Appunti di Geometria - 2
|
|
- Bonaventura Savino
- 5 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Appunti di Geometria - Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it Cambi di base e applicazioni lineari Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K, con base assegnata e,..., e n } (ad esempio R n con la base standard); fissiamo due basi di V, B = v,..., v n } e C = w,..., w n } e denotiamo con B e C le matrici che hanno per colonne le coordinate di tali vettori rispetto alla base standard, ovvero, se v = b e b n e n,, v n = b n e b nn e n poniamo w = c e c n e n,, w n = c n e c nn e n B = b b n.. b n b nn C = c c n.. c n c nn Sia T : V V una applicazione lineare e sia A la matrice associata a T rispetto alla base e,..., e n } sia in partenza che in arrivo; ovvero, se dunque T (e ) = a e a n e n,, T (e n ) = a n e a nn e n A = a a n.. a n a nn Allora la matrice associata a T tra la base B in partenza e la base C in arrivo è C AB. Esempio Consideriamo R 4 con la base canonica e, e, e 3, e 4 } e siano B =,,, C =,,,
2 Sia inoltre T : R 4 R 4 data nella base canonica dalla matrice A = 3 Vogliamo la matrice associata a T tra la base B e la base C. Innanzitutto, scriviamo le matrici di cambio di base B = C = (tanto per ricordarlo, si verifica che quelle fornite sono due basi - anche se non è necessario farlo, se non esplicitamente richiesto dall esercizio - calcolando i determinanti e vedendo che non sono nulli). Scriviamo anche le loro inverse (ricordiamo che le matrici B e C portano le coordinate rispetto alla base B o C nelle coordinate rispetto alla base canonica, le inverse operano la trasformazione opposta). B = / / / C = /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 /3 = 3 Allora la matrice associata a T dalla base B alla base C sarà C AB = 3 3 = Se invece l esercizio avesse richiesto la matrice associata a T partendo dalla base C verso la base B, avremmo dovuto calcolare il prodotto B AC. Esempio Siano dati R e R 3 con le rispettive basi canoniche e sia T : R 3 R l applicazione che, in tali basi, è descritta dalla matrice ( ) A = 4
3 Dati i due insiemi B =, ( C = ) (, )} vogliamo verificare che sono basi rispettivamente di R 3 e R e scrivere la matrice associata a T tra di esse. Scrivendo le due matrici B = C = ( vediamo che entrambe hanno determinante non nullo e le loro inverse sono B = C = ( ) 3 Ora, poiché sono coinvolti due diversi spazi vettoriali, non c è possibile ambiguità su quale sia la base di partenza e quale sia la base di arrivo: T porta un vettore di R 3 in un vettore di R, quindi B sarà la base di partenza e C sarà la base di arrivo; tra queste due basi, la matrice sarà C AB, ovvero ( ) ( 4 ) ) = ( ) Esercizio Date la base di R 3 B =, 4, 3 9 e l applicazione T : R 3 R 3 associata alla matrice A = /3 / / /3 rispetto alla base canonica, calcolare la matrice associata a T rispetto alla base B (sia come base di partenza che come base di arrivo). Esercizio Consideriamo R 3 e R 4 con le rispettive basi canoniche e l applicazione T : R 3 R 4 associata, in tali basi canoniche, alla matrice A = Siano poi dati gli insiemi B =,, 3
4 C =,,, Si verfichi che essi sono basi di R 3 e R 4 rispettivamente e si scriva la matrice associata a T rispetto a queste due basi. Esercizio 3 Sia R [x] lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado minore o uguale a. Consideriamo l applicazione T (p(x)) = d dx ((x + x + )p(x)) ovvero l applicazione che moltiplica un polinomio dato per x + x + e poi ne fa la derivata seconda. Ad esempio T (x x) = d dx ((x + x + )(x x)) = d dx (x4 x) = x Verficare che T è una applicazione lineare e scriverla prima rispetto alla base, x, x } in partenza e in arrivo, poi rispetto alla base, + x, + 5x + 5x } in partenza e in arrivo. Richiami Due matrici quadrate di lato n, M e N, si dicono simili se esiste una matrice quadrata invertibile A tale che Se due matrici sono simili, allora N = A MA. hanno lo stesso determinante (quindi sono entrambe invertibili o entrambe non invertibili). hanno lo stesso rango (quindi hanno la stessa dimensione dell immagine e la stessa dimensione del nucleo) 3. hanno gli stessi autovalori 4. le dimensioni degli autospazi associati sono le stesse 5. hanno lo stesso polinomio minimo 6. sono entrambe diagonalizzabili, oppure nessuna delle due lo è Più precisamente, due matrici sono simili SE E SOLO SE hanno la stessa forma canonica di Jordan. Esempio Le matrici ( ) ( ) non sono simili, in quanto la prima ha determinante, la seconda ha determinante 3. 4
5 Esempio Le matrici non sono simili. Entrambe hanno determinante nullo, quindi bisogna cercare qualche altra caratteristica per cui differiscono. Osserviamo che la prima ha rango 3, infatti ha determinante 3; del resto, la seconda ha rango, infatti le prime due colonne sono indipendenti, ma = = Quindi, avendo rango diverso, le due matrici non sono simili. Esempio Le matrici ( ) ( ) 5 4 non sono simili. Entrambe hanno determinante, però la prima ha polinomio caratteristico t 5t mentre quello della seconda è t t, quindi non possono essere simili. Esercizio 4 Dire se le matrici 3 sono simili. Esercizio 5 Dire se le matrici sono simili Esercizio 6 Dire se le matrici 4 3 sono simili
