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2 Capitolo 1 Introduzione alle Equazioni Differenziali 1.1 Esempio introduttivo Incominciamo con lo studio del seguente modello d esempio: Un serbatoio contiene inizialmente 50l di acqua e 50l di un altro liquido miscibile con acqua, ad esempio alcool. Successivamente nel serbatoio viene immessa acqua mediante un tubo che ha una portata di 5l/min, mentre contemporaneamente mediante un foro viene fatta fuoriuscire la soluzione ad un ritmo di 5l/min. Il contenuto del serbatoio viene continuamente rimescolato in modo che la percentuale di acqua e alcool rimanga costante in ogni punto della soluzione. Ci chiediamo: Quanto alcool rimane nel serbatoio dopo 1 ora? La difficoltà del problema stà nel fatto che la percentuale di alcool nel serbatoio varia nel tempo e per conoscere la quantità di alcool fuoriuscita dal serbatoio è necessario conoscere la percentuale di alcool presente in ogni istante nel serbatoio. Vediamo come trattare matematicamente il modello.

3 1.1. Esempio introduttivo 2 Denotiamo con ϕ(t) la quantità di alcool in litri presente nel serbatoio all istante t. Se consideriamo un generico intervallo di tempo [t, t + t], possiamo dire che ϕ(t + t) = ϕ(t) V a dove V a rappresenta il volume di alcool che esce dal serbatoio nell intervallo [t, t + t], valore che a noi non è noto. Osservazione 1. Poichè il volume totale V tot di acqua+alcool resta costante durante tutto il procedimento, avremo che all istante t P ercentuale di alcool ϕ(t) (V a + V H2 O) = ϕ(t) V tot = ϕ(t) Ora, se consideriamo t molto piccolo, possiamo supporre ragionevolmente che la percentuale di alcool rimanga costante nell intervallo di tempo [t, t + t]. Misurando i volumi in litri ed il tempo in minuti, otteniamo così la seguente approssimazione ϕ(t + t) ϕ(t) ϕ(t) 5 t = ϕ(t) ϕ(t) t dalla quale ricaviamo ϕ(t + t) ϕ(t) t ϕ(t) (1.1) Considerando quantità t sempre più piccole, quello che si ottiene è che l errore compiuto nell approssimazione diventa sempre più piccolo. Quello che facciamo in termini matematici è una operazione di limite: ϕ(t + t) ϕ(t) lim t 0 t = ϕ(t) Notiamo che non abbiamo più una approssimazione, bensì una uguaglianza! Supponendo che la quantità ϕ sia derivabile, dalla precedente relazione otteniamo ϕ (t) = ϕ(t) (1.2)

4 1.1. Esempio introduttivo 3 che risulta essere una equazione differenziale a variabili separabili. Osserviamo che la quantità ϕ(t) = 0 t R verifica l equazione (1.2) Questa è la soluzione che cercavamo? Possibile che non ci sia alcool nel serbatoio in qualunque istante io vada a misurare? Chiaramente la risposta è NO: infatti un dato del problema è ϕ(0) = 50 e questo non possiamo dimenticarlo nella modellizzazione del problema. Quello che otteniamo quindi risulta essere il seguente problema di Cauchy ϕ (t) = ϕ(t) ϕ(0) = 50 il quale è la giusta formulazione del problema. Si può facilmente verificare che la soluzione del problema (1.3) risulta essere (1.3) ϕ(t) = 50 e t/ (1.4) Risolviamo in maniera esplicita il problema di Cauchy (1.3). Essendo l equazione differenziale a variabili separabili, si procede nel seguente modo: ϕ (t) = ϕ(t) ϕ 50 Svolgendo gli integrali si ottiene per cui ln ϕ ln 50 = t ln ϕ 50 = t y (t) y(t) = t 0 1 dx e ricordando che la funzione logaritmo è invertibile otteniamo ϕ 50 = e t/ giungendo così a ϕ(t) = 50 e t/

5 1.1. Esempio introduttivo 4 Di seguito viene illustrato un metodo più rigoroso per arrivare all equazione (1.2). Sia ϕ una funzione continua. Denotiamo con 1 m(t, t) = il valore minimo di ϕ in [t, t + t] M(t, t) = il valore massimo di ϕ in [t, t + t] Allora il volume di alcool V a = ϕ(t) ϕ(t + t) che esce dal serbatoio nell intervallo di tempo [t, t + t] si ottiene moltiplicando la percentuale media di alcool nel serbatoio nell intervallo [t, t + t] per la quantità 5 t, ottenendo così m(t, t) 5 t V a M(t, t) 5 t Applicando il teorema dei valori intermedi 2 alla quantità l esistenza di un valore c [t, t + t] tale che V a = ϕ(c) 5 t da cui segue che Quindi ϕ(t) ϕ(t + t) = ϕ(c) 5 t ϕ(t) 5 t, esso ci assicura ϕ(t + t) ϕ(t) t = ϕ(c) (1.5) Notare che questa è una uguaglianza esatta e non una approssimazione! Effettuiamo ora l operazione di limite t 0 ad entrambi i membri della (1.5) ϕ(t + t) ϕ(t) lim t 0 t = lim t 0 ϕ(c) 1 Tali quantità sono ben definite in virtù del teorema di Weierstrass che assicura l esistenza di valore massimo e valore minimo per una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato. 2 Sia I R intervallo e f : I R continua. Allora f assume tutti i valori compresi tra inf I (f) e sup I (f). Questo significa che per ogni t R tale che inf I (f) t sup I (f) esiste c I tale che f(c) = t.

