Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza

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1 Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza rgomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei segnali Opportune trasformazioni consentono di risolvere più agevolmente un problema grazie a procedimenti che risultano semplificati nel dominio trasformato: es. il prodotto (divisione) tra due numeri si trasforma in una somma (sottrazione) dei corrispondenti logaritmi Una opportuna trasformazione delle informazioni disponibili consente di mettere in evidenza aspetti difficili da cogliere nel dominio originale in relazione a problemi specifici Nel caso di una grandezza definita nel tempo possiamo avere interesse a rappresentarla in diversi domini: nel tempo o storia temporale: x(t) [es: per monitoraggio] in frequenza o spettro in frequenza: X(ω) [ es. per conoscere il contenuto energetico] in ampiezza o distribuzione di probabilità: P((x)) [ es. per determinare la rugosità delle superfici o i carichi di fatica] Interesse per il passaggio tra i domini tempo e frequenza 2 Rappresentazione dei segnali La funzione f ( t) = a cos( ωt + ϕ) ammette una rappresentazione sintetica basata su tre elementi: ampiezza a, pulsazione ω e fase ϕ Naturale pensare ad una rappresentazione equivalente in un dominio trasformato, nel quale il tempo lascia il posto alla frequenza: l informazione è in una forma che: non dipende dall evoluzione temporale del segnale; esprime esclusivamente caratteristiche intrinseche del segnale. Le informazioni a disposizione rimangono le stesse. Generalizzando l approccio, funzioni (segnali) elementari composte da contributi tonali (sinusoidali discreti) possono intuitivamente essere analizzati nel dominio delle frequenze. 3 1

2 Rappresentazione dei segnali La scelta del dominio dipende dalle analisi che si vogliono condurre sui dati acquisiti: fenomeni di difficile interpretazione in un dominio possono risultare chiari in uno differente. Es. sovrapposizione di più sinusoidi a formare un unica risposta. TRSFORMT Operazione matematica che opera il cambio di dominio senza perdita di informazioni. Una trasformata è detta biunivoca se permette il passaggio da un dominio ad un dominio B ed esiste un altra trasformata, detta inversa, che permette quello dal dominio B al dominio. 4 Serie di Fourier Un segnale è periodico se esiste un intervallo temporale T, il periodo del segnale, trascorso il quale la grandezza in esame si ripete uguale a sé stessa, cioè se soddisfa la relazione: f (t) = f (t + kt) con k = 1, 2, Un segnale di questa natura ammette una rappresentazione attraverso il noto sviluppo in Serie di Fourier: Forma reale f ( t) = a + an cos( nω t) + bn sin( nω t) n= 1 1 π an = f ( t)cos( nω t) dt 1 π 2π π a = f ( t) dt 2π π 1 π bn = f ( t)sin( nω t) dt 2π π Forma Complessa f ( t) 1 2π = n= bbiamo quindi uno strumento analitico per la gestione del problema: determinazione di ampiezza fase di tutte le armoniche che compongono il segnale (trasformazione); 5 ricostruzione della funzione (antitrasformazione). c e n jnωt π jnωt cn = f ( t) e dt π Serie di Fourier Caratteristiche: è una trasformata dal dominio del tempo al dominio della frequenza; si applica a funzioni continue (segnali analogici); si applica a segnali periodici nel tempo (quindi esclude quasi tutti i segnali reali); genera uno spettro di frequenze discreto; non ha applicazioni pratiche negli elaboratori a causa della forma integrale dei coefficienti. Necessari due sviluppi per avere: applicabilità ad una classe più ampia di segnali; utilizzabilità nell ambito di modelli discreti. 6 2

3 J.B. Fourier e l analisi in frequenza Dobbiamo al matematico francese Jean Baptiste Fourier ( ) la tecnica di scomposizione di un segnale nelle sue componenti armoniche grazie alla serie omonima e alla sua generalizzazione al continuo: l integrale di Fourier ttenzione all integrale come approccio più generale. 7 Integrale di Fourier L integrale di Fourier definisce la trasformazione più generale tra tempo e frequenza (Fourier la vedeva come trasformazione pura). Trasformata diretta: Il contenuto di informazioni passa inalterato attraverso questa trasformazione che pertanto è reversibile. Trasformata inversa: j 2π ft H ( f ) = h( t) e dt jωt H ( ω) = h( t) e dt j 2π ft h( t) = H ( f ) e df 1 jωt h( t) = H ( ω) e dω 2π Le funzioni coinvolte sono continue, complesse e infinite nel tempo ed in frequenza (- <t<, - < f< ). Nonostante la definizione (- < f< ), la rappresentazione tipica in frequenza è solo per valori positivi: ( f < ). 8 Frequenza Pulsazione Frequenza Pulsazione Integrale di Fourier Caratteristiche dell integrale di Fourier: si applica a funzioni continue nel dominio del tempo; genera funzioni continue nel dominio delle frequenze; se f(t) è reale (come nelle nostre applicazioni) vale la simmetria hermitiana: F(ω)=F*(-ω) (parte reale simmetrica e parte immaginaria antisimmetrica) si applica sia a funzioni periodiche che non periodiche; come la serie non può essere applicato direttamente alle logiche di un elaboratore. 9 3