6 Dualità Richiami Dato uno spazio vettoriale V su un campo K, con dim V = n, si dice spazio duale di V, e si indica con V, l insieme V = L : V K lineare} Si verifica facilmente che tale insieme è uno spazio vettoriale, definendo somma e prodotto per scalari in modo ovvio. Sia ora B = v,..., v n } una base di V ; definiamo le applicazioni lineari L,..., L n da V in K, ponendo i = j L i (v j ) = i j L insieme B = L,..., L n } si dice base duale rispetto a B ed è una base di V ; infatti, se λ L λ n L n = si dovrà avere che ma (λ L λ n L n )(v i ) = i =,..., n (λ L λ n L n )(v i ) = λ L (v i ) λ n L n (v i ) = λ i e dunque si dovrà avere che λ i = per i =,..., n. Questo prova l indipendenza lineare. Del resto, dato N V, è facile verificare, verificandolo sulla base B, che N = N(v )L N(v n )L n e quindi B genera tutto V. Esempio Sia V = R 3 [x]. Verifichiamo che le applicazioni L i (p(x)) = a i i =,,, 3 con p(x) = a 3 x 3 + a x + a x + a, sono elementi di V. Basta verificare che tali applicazioni sono lineari; osserviamo che, dati p(x) = a 3 x 3 + a x + a x + a q(x) = b 3 x 3 + b x + b x + b se poniamo r(x) = p(x) + q(x) avremo che e dunque r(x) = (a 3 + b 3 )x 3 + (a + b )x + (a + b )x + (a + b ) L i (p(x) + q(x)) = L i (r(x)) = (a i + b i ) = L i (p(x)) + L i (q(x)) Analogamente si verifica che L i (λp(x)) = λl i (p(x)) per ogni λ R. Dunque le applicazioni L i sono elementi di V. 6
7 Esempio Sia V come sopra. Verifichiamo che L, L, L, L 3 } è una base di V. Volendo sfruttare la teoria esposta nei richiami, possiamo accorgerci che i = L i () = i i = L i (x) = i L i (x i = ) = i L i (x 3 i = 3 ) = i 3 e dunque L, L, L, L 3 } è la base duale rispetto a, x, x, x 3 }, che è una base di V. Esempio Sia V come sopra. Consideriamo, per k R, l applicazione M k (p(x)) = p(k) Verifichiamo che è un elemento di V. Come prima, basta vedere che è lineare; ed infatti, dati p(x) e q(x), si ha che e, dato λ R, si ha M k (p(x) + q(x)) = p(k) + q(k) = M k (p(x)) + M k (q(x)) M k (λp(x)) = λp(k) = λm k (p(x)) Esempio Siano V, M k per k R come sopra. Verificare che B = M a, M b, M c, M d } è una base di V se a, b, c, d R sono tutti distinti. Poiché già sappiamo che L, L, L, L 3 } è una base di V, ci basta calcolare le coordinate dei quattro vettori di B e controllare il determinante della matrice che le ha come colonne. Osserviamo che M a = M a () L +M a (x) L +M a (x ) L +M a (x 3 ) L 3 = L +al +a L +a 3 L 3 quindi le sue coordinate sono (, a, a, a 3 ). Dunque, vogliamo calcolare det a b c d a b c d a 3 b 3 c 3 d 3 sottraendo l ultima colonna dalle altre, si ottiene det a d b d c d d a d b d c d d a 3 d 3 b 3 d 3 c 3 d 3 d 3 7
8 e sviluppando rispetto alla prima riga si trova a d b d c d ( ) det a d b d c d a 3 d 3 b 3 d 3 c 3 d 3 Ora, notiamo che a d = (a d)(a + d) e a 3 d 3 = (a d)(a + ad + d ), quindi possiamo raccogliere un fattore (a d) dalla prima colonna, uno (b d) dalla seconda e uno (c d) dalla terza, ottenendo ( )(a d)(b d)(c d) det a + d b + d c + d a + d(a + d) b + d(b + d) c + d(c + d) ora, possiamo sottrarre d volte la seconda riga dalla terza e poi d volte la prima riga dalla seconda, ottenendo ( )(a d)(b d)(c d) det a b c a b c Ripetendo il ragionamento dall inizio su questa seconda matrice (che però è più piccola) otteniamo ( ) ( )(a d)(b d)(c d)(a c)(b c) det a b ovvero (a d)(b d)(c d)(a c)(b c)(a b) Quindi non è nullo, se i quattro numeri sono tutti diversi tra loro, dunque B è una base di V. Nota La matrice a b c d a b c d a 3 b 3 c 3 d 3 si dice matrice di Vandermonde, può essere n n per ogni n (ovviamente coinvolgendo n diversi numeri reali al posto di a, b, c, d) ed ha sempre determinante non nullo (e pari al prodotto di tutte le possibili differenze, scegliendo con cura i segni) se tutti i numeri sono distinti. Ad esempio, per n = 6, tale matrice è a b c d e f a b c d e f a 3 b 3 c 3 d 3 e 3 f 3 a 4 b 4 c 4 d 4 e 4 f 4 a 5 b 5 c 5 d 5 e 5 f 5 e il suo determinante è (f a) (f b) (f c) (f d) (f e) (e a) (e b) (e c) (e d) (d a) (d b) (d c) (c a) (c b) (b a) 8
9 Esercizio 7 Sia V = R 3 [x]; dire se le seguenti applicazioni sono elementi di V (sia p(x) = a 3 x 3 + a x + a x + a un generico elemento di V ). i. L(p(x)) = p() + p() ii. L(p(x)) = p () iii. L(p(x)) = a iv. L(p(x)) = p () + p () v. L(p(x)) = (x + 3)p() vi. L(p(x)) = e a + e a vii. L(p(x)) = p(x)dx viii. L(p(x)) = sin(p()) Esercizio 8 Sia V come sopra; consideriamo, per ogni k R, l applicazione N k (p(x)) = Quindi, ad esempio, se p(x) = x + 3x, N k (p(x)) = k k p(x)dx [ x x 3 + 3xdx = 3 + 3x ] k = k k Dimostrare che N k V per ogni k R e che N a, N b, N c, N d } è una base di V se a, b, c, d R sono tutti diversi. Esercizio 9 Sia V = R [x] e sia M k (p(x)) = p(k), per k R. Trovare la base B di V che genera come base duale di V la seguente M, M, M } 3 Applicazione trasposta Richiami Sia V uno spazio vettoriale su K di dimensione n, sia B = v,..., v n } una base di V e sia B = L,..., L n } la sua base duale (base di V ). Consideriamo una applicazione lineare T : V V, associata, nella base B, ad una matrice A. L applicazione trasposta di T è l unica applicazione lineare T t : V V tale che (T t (L))(v) = L(T (v)) per ogni L V e per ogni v V. Vogliamo calcolare la sua matrice associata nella base B. Osserviamo che L (w) non è altro che la prima componente di w rispetto alla base B, quindi L (T (v)) è la prima componente di T (v) (dell immagine di v tramite T ) nella base B, quindi se noi ora al posto di un generico v mettiamo v, otterremmo che L (T (v )) è la prima componente dell immagine di v, ovvero sia a, il primo elemento della prima colonna di A (infatti, le colonne di A sono le coordinate delle immagini di v,..., v n tramite T ). 9
