Trasformazioni geometriche nel piano: dalle isometrie alle affinità

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1 Trasformazioni geometriche nel piano: dalle isometrie alle affinità Le trasformazioni geometriche In generale una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca del piano in sé, ossia associa ad un punto del piano uno ed un solo punto del piano stesso: t: P P'. Essendo la corrispondenza biunivoca, esiste sempre la trasformazione inversa t 1 : P' P y= f x, è In generale, data una trasformazione geometrica t, per trasformare un grafico di equazione necessario trovare le equazioni della trasformazione inversa t -1 ed eseguire le sostituzioni nell equazione data. Un punto è unito se è trasformato in se stesso (se ha per immagine se stesso). Una figura è unita se ha per immagine se stessa. N.B. I punti di una figura possono corrispondere ai punti della figura stessa, senza necessariamente essere punti uniti; se ad esempio in una retta ogni punto è unito, la retta si dice retta di punti uniti (o retta puntualmente unita) altrimenti si (non viceversa). dice semplicemente retta unita (o retta globalmente unita). Una retta di punti unita è anche retta unita P P Q Q La trasformazione che ad ogni punto associa se stesso si chiama identità; nell identità ogni punto è unito. Composizione di trasformazioni geometriche. Supponiamo di avere due o più trasformazioni e di volerle applicare una dopo l'altra. Questo vuol dire che dopo avere applicato la prima, applico la seconda alla figura ottenuta dalla prima trasformazione e così di seguito. Se ho due trasformazioni, prima applico ad esempio t 1 : P P' e poi t : P' P'' ; è come aver applicato la trasformazione composta t!t 1 : P P''. Generalmente, per la composizione di trasformazioni geometriche non vale la proprietà commutativa ( t 1!t t!t 1 ). Vale invece la proprietà associativa t 1!( t!t 3 ) = ( t 1!t )!t 3. Inoltre, per la definizione di trasformazione inversa, è vero che t!t 1 = t 1!t = i, si ottiene cioè l identità. Una trasformazione si dice involutoria se componendola con se stessa si ottiene l identità: t!t = i, ossia la trasformazione inversa coincide con quella di partenza. Elementi uniti. Per trovare i punti uniti basta porre x=x e y=y nell equazione della trasformazione; si ottiene un sistema lineare nelle due incognite x e y. A seconda dei casi si potrà avere una sola soluzione (un solo punto unito), infinite soluzioni (infiniti punti uniti, tutti appartenenti alla medesima retta che sarà una retta di punti uniti), nessuna soluzione (nessun punto unito). Per trovare le rette unite basta calcolare le equazioni della trasformazione inversa t -1 ed applicarle sulla generica retta di equazione y = mx+ q ed imporre che i coefficienti delle due rette siano identicamente uguali; bisogna però porre attenzione alle rette parallele all asse delle ordinate (la cui equazione non è compresa in quelle del tipo y = mx+ q) controllando il comportamento della trasformazione sulle rette del tipo x= h, analogamente a sopra. P=P Q=Q Retta di punti uniti ê Retta unita

