Funzioni. Funzioni /2

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Funzioni. Funzioni /2"

Transcript

1 Funzioni Una funzione f è una corrispondenza tra due insiemi A e B che a ciascun elemento di A associa un unico elemento di B. Si scrive: f : A B l'insieme A si chiama il dominio della funzione f, l'insieme B si chiama codominio A ciascun elemento x appartenente al dominio, corrisponde quindi un unico elemento y appartenente al codominio: si scrive y = f (x) e si legge "y è uguale a f di x". Si dice anche che y è immagine di x e che x è controimmagine di y. Funzioni / L'elemento chiave del concetto di funzione è la univocità: assegnata la variabile indipendente x, la variabile dipendente y è univocamente determinata. Ad esempio se scrivo = x ho una funzione, mentre se scrivo = ± x non ho una funzione (il valore di f(x) non è univocamente determinato). Esistono molti tipi di funzione: numeriche, logiche, insiemistiche, anagrafiche, testuali.. Ad esempio unione, intersezione e complemento sono funzioni insiemistiche. Noi ci concentreremo sulle funzioni numeriche (x e y sono numeri, il dominio è un sottoinsieme di R, B=R). 1

2 Grafico di una funzione Il grafico di una funzione è il sottoinsieme del piano costituito dalle coppie (x,f(x)), al variare di x nel dominio D. Formalmente {( x, y) R x D, y } G = = Ad esempio il grafico della parabola y=x è il seguente: Proprietà del grafico di una funzione Quali tra i seguenti sottoinsiemi di R NON possono rappresentare il grafico di una funzione? Perché? a) Retta verticale b) Circonferenza c) Retta orizzontale d) Iperbole equilatera

3 Il dominio di una funzione Per trovare il dominio di una funzione le regole più importanti sono: i) il denominatore di una frazione deve essere sempre diverso da 0 ii) l argomento di una radice quadrata deve essere sempre maggiore o uguale a 0 iii) l argomento di un logaritmo deve essere sempre strettamente maggiore di 0 Ad esempio consideriamo = ln( x 1 ) x 1 Ci sono più condizioni che devono valere contemporaneamente; dovremo quindi impostare un sistema. Dovrà essere: = ln( x x 1 0 (denominatore diverso da 0) x 1, x 1 x 1 x > 1 x 1 ) x 1 Il dominio - esempio 1 0 (argomentodella radice maggiore o ugualea 0) x 1 > 0 (argomento del logaritmostrettamente positivo) x 1 che corrispondono a che messe a sistema mi danno semplicemente x > 1. 3

4 Ulteriori restrizioni Quello che abbiamo visto finora si chiama anche il dominio naturale di una funzione; è determinato da considerazioni di carattere puramente matematico. Nelle applicazioni però spesso si fanno ulteriori restrizioni sul dominio, motivate dalla natura della variabile indipendente x. Ad esempio: se x è una quantità di bene che produco o consumo, allora x>0 se x è un quantitativo di azioni di una certa società che detengo, allora x>0 (anche se a volte posso usare x<0 per rappresentare la vendita allo scoperto ) se x esprime il peso di una parte in un tutto, allora 0<x<1 analogamente, se x è una percentuale, allora 0<x<100 infine, se x è un tasso di interesse, allora x>-1 Perche? Il tasso di interesse Anticipiamo alcuni concetti elementari di matematica finanziaria. Se indico con C il capitale che detengo oggi (capitale iniziale) e se indico con M il capitale che detengo al termine della operazione (capitale finale o montante), allora l importo I = M C si chiama l interesse della operazione; l esempio più comune sono gli interessi che a fine anno vengono accreditati sul nostro conto in banca. La quantità i = I C M C = C si chiama invece tasso di interesse (anticamente saggio di interesse). Non è detto che sia i>0 (soprattutto se, come fanno gli economisti, consideriamo tassi di interesse espressi in termini reali ); possiamo dire che M M C C > 0, C > 0; quindi i = > = 1 C C 4