6 1.2. Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità 5 Essendo t c t + t segue che c t quando t 0 ed essendo ϕ continua segue che ϕ(c) ϕ(t). In questo modo, se ϕ è derivabile otteniamo ϕ (t) = ϕ(t) che è proprio l equazione (1.2) ottenuta con il primo metodo. A questo punto possiamo finalmente rispondere alla domanda che ci siamo posti all inizio: dopo un tempo t = 60 min rimangono nel serbatoio ϕ(60) = 50 e 60/ = 50 e litri di alcool Abbiamo visto in questo esempio come modellizzare un problema mediante una equazione differenziale. Nel prossimo paragrafo introdurremo un pò di nomenclatura e vedremo alcuni teoremi di esistenza ed unicità della soluzione. 1.2 Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità Definizione 1.1. Data F : R n+2 R, chiamiamo equazione differenziale di ordine n una relazione del tipo F (x, u(x), u (x), u (x),..., u (n 1) (x), u (n) (x)) = 0 (1.6) dove u (i) indica la derivata i esima della funzione u. Sia I R un intervallo. Chiamiamo soluzione (o integrale) dell equazione (1.6) una funzione y : I R che sia derivabile almeno n volte e che verifichi F (x, y(x), y (x), y (x),..., y (n 1) (x), y (n) (x)) = 0 x I (1.7)

7 1.2. Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità 6 Nell esempio introduttivo abbiamo ottenuto l equazione differenziale ϕ (t) = ϕ(t) Secondo le definizioni appena viste, in quel caso avremo F : R 3 R F (x, u(x), u (x)) = u(x) + u (x) (1.8) ed una soluzione sarà la funzione y : R R y(x) = 50 e x/ Infatti essa verifica la relazione F (x, y(x), y (x)) = y(x) + y (x) = 50 e x/ + ( 50 e x/ ) = 0 x R Osservazione 2. Notare che abbiamo scritto ed una soluzione..., infatti in generale la soluzione di una equazione differenziale di ordine n contiene n costanti arbitrarie y = y(x; c 1, c 2,..., c n ) Infatti come si può facilmente verificare, la soluzione generale della (1.8) è y(x) = 50 c e x/ c R dove la costante viene poi univocamente determinata dalla condizione iniziale y(0) = 50. Definizione 1.2. Sia F (x, u(x), u (x), u (x),..., u (n 1) (x), u (n) (x)) = 0 una equazione differenziale di ordine n. Diremo che essa è: (i) Autonoma se F (x, u(x), u (x), u (x),..., u (n 1) (x), u (n) (x)) = F (u(x), u (x), u (x),..., u (n 1) (x), u (n) (x)) cioè l equazione non dipende esplicitamente dalla variabile x.

8 1.2. Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità 7 (ii) in Forma Normale se è possibile esplicitare l equazione (1.6) rispetto alla u (n) (x), quindi u (n) (x) = f(x, u(x), u (x), u (x),..., u (n 1) (x)) (iii) Lineare se F è lineare in u(x), u (x), u (x),..., u (n 1) (x), u (n) (x), cioè F (x, u(x), u (x), u (x),..., u (n 1) (x), u (n) (x)) = a 0 (x) + a 1 (x) u(x) + + a 2 (x) u (x)+... +a n+1 (x) u (n) (x) Se poi i termini a i (x) risultano costanti allora l equazione viene detta lineare a coefficienti costanti. Inoltre una equazione differenziale del primo ordine F (x, u(x), u (x)) = 0 si dice a variabili separabili se risulta in forma normale u (x) = g(x) f(u(x)) Esempio 1.1. L equazione differenziale x 2 u (x)+arctan u(x) u (x) = 0 risulta essere del secondo ordine ed esplicitabile in forma normale u (x) = 1 x arctan u(x) 2 u (x) mentre u (x) + u(x) e u (x) = 0 risulta essere del secondo ordine, autonoma ma non esplicitabile in forma normale. L equazione dell esempio introduttivo u (x) = u(x) ordine, autonoma ed a variabili separabili. risulta essere del primo

9 1.2. Nomenclatura e Teoremi di Esistenza ed Unicità 8 Definizione 1.3. Data una equazione differenziale di ordine n in forma normale u (n) (x) = f(x, u(x), u (x), u (x),..., u (n 1) (x)) e u 0, u 1,..., u n 1 R,chiamiamo Problema di Cauchy il seguente u (n) (x) = f(x, u(x), u (x), u (x),..., u (n 1) (x)) u(x 0 ) = u 0 u (x 0 ) = u 1. u (n 1) (x 0 ) = u n 1 (1.9) Dopo questa breve carrellata di definizioni vediamo una utile ed interessante interpretazione geometrica di una equazione differenziale del primo ordine in forma normale u (x) = f(x, u(x))

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