10 D altra parte, per definizione L (T (v )) = (T t (L ))(v ) Ora, per ogni M V, le sue coordinate nella base B sono i suoi valori sugli elementi della base B, ovvero (M(v ),..., M(v n )). Quindi (T t (L ))(v ) è la prima coordinata rispetto alla base B dell immagine di L tramite T t, ovvero è il primo elemento della prima colonna della matrice associata a T t nella base B. Dunque, tale elemento è a. Ora, il secondo elemento della prima colonna della matrice associata a T t sarà (T t (L ))(v ) che, per definizione, è uguale a L (T (v )) ovvero al primo elemento della seconda riga di A. Più in generale, l elemento sulla i-esima riga e j-esima colonna della matrice di T t sarà (T t (L j ))(v i ) ovvero L j (T (v i )), ovvero l elemento sulla j-esima riga e i-esima colonna della matrice A. Quindi, la matrice associata a T t nella base B è proprio A t, la trasposta di A, ovvero la trasposta della matrice associata a T nella base B. In generale, se ho due spazi vettoriali di dimensione finita sul campo K, V e W, data una applicazione lineare T : V W, posso definire T t : W V di modo che (T t (L))(v) = L(T (v)) per ogni v V e L W. ATTENZIONE: La trasposta si gira, ovvero, se T va da V a W, la sua trasposta T t va da W a V. Fissando una base B di V e una base C di W, otterremo una matrice A che descrive T rispetto a queste due basi; allora, costruendo le basi duali B e C (basi rispettivamente di V e W ), avremmo che la matrice associata a T t dalla base C alla base B sarà proprio A t, la trasposta di A. Esempio Consideriamo R 3 e R con le rispettive basi canoniche; sia T : R 3 R la proiezione sulle prime due componenti (ovvero T (a, a, a 3 ) = (a, a )). Date le basi B =,, ( C = ) (, determinare la matrice associata a T t : (R ) (R 3 ) rispetto alle basi duali C e B. Dalla teoria, sappiamo che tale matrice è la trasposta della matrice associata a T rispetto alle basi B e C; quest ultima è facilmente calcolabile, in quanto, rispetto alle due basi canoniche, T è rappresentata dalla matrice ( ) A = )} Inoltre, dette ( ) B = C =
11 si ha che la matrice associata a T tra le due basi B e C è ( ) ( ) ( ) C AB = = Dunqe, la matrice associata a T t tra la base C e la base B è A t = Esempio Sia V = R 4 con la base canonica e, e, e 3, e 4 }; consideriamo il suo duale V con la base duale della base canonica, L, L, L 3, L 4 }. Per definizione di base duale, Siano ora L i a a a 3 a 4 = a i i =,, 3, 4 M = L + L M = L3 + 3L 4 M 3 = L + 3L 3 M 4 = L + L 4 Verificare che B = M, M, M 3, M 4 } è una base di V e determinare la base B = v, v, v 3, v 4 } di V che ha B come base duale. Le coordinate degli M i rispetto alla base duale della base canonica sono le colonne della seguente matrice 3 3 il cui determinante è 5, dunque gli M i formano una base. Ora, sia T : V V l applicazione lineare sul duale definita da T (L i ) = M i Rispetto alla base duale della base canonica, T è associata alla matrice A = 3 3 Noi vogliamo trovare dei vettori v, v, v 3, v 4 } tali che i = j M i (v j ) = i j Ovvero sia tali che (T (L i ))(v j ) = i = j i j
12 Se riusciamo a trovare T : V V tale che T t = T, avremo che Ma allora, se vogliamo che (T (L i )(v j ) = (T t (L i ))(v j ) = L i (T (v j )) (T (L i ))(v j ) = i = j i j si dovrà per forza avere che T (v j ) = e j. Quindi, i vettori cercati saranno T (e ), T (e ), T (e 3 ), T (e 4 ). Per trovare una tale T, basta considerare l applicazione che, rispetto alla base canonica, è associata alla matrice A t (che chiameremo A): A = 3 3 questa è la matrice della applicazione T cercata rispetto alla base canonica. Dunque i vettori voluti sono le immagini della base canonica tramite A, ovvero sono le colonne di A, che è Dunque, i vettori cercati sono 9/5 v = 4/5 4/5 v = 8/ /5 /5 /5 9/5 v 3 = 3/5 /5 3/5 6/5 v 4 = /5 /5 /5 /5 Ricapitolando, dati gli elementi del duale M, M, M 3, M 4, detta A la matrice che ha come colonne le loro coordinate rispetto alla base duale della base canonica, devo calcolare la matrice (A t ) ; le colonne di quest ultima saranno le coordinate, rispetto alla base canonica, di quattro vettori v, v, v 3, v 4 che hanno gli M i come base duale. Esercizio Sia definita da Dato l insieme T a a a 3 T : R 3 R 4 = a + a a 4a 3 a + a 3 + a 4 a a 4 B =,, 3
13 verificare che è una base di R 3 e scrivere la trasposta di T rispetto alla base B di (R 3 ) e alla base duale di quella canonica in (R 4 ). Esercizio Consideriamo R 3 con la base canonica e il suo duale (R 3 ) con la base canonica duale. Verificare che le seguenti applicazioni a a a M a = a + 3a 3 M a = a + a M 3 a = a + a 3 a 3 a 3 a 3 sono elementi del duale e che formano una base. Determinare i vettori v, v, v 3 } in R 3 da cui M, M, M 3 } si ottengono come base duale. 3