5 Funzioni iniettive Torniamo a concetti più generali. Abbiamo visto che a ciascun x corrisponde sempre una unica immagine y=f(x). E vero anche che ciascun y proviene da un unica x, cioè che ciascun y ha un unica controimmagine x, tale che y=f(x)? La risposta è no, basta pensare di nuovo alla parabola: Funzioni iniettive / Le funzioni che godono di questa proprietà si chiamano funzioni iniettive. Diamone una definizione precisa: Si dice che con x 1 f:d R è iniettiva se x, x x,si ha che f ( x ) 1 f ( x ) 1 D, In parole diciamo che f è iniettiva se punti distinti hanno immagini distinte; cioè se è impossibile che un punto abbia più di una controimmagine. Quali delle seguenti funzioni sono iniettive? a) f(x)=x 3 b) f(x)=x 4 c) f(x)=ln(x) d) f(x)=(1-x)/(1+x) 5

6 Disegniamo i grafici di a), b) e c): Funzioni iniettive /3 Funzioni iniettive /4 Per quanto riguarda la funzione d), vediamo quante soluzioni ha la equazione f(x)=y: 1 x = y ponendo x 1otteniamo 1+ x 1 x = y(1 + x) cioè 1-y = x( 1+ y) da cui 1 x = 1+ y y Quindi ogni y ha al più una controimmagine x, individuata da questa espressione. La funzione è quindi iniettiva. 6

7 Insieme immagine di f L insieme di tutte le immagini dei punti del dominio si chiama insieme immagine di f, per brevità immagine di f. Formalmente { y R x D per cui y f(x) } Im(f) = = Quali sono gli insiemi immagine delle funzioni dell esempio precedente? a) f(x)=x 3 b) f(x)=x 4 c) f(x)=ln(x) d) f(x)=(1-x)/(1+x) Funzioni suriettive Una funzione si dice suriettiva se il suo insieme immagine coincide con R; formalmente f è suriettiva se Im(f)=R. In questo caso ogni numero reale y ha almeno una controimmagine. Quali delle funzioni dell esempio precedente a) f(x)=x 3 b) f(x)=x 4 c) f(x)=ln(x) d) f(x)=(1-x)/(1+x) sono suriettive? 7

8 Corrispondenze biunivoche Abbiamo visto che una funzione f è iniettiva se ogni y ha al più una controimmagine; e che è suriettiva se ogni y ha almeno una controimmagine. Ne segue che una funzione è contemporaneamente iniettiva e suriettiva se ogni punto ha esattamente una controimmagine; ogni y proviene da un unica x. In questo caso si dice che f è una corrispondenza biunivoca; ad ogni x corrisponde un unica y e ad ogni y corrisponde un unica x. In questo caso si dice anche che la funzione f è invertibile, nel senso che dato y posso determinare univocamente x. La funzione che a y associa il corrispondente x si chiama la funzione inversa di f (torneremo sull argomento) Funzioni lineari Le funzioni più semplici sono le funzioni lineari. Una funzione lineare ha la proprietà che l immagine della somma coincide con la somma delle immagini: f ( x1 + x) = f ( x1 ) + Le funzioni che soddisfano questa proprietà sono le rette passanti per l origine, che hanno equazione = mx La generica retta si chiama anche funzione affine e ha equazione = mx + q Come è ben noto m rappresenta il coefficiente angolare (pendenza) e q rappresenta il termine noto (intercetta). La tecnica statistica che cerca di individuare relazioni di questo tipo tra variabili economiche si chiama regressione lineare. 8

9 Funzioni definite a tratti In molte situazioni una funzione viene definita in modo diverso in diverse parti del dominio; un esempio che abbiamo già incontrato è il valore assoluto (o modulo) di x: x se x 0 x = x se x < 0 Un altro esempio è la funzione rettangolare (o uniforme), definita come 0 se x < 0 = 1se 0 x 1 0 se x > 1 Funzioni lineari a tratti Nei due casi considerati ciascun tratto è una retta; funzioni di questo tipo vengono chiamate funzioni lineari a tratti. Ad esempio la funzione parte positiva di x è definita come x + x se x 0 = max(x, 0 ) = 0 se x < 0 Oppure la funzione triangolare è definita come 0 se x < 0 x se 0 x < 1 = -x se1 x 0 se x > 9

