C. Di Stefano, Dal problema al modello matematico Vol 1 Capitolo 4 Unità 2

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1 Verifiche Con il simbolo CAS indichiamo quegli esercizi per i quali risulta opportuno utilizzare nei calcoli un software di tipo Computer Algebra System, come Derive o una calcolatrice simbolica. Vogliamo scrivere l'equazione della circonferenza che ha centro in applicare l'equazione stabilita dal Teorema 2: ( ) ( ) x 4y 2x 8 5y 23 0 C 3, 5 2 x + y 5 = 3 x 3x + + y 2 5y = = e raggio R = 3. Basta Determinare le equazioni delle circonferenze date le coordinate del centro e la misura del raggio. 2. ( ; 2), [x 2 + y 2 + 2x 4y + 4 = 0] (; 2), [x 2 + y 2 2x + 4y + 4 = 0] 3. (3; 4), 4 [x 2 + y 2 6x 8y + 9 = 0] (¼; 3), 3/2 [2x 2 + 2y 2 x + 2y + 09/8 = 0] 4. (/3; 3/2), 4/5 [3x 2 + 3y 2 2x + 9y + 549/300 = 0] (; 0), [x 2 + y 2 2x = 0] 5. ( 4/3; 5/6), 3 [6x 2 + 6y 2 + 6x 0y 235/6 = 0] ( 2; ), 2 [x 2 + y 2 + 4x 2y + 3 = 0] 6. ( 4; 0), 3 [x 2 + y 2 + 8x + 2y = 0] (0; 0), [x 2 + y 2 = 0] 7. ( 7/2; 5/4), 3 [2x 2 + 2y 2 + 4x + 5y + 73/8 = 0] (0; 0), 2 [x 2 + y 2 4 = 0] 8. ( /3; 2), 5 2 [3x 2 + 3y 2 + 2x + 2y /3 = 0] (0; ), 2 [x 2 + y 2 2y 3 = 0] 9. ( 2 ; ), 2/5 [x 2 + y 2 x + 2y + 7/25 = 0] (; 2), [x 2 + y 2 2x 4y + 4 = 0] 0. ( 2 /2; 2), 7/3 [x 2 + y 2 2 x + 4y 7/8 = 0] (2; 3), 4 [x 2 + y 2 4x + 6y 3 = 0]. ( 3 ; 3 ), 2 [x 2 + y 2 + 2( + 3 ) x 2 3 y = 0] 2. ( 2 ; + 2 ), 5 [x 2 + y 2 + 2( 2 ) x 2( + 2 ) y 9 = 0] Data l equazione x 2 + y 2 + 6x 2y+ 5 = 0, verificare se rappresenta una circonferenza e in caso affermativo determinare le coordinate del suo centro e la misura del raggio. Stabiliamo intanto se abbiamo a che fare con una circonferenza reale, il che dipende dal segno del seguen- 2 te radicale ( ) 2 a + b 4c = = = 60 = 4 0 > 0. La circonferenza, dunque esiste. Determiniamo le coordinate del suo centro: C ( a/2; b/2) ( 3; 6), mentre il suo raggio è la metà del precedente radicale, cioè R = 2 0. Consideriamo adesso l equazione 4x 2 + 4y 2 + x 3y + 6 = 0. Stavolta non possiamo applicare immediatamente quanto stabilito dal Teorema 2, poiché i coefficienti dei termini di secondo grado non sono unitari. Dobbiamo quindi prima renderli unitari: x 2 + y 2 + ¼ x ¾ y+ 3/2 = 0. Ma la circonferenza non è reale, infatti abbiamo: a 2 + b 2 4c = (¼) 2 + ( ¾) 2 4 3/2 = 43/8 < 0. Stabilire quali fra le seguenti equazioni rappresentano circonferenze reali; per quelle che lo sono determinarne le coordinate del centro e la misura del raggio 3. x 2 + y 2 x + y+ = 0 [ ] x 2 + y 2 + 4x 3y + = 0 [( 2; 3/2), 2 /2] 4. x 2 + y 2 6x 8y + 2 = 0 [(3; 4), 3 ] x 2 + y 2 2x + 2 = 0 [ ] 5. 4x 2 + 4y 2 + x 7y + 5 = 0 [ ] 6x 2 + 6y 2 + 2x 24y 3 = 0 [(3; 4), 22 /2] 380