Appunti di Geometria - 3
Appunti di Geometria - 3 Samuele Mongodi - smongodi@snsit Cambi di base nel duale Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia V il suo duale Supponiamo di avere fissate due basi
DettagliEsercizi di geometria per Fisica / Fisica e Astrofisica
Esercizi di geometria per Fisica / Fisica e Astrofisica Foglio 3 - Soluzioni Esercizio. Stabilire se i seguenti sottoinsiemi di R 3 sono sottospazi vettoriali: (a) S = {(x y z) R 3 : x + y + z = }. (b)
DettagliAPPUNTI SULLA DIAGONALIZZAZIONE Corso Prof. F.Podestà, a.a
APPUNTI SULLA DIAGONALIZZAZIONE Corso Prof FPodestà, aa 003-004 Sia V uno spazio vettoriale e sia f : V V una applicazione lineare una tale applicazione da uno spazio vettoriale in se stesso è chiamata
DettagliAUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI
AUTOVALORI, AUTOVETTORI, AUTOSPAZI. Esercizi Esercizio. Sia f : R 3 R 3 l endomorfismo definito da f(x, y, z) = (x+y, y +z, x+z). Calcolare gli autovalori ed una base per ogni autospazio di f. Dire se
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 27 GIUGNO 2016
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 7 GIUGNO 06 MATTEO LONGO Ogni versione del compito contiene solo due tra i quattro esercizi 6-7-8-9. Esercizio. Considerare
DettagliI. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.
ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio
DettagliParte 7. Autovettori e autovalori
Parte 7. Autovettori e autovalori A. Savo Appunti del Corso di Geometria 23-4 Indice delle sezioni Endomorfismi, 2 Cambiamento di base, 3 3 Matrici simili, 6 4 Endomorfismi diagonalizzabili, 7 5 Autovettori
DettagliSoluzione della prova scritta di di Algebra lineare del 10 giugno Esercizio 1
Soluzione della prova scritta di di Algebra lineare del 0 giugno 05 Esercizio (a) La matrice A che rappresenta f rispetto alle basi assegnate è la seguente: A = 0 0 0 (b) Applicando il metodo di Gauss
Dettagli0.1 Coordinate in uno spazio vettoriale
0.. COORDINATE IN UNO SPAZIO VETTORIALE 0. Coordinate in uno spazio vettoriale Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n costruito sul campo K. D ora in poi, ogni volta che sia fissata una base
DettagliGeometria e algebra lineare 7/2/2018 Corso di laurea in Ing. Elett. Tel., Ing. Inf. Org. e Informatica Correzione
Geometria e algebra lineare 7//08 Corso di laurea in Ing. Elett. Tel., Ing. Inf. Org. e Informatica Correzione A Esercizio A Siano r la retta passante per i punti A = (0,, 0) e B = (,, ) ed s la retta
Dettagli18 aprile Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Modulo di Geometria e Algebra Lineare (vecchio programma) 2 settembre 2013 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Modulo di Geometria e Algebra Lineare (vecchio programma) settembre 013 Tema A Tempo a disposizione: ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 LUGLIO 2015
FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA INGEGNERIA CHIMICA E DEI MATERIALI 8 LUGLIO 2015 MATTEO LONGO Svolgere entrambe le parti (Teoria ed Esercizi Si richiede la sufficienza su entrambe le parti 1
DettagliSPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE
SPAZI EUCLIDEI, APPLICAZIONI SIMMETRICHE, FORME QUADRATICHE. Esercizi Esercizio. In R calcolare il modulo dei vettori,, ),,, ) ed il loro angolo. Esercizio. Calcolare una base ortonormale del sottospazio
DettagliLezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio
Lezioni di Algebra Lineare con applicazioni alla Geometria Analitica Errata Corrige Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Riportiamo di seguito gli errata corrige principali, aggiornati alla data
DettagliCorso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni
Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare
DettagliIntersezione e somma di sottospazi vettoriali
Capitolo 7 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali 7.1 Introduzione Ricordiamo le definizioni di intersezione e somma di due sottospazi vettoriali. Anche in questo caso rimandiamo al testo di geometria
DettagliINGEGNERIA EDILE ARCHITETTURA ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 19 GIUGNO 2012
INGEGNERIA EDILE ARCHITETTURA ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 19 GIUGNO 2012 MATTEO LONGO Esercizio 1. Al variare del parametro a R, si consideri l applicazione lineare L a : R R definita dalle
Dettaglia + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d
SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,
Dettagli0.1 Coordinate in uno spazio vettoriale
.1. COORDINATE IN UNO SPAZIO VETTORIALE 1.1 Coordinate in uno spazio vettoriale Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n costruito sul campo K. D ora in poi, ogni volta che sia fissata una base
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE0 - Geometria a.a. 07-08 Prova scritta del 7-7-08 TESTO E SOLUZIONI Svolgere tutti gli esercizi.. Per R considerare il sistema lineare X
DettagliProva scritta di Geometria 1 Docente: Giovanni Cerulli Irelli 20 Gennaio 2017
Prova scritta di Geometria Docente: Giovanni Cerulli Irelli Gennaio 7 Esercizio. Si considerino i seguenti tre punti dello spazio euclideo: P :=, Q :=, R :=.. Dimostrare che P, Q ed R non sono collineari.