2 Le isometrie Si dice isometria una trasformazione geometrica che conserva le distanze. Dati due punti A, B l'isometria fa ad essi corrispondere due punti A' e B' tali che AB = A' B '. Per isometria sono invarianti la congruenza di segmenti e di angoli pertanto le figure trasformate conservano la forma e la grandezza e dunque risultano congruenti a quelle date. Ci sono 5 tipi di isometria: traslazione, simmetria centrale, rotazione, simmetria assiale e glissosimmetria. P x; y e il suo Nel seguito sono indicate le equazioni nel piano cartesiano x0y, considerando corrispondente a seguito della trasformazione P ( x; y ) indicate anche mediante la notazione matriciale.. Le equazioni delle varie trasformazioni sono La traslazione x = x+ p x 1 0 x p Le equazioni sono del tipo: τ ossia = + con p e q costanti reali. La matrice = y + q y 0 1 y q della trasformazione è la matrice identità. Si dice anche che la traslazione trasforma i punti del piano. secondo il vettore v! p;q Proprietà fondamentali delle traslazioni. Si può dimostrare che una traslazione gode delle seguenti proprietà: una traslazione (diversa dall'identità) non ha né punti uniti né rette di punti uniti; sono rette unite tutte le rette parallele al vettore v! p;q, ossia quelle di coefficiente angolare q p ; componendo due traslazioni di vettori v! 1 e v! si ha ancora una traslazione di vettore v! 1 + v!. La simmetria centrale x = x x x 1 0 x x Le equazioni sono del tipo: s ossia = + = y y y 0 1 y y centro della simmetria ed il punto medio del segmento individuato da punti corrispondenti. dove ( ; ) x y è il Proprietà fondamentali delle simmetrie centrali. Si può dimostrare che una simmetria centrale gode delle seguenti proprietà: L unico punto unito della simmetria centrale è il centro; ogni retta passante per il centro è retta unita; È una trasformazione involutoria: componendola con se stessa si ottiene l identità. La simmetria rispetto all origine ne è un caso particolare; La simmetria centrale di centro O è uguale al composto di due simmetrie assiali aventi gli assi fra loro perpendicolari in O; Date due simmetrie centrali vettore v! """"""! = 1. Es. s 1 s! s 1 x = x y = y x = 1 ( x) = 1+ x y = 1 ( y) = 1+ y S 1 e, 1 ( 1;1) S, la trasformazione composta 1,v τ 1; 1, s T = S o S è una traslazione di x = 1 x y = 1 y 1 1, 1 ; 1!!!!!! " 1 = 1; 1 1 = 1 ; 1!!!!!! " 1 = 1; 1 =>

3 La rotazione Utilizzando la goniometria è possibile scrivere: P (x ;y ) x= OPcos β O β P(x;y) y = OPsin β essendo OP= OP' x = OP'cos( + β) = OP' coscos β sinsin β = xcos ysin y = OP'sin( + β) = OP' sincos β + cossin β = xsin + ycos Le equazioni della rotazione di un angolo (in senso antiorario) e di centro O sono allora: x = xcos ysin x cos sin x ρ0, o anche =. Osserva che det ( A ) = 1. = xsin + ycos y sin cos y 1 La rotazione inversa ρ 0, è la rotazione di centro O e angolo ; infatti le equazioni sono: 1 x= x cos + y sin x cos sin x cos sin 1 ρ 0, o anche = y= x sin + y dove A cos y sin cos y = è proprio sin cos cos sin la matrice inversa della matrice A =. sin cos 1 1 cos sin cos sin cos( ) sin ( + ) Osserva infatti che A = = = ; det ( A) sin cos sin cos sin ( ) cos ( ) riscrivendo i coefficienti della matrice considerando gli angoli opposti (ricorda che la funzione coseno è pari mentre la funzione seno è dispari!) si può concludere che la rotazione inversa ha lo stesso centro ma angolo. C x ; y allora le equazioni diventano Se il centro di rotazione di angolo è ( c c) x = ( x xc) cos ( y yc) sin+ xc c ρc, o anche = y = ( x x ) sin + ( y y ) cos + y x x cos sin x xc c c c y y. c sin cos y yc x = xcos ysin + p Se l equazione è scritta come ρc,, il centro della rotazione è determinabile come y = xsin + ycos + q unico punto unito della trasformazione. La trasformazione inversa di una rotazione di centro C e angolo è 1 ancora una rotazione di centro C ma con angolo, cioè la rotazione inversa di ρ C, risulta essere ρ. Proprietà fondamentali delle rotazioni. Si può dimostrare che una rotazione gode delle seguenti proprietà: se = 0 o = π, la rotazione risulta essere l identità; se = π o = π, la rotazione coincide con la simmetria centrale; componendo due rotazioni con lo stesso centro C di angoli 1 e si ha ancora una rotazione di centro C e angolo 1+ ; componendo due rotazioni di centri C 1 e C diversi si può ottenere una rotazione di diverso centro C e angolo 1+ oppure una traslazione. C,