2 6. x 2 + y 2 + 4x 8y + 20 = 0 [ ] x 2 + y 2 + 7x 2y = 0 [( 7/2; ), 53 /2] 7. x 2 + y 2 + 4x + 2 = 0 [( 2; 0), 2 ] x 2 + y 2 + 4x + 2 = 0 [(0; 3), 2 3 ] 8. x 2 + y 2 + x + y+ 7 = 0 [ ] 5x 2 + 5y 2 + 3x = 0 [( 3/0 ; 0), 29 /0] 9. /3x 2 + /3y 2 x + 2y = 0 [(3/2; 3), 57 / 2 ] 3x 2 + 3y 2 ½x + 4/5y+ 5 = 0 [ ] 20. x 2 + y x 3 y 3 = 0 [( 3 /2; 3 /2), 3 3 / 2 ] 0x 2 + 0y 2 = 0 [(0; 0), / 0 ] 2. x 2 + y 2 /6x 8/5y 3 = ;, x 2 + 5y x 2 = 0 [ ] x y 2 + y 3 = ;, 4 8 6x 2 + 6y 2 + y 2 = 0 [(0; /2), 7/2] 23. ( 3 ) x 2 + ( 3 ) y x + y + 2 = 0 ;, 4 4 4x 2 + 4y 2 + x y + = 0 [ ] / 7 x 2 + / 7 y 2 2x+ 3y + = ;, 2 2 x 2 + y 2 6 = 0 [(0; 0), 4] 25. Determinare una condizione relativa a uno solo dei tre coefficienti a, b e c dell'equazione di una circonferenza, che sia sufficiente a garantire che essa sia reale. [c < 0] 26. L appartenenza del centro di una circonferenza al I quadrante è una condizione necessaria o sufficiente, affinché l intera circonferenza appartenga al I quadrante? Giustificare la risposta. [Necessaria] 27. L appartenenza dell intera circonferenza al I quadrante è una condizione necessaria o sufficiente, affinché il suo centro appartenga al I quadrante? Giustificare la risposta. [Sufficiente] 28. Determinare una condizione sui segni dei coefficienti dell equazione x 2 + y 2 + ax + by + c = 0, che assicuri che essa rappresenta sempre una circonferenza reale il cui centro appartiene al III quadrante. [a, b e c tutti e tre negativi] Scrivere l equazione della circonferenza avente come uno dei suoi diametri il segmento di estremi i punti A ( 3; ), B (4; 0). Dire che il segmento AB è uno dei diametri della circonferenza, equivale a dire che il suo punto medio è il centro della circonferenza, mentre la metà della sua misura è la misura del raggio. Pertanto possiamo determinare facilmente l equazione della circonferenza cercata. 5 Intanto il centro è C (½; ½) e R = ( 3 4) + ( 0) = 49 + = 50 = 5 2 = 2. 2 Quindi l equazione cercata è (x ½) 2 + (y ½) 2 = 25/2 x 2 + y 2 x y 2 = 0. Scrivere le equazioni della circonferenze aventi per diametro i segmenti di estremi dati 29. (;3), ( ; 3) [x 2 +y 2 0=0] ( 2; 2), (3;4) [x 2 +y 2 x 2y 4 = 0] (0;0), ( 6; 4) [x 2 +y 2 + 6x + 4y = 0] 30. Scrivere l'equazione della circonferenza concentrica alla circonferenza x 2 + y 2 2x + y 4 = 0 e raggio 3. [x 2 + y 2 2x + y 3/4 = 0] 3. Scrivere l'equazione della circonferenza concentrica alla circonferenza x 2 + y 2 + x 5y + = 0 e passante per il punto A (2, 4). [x 2 + y 2 + x 5y 42 = 0] Determinare l'equazione della tangente alla circonferenza di equazione 2x 2 + 2y 2 +2x+7y 4 = 0 nel suo punto P (; 0). Sappiamo dalla geometria elementare che una retta è tangente a una circonferenza in suo punto se è perpendicolare alla retta diametrale passante per lo stesso punto. Determiniamo le coordinate del centro, 38