DettagliLezioni di Algebra Lineare V. Autovalori e autovettori
Lezioni di Algebra Lineare V. Autovalori e autovettori Versione novembre 2008 Contenuto 1. Cambiamenti di base 2. Applicazioni lineari, matrici e cambiamenti di base 3. Autovalori e autovettori 2 1. Cambiamenti
DettagliGeometria per Fisica e Astrofisica
Geometria per Fisica e Astrofisica Soluzione esercizi - Foglio 3 Esercizio. Risolvere i seguenti sistemi lineari al variare dei parametri reali α β e k < < (a) x + y z = αx + αy + βz = x + y z = β. (b)
DettagliATTENZIONE: : giustificate le vostre argomentazioni! Geometria Canale 3. Lettere J-PE (Prof P. Piazza) Esame scritto del 12/02/2014. Compito A.
Geometria Canale. Lettere J-PE (Prof P. Piazza) Esame scritto del 12/02/2014. Compito A. Nome e Cognome: Numero di Matricola: Esercizio Punti totali Punteggio 1 7 2 6 6 4 6+1 5 6+2 Totale 1+ ATTENZIONE:
DettagliParte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale
Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale A. Savo Appunti del Corso di Geometria 3-4 Indice delle sezioni Prodotto scalare in R n, Basi ortonormali, 4 3 Algoritmo di Gram-Schmidt, 7 4 Matrici ortogonali,
DettagliEsercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva
Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 10 aprile 01 Esercizio 1 Sia E 3 lo spazio euclideo tridimensionale dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate
DettagliIntersezione e somma di sottospazi vettoriali
Capitolo 6 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali 6.1 Introduzione Ricordiamo le definizioni di intersezione e somma di due sottospazi vettoriali. Anche in questo caso rimandiamo al testo di geometria
DettagliA =, c d. d = ad cb. c d A =
Geometria e Algebra (II), 271112 1 Definizione D ora innanzi, al posto di dire matrice quadrata di tipo n n o matrice quadrata n n diremo matrice quadrata di ordine n o in breve matrice di ordine n Il
DettagliDiagonalizzabilità di endomorfismi
Capitolo 16 Diagonalizzabilità di endomorfismi 16.1 Introduzione Nei capitoli precedenti abbiamo definito gli endomorfismi su uno spazio vettoriale E. Abbiamo visto che, dato un endomorfismo η di E, se
Dettagli11 settembre Soluzione esame di geometria - Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura 3 ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliAlgebra lineare e geometria AA Appunti sul cambio di base in uno spazio vettoriale
Algebra lineare e geometria AA. -7 Appunti sul cambio di base in uno spazio vettoriale Matrice di un applicazione lineare Siano V e W due spazi vettoriali su un campo K {R, C}, entrambi finitamente generati,
DettagliPROVA SCRITTA DEL 10 LUGLIO 2008 e SOLUZIONI. Per ognuno dei seguenti quiz indicare l unica risposta corretta tra le quattro proposte.
Geometria B1-02efe Geometria - 13bcg PROVA SCRITTA DEL 10 LUGLIO 2008 e SOLUZIONI Per ognuno dei seguenti quiz indicare l unica risposta corretta tra le quattro proposte. Esercizio 1. Sia u, v, w vettori
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE0 - Geometria a.a. 20-202 Prova scritta del 2-6-202 TESTO E SOLUZIONI. Per k R considerare il sistema lineare X + ky + Z = 2 kx ky + Z =
DettagliMatrici jordanizzabili
Capitolo 17 Matrici jordanizzabili 17.1 Introduzione Abbiamo visto che non tutte le matrici sono simili a matrici diagonali. Mostreremo in questo capitolo che alcune matrici sono simili a matrici di Jordan.
