogni 1000 bit, avrete comunque migliaia di errori al secondo! Ci sono molte cause di errore su un CD. Vi può essere dello sporco, la superficie può contenere bolle d aria, possono essere stati fatti errori nella preparazione o nella scrittura della traccia, poi ditate, graffi, polvere... Di solito, gli errori si accumulano e si trovano tutti vicini; dato che i codici a correzione di errore servono per salvarci dagli errori casuali, dovremo scrivere i dati in maniera casuale, in modo che i nostri codici possano aiutarci a salvare l ascolto. 3.2 Il codice Reed-Salomon Il codice fu inventato nel 1960 da Irving S. Reed e Gustave Solomon, che al tempo lavoravano al Lincoln laboratory del Massachusetts Institute of Technology. Nel 1977 i codici Reed-Solomon furono applicati mirabilmente nel programma spaziale Voyager, sotto forma di codici concatenati per il controllo degli errori. Il codice Reed-Solomon è un tipo di codice lineare (ciclico) non binario di rilevazione e correzione d errore. Principali proprietà. Un codice di Reed-Solomon [N,K] ha distanza minima del codice pari a d = N K + 1 e riesce a correggere fino a d/2 errori e d cancellature. Quando una parola viene decodificata si possono verificare tre situazioni: se 2s + r < d (s errori e r cancellature) allora la parola di codice viene decodificata correttamente; il decodificatore riconosce che non può decodificare la parola e lo segnala; il decodificatore decodifica la parola in modo errato. Stampare un libro? Per semplificare la notazione, consideriamo un alfabeto di 31 elementi; l algebra è quella, usuale, modulo 31 (ad esempio, 6 9 = 23). Possiamo pensare all alfabeto come dato dalle lettere (i numeri da 1 a 26), lo spazio (0), e 4 altri simboli tipografici. Vogliamo stampare un libro di 200 pagine, 3000 battute per pagina. Ci è stato detto che il processo tipografico fa errori con una probabilità dello 0, 1% per ogni battuta: in media, 3 errori per pagina. Iniziamo con il dividere la nostra opera in una successione di simboli e di raggrupparli 4 a 4. Prima di ogni gruppo aggiungiamo 2 simboli di correzione e otteniamo la parola a = (a 0, a 1, a 2,..., a 5 ) dove a 0 e a 1 sono i codici di correzione e i rimanenti i dati (tutti nell alfabeto F 31 ). Consideriamo la parola SALE. Questa corrisponde ai simboli a 2 = 19, a 3 = 1, a 4 = 12, a 5 = 5. Le regole per calcolare a 0 e a 1 sono: 4

5 1. a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 0 (modulo 31), e 2. 0 a a a a a a 5 = 0 (modulo 31). Allora si ha a 0 = 15, a 1 = 10 e quindi la parola SALE si codifica come OJSALE. Supponiamo di aver ricevuto OJTALE. Se non consideriamo i codici di correzione, leggiamo la parola TALE. Ma, se guardiamo alla parola nel complesso, vediamo che deve esserci stato un errore, infatti = 1 (modulo 31) possiamo supporre che un simbolo sia stato sostituito dal successivo... ma quale? Osserviamo che se un simbolo a k viene inviato come a k + 1, allora la formula (2) precedente ci dà come somma k; se sostituiamo i valori ottenuti nella formula (2) precedente, otteniamo = 2 quindi l errore è nel simbolo a 2 che è stato inviato come a = T e recuperiamo il valore corretto, ossia a 2 = S. Osserviamo che il codice che stiamo usando corregge un errore in un gruppo di 6 simboli, con un tasso di informazione pari a 4/6; se però vogliamo che il numero di pagine non cambi, è chiaro che dobbiamo aumentare di una volta e mezzo il numero di simboli stampati per pagina. Il tipografo ci informa che diminuire la dimensione dei simboli porta a raddoppiare la probabilità di errore per ogni simbolo! In altre parole: prima dell applicazione del codice di correzione, dobbiamo aspettarci 9 errori per pagina. E dopo le correzioni portate dal codice? Abbiamo visto che una parola di sei simboli viene correttamente interpretata se ha al più un errore. La probabilità che una parola abbia più di un errore è 6 k=2 ( 6 k ) ( ) k ( ) 6 k Il numero medio di parole che non potremo correggere è inferiore a uno per pagina, anzi, ci saranno in media non più di dieci parole sbagliate: un miglioramento mica male! Con un ulteriore passaggio a un secondo codice, possiamo ulteriormente migliorare la situazione. Raggruppiamo i simboli in parole di lunghezza 8 e aggiungiamo 4 simboli di correzione. Otteniamo ancora un codice il cui tasso di informazione è 8/12 = 2/3, come il precedente. In questo caso, le regole per determinare i simboli di correzione sono le seguenti (codici di correzione a 0,..., d 3 e dati a 4,..., a 11 : 1. a 0 + a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 11 = 0 (modulo 31), e 2. 0 a k a k a k a 11 = 0 (modulo 31) per ogni k = 1, 2, 3. Risolvere queste 4 equazioni è un pò più complicato, tuttavia questo codice corregge 2 errori! Non ci sono ulteriori problemi per la stampa, in quanto il numero di simboli necessari non cambia rispetto al codice precedente. Ora, però, la parola viene decodificata in maniera errata solo se contiene almeno 3 errori. La probabilità che questo accada è inferiore a Dato che un libro contiene 600 mila simboli, ossia 75 mila parole di lunghezza 8 bit, il numero medio di parole errate nel libro è pari a 0, 15: è improbabile trovare anche un solo errore in tutto il libro! Scrivere un CD Abbiamo visto che il tasso di informazione in un CD è pari a 28/32 = 3/4; aver aggiunto un codice di correzione fa sì che la probabilità di avere un errore in un singolo bit è aumentata (è necessario scrivere un terzo di dati in più nello stesso supporto fisico). Un tipico CD contiene fino a mezzo milione di bit sbagliati. Inoltre, questi errori non avvengono a caso, ma sono raggruppati in singole zone dove sono molto numerosi: può facilmente accadere che qualche migliaio di bit consecutivi sia errato. Per ridurre questo problema, i CD vengono scritti in modo che i simboli vicini appartengano a parole diverse ( interleaving ). Come abbiamo visto nell esempio del libro, usare un codice migliore aumenta la precisione, ma richiede anche più calcoli. Nel caso del CD, ovviamente, il numero di calcoli non deve superare una certa soglia, altrimenti non si riuscirebbe a sentire la musica nei tempi corretti. 5