3 riscrivendo l'equazione nella forma adatta per potere applicare la nota formula: x 2 + y 2 + x + 7/2y 2 = 0. Possiamo allora dire che il centro è C ( ½; 7/4). Scriviamo l'equazione della retta per C e P, imponendo l'appartenenza di C al fascio di centro P: 7/4 = m ( ½ ) m = 7/6. Determiniamo la retta perpendicolare alla retta per C e P, che perciò ha coefficiente angolare /m = 6/7, e passante per P: y = 6/7 (x ) 6x + 7y 6 = 0. Questa è la tangente cercata. Determinare le equazioni delle circonferenze dati il centro e tangenti alle rette date 32. (2; 4), x+y=0 [x 2 + y 2 4x + 8y + 8 = 0] ( 4;3), 3x 7y + = 0 [29x y x 74y + 23 = 0] 33. (; 5), 2x + 5y 3 = 0 [29x y 2 58x 290y + 78 = 0] 34. Scrivere l'equazione della circonferenza concentrica alla circonferenza x 2 + y 2 + 5x 7y 2 = 0 e tangente la retta di equazione 3x y + 2 = 0. [5x 2 + 5y x 35y + 52 = 0] 35. Scrivere le equazioni delle circonferenze tangenti la retta di equazione 4x 3y + 5 = 0, di raggio 2 e il cui centro appartiene alla retta di equazione x y + 4 = 0. Suggerimento: se il centro appartiene alla detta retta le sue coordinate sono: (h; h + 4), h R.[x 2 + y 2 34x 42y+726 = 0 ; x 2 + y 2 +6x 2y+ 6 = 0] 36. Determinare l'equazione della circonferenza tangente alle rette di equazioni x = 4 e x = 8 e aventi il centro in un punto di ordinata 3. Suggerimento: se la circonferenza è tangente alle rette allora il suo centro appartiene alla... [x 2 + y 2 2x 6y + 4 = 0] 37. Determinare l'equazione della circonferenza tangente alle rette di equazioni y = e y = 5 e di raggio 3. [Impossibile, tutte le circonferenze tangenti alle dette rette hanno raggio 2] 38. Se nel problema precedente eliminiamo il dato sul raggio, vogliamo trovare le equazioni delle circonferenze passanti per P (0; 4). [x 2 + y 2 ± 4x 6y + 9 = 0] 39. Determinare le equazioni delle circonferenze tangenti alle rette x = 0 e 2x 5y + = 0, con il centro sulla retta x + y 2 = 0. [6x 2 + 6y 2 72x + 8y + = 0 ; 00x y 2 60x 340y = 0] CAS 40. Determinare le equazioni delle circonferenze di raggio, tangenti alla retta x + 2y = 0 e il cui centro appartiene alla retta x y + 3 = 0. 9x + 9y + 6 ( 5 ± 5) x 6 ( 4 5) y = 0 4. Determinare l'equazione della circonferenza passante per A (; 3) e tangente la retta di equazione 2x y + 4 = 0 nel suo punto di ascissa 3. [9x 2 + 9y 2 400x 7y = 0] 42. Determinare l'equazione della circonferenza passante per A (0; ), B (2; 3) e tangente in A all'asse delle ordinate. [x 2 + y 2 0x 2y + = 0] 43. Nel fascio di rette di equazione ( + m) x my + = 0, determinare quella retta, che passa per il centro della circonferenza di equazione x 2 + y 2 + 4x + 6y + 9 = 0. [2x y + = 0] 44. Determinare i punti d intersezione delle due circonferenze aventi centro in C ( ; 3), C 2 (3; ), i cui raggi misurano rispettivamente 2 e 5. A ;, B ; Determinare i punti d intersezione delle due circonferenze aventi centro nei punti (2; 2), (4; 3), di raggi che misurano rispettivamente 3 e 4. A ;, B ; Determinare i punti d intersezione delle due circonferenze aventi centro nei punti ( 2; 3), ( ; 3), di raggi che misurano rispettivamente 5 e 2. A ;, B ; Livello Determinare l'equazione della circonferenza che stacca sull'asse x un segmento lungo 4 2, ha il centro sulla retta y = x 2 ed è tangente all'asse y. [x 2 + y 2 6x 2y + = 0] 48. La retta x + y = a e la circonferenza x 2 + y 2 = a sono tangenti. Determinare a. [2] 49. Determinare le equazioni delle circonferenze passanti per A ( ; 2) e B (2; 3) e tangenti alla retta x y 5 = 0. x + y + x + y ; x + y x y