DettagliAlgebra lineare e geometria AA Esercitazione del 14/6/2018
Algebra lineare e geometria AA. 2017-2018 Esercitazione del 14/6/2018 1) Siano A, B due matrici n n tali che 0 < rk(a) < rk(b) = n. (a) AB è invertibile. (b) rk(ab) = nrk(b). (c) det(ab) = det(a). (d)
DettagliAPPUNTI DI ALGEBRA LINEARE
APPUNTI DI ALGEBRA LINEARE. Definizione Si dice spazio vettoriale (sul campo dei numeri reali R) un insieme V per il quale siano definite l operazione interna di somma (che ad ogni coppia di vettori e
DettagliSomma diretta di sottospazi vettoriali
Capitolo 8 Somma diretta di sottospazi vettoriali 8.1 Introduzione Introduciamo un caso particolare di somma di due sottospazi vettoriali: la somma diretta. Anche questo argomento è stato visto nel corso
DettagliCORSO DI GEOMETRIA APPLICAZIONI LINEARI E MATRICI A.A. 2018/2019 PROF. VALENTINA BEORCHIA
CORSO DI GEOMETRIA APPLICAZIONI LINEARI E MATRICI AA 2018/2019 PROF VALENTINA BEORCHIA INDICE 1 Matrici associate a un applicazione lineare 1 2 Cambiamenti di base 4 3 Diagonalizzazione 6 1 MATRICI ASSOCIATE
Dettagli0.1 Soluzioni esercitazione IV, del 28/10/2008
1 0.1 Soluzioni esercitazione IV, del 28/10/2008 Esercizio 0.1.1. Risolvere, usando il teorema di Cramer, i seguenti sistemi lineari 2x + y + z = 0 x + 3z = 1 x y z = 1 kx + y z = 1 x y + 2z = 1 2x + 2y
DettagliCORSO DI ALGEBRA (M-Z) Prof. A. Venezia
CORSO DI ALGEBRA (M-Z) Prof. A. Venezia 2015-16 Complementi ed Esercizi 1. AUTOVETTORI e AUTOVALORI di ENDOMORFISMI e MATRICI Una applicazione lineare avente per dominio e condominio lo stesso spazio vettoriale
DettagliCorso di GEOMETRIA Dipartimento di Ingegneria ed Architettura Università degli Studi di Trieste Prof. Fabio Perroni. 3. Sistemi di equazioni lineari
Corso di GEOMETRIA Dipartimento di Ingegneria ed Architettura Università degli Studi di Trieste Prof Fabio Perroni 3 Sistemi di equazioni lineari Siano m, n N \ {}, sia K un campo Definizione a) Un sistema
DettagliGeometria BAER Test di autovalutazione del 31/10/18
Geometria BAER Test di autovalutazione del 3//8 LEGGERE ATTENTAMENTE PRIMA DI ANDARE ALL INIZIO DEL TEST ALLA PAGINA SUCCESSIVA. NON LEGGERE LE DOMANDE PRIMA DI INIZIARE IL TEST Il test NON É VALUTATO
Dettagli4 Autovettori e autovalori
4 Autovettori e autovalori 41 Cambiamenti di base Sia V uno spazio vettoriale tale che dim V n Si è visto in sezione 12 che uno spazio vettoriale ammette basi distinte, ma tutte con la medesima cardinalità
DettagliGeometria Prova scritta, appello unico, sessione autunnale Corso di laurea in fisica A.A 2017/2018 Canali A C, e L Pa
Geometria Prova scritta, appello unico, sessione autunnale Corso di laurea in fisica A.A 27/28 Canali A C, e L Pa Durata: 2 ore e 3 minuti Simone Diverio Alessandro D Andrea Paolo Piccinni 7 settembre
DettagliCorso di Laurea in Fisica. a.a Geometria. Canale L-PE (Prof. Paolo Piazza). Compito a casa del 30/11/12 (nono compito). SOLUZIONI.
Corso di Laurea in Fisica. a.a. 2012-1. Geometria. Canale L-PE (Prof. Paolo Piazza. Compito a casa del 0/11/12 (nono compito. SOLUZIONI. Soluzione esercizio 1. Usiamo la linearità di F. Vogliamo calcolare
Dettaglir 2 r 2 2r 1 r 4 r 4 r 1
SPAZI R n 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x, y, z)
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 9
Geometria BAER Canale A-K Esercizi 9 Esercizio Sia (V,, ) uno spazio metrico Si mostri che se U V, v V, p U la proiezione ortogonale su U, allora v p U (v) U Soluzione: Il vettore v si scrive in modo unico
DettagliDefinizione 1 Un insieme (V, +, ) dotato delle due operazioni: - + somma di elementi v 1 V, v 2 V ;
Spazi vettoriali Definizione Un insieme (V, +, ) dotato delle due operazioni: - + somma di elementi v V, v V ; - prodotto per uno scalare λ K, (K campo); e chiuso rispetto ad esse, è uno spazio vettoriale
DettagliEsercizi di ripasso: geometria e algebra lineare.
Esercizi di ripasso: geometria e algebra lineare. Esercizio. Sia r la retta passante per i punti A(2,, 3) e B(,, 2) in R 3. a. Scrivere l equazione cartesiana del piano Π passante per A e perpendicolare
DettagliAlgebra lineare e geometria AA Appunti sul cambio di base in uno spazio vettoriale
Algebra lineare e geometria AA. 8-9 Appunti sul cambio di base in uno spazio vettoriale Matrice di un applicazione lineare Siano V e W due spazi vettoriali su un campo K {R, C}, entrambi finitamente generati,
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 8
Geometria BAER Canale A-K Esercizi 8 Esercizio. Si consideri il sottospazio U = L v =, v, v 3 =. (a) Si trovino le equazioni cartesiane ed una base ortonormale di U. (b) Si trovi una base ortonormale di
DettagliEsercizi di Geometria - 1
Esercizi di Geometria - Samuele Mongodi - smongodi@snsit Di seguito si trovano alcuni esercizi assai simili a quelli che vi troverete ad affrontare nei test e negli scritti dell esame Non è detto che vi
DettagliCompito di MD 1 0 aprile 2014
Compito di MD aprile 24 IMPORTANTE: Non si possono consultare libri e appunti. Non si possono usare calcolatrici, computer o altri dispositivi elettronici. Non si può scrivere con il lapis. Motivare in
DettagliINGEGNERIA EDILE ARCHITETTURA ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 17 SETTEMBRE 2012
INGEGNERIA EDILE ARCHITETTURA ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 7 SETTEMBRE 202 Esercizio. Sia V = R[X] 2 lo spazio vettoriale dei polinomi ax 2 + bx + c nella variabile X di grado al più 2 a coefficienti
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a. 2016-2017 Prova scritta del 29-1-2018 TESTO E SOLUZIONI Svolgere tutti gli esercizi. 1. Per k R considerare il sistema
DettagliApplicazioni lineari simmetriche e forme quadratiche reali.