6 Scrivere un CD. Una delle ragioni per cui si è scelto di usare un doppio codice di tipo Reed-Solomon è che è possibile mostrare che i due codici lavorano insieme. Per descrivere la situazione, consideriamo i due codici C 1 e C 2, di tipo Reed-Solomon con parametri [28,24] e [32,28] rispettivamente; sappiamo che entrambi hanno distanza di errore 5. Scriviamo i dati in una matrice 24 28; questa matrice viene considerata come la parte iniziale di una matrice I restanti simboli sono scritti facendo in modo che ogni colonna (lunghezza 28) sia scritta nel codice C 1 e ogni riga (lunghezza 32) sia scritta nel codice C 2. Il codice prodotto che abbiamo ottenuto ha distanza di errore 25 e quindi può correggere fino a 12 errori in una parola (che, ricordiamo, è una matrice 28 32). Consideriamo il caso in cui vi siano 21 errori. Ad esempio, 12 colonne con un errore, una con 2, una con 3 e una con 4 errori. Beh, a prima vista non è possibile trattare questo caso. Decidiamo, comunque, di usare C 1 per correggere un solo errore. In questo modo, correggiamo le 12 colonne con un solo errore, ci accorgiamo che esistono due colonne con più di un errore e, infine, la cosa peggiore che può succedere è che il codice creda di aver corretto la colonna con 4 errori, portandoli invece a 5. Ora, vediamo qual è il trucco che sistema tutto. Cancelliamo le colonne con più di un errore e ci troviamo con 32 righe di lunghezza 28, che hanno tutte 2 elementi cancellati e di cui 27 non hanno altri errori mentre altre 5 hanno un solo altro errore. Dato che il codice C 2 corregge contemporaneamente 2 cancellature e un errore, allora possiamo recuperare tutti i dati corretti. 4 QR code Negli anni 90 la compagnia giapponese Denso Wave, allo scopo di tracciare i pezzi delle automobili nelle fabbriche Toyota, svilupparono un codice a barre bidimensionale che permetteva di memorizzare più dati rispetto ai codici a barre tradizionali. Nel 1995 Denso Wave ha rilasciato i codici QR sotto licenza libera e la NTT DoCoMo ha creato i-mode, un sistema per l utilizzo del web tramite telefono cellulare: in breve tempo i codici QR code divennero pervasivi nella vita giapponese. In Europa e negli Stati Uniti la diffusione dei codici QR è stata più lenta; una accelerazione è stata favorita anche dalla diffusione degli smartphone: sono molte le applicazioni gratuite di lettura dei QR distribuite sia dall Android Market, che da App Store o da altri siti web. Inoltre diversi siti offrono l opportunità di generare i codici gratuitamente. Al contrario dei precedenti barcode unidimensionali, che erano stati disegnati per essere passati meccanicamente da un raggio luminoso sottile e concentrato, un QR code è analizzato da un sensore di immagine bi-dimensionale e successivamente analizzato tramite un apposito programma. Il processo di codifica permette di realizzare un sistema abbastanza solido rispetto alle letture. Innanzitutto, il processo identifica i tre quadrati distintivi agli angoli dell immagine, usando un quadrato più piccolo (o un sistema di quadrati) vicino al quarto angolo per normalizzare l immagine rispetto alla dimensione, all orientamento e all angolo di visuale. I piccoli punti interni al QR code sono, successivamente, convertiti in numeri binari e validati con un codice a correzione di errore. Le parole usate dal codice sono di 8 bit e viene usato un codice Reed-Solomon con quattro possibili livelli di 6

7 correzione di errore. Ovviamente, la scelta è economica: maggiore la capacità di correggere errori, minore la capacità di stimare dati. La seguente tabella fornisce la capacità (indicativa) di correzione ad ogni livello: Livello percentuale di parole che possono essere corrette L (basso) 7% M (medio) 15% Q (quartile) 25% H (alto) 30%. Nei QR code più grandi, il messaggio è spezzato in numerosi blocchi, in ognuno dei quali si possono correggere fino a un massimo di 15 errori (questo, per poter gestire la complessità dell algoritmo di decodifica). I blocchi sono quindi interlacciati, facendo in modo che un danno localizzato in un QR code non impedisca la decodifica di nessun blocco. 7

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