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1 Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme B si chiama codominio A ciascun elemento x appartenente al dominio, corrisponde quindi un unico elemento y appartenente al codominio: si scrive y = f (x) e si legge "y è uguale a f di x". Si dice anche che y è immagine di x e che x è controimmagine di y. Funzioni / L'elemento chiave del concetto di funzione è la univocità: assegnata la variabile indipendente x, la variabile dipendente y è univocamente determinata. Ad esempio se scrivo = x ho una funzione, mentre se scrivo = ± x non ho una funzione (il valore di f(x) non è univocamente determinato). Esistono molti tipi di funzione: numeriche, logiche, insiemistiche, anagrafiche, testuali.. Ad esempio unione, intersezione e complemento sono funzioni insiemistiche. Noi ci concentreremo sulle funzioni numeriche (x e y sono numeri, il dominio è un sottoinsieme di R, B=R). 1

2 Grafico di una funzione Il grafico di una funzione è il sottoinsieme del piano costituito dalle coppie (x,f(x)), al variare di x nel dominio D. Formalmente {( x, y) R x D, y } G = = Ad esempio il grafico della parabola y=x è il seguente: Proprietà del grafico di una funzione Quali tra i seguenti sottoinsiemi di R NON possono rappresentare il grafico di una funzione? Perché? a) Retta verticale b) Circonferenza c) Retta orizzontale d) Iperbole equilatera

3 Il dominio di una funzione Per trovare il dominio di una funzione le regole più importanti sono: i) il denominatore di una frazione deve essere sempre diverso da 0 ii) l argomento di una radice quadrata deve essere sempre maggiore o uguale a 0 iii) l argomento di un logaritmo deve essere sempre strettamente maggiore di 0 Ad esempio consideriamo = ln( x 1 ) x 1 Ci sono più condizioni che devono valere contemporaneamente; dovremo quindi impostare un sistema. Dovrà essere: = ln( x x 1 0 (denominatore diverso da 0) x 1, x 1 x 1 x > 1 x 1 ) x 1 Il dominio - esempio 1 0 (argomentodella radice maggiore o ugualea 0) x 1 > 0 (argomento del logaritmostrettamente positivo) x 1 che corrispondono a che messe a sistema mi danno semplicemente x > 1. 3

4 Ulteriori restrizioni Quello che abbiamo visto finora si chiama anche il dominio naturale di una funzione; è determinato da considerazioni di carattere puramente matematico. Nelle applicazioni però spesso si fanno ulteriori restrizioni sul dominio, motivate dalla natura della variabile indipendente x. Ad esempio: se x è una quantità di bene che produco o consumo, allora x>0 se x è un quantitativo di azioni di una certa società che detengo, allora x>0 (anche se a volte posso usare x<0 per rappresentare la vendita allo scoperto ) se x esprime il peso di una parte in un tutto, allora 0<x<1 analogamente, se x è una percentuale, allora 0<x<100 infine, se x è un tasso di interesse, allora x>-1 Perche? Il tasso di interesse Anticipiamo alcuni concetti elementari di matematica finanziaria. Se indico con C il capitale che detengo oggi (capitale iniziale) e se indico con M il capitale che detengo al termine della operazione (capitale finale o montante), allora l importo I = M C si chiama l interesse della operazione; l esempio più comune sono gli interessi che a fine anno vengono accreditati sul nostro conto in banca. La quantità i = I C M C = C si chiama invece tasso di interesse (anticamente saggio di interesse). Non è detto che sia i>0 (soprattutto se, come fanno gli economisti, consideriamo tassi di interesse espressi in termini reali ); possiamo dire che M M C C > 0, C > 0; quindi i = > = 1 C C 4

5 Funzioni iniettive Torniamo a concetti più generali. Abbiamo visto che a ciascun x corrisponde sempre una unica immagine y=f(x). E vero anche che ciascun y proviene da un unica x, cioè che ciascun y ha un unica controimmagine x, tale che y=f(x)? La risposta è no, basta pensare di nuovo alla parabola: Funzioni iniettive / Le funzioni che godono di questa proprietà si chiamano funzioni iniettive. Diamone una definizione precisa: Si dice che con x 1 f:d R è iniettiva se x, x x,si ha che f ( x ) 1 f ( x ) 1 D, In parole diciamo che f è iniettiva se punti distinti hanno immagini distinte; cioè se è impossibile che un punto abbia più di una controimmagine. Quali delle seguenti funzioni sono iniettive? a) f(x)=x 3 b) f(x)=x 4 c) f(x)=ln(x) d) f(x)=(1-x)/(1+x) 5