Applicazioni lineari simmetriche e forme quadratiche reali 1 Applicazioni lineari simmetriche Consideriamo lo spazio IR n col prodotto scalare canonico X Y = t XY = x 1 y 1 + + x n y n Definizione Un applicazione
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a. 014-01 Prova scritta del 1-6-01 TESTO E SOLUZIONI Avvertenze: A. Per il recupero del primo esonero svolgere gli esercizi
DettagliPer le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.
COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda
Dettagli{Geometria per [Fisica e (Fisica e Astrofisica)]}
{Geometria per [Fisica e (Fisica e Astrofisica)]} Foglio 9 - Soluzioni Esercizio (facoltativo) Un quadrato magico reale di ordine n è una matrice di M n n (R) tale che sommando gli elementi di ogni sua
DettagliGeometria Appello I Sessione Invernale Corso di laurea in fisica A.A 2018/2019 Canali A C, L Pa, Pb Z
Geometria Appello I Sessione Invernale Corso di laurea in fisica A.A 8/9 Canali A C, L Pa, Pb Z Durata: ore e 3 minuti Alessandro D Andrea Simone Diverio Paolo Piccinni Riccardo Salvati Manni 5 giugno
Dettagli1 settembre Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliUniversità degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di Geometria 1
Università degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di Geometria 1 A.A. 28-29 - Docente: Prof. E. Sernesi Tutori: Andrea Abbate e Matteo Acclavio Soluzioni del tutorato numero 1 14
Dettagli14 febbraio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliGeometria BAER I canale Foglio esercizi 5
Geometria BAER I canale Foglio esercizi 5 Esercizio. Si considerino i sottospazi di R 4 : E = L[v =, v = Si trovi una base di E F. ] F = L[w = 3, w = 4, w 3 = Soluzione: Osserviamo che w 3 = w + w, dunque
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA DELLE TELECOMUNICAZIONI FOGLIO DI ESERCIZI # GEOMETRIA E ALGEBRA 009/0 Esercizio.. Dati i vettori di R : v (,, ), v (, 4, 6), v (,, 5), v 4 (,, 0) determinare se v 4 è combinazione
DettagliCorso di Laurea in Fisica. Geometria 1. a.a Gruppo B. Prof. P. Piazza Soluzioni compito a casa del 17/11/06 B =
Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a. 26-7. Gruppo B. Prof. P. Piazza Soluzioni compito a casa del 7//6 Soluzione esercizio. Sia B {e, e 2 } e sia B {v, v 2 }. La matrice B del cambiamento di base
DettagliCompiti di geometria & algebra lineare. Anno: 2004
Compiti di geometria & algebra lineare Anno: 24 Anno: 24 2 Primo compitino di Geometria e Algebra 7 novembre 23 totale tempo a disposizione : 3 minuti Esercizio. [8pt.] Si risolva nel campo complesso l
DettagliCorso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 4: soluzioni
Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Esercizio. Sono dati i seguenti sistemi lineari omogenei nelle incognite x, y, z: { x + y z = x + y z = x + y z = S : x y + z =, S :, S 3 : x 3y =,
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE Vincenzo Di Gennaro Sono raccolti, in ordine cronologico, gli esercizi di Algebra Lineare proposti nelle prove scritte per i vari corsi di Geometria 1 che ho tenuto presso la
DettagliGeometria BAER Canale A-K Esercizi 8
Geometria BAER 6-7 Canale A-K Esercizi 8 Esercizio Si consideri il sottospazio (a) Si trovi una base ortonormale di U (b) Si trovi una base ortonormale di U U = L v =, v, v 3 = (c) Si scriva la matrice
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007
ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala
Dettaglidipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V?
Esercizi Esercizi. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2, v linearmente indipendenti. Cosa possiamo dire sulla dimensione di V? 2. In uno spazio vettoriale V ci sono tre vettori v, v 2,
DettagliMatrici simili. Matrici diagonalizzabili.
Matrici simili. Matrici diagonalizzabili. Definizione (Matrici simili) Due matrici quadrate A, B si dicono simili se esiste una matrice invertibile P tale che B = P A P. () interpretazione: cambio di base.