10 I payoff delle opzioni call e put Le funzioni lineari a tratti sono particolarmente importanti in finanza in quanto rappresentano i payoff dei più semplici strumenti derivati: le opzioni call e put. Una opzione call dà il diritto (ma non l obbligo) di acquistare un certo titolo (ad esempio un azione) a un prezzo prefissato K (strike price) a una scadenza prefissata T (maturity). Se indico il prezzo della azione a scadenza con S T, sarà conveniente esercitare il diritto di acquisto soltanto se S T > K; e in questo caso il diritto vale S T K. Se invece S T <K, non conviene esercitare il diritto, ed il suo valore è pertanto nullo. Riassumendo, il valore della call a scadenza è dato dalla funzione ST K se ST > K C( ST ) = = max(st K,0) = (ST K) 0 se ST K E se si fosse trattato di un diritto a vendere (opzione put)? + Quiz matematico In questa addizione in colonna, ciascuna lettera corrisponde a una cifra tra 0 e 9: M S M O E O N N R E D E Y + = Determinare gli addendi e il totale. 10

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1

.y 6. .y 4. .y 5. .y 2.y 3 B C C B. B f A B f -1 Funzioni FUNZIONI Una funzione è una relazione fra due insiemi non vuoti e, che associa ad ogni elemento uno e un solo elemento. In simboli si scrive: = oppure. x 1. x..y B C.y 5 x 4..y 4 L elemento è

Dettagli

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura

Dettagli

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x) 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

Anno 3. Classificazione delle funzioni

Anno 3. Classificazione delle funzioni nno 3 Classificazione delle funzioni 1 Introduzione In questa lezione affronteremo lo studio delle principali proprietà delle funzioni, imparando a classificarle e a compiere alcune operazioni su esse.

Dettagli

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Funzioni. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Funzioni Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

Le funzioni reali di variabile reale

Le funzioni reali di variabile reale Prof. Michele Giugliano (Gennaio 2002) Le funzioni reali di variabile reale ) Complementi di teoria degli insiemi. A) Estremi di un insieme numerico X. Dato un insieme X R, si chiama maggiorante di X un

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

Cos è una funzione? (x,y) Є f o y=f(x)

Cos è una funzione? (x,y) Є f o y=f(x) Cos è una funzione? Dati gli insiemi X e Y non vuoti, si chiama funzione da in una relazione f tale che per ogni x Є X esiste uno ed un solo elemento y Є Y tale che (x,y) Є f. Data la funzione f:x->r,

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi

Dispense di Matematica Analisi Matematica. Riccarda Rossi Dispense di Matematica Analisi Matematica Riccarda Rossi Corso di Laurea in Disegno Industriale Università degli Studi di Brescia Anno Accademico 2009/2010 2 Capitolo 1 Nozioni preliminari 4 Riccarda Rossi

Dettagli

FUNZIONI LINEARI. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO. Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo = +

FUNZIONI LINEARI. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO. Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo = + FUNZIONI LINEARI. FUNZIONE VALORE ASSOLUTO Si chiama funzione lineare (o funzione affine) una funzione del tipo = + dove m e q sono numeri reali fissati. Il grafico di tale funzione è una retta, di cui

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA CORSI DELL INDIRIZZO PROFESSIONALE. Classi prime: Operatore grafico

PROGRAMMA DI MATEMATICA CORSI DELL INDIRIZZO PROFESSIONALE. Classi prime: Operatore grafico PROGRAMMA DI MATEMATICA CORSI DELL INDIRIZZO PROFESSIONALE - classi accreditate alla formazione professionale regionale: Classi prime: Operatore grafico Modulo 1: I numeri con particolare riferimento alle

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica...