4 CAS 50. Determinare le equazioni delle circonferenze tangenti alle rette 3x 4y + = 0 e 5x + 2y + 2 = 0 e aventi il centro in un punto di ascissa 2. [2544x y x 6944y = 0 ; 64x y 2 256x + 24y = 0] 5. CAS Determinare le equazioni delle circonferenze tangenti alle rette x + y 2 = 0 e x y + = 0 e aventi 2x + 2y 2 ( ± 2 2 ) x 6y + 7 ± 2 2 = 0; raggio. 2x + 2y 2x 2 ( 3 ± 2 2 ) y + 7 ± 6 2 = CAS Determinare le equazioni delle circonferenze tangenti alle rette x = 0, y = 3 e x + y =0. x + y + 2 ( 3 ± 2 2 ) x + 2 ( ± 2 2 ) y + 2 = 0; x + y 2 ( ± 2 2 ) x 2 ( 3 ± 2 2 ) y + 8 ± 8 2 = Determinare le equazioni delle circonferenze di area 2π tangenti agli assi coordinati. x + y ± 2 2 x ± 2 2 y + 2 = Risolvere il problema precedente per l'area che vale πr 2. [x 2 + y 2 ± 2rx ± 2ry + r 2 = 0] 55. Dato l insieme A = {(x; y) R 2 : x, y }, determinare l'equazione della circonferenza in esso inscritta. [x 2 + y 2 = 0] 56. Dato l insieme A = {(x; y) R 2 : x + y }, determinare l'equazione della circonferenza in esso inscritta. [2x 2 + 2y 2 = 0] 57. Determinare le soluzioni del sistema: x + y =. x + y < 25 [Il segmento di estremi A ( 3; 4), B (4; 3), esclusi A e B] 58. Determinare le soluzioni del sistema: x y + = 0. x + y [Il segmento di estremi A ;, B ; 59. Data la circonferenza Γ di centro l origine e raggio 4, sia il fascio di rette di centro P ( 2; 6) e siano A e B le intersezioni della generica retta del fascio con Γ, con PA > PB. Si determini l equazione del luogo tracciato dai punti medi del segmento PA. [(x + ) 2 + (y 3) 2 = 4] 60. Generalizzare il problema precedente per P (2a; 2b) e il raggio della circonferenza 2r, con P esterno a Γ. [(x a) 2 + (y b) 2 = r 2 ] Sia il punto P (2; 3) e la circonferenza di equazione x 2 + y 2 + 2x 4y + = 0, vogliamo stabilire se il punto appartiene o no alla circonferenza e in caso negativo se è a essa interno o esterno. Sostituiamo le coordinate di P alle incognite: + ( 3) ( 3) + > 0. Dato che l'equazione non è verificata possiamo dire che P non appartiene alla circonferenza. Abbiamo ottenuto un numero positivo, cosa significa ciò? Ricordiamo che il cerchio è la parte di piano racchiusa dalla circonferenza o anche il luogo dei punti del piano la cui distanza dal centro è minore del raggio. Quindi se P appartenesse al cerchio di centro (x C ; y C ) e raggio R, dovremmo avere (x P x C ) 2 + (y P y C ) 2 < R 2 (x P x C ) 2 + (y P y C ) 2 R 2 < 0 cioè sostituendo le coordinate di P nell'equazione