DettagliA = e 1 = e 2 + e 3, e 2 = e 1 + e 3, e 3 = e 1, ; e 3 =
aa -6 Soluzioni Esercizi Applicazioni lineari Sia data l applicazione lineare F : R R, F X A X, dove A i Sia {e, e, e } la base canonica di R Far vedere che i vettori e e + e, e e + e, e e, formano una
DettagliApplicazioni lineari e diagonalizzazione
Applicazioni lineari e diagonalizzazione Autospazi Autovettori e indipendenza lineare Diagonalizzabilità e autovalori 2 2006 Politecnico di Torino 1 Esempio (1/6) Utilizzando un esempio già studiato, cerchiamo
DettagliEquivalentemente, le colonne di A sono linearmente indipendenti se e solo se
Lezioni di Algebra Lineare. Versione novembre 2008 VI. Il determinante Il determinante det A di una matrice A, reale e quadrata, è un numero reale associato ad A. Dunque det è una funzione dall insieme
Dettagli0 0 c. d 1. det (D) = d 1 d n ;
Registro Lezione di Algebra lineare del 23 novembre 216 1 Matrici diagonali 2 Autovettori e autovalori 3 Ricerca degli autovalori, polinomio caratteristico 4 Ricerca degli autovettori, autospazi 5 Matrici
DettagliF x 1 = x 1 + x 2. 2x 1 x 2 Determinare la matrice C associata a F rispetto alla base canonica (equivalentemente,
Corso di Laurea in Fisica. Geometria 1. a.a. 2006-07. Gruppo B. Prof. P. Piazza Esonero del 1/12/06 con soluzione Esercizio. Spazio vettoriale R 2 con base canonica fissata e coordinate associate (x 1,
DettagliINGEGNERIA EDILE ARCHITETTURA ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 25 FEBBRAIO a a. A a = 1 a 0
INGEGNERIA EDILE ARCHITETTURA ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA 5 FEBBRAIO 013 Esercizio 1. Al variare del parametro a R, si consideri la matrice A a = 1 a 0 a 1 0. 1 1 a (1) Si discuta al variare
DettagliCapitolo 5 Applicazioni lineari Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare. Marco Robutti
Capitolo 5 Applicazioni lineari Esercizi svolti Tutorato di geometria e algebra lineare Marco Robutti 5 Ottobre 27 Introduzione Gli esercizi di questo capitolo riguardano i seguenti argomenti: Data un
DettagliAlgebra lineare Geometria 1 15 luglio 2009
Algebra lineare Geometria 1 15 luglio 2009 Esercizio 1. Nello spazio vettoriale reale R 3 [x] si considerino l insieme A k = {1 + x, k + (1 k)x 2, 1 + (k 1)x 2 + x 3 }, il vettore v k = k + kx x 3 e la
DettagliCorso di Laurea in Scienza dei Materiali PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 27/09/2016 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI
Corso di Laurea in Scienza dei Materiali PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA DEL 7/9/6 SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI PROPOSTI Esercizio. Si consideri la quadrica affine C d equazione cartesiana xy + yz z + 4x =. ()
DettagliMatematica Discreta I
Matematica Discreta I 5 Febbraio 8 TEMA A Esercizio Sia data la matrice A M (R) A = (i) Calcolare gli autovalori di A (ii) Determinare una base di R composta di autovettori di A (iii) Diagonalizzare la
DettagliEsercizi di Geometria - 2
Esercizi di Geometria - 2 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it La prima sezione contiene alcune domande aperte e alcune domande verofalso, come quelle che potrebbero capitare nel test. E consigliabile, nel
DettagliAlgebra lineare e geometria AA Soluzioni della simulazione
Algebra lineare e geometria AA. 2018-2019 Soluzioni della simulazione QUIZ Q1. Sia A R nn una matrice che ammette l autovalore λ 0 con molteplicità algebrica k. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE110 - Geometria 1 a.a. 2012-2013 Prova scritta del 15-7-2013 TESTO E SOLUZIONI A. Per il primo esonero svolgere gli esercizi 1,2,3; B. Per
DettagliFederica Gregorio e Cristian Tacelli
1 Sistemi lineari Federica Gregorio e Cristian Tacelli Un sistema lineare m n (m equazioni in n incognite) è un insieme di equazioni lineari che devono essere soddisfatte contemporaneamente a 11 x 1 +
Dettagli18 gennaio Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura ore. ISTRUZIONI Ti sono stati consegnati tre fogli, stampati fronte e retro. Come prima cosa scrivi
DettagliDiagonalizzazione di matrici: autovalori, autovettori e costruzione della matrice diagonalizzante 1 / 13
Diagonalizzazione di matrici: autovalori, autovettori e costruzione della matrice diagonalizzante 1 / 13 Matrici diagonali 2 / 13 Ricordiamo che una matrice quadrata si dice matrice diagonale se a ij =
DettagliFONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Cognome Nome Matricola FONDAMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Ciarellotto, Esposito, Garuti Prova del 21 settembre 2013 Dire se è vero o falso (giustificare le risposte. Bisogna necessariamente rispondere
Dettagli1 Addendum su Diagonalizzazione
Addendum su Diagonalizzazione Vedere le dispense per le definizioni di autovettorre, autovalore e di trasformazione lineare (o matrice) diagonalizzabile. In particolare, si ricorda che una condizione necessaria
DettagliIsometrie e cambiamenti di riferimento
Isometrie e cambiamenti di riferimento Isometrie Le isometrie sono trasformazioni del piano o dello spazio che conservano angoli e distanze. Esempi sono le rotazioni del piano, le riflessioni in una retta
DettagliCorso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a Prof. P. Piazza Soluzione compito a casa del 24/10/09
Corso di Laurea in Fisica. Geometria. a.a. 29-. Prof. P. Piazza Soluzione compito a casa del 24//9 Soluzione esercizio. Siano A e B due matrici simmetriche e λ un numero reale. Dobbiamo mostrare che anche
DettagliCorso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1. Prova scritta del 30 gennaio 2017
Corso di Laurea in Matematica - Esame di Geometria 1 Prova scritta del 30 gennaio 2017 Cognome Nome Numero di matricola Voto ATTENZIONE. Riportare lo svolgimento completo degli esercizi. I soli risultati,
DettagliALGEBRA C. MALVENUTO
ALGEBRA CANALE A-L ESAME SECONDA PARTE SECONDO ESONERO 27 GENNAIO 22 C. MALVENUTO Istruzioni. Completare subito la parte inferiore di questa pagina con il proprio nome, cognome e firma. Scrivere solamente
DettagliGEOMETRIA 1 terza parte
GEOMETRIA 1 terza parte Cristina Turrini C. di L. in Fisica - 2014/2015 Cristina Turrini (C. di L. in Fisica - 2014/2015) GEOMETRIA 1 1 / 32 index Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari 2 Nucleo e
DettagliCorso di Geometria - CdL triennale in Ingegneria a.a
Corso di Geometria - CdL triennale in Ingegneria a.a. 8-9 C. Liverani, J. Garofali Tutorato del 3/5/9 Cambiamenti di base Per fissare le notazioni ricordiamo che date due basi B = {v,..., v n } e B = {v,...,
Dettagli