1 Grafico di una funzione reale 1. 2 Funzioni elementari 2 2.1 Funzione potenza... 2 2.2 Funzione esponenziale... 3 2.3 Funzione logaritmica... UNIVR Facoltà di Economia Sede di Vicenza Corso di Matematica Funzioni reali di variabile reale Indice Grafico di una funzione reale 2 Funzioni elementari 2 2. Funzione potenza................................................

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni

Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti Equazioni e Disequazioni Ripasso generale relativo alla risoluzione di equazioni, disequazioni,

Dettagli

Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche «Mario Serio»

Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche «Mario Serio» PRECORSO 2014 Problemi di Matematica Giovanni Romano Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche «Mario Serio» PRECORSO 2014: ciclo formativo di orientamento alle prove di ammissione ai

Dettagli

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari

Funzioni. Capitolo 6. 6.1 Concetto di funzione e definizioni preliminari Capitolo 6 Funzioni 6. Concetto di funzione e definizioni preliminari Definizione 6. Dati due insiemi non vuoti D e C, si dice applicazione o funzione una qualsiasi legge (relazione) che associa ad ogni

Dettagli

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

4. Funzioni elementari algebriche

4. Funzioni elementari algebriche ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 4. Funzioni elementari algebriche A. A. 2013-2014 1 Funzioni elementari Sono dette elementari un insieme di funzioni dalle quali si ottengono, mediante

Dettagli

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2

RDefinizione (Funzione) . y. . x CAPITOLO 2 CAPITOLO 2 Funzioni reali di variabile reale Nel capitolo precedente è stata introdotta la nozione generale di funzione f : A B, con A e B insiemi arbitrari. Nel presente capitolo si analizzeranno più

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10

1 Appunti a cura di prof.ssa MINA Maria Letizia integrati e pubblicati in data 12/10/10 FUNZIONE OMOGRAFICA ASINTOTO VERTICALE: ASINTOTO ORIZZONTALE: 1 abbiamo verificato che, applicando all iperbole equilatera base, la dilatazione verticale di coefficiente 7 e la traslazione di vettore di

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO

CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 PROGRAMMA SVOLTO CLASSE terza SEZIONE E A.S. 2014-15 L insieme dei numeri razionali. Equazioni e disequazioni di primo grado Sistemi di equazioni e disequazioni di primo grado.. IL PIANO CARTESIANO Il piano cartesiano.

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica Programma svolto di MATEMATICA Anno scolastico 2013/14 ELEMENTI DI RACCORDO CON LA SCUOLA MEDIA GLI INSIEMI CALCOLO LETTERALE GEOMETRIA - Ordinamento, proprietà,

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 LIBRO DI TESTO:L. Sasso Nuova Matematica a colori Algebra e Geometria 1 edizione Azzurra ed. Petrini TEMA A I numeri e linguaggio della Matemati Unità 1

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

+... + a n. a 0 x n + a 1 x n 1. b 0 x m + b 1 x m 1. +... + b m 0. Funzioni reali di variabile reale. Definizione classica. Funzioni razionali

+... + a n. a 0 x n + a 1 x n 1. b 0 x m + b 1 x m 1. +... + b m 0. Funzioni reali di variabile reale. Definizione classica. Funzioni razionali Funzioni reali di variabile reale Una reale di variabile reale è una funzione nella quale il dominio d è un sottoinsieme di r e il condominio c è anch esso un sottoinsieme di r. F:r r Definizione classica.

Dettagli

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3

modulo A1.1 modulo A1.2 livello A1 modulo A2.1 modulo A2.2 matematica livello A2 livello A3 livello A1 modulo A1.1 modulo A1.2 matematica livello A2 modulo A2.1 modulo A2.2 livello A insiemi e appartenenza interpretazione grafica nel piano traslazioni proprietà commutatività associatività elemento

Dettagli

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio?