4 La rappresentazione della trasformata di Fourier 1 La rappresentazione Per le funzioni reali la rappresentazione è univoca. Integrale e serie di Fourier, cioè il contenuto in frequenza, sono funzioni complesse, in senso matematico, della frequenza. Sono richieste adeguate modalità di visualizzazione per renderne apprezzabile il contenuto informativo. 11 La rappresentazione Parte reale/immaginaria vs frequenza 12 4

5 Rappresentazione di Nyquist Utilizzando lo schema dei fasori ogni armonica (frequenza, ampiezza e fase) può essere rappresentata da un punto nel piano Re-Im. Il diagramma con parte immaginaria vs parte reale prende il nome di diagramma di Nyquist. 13 Rappresentazione Spettrale Utilizzando lo schema dei fasori ogni armonica (frequenza, ampiezza e fase) può essere rappresentata su due diagrammi cartesiani con la frequenza in ascissa: ampiezza e fase. Sono detti diagrammi di Bode: G(f ) = Re(G(f )) 2 + Im(G(f )) 2 θ (f ) = tan 1 ( Im(G(f )) / Re(G(f ))) 14 Rappresentazione spettrale La rappresentazione spettrale può essere normalizzata, ad un valore di riferimento, e quindi avere valore unitario per una frequenza Tale rappresentazione viene usata anche per mostrare le funzioni di trasferimento di un sistema (FRF) L interpretazione del diagramma, in particolare riguardo alla lettura della scala delle ordinate, deve tenere conto del significato intrinseco di Spettro, cioè ampiezza del segnale, e FRF, cioè ampiezza del rapporto fra segnale d uscita e d ingresso 15 5

6 Rappresentazione spettrale Utilità della rappresentazione con scala logaritmica nel dominio della frequenza rispetto alla raffigurazione nel tempo, es. sistema rotante. ppena apprezzabile nella storia temporale la presenza delle armoniche superiori Evidenti le armoniche superiori e il loro rapporto con la frequenza fondamentale 16 Rappresentazione numerica Utilizzo del Bel (da lexander Bell suo ideatore) definito come logaritmo del rapporto tra il valore in esame ed uno di riferimento specifico. Più comunemente utilizzato il decimo di Bel: decibel (db). db di Potenza: 1 log W/Wref db di Segnale: 2 log V/Vref Effetto sulla rappresentazione db Rapporto db Rapporto di Potenza di Segnale /2-6 1/2-1 1/1-2 1/1-2 1/1-4 1/1 ttenzione: i db non sono operatori lineari, quindi non si sommano! La somma di due rumori da 9 db porta a 93 db in quanto devo prima calcolare le due ampiezze lineari, sommarle e poi ricalcolare i db della somma ottenuta! 17 Esempi notevoli di trasformate di Fourier 18 6

7 Esempi di trasformata Funzione co-sinusoidale di frequenza f e di ampiezza. h( t) = cos(2 π f t) H ( f ) = δ ( f f ) + δ ( f + f ) La trasformata è costituita da due picchi di ampiezza /2 posizionati alla frequenze ± f. 19 Esempi di trasformata Funzione scatola (Box Function): nulla all esterno dell intervallo T T, di valore G all interno e G/2 in T e T. H ( f ) = 2GT sin(2 πt f ) 2π T f G θ ( f ) = 2π T f 2GT La trasformata è una sinusoide smorzata (continua, infinita ad ampiezza decrescente); i punti di zero sono equispaziati, k / (2 T ),il primo è ad una frequenza pari all inverso della dimensione temporale della scatola. Interessante perché può essere interpretata come una finestra di misura che limita l osservazione del tempo ad un intervallo finito. Esempi di trasformata Funzione impulso, nulla su tutto il dominio e di valore in un punto, es. t =. h( t) = δ ( t t ) H ( f ) = La trasformata è una funzione continua, infinita e costante. Il contenuto armonico è uniformemente distribuito su tutto lo spettro delle frequenze, ogni frequenza partecipa con la stessa ampiezza Una forzante impulsiva (ideale) eccita l intero spettro delle frequenze. 21 7

8 Esempi di trasformata Funzione costante nel dominio temporale. h( t) = H ( f ) = δ ( f f ) La trasformata è una funzione «impulso» collocata a frequenza nulla. Il contenuto armonico è nullo su tutto lo spettro: la sola componente presente corrisponde ad un termine costante L ampiezza di tale termine è pari al valore medio della funzione. 22 Esempi di trasformata Serie di impulsi equispaziati di un intervallo temporale T e di ampiezza unitaria. La trasformata è una funzione discreta di delta equispaziate di un intervallo di frequenza e ampiezza 1/T. 23 Linearità della trasformata Costante Sinusoide Costante+sinusoide 24 8