6 Disegniamo i grafici di a), b) e c): Funzioni iniettive /3 Funzioni iniettive /4 Per quanto riguarda la funzione d), vediamo quante soluzioni ha la equazione f(x)=y: 1 x = y ponendo x 1otteniamo 1+ x 1 x = y(1 + x) cioè 1-y = x( 1+ y) da cui 1 x = 1+ y y Quindi ogni y ha al più una controimmagine x, individuata da questa espressione. La funzione è quindi iniettiva. 6

7 Insieme immagine di f L insieme di tutte le immagini dei punti del dominio si chiama insieme immagine di f, per brevità immagine di f. Formalmente { y R x D per cui y f(x) } Im(f) = = Quali sono gli insiemi immagine delle funzioni dell esempio precedente? a) f(x)=x 3 b) f(x)=x 4 c) f(x)=ln(x) d) f(x)=(1-x)/(1+x) Funzioni suriettive Una funzione si dice suriettiva se il suo insieme immagine coincide con R; formalmente f è suriettiva se Im(f)=R. In questo caso ogni numero reale y ha almeno una controimmagine. Quali delle funzioni dell esempio precedente a) f(x)=x 3 b) f(x)=x 4 c) f(x)=ln(x) d) f(x)=(1-x)/(1+x) sono suriettive? 7

8 Corrispondenze biunivoche Abbiamo visto che una funzione f è iniettiva se ogni y ha al più una controimmagine; e che è suriettiva se ogni y ha almeno una controimmagine. Ne segue che una funzione è contemporaneamente iniettiva e suriettiva se ogni punto ha esattamente una controimmagine; ogni y proviene da un unica x. In questo caso si dice che f è una corrispondenza biunivoca; ad ogni x corrisponde un unica y e ad ogni y corrisponde un unica x. In questo caso si dice anche che la funzione f è invertibile, nel senso che dato y posso determinare univocamente x. La funzione che a y associa il corrispondente x si chiama la funzione inversa di f (torneremo sull argomento) Funzioni lineari Le funzioni più semplici sono le funzioni lineari. Una funzione lineare ha la proprietà che l immagine della somma coincide con la somma delle immagini: f ( x1 + x) = f ( x1 ) + Le funzioni che soddisfano questa proprietà sono le rette passanti per l origine, che hanno equazione = mx La generica retta si chiama anche funzione affine e ha equazione = mx + q Come è ben noto m rappresenta il coefficiente angolare (pendenza) e q rappresenta il termine noto (intercetta). La tecnica statistica che cerca di individuare relazioni di questo tipo tra variabili economiche si chiama regressione lineare. 8

9 Funzioni definite a tratti In molte situazioni una funzione viene definita in modo diverso in diverse parti del dominio; un esempio che abbiamo già incontrato è il valore assoluto (o modulo) di x: x se x 0 x = x se x < 0 Un altro esempio è la funzione rettangolare (o uniforme), definita come 0 se x < 0 = 1se 0 x 1 0 se x > 1 Funzioni lineari a tratti Nei due casi considerati ciascun tratto è una retta; funzioni di questo tipo vengono chiamate funzioni lineari a tratti. Ad esempio la funzione parte positiva di x è definita come x + x se x 0 = max(x, 0 ) = 0 se x < 0 Oppure la funzione triangolare è definita come 0 se x < 0 x se 0 x < 1 = -x se1 x 0 se x > 9

10 I payoff delle opzioni call e put Le funzioni lineari a tratti sono particolarmente importanti in finanza in quanto rappresentano i payoff dei più semplici strumenti derivati: le opzioni call e put. Una opzione call dà il diritto (ma non l obbligo) di acquistare un certo titolo (ad esempio un azione) a un prezzo prefissato K (strike price) a una scadenza prefissata T (maturity). Se indico il prezzo della azione a scadenza con S T, sarà conveniente esercitare il diritto di acquisto soltanto se S T > K; e in questo caso il diritto vale S T K. Se invece S T <K, non conviene esercitare il diritto, ed il suo valore è pertanto nullo. Riassumendo, il valore della call a scadenza è dato dalla funzione ST K se ST > K C( ST ) = = max(st K,0) = (ST K) 0 se ST K E se si fosse trattato di un diritto a vendere (opzione put)? + Quiz matematico In questa addizione in colonna, ciascuna lettera corrisponde a una cifra tra 0 e 9: M S M O E O N N R E D E Y + = Determinare gli addendi e il totale. 10

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