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio? Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a disposizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile

Dettagli

I.I.S. "MARGHERITA DI SAVOIA" a.s. 20014-2015 LICEO LINGUISTICO classe I BL Programma di MATEMATICA

I.I.S. MARGHERITA DI SAVOIA a.s. 20014-2015 LICEO LINGUISTICO classe I BL Programma di MATEMATICA classe I BL Numeri naturali L insieme dei numeri naturali e le quattro operazioni aritmetiche. Le potenze. Espressioni. Divisibilità, numeri primi. M.C.D. e m.c.m. Numeri interi relativi L insieme dei

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2)) Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,

Dettagli

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora

Dettagli

ATTIVITÀ DEL SINGOLO DOCENTE

ATTIVITÀ DEL SINGOLO DOCENTE PIANO DI LAVORO DOCENTE Carmela Calò MATERIA Matematica DESTINATARI 4Cl ANNO SCOLASTICO 2013-14 COMPETENZE CONCORDATE CON CONSIGLIO DI CLASSE Si veda la programmazione comune del CdC COMPETENZE CONCORDATE

Dettagli

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE PIANO ANNUALE a.s. 2012/2013 CLASSI PRIME tecnico 4 ORE Settembre Ottobre Novembre dicembre dicembre gennaio- 15 aprile 15 aprile 15 maggio Somministrazione di test di ingresso. Insiemi numerici Operazioni

Dettagli

Guida rapida - versione Web e Tablet

Guida rapida - versione Web e Tablet Guida rapida - versione Web e Tablet Cos è GeoGebra? Un pacchetto completo di software di matematica dinamica Dedicato all apprendimento e all insegnamento a qualsiasi livello scolastico Gestisce interattivamente

Dettagli

Matematica e Statistica

Matematica e Statistica Matematica e Statistica Prova d esame (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/07/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA

PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15. Insegnante: Roberto Bottazzo Materia: FISICA PROGRAMMA SVOLTO - CLASSE PRIMA sez. R - ITT. ALGAROTTI - A.S. 2014/15 Materia: FISICA 1) INTRODUZIONE ALLA SCIENZA E AL METODO SCIENTIFICO La Scienza moderna. Galileo ed il metodo sperimentale. Grandezze

Dettagli

Le nozioni fondamentali

Le nozioni fondamentali Le nozioni fondamentali Il concetto di funzione che abbiamo introdotto nel capitolo 5 di Algebra si è molto arricchito. Lavorando nel piano cartesiano, abbiamo familiarizzato con il passaggio dalla scrittura

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

I Insiemi e funzioni

I Insiemi e funzioni I Insiemi e funzioni 1. INSIEMI ED OPERAZIONI SU DI ESSI 1.1. Insiemi Dal punto di vista intuitivo, il concetto di insieme può essere fatto corrispondere all atto mentale mediante il quale associamo alcuni

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane)

MATEMATICA. PRIMO ANNO (Liceo Classico e Liceo delle Scienze Umane) 1/7 PRIMO ANNO Testo consigliato: BERGAMINI TRIFONE BAROZZI, Matematica.azzurro, vol. 1, Zanichelli Obiettivi minimi. Acquisire il linguaggio specifico della disciplina; sviluppare espressioni algebriche

Dettagli

Capitolo 5. Funzioni. Grafici.

Capitolo 5. Funzioni. Grafici. Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato

Dettagli

Richiami su alcuni concetti di base

Richiami su alcuni concetti di base PARTE I FUNZIONI DI UNA VARIABILE Capitolo Richiami su alcuni concetti di base Questo capitolo preliminare contiene una sintesi estremamente succinta delle principali nozioni e dei simboli matematici che

Dettagli

matematica per le terze

matematica per le terze istituto professionale versari-macrelli, cesena lorenzo pantieri matematica per le terze Dipartimento di Matematica Anno scolastico 2015-2016 Questo lavoro spiega il programma di matematica agli alun-

Dettagli

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica

Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica. Corso propedeutico di Matematica e Informatica Università degli studi di Brescia Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso di Laurea in Infermieristica a.a. 2006/2007 Docente Ing. Andrea Ghedi Lezione 2 IL PIANO CARTESIANO 1 Il piano cartesiano In un piano

Dettagli

G. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ

G. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ G. Pareschi GENERALITÀ SULLE FUNZIONI. CARDINALITÀ 1. Definizione di funzione Definizione 1.1. Siano X e Y due insiemi. Una funzione f da X a Y è un sottoinsieme del prodotto cartesiano: f X Y, tale che