9 Derivata di una funzione Uno degli elementi che determina l importanza dell integrale di Fourier è costituito dalla possibilità di manipolare analiticamente i modelli. Si può infatti dimostrare che esiste una relazione tra la trasformata di una variabile e della sua derivata: ( ) ( ) j ω t jωt H ω h t e dt H ( ω) = = h ( t) e dt Integriamo per parti: jωt jωt j t H ω ( ω) = h ( t) e dt = h( t) e h( t)( jω) e dt = Il primo termine è nullo per le condizioni di esistenza di X(ω), quindi: j t H ω ( ω) = jω h( t) e dt = jω H ( ω) H ( ω) = jω H ( ω) 25 Derivata di una funzione Le conseguenze nell analisi dei sistemi dinamici lineari sono ben note, il sistema dinamico: mx ( t) + kx( t) = p( t) in frequenza diventa 2 ( ω m + k) X ( f ) = P( f ) Equazione facilmente risolvibile: non occorre integrare le equazioni di differenziali di equilibrio dinamico ma semplicemente risolvere una serie di sistemi lineari a coefficienti complessi per l ampiezza del carico ad ogni frequenza di interesse. Inoltre il sistema dinamico lineare può essere riscritto con una relazione ingresso-uscita lineare in frequenza: X ( f ) = H ( f ) P( f ) vendo introdotto la funzione di trasferimento del sistema H(f), funzione complessa della frequenza oltre che delle caratteristiche del sistema: 1 H ( f ) = 2 ( ω m + k) 26 Derivata di una funzione La funzione di trasferimento non è che la risposta ad un ingresso unitario in frequenza Se: P( f ) = 1 allora: H ( f ) = X ( f, P( f ) = 1) Poiché abbiamo visto che P(f) unitario significa una forzante impulsiva nel dominio del tempo, allora la funzione di trasferimento di un sistema lineare coincide con la risposta impulsiva del sistema stesso. 27 9

10 Il funzionamento 33 Il funzionamento Elaborazione algebrica in notazione esponenziale: i fasori. h( t) = cos(2πft ) θ = 2πft h( t) = cosθ = 2 2 iθ iθ ( cosθ + isinθ + cosθ isinθ ) = ( e + e ) = v1 + v2 Una sinusoide può essere interpretata come la somma di due vettori controrotanti nel piano complesso. Quindi l integrando della trasformata di Fourier, per il caso della sinusoide, può essere scritto come: h( t) e = e + e e = e + e 2 2 ( ) ( ) i2 π ft i θ i θ i θ i( θ θ ) i( θ + θ ) 34 Il funzionamento Calcolando la trasformata per la frequenza f i2π ft l esponenziale corrisponde ad una rotazione H ( f ) = h( t) e dt all indietro delle componenti armoniche di h(t) pari all angolo spazzato, a partire dal tempo zero, da un segnale armonico di frequenza f θ = 2π ft Il generico segnale h(t) può o meno presentare un contenuto armonico alla frequenza f per la quale si sta calcolando la trasformata Caso f = f : l angolo spazzato dai vettori controtanti coincide sempre con la rotazione all indietro definita dall esponenziale per ogni istante di tempo il segnale viene quindi riportato alla propria fase iniziale l integrale porta all ampiezza del segnale a f 35 1

11 Il funzionamento Calcolando la trasformata per la frequenza l esponenziale corrisponde ad una rotazione = all indietro delle componenti armoniche di h(t) pari all angolo spazzato, a partire dal tempo zero, da un segnale armonico di frequenza f θ = 2π ft Il generico segnale h(t) può o meno presentare un contenuto armonico alla frequenza per la quale si f sta calcolando la trasformata Caso f f : l angolo spazzato dai vettori controtanti non è mai uguale alla rotazione all indietro dell esponenziale la rotazione riporta i vettori controrotanti allo zero del tempo con una fase non coerente con quella iniziale Il contenuto armonico, dato dall integrale, è quindi nullo. f i2π ft H ( f ) h( t) e dt 36 Da ricordare Significato fisico dell operazione trasformata. Capacità di gestire la serie di Fourier come forma digitale della trasformata. Tecniche di rappresentazione. Elementi utili per l utilizzo dei moduli Matlab per l analisi di Fourier Con gli approfondimenti: Estensione del concetto di media al dominio delle frequenza. Elementi per la gestione di contenuti armonici variabili nel tempo Da ricordare La trasformata di Fourier è un potente mezzo di analisi che permette di: risolvere un problema analiticamente più semplice di quello originale, in particolare consentendoci di costruire modelli completamente generali delle operazioni svolte per elaborare i segnali temporali; di evidenziare delle caratteristiche del segnale che non sarebbero palesi limitando lo studio al dominio del tempo: capacità di determinare la distribuzione dell energia lungo lo spettro; possibilità di individuare i segnali di piccola ampiezza anche a frequenze elevate ed in presenza di armoniche più ampie

12 Domande? 39 12

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