della circonferenza dovremmo ottenere un numero negativo, dato che abbiamo ottenuto un numero positivo, vuol dire che P è esterno alla data circonferenza. Stabilire se i dati punti sono interni, esterni o appartenenti alla circonferenza indicata 6. (0; 0), x 2 + y 2 4x 6y = 0 [appartiene] (0; 0), x 2 + y 2 + x 3 = 0 [interno] 62. (; ), x 2 + y 2 + x 3y + 2 = 0 [esterno] ( ; 2), x 2 + y 2 4x 6y = 0 [esterno] 63. (2; ), x 2 + y 2 + x 2y 7 = 0 [interno] (4; ), 2x 2 + 2y 2 y 5 = 0 [esterno] 383

5 64. (½; ), x 2 + y 2 3x + y 4 = 0 [interno] ( ; 2/3), 3x 2 + 3y 2 x + 5y = 0 [esterno] 65. ( 3 ; 2), ½x 2 + ½y 2 3x + 5y 8 = 0 [interno] (+ 2 ; 0) 2 x y 2 4x + y 2 = 0 [interno] Scrivere l equazione della circonferenza passante per i punti A (; ), B ( ; 2), C (0; ). Il problema equivale a quello di scrivere l'equazione della circonferenza circoscritta a un triangolo di vertici assegnati. Imponiamo l appartenenza dei punti alla generica circonferenza x 2 + y 2 +ax+by + c = 0, ottenendo il sistema + + a + b + c = a + b + c = 0 ( ) a ( ) + b 2+ c = 0 5 a+ 2b+ c = 0 a b c = b+ c = che risolto fornisce le soluzioni: a =, b =, c = 2. Pertanto la circonferenza cercata ha equazione: x 2 + y 2 + x y 2 = 0. 0 ( ) 0 ( ) 0 0 Vi è anche un metodo più schematico, consistente nell'applicare la formula: Verifichiamo: ( ) ( ) A A A A B + B B B C + C C C x y x y x y x y = = 0 = 0 5x 2 + 5y 2 + 5x 5y 0 = Naturalmente il fattore comune 5 può eliminarsi. 0 Scrivere le equazioni delle circonferenze passanti per i punti di seguito indicati 66. (0; 0), (4; 0), (0; 6) [x 2 + y 2 4x 6y = 0] (0; 0), (; 3), ( ; 0) [3x 2 + 3y 2 + 3x + y = 0] 67. (; 2),( ; 0),(0; 3) [2x 2 + 2y 2 7x + 3y 9 = 0] (2; ), ( ; 2), ( 2; 3)[3x 2 + 3y 2 + 4x + 4y 9 = 0] 68. ( 2;), ( ;2), (2;) [x 2 + y 2 65x + 65y 200 = 0] (2; ), (4; ), (; 2) [x 2 + y 2 6x 2y + 5 = 0] 69. (; ), ( ; ), (2; 3); [x 2 + y 2 + x + y 2 = 0] (; 0), (0; 2), (3; 3) [x 2 + y 2 43x 23y + 42 = 0] 70. (½ ; ), ( ; 0), (2/3; 2) [48x y x + 7y + 58 = 0] 7. ( ½; 2/3), (3/2; ), ( ; 2/3) [6x 2 + 6y 2 + 9x + 20y 3 = 0] 72. ( 4/3; 5/2), (/3; 2), (5/3; 5/4) [9864x y x 4842y = 0] 73. (¼; 0), (0; 3/7), (2/3; 2/3) [84x y x + 84y = 0] 74. ( 5 ; 2), (; 5 ), (; 2) ( ) x + ( ) y 4( ) x + ( 5 5) y = (+ 2 ; 0), ( 2 ;), (2; 2) ( 0 2 ) x + ( 0 2 ) y + ( ) x + ( 2 + 0) y = Se i tre punti sono allineati, cosa otteniamo applicando la formula A A A A B B B B xc + yc xc yc [L'equazione della retta a cui appartengono i punti] 77. Determinare l'equazione della circonferenza passante per A (4; 0), B ( ; 2) e il cui centro appartiene alla retta di equazione 5x 2y + 3 = 0. [Impossibile] 78. Determinare l'equazione della circonferenza passante per A (; 0), B ( 2; ) e il cui centro appartiene alla retta di equazione 2x 3y = 0. [3x 2 + 3y 2 + 6x 2y 9 = 0] 79. Determinare le equazioni delle circonferenze di raggio, passanti per A (; 2), B ( 3; 4). [ ] = 0?