4 La simmetria assiale Riportiamo le equazioni delle più comuni simmetrie assiali: rispetto all asse x x = x y = y rispetto all asse y rispetto a y=k ( asse x) x = x x = x y = y = k y atrici dei coefficienti delle simmetrie assiali più comuni: all asse x all asse y a y=k ( asse x) rispetto a x=h ( asse y) x = h x y = y a x=h ( asse y) rispetto a y=x x = y y = x a y=x rispetto a y=-x x = y y = x a y=-x In generale, due punti P e P si corrispondono in una simmetria assiale rispetto ad una retta r: y = mx+ q se e solo se r risulta essere l asse del segmento PP. Su questa definizione si basa il procedimento per determinare le equazioni della simmetria assiale rispetto ad una generica retta: y+ y x+ x 1 m = m +q (punto medio PP' r) x' = 1+ m x + m ossia 1+ m y mq 1+ m y y 1 = (retta PP' retta r) y' = m 1 m x x x m 1+ m 1+ m y + q 1+ m Con considerazioni di carattere goniometrico (*) e nel caso in cui la retta r, asse di r P (x ;y ) simmetria, passi per l origine, cioè r: y = mx, e formi un angolo di ampiezza con la direzione positiva dell asse delle ascisse, si può trovare che l equazione della P(x;y) x cos( ) sin ( ) x simmetria è, in forma matriciale: = y sin ( ) cos ( ; se è dato ) y direttamente l angolo che l asse di simmetria forma con l asse x nella matrice si mettono il coseno ed il seno dell angolo doppio e l equazione della simmetria rispetto a tale retta è presto determinata. (*) Ricordando m = tan e le formule parametriche razionali in funzione di t = tan : 1 t t cos =,sin = 1+ t 1+ t Proprietà fondamentali delle simmetrie assiali. I punti uniti sono i punti dell asse di simmetria (che è retta di punti uniti). Oltre all asse di simmetria, ogni retta perpendicolare all asse è retta unita; È una trasformazione involutoria: componendola con se stessa si ottiene l identità. La glissosimmetria (o antitraslazione) È definita come la composizione di una simmetria assiale con una traslazione di vettore parallelo all asse di simmetria. Si riconosce perché è un isometria indiretta senza punti uniti e l unica retta unita è l asse di simmetria.

5 Le isometrie sintesi finale x = ax+ by+ c Tutte le isometrie sono rappresentate da equazioni lineari del tipo. = ax + by + c a b Dal calcolo del determinante della matrice dei coefficienti A = si ha che esso vale sempre a b det ( A ) =± 1. Se det ( A ) = 1 si ha una ISOETRIA DIRETTA (traslazione o simmetria centrale o rotazione); se det ( A ) = 1 si ha una ISOETRIA INDIRETTA (simmetria assiale o glissosimmetria) Relativamente ai punti uniti: nella traslazione e nella glissosimmetria non ci sono punti uniti; nella simmetria centrale e nella rotazione c è un solo punto unito: il centro; nella simmetria assiale i punti uniti sono quelli dell asse di simmetria (ci sono punti uniti). Relativamente alle rette (globalmente) unite: nella traslazione sono quelle parallele al vettore che individua la traslazione stessa (ci sono rette unite); nella simmetria centrale sono quelle passanti per il centro (ci sono rette unite); nella rotazione non ci sono rette unite; nella simmetria assiale sono quelle perpendicolari all asse di simmetria (ci sono rette unite) mentre l asse di simmetria è retta di punti uniti; nella glissosimmetria l asse di simmetria è retta unita. Tabella che serve per riconoscere e classificare le varie isometrie: det A +1 TRASLAZIONE Trasformazione Punti Uniti Rette di punti uniti Rette Unite +1 SIETRIA CENTRALE Centro di simm. +1 ROTAZIONE Centro di rotaz. Rette // v r Rette per il Centro -1 SIETRIA ASSIALE Punti asse Asse di simm. Rette Asse -1 GLISSOSIETRIA Asse di simm.