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

Funzioni trascendenti

Funzioni trascendenti Funzioni trascendenti Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 17 novembre 007 Sommario Esponiamo la teoria fondamentale delle funzioni

Dettagli

Ancora sugli insiemi. Simbologia

Ancora sugli insiemi. Simbologia ncora sugli insiemi Un insieme può essere specificato in vari modi; il più semplice è fare un elenco dei suoi elementi. d esempio l insieme delle nostre lauree triennali è { EOOM, EON, EOMM, EOMK EOTU}

Dettagli

PROGRAMMAZIONE MATEMATICA BIENNIO A.S. 2014-2015

PROGRAMMAZIONE MATEMATICA BIENNIO A.S. 2014-2015 PROGRAMMAZIONE MATEMATICA BIENNIO A.S. 2014-2015 - Finalità della matematica - Promuovere le facoltà intuitive e logiche - Educare a procedimenti sperimentali oltre che di astrazione e di formazione dei

Dettagli

5 10 17 26 37 2,,,,,,... 2 3 4 5 6

5 10 17 26 37 2,,,,,,... 2 3 4 5 6 MATEMATICA GENERALE 2014 - CTF Funzioni e successioni - Esercizi Docente: ALESSANDRO GAMBINI 1. a) Rappresenta mediante espressione analitica la seguente successione numerica. Motiva la tua risposta. 5

Dettagli

IL CONCETTO DI FUNZIONE

IL CONCETTO DI FUNZIONE IL CONCETTO DI FUNZIONE Il concetto di funzione è forse il concetto più importante per la matematica: infatti la matematica e' cercare le cause, le implicazioni, le conseguenze e l'utilità di una funzione

Dettagli

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2.

Esercizi su dominio limiti continuità - prof. B.Bacchelli. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.1, 3.2. Esercizi su dominio iti continuità - prof. B.Bacchelli Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3., 3.2. - Esercizi 3., 3.2. ESERCIZI * Determinare e disegnare il dominio delle seguenti

Dettagli

PROGRAMMA di MATEMATICA

PROGRAMMA di MATEMATICA Liceo Scientifico F. Lussana - Bergamo PROGRAMMA di MATEMATICA Classe 3^ I a.s. 2014/15 - Docente: Marcella Cotroneo Libro di testo : Leonardo Sasso "Nuova Matematica a colori 3" - Petrini Ore settimanali

Dettagli

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio?

Considero 2x e sostituisco elemento del dominio con x, 2(-3)=6, oppure e il doppio? Avvertenza: Le domande e a volte le risposte, sono tratte dal corpo del messaggio delle mails in cui non si ha a disposizione un editor matematico e quindi presentano una simbologia non corretta, ma comprensibile

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

ISTITUTO TECNICO STATALE CESARE BATTISTI SALO. PIANO DI LAVORO DEL DOCENTE anno scolastico 2015/2016

ISTITUTO TECNICO STATALE CESARE BATTISTI SALO. PIANO DI LAVORO DEL DOCENTE anno scolastico 2015/2016 PIANO DI LAVORO DEL DOCENTE anno scolastico 2015/2016 Prof. Giancarlo Ribelli MATERIA: Matematica classe 3 TMO n. ore settimanali: 3 monte orario annuale: 99 CONOSCENZE 1 ALGEBRA: Equazioni intere e fratte

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

Funzioni reali di più variabili reali

Funzioni reali di più variabili reali Funzioni reali di più variabili reali Generalità. Indichiamo con R n il prodotto cartesiano di R per sé stesso, n volte: R n = {(, 2,, n ) ;! R,, n!r}. Quando n = 2 oppure n = 3 indicheremo le coordinate

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 015 1. Indicando con i minuti di conversazione effettuati nel mese considerato, la spesa totale mensile in euro è espressa dalla funzione f()

Dettagli

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1

a) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1 LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria

OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria LICEO SCIENTIFICO STATALE CAVOUR Via delle Carine 1 - ROMA Commissione Orientamento in Uscita Comunicazione n. 2013/006 Data: 29-11-2013 OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria

Dettagli

PROGRAMMAZIONE MODULARE DI MATEMATICA CLASSE SECONDA INDIRIZZI: AMMINNISTRAZIONE FINANZA E MARKETING - TURISMO SEZIONE TECNICO

PROGRAMMAZIONE MODULARE DI MATEMATICA CLASSE SECONDA INDIRIZZI: AMMINNISTRAZIONE FINANZA E MARKETING - TURISMO SEZIONE TECNICO PROGRAMMAZIONE MODULARE MATEMATICA CL SECONDA INRIZZI: AMMINNISTRAZIONE FINANZA E MARKETING - TURISMO SEZIONE TECNICO MODULO 1 : Frazioni algebriche ed equazioni fratte C1, M1, M3 Determinare il campo

Dettagli

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3

Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 1 FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI 1 1 Funzioni di più variabili Sono definite in sottoinsiemi di R n (n N), a valori in R Ci si limiterà al caso di R 2 o di R 3 Definizione 1.1 Dati D R 2 e f : D R, l insieme

Dettagli

Programma di Matematica

Programma di Matematica Programma di Matematica Modulo 1. Topologia in R 2. Funzioni in R 3. Limite e continuità di una funzione Unità didattiche Struttura algebrica di R Insiemi reali limitati e illimitati Intorno di un punto

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia

DERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 In un piano, riferito

Dettagli

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello

FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello FUNZIONI DI DUE VARIABILI: graöci 3D e curve di livello Una funzione di due variabili Ë una funzione in cui per ottenere un valore numerico bisogna speciöcare il valore di 2 variabili x e y, non pi di

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA

PROGRAMMAZIONE DIDATTICA RIFERITA ALLA DISCIPLINA :MATEMATICA Istituto Istruzione Superiore A. Venturi Modena Liceo artistico - Istituto Professionale Grafica Via Rainusso, 66-41124 MODENA Sede di riferimento (Via de Servi, 21-41121 MODENA) tel. 059-222156 / 245330

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

COORDINAMENTO PER MATERIE SETTEMBRE 2014

COORDINAMENTO PER MATERIE SETTEMBRE 2014 Pagina 1 di 8 COORDINAMENTO PER MATERIE SETTEMBRE 2014 AREA DISCIPLINARE [ ] Biennio, Attività e Insegnamenti di area generale (Settore Tecnologico) [ ] Biennio, Attività e Insegnamenti obbligatori di

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

ISTITUTO STATALE ISTRUZIONE SUPERIORE ZENALE E BUTINONE

ISTITUTO STATALE ISTRUZIONE SUPERIORE ZENALE E BUTINONE pag.1 ISTITUTO STATALE ISTRUZIONE SUPERIORE ZENALE E BUTINONE Vale la pena di insegnare un argomento solo se si ritiene di poterlo approfondire ad un punto tale da poter formulare domande non banali con

Dettagli

4. Strutture algebriche. Relazioni

4. Strutture algebriche. Relazioni Relazioni Sia R una relazione definita su un insieme A (cioè R A A). R si dice riflessiva se a A : ara R si dice simmetrica se a, b A : arb = bra R si dice antisimmetrica se a, b A : arb bra = a = b R

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso

Dettagli

Matematica e didattica della matematica Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria a.a. 2009-10 Docente: Ana Millán Gasca

Matematica e didattica della matematica Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria a.a. 2009-10 Docente: Ana Millán Gasca Matematica e didattica della matematica Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria a.a. 2009-10 Docente: LEZIONE 8 FUNZIONI. LA MATEMATICA PER CAPIRE IL MONDO CHE CI CIRCONDA SOMMARIO: 8.1 Funzioni.

Dettagli

11. Le funzioni composte

11. Le funzioni composte . Le funzioni composte Definizione Date le due funzioni f A B e g D C, dove f[ A] D, si dice funzione composta di f e g la funzione h A C che ad ogni elemento a Afa corrispondere l elemento g(()) f a Ce

Dettagli