IV Esercitazione di Matematica Finanziaria

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1 IV Esercitazione di Matematica Finanziaria 28 Ottobre 2010 Esercizio 1. Si consideri l acquisto di un titolo a cedola nulla con vita a scadenza di 85 giorni, prezzo di acquisto (lordo) P = euro e valore facciale C = 100 euro. Tale titolo è soggetto ad una ritenuta fiscale, da pagarsi anticipatamente, del 20% sull interesse lordo; calcolare relativamente all operazione di acquisto del titolo: a. il tasso di interesse lordo; b. l intensità di interesse su base giornaliera; c. il prezzo di acquisto netto; d. il tasso di interesse netto. Assumendo durata commerciale dell anno (360 giorni), ipotizzando un regime di capitalizzazione esponenziale, calcolare al netto della ritenuta fiscale: e. il tasso annuo di interesse; f. l intensità istantanea di interesse su base semestrale; g. il tasso bimestrale di interesse. Supponiamo di aggiungere all operazione un importo x 2 = 28 euro al tempo t 2 = 112 giorni,determinare l importo x 3 da aggiungere al tempo t 3 = 189 giorni affinché l operazione finanziaria { P, C, x 1, x 2 }/{0, t 1, t 2, t 3 } sia equa secondo la legge di capitalizzazione esponenziale al tasso calcolato al punto (e). Soluzione. Relativamente al periodo di riferimento dell operazione finanziaria: 1

2 a. il tasso di interesse lordo j l = = ; b. l intensità di interesse su base giornaliera γ = c. il prezzo di acquisto netto = giorni 1 ; P n = ( ) = 97.92; d. il tasso di interesse netto j n = = Rispetto ad una legge di capitalizzazione composta, al netto della ritenuta fiscale, calcoliamo: e. il tasso annuo di interesse ( ) 360/ i = 1 = ; f. l intensità istantanea di interesse su base semestrale g. il tasso bimestrale di interesse δ sem = 1 ln(1.0931) = ; 2 i bim = (1.0931) 1/6 1 = Supponendo di aggiungere due ulteriori scadenze, come detto nel testo, la cifra x 3 da avere in t 3 = 189 giorni affinché la nuova operazione finanziaria risulti equa è data dall equazione 97.40(1.0931) 189/ (1.0931) 104/ (1.0931) 77/360 + x 3 = 0, da cui segue x 3 = Esercizio 2. Un istituto di credito concede un prestito S = euro da rimborsare in 10 anni a rata semestrale costante posticipata; rispetto ad una legge di capitalizzazione esponenziale con tasso annuo i = 4%, calcolare: 2

3 a. l ammontare della rata R; b. il debito residuo dopo 3 anni; L operazione complessiva risulta equa? L istituto di credito inserisce, al momento della stipula del contratto, una clausola per cui, a metà percorso, avviene una revisione del tasso di interesse a cui si valuta il piano di rientro dal debito. Pertanto, dopo 5 anni, l istituto di credito ritocca al rialzo il tasso di interesse, fissandolo pari a i = 4.8%. Alla luce del mutamento delle condizioni di valutazione del mutuo, calcolare c. l ammontare della nuova rata R 1, mantenendo invariata la scadenza complessiva dell ammortamento. Inoltre, se si decidesse di mantenere invariata la rata anche di fronte al mutamento del tasso di interesse, determinare quanti ulteriori pagamenti sono necessari per ripianare il debito contratto. Soluzione. In regime di capitalizzazione composta al tasso di interesse annuo i = 0.04, determiniamo anzitutto il tasso equivalente semestrale, dato da i sem = (1 + i) 1/2 1 = (1.04) 1/2 1 = e quindi siamo in grado di calcolare: a. l ammontare della rata R b. il debito residuo dopo 3 anni R = = ; 1 ( ) 20 D(3, r) = ( ) = In t = 5 anni avviene un aggiornamento del tasso di interesse al i = 0.048, il cui tasso equivalente su base semestrale è i sem = ; il debito residuo in tale istante è Allora: D(5, r) = ( ) =

4 c. mantenendo invariata la scadenza complessiva dell ammortamento, la nuova rata è data da R 1 = = (1.0237) 10 L operazione complessiva non risulta equa, infatti l equità è sempre definita rispetto ad un solo tasso, dunque (1.0237) = che è, chiaramente, diverso da W (0, r) = Se la rata rimanesse invariata anche di fronte all aggiornamento del tasso, la scadenza temporale della rendita varierebbe come segue da cui segue = (1.0237) n, n = Questo implica la necessità di avere un pagamento ulteriore. Esercizio 3. Consideriamo una rendita posticipata a rata trimestrale costante R = 750 euro, di durata 20 anni, valutata al tasso equivalente al tasso nominale annuo, rinnovabile tre volte l anno, j n (3) = 6%. Calcolare: a. il valore attuale della rendita; b. il valore finale della rendita; c. il valore della rendita al tempo t = 5 anni; d. il valore residuo ed il valore montante della rendita al tempo t = 5 anni. Soluzione. Vediamo, prima di tutto, che il tasso quadrimestrale relativo j n (3) = 0.06 è i quad = 0.06 = pertanto il tasso trimestrale equivalente è Calcoliamo allora: i trim = (1.02) 3/4 1 =

5 a. il valore attuale della rendita W (0, r) = ( ) = ; b. il valore finale della rendita W (20, r) = W (0, r)( ) 80 = ; c. il valore della rendita al tempo t = 5 anni W (5, r) = W (0, r)( ) 20 = ; d. il valore residuo ed il valore montante della rendita al tempo t = 5 anni V (5, r) = ( ) M(5, r) = 750 ( ) = = Esercizio 4. Un istituto bancario decide di versare una cifra x oggi e il triplo della cifra dopo 5 anni per ricevere, a saldo del dovuto, euro dopo ulteriori 5 anni. Supponendo di sottostare ad una legge di capitalizzazione composta con tasso di interesse annuo i = 4%, calcolare le quote che la banca presta all investitore. Determinare, poi: a. l intensità istantanea di interesse su base semestrale; b. il tasso di interesse quadrimestrale; c. il tasso di interesse trimestrale. Nel caso in cui l istituto bancario decidesse di erogare una somma pari a euro oggi ed al suo triplo dopo 5 anni, mantenendo il tasso di interesse scritto in precedenza, il beneficiario del prestito di quanto potrebbe rinviare il saldo finale? Soluzione. Le cifre che l istituto bancarie eroga si ottengono risolvendo l equazione X + 3X (1.04) 5 = (1.04) 10, da cui si hanno X = , 3X = Inoltre, in regime di capitalizzazione composta, calcoliamo: 5

6 a. l intensità istantanea di interesse su base semestrale δ sem = 1 ln(1.04) = ; 2 b. il tasso di interesse quadrimestrale c. il tasso di interesse trimestrale i quad = (1.04) 1/3 1 = ; i trim = (1.04) 1/4 1 = Se l istituto bancario decide di erogare 3500 euro in t = 0 ed il triplo in t = 5 anni, allora l ultima scadenza si procrastina e si individua risolvendo (1.04) 5 = 30000(1.04) t, e dunque t = anni 6

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