determinante della sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna

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1 Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce minore complementare m ij dell elemento generico a ij della matrice A il determinante della sottomatrice ottenuta da A cancellando la i-esima riga e la j-esima colonna 1

2 A n 2 A 2 A 2 A 2 A m è il minore complementare di a 11 1 m è il minore complementare di a 12 2 m è il minore complementare di a 21 3 m è il minore complementare di a

3 6 8 3 n m è il minore complementare di a 11 1 m è il minore complementare di a 12 3 m è il minore complementare di a

4 m è il minore complementare di a 21 2 m è il minore complementare di a 22 7 m è il minore complementare di a

5 m è il minore complementare di a 31 6 m è il minore complementare di a 32 8 m è il minore complementare di a

6 Data una matrice quadrata A di ordine n si definisce complemento algebrico c ij dell elemento generico a ij della matrice A il minore complementare di a ij, preso con il segno positivo o negativo a seconda che i+j sia rispettivamente pari o dispari c ij ( 1) i+j m ij 6

7 A n 2 (cfr. slide 2 per i minori complementari) i j c ( 1) + m ( 1) è il complemento algebrico di a c 12 i+ j ( ) m ( ) è il complemento algebrico di a 12 2 c 21 i+ j ( ) m ( ) è il complemento algebrico di a 21 3 c 22 i+ j ( ) m ( ) è il complemento algebrico di a

8 6 8 3 n 3 c 11 i+ j ( 1) m11 ( 1) + ( 21 32) è il complemento algebrico di a 11 1 c 12 i+ j ( 1) m12 ( 1) ( 6 24) è il complemento algebrico di a 12 3 (cfr. slide 3 per i minori complementari) c 13 i+ j ( 1) m13 ( 1) + ( 16 42) è il complemento algebrico di a

9 6 8 3 c 21 i+ j ( 1) m21 ( 1) ( 9 40) è il complemento algebrico di a 21 2 c 22 i + j ( 1) m22 ( 1) + ( 3 30) è il complemento algebrico di a 22 7 (cfr. slide 4 per i minori complementari) c 23 i+ j ( 1) m23 ( 1) ( 8 18) è il complemento algebrico di a

10 6 8 3 c 31 i+ j ( 1) m31 ( 1) + ( 12 35) è il complemento algebrico di a 31 6 c 32 i + j ( 1) m32 ( 1) ( 4 10) è il complemento algebrico di a 32 8 (cfr. slide 5 per i minori complementari) c 33 i+ j ( 1) m33 ( 1) + ( 7 6) è il complemento algebrico di a

11 Data una qualunque matrice A di ordine m n si definisce minore estratto dalla matrice A di ordine m i il determinante ottenuto da A cancellando i righe e j colonne in modo tale che risulti m i n j 11

12 Osservazioni! Ogni elemento di una qualunque matrice A è un minore del primo ordine estratto da A Data una qualunque matrice rettangolare A di ordine m n risulta sempre possibile estrarre da essa dei minori aventi per ordine il più piccolo tra i numeri m ed n 12

13 A m 3 > n 2 1, 2, 3, 5, 7, 9 sono tutti i minori estraibili da A del primo ordine: si ottengono considerando, passo dopo passo, tutti gli elementi di A ,, sono tutti i minori estraibili da A del secondo ordine: si ottengono cancellando, passo dopo passo, le tre 13 righe di A

14 A m 2 < n 3 1, 2, 3, 2, 1, 0 sono tutti i minori estraibili da A del primo ordine: si ottengono considerando, passo dopo passo, tutti gli elementi di A ,, sono tutti i minori estraibili da A del secondo ordine: si ottengono cancellando, passo dopo passo, le tre 14 colonne di A

15 A m 3 < n 4 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 6, 1, 1, 3, 3 sono tutti i minori estraibili da A del primo ordine: si ottengono considerando, passo dopo passo, tutti gli elementi di A ,,,,,, sono solo alcuni minori estraibili da A del secondo ordine: sono stati ottenuti cancellando, passo dopo passo, 15 una riga e due colonne di A

16 A , 2 2 6, 2 4 6, sono tutti i minori estraibili da A del terzo ordine: si ottengono cancellando, passo dopo passo, le quattro colonne di A 16

17 Per calcolare il determinante di una matrice quadrata A di ordine n 3 (n 3, 4, 5, 6, ) occorre fissare una riga (o colonna) a piacere e poi sommare i prodotti degli elementi della riga (o colonna) scelta per i rispettivi complementi algebrici 17

18 Osservazione! La regola precedente è applicabile anche per matrici quadrate di ordine 3, cioè per: a a a a a a a a a A 4 a a a a a a a a a a a a a a a a A 5 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

19 Regola pratica! Per calcolare il determinante di una matrice quadrata A di ordine n 3 (n 3, 4, 5, 6, ) si procede come segue: si fissa una riga (o colonna) a proprio piacere (generalmente quella con un maggior numero di zeri) si applica la regola dei segni (cfr. slide 20) si sommano i prodotti ottenuti moltiplicando gli elementi della riga (o colonna) scelta per i propri minori complementari Metodo di laplace 19

20 Regola dei segni! Data una matrice quadrata A di ordine n 3, all elemento a 11 si attribuisce sempre il segno positivo; si procede, per righe e per colonne, mai per diagonali, a segni alterni; il procedimento si arresta nel momento in cui, a ciascun elemento della riga (o colonna) scelta a priori, sia stato attribuito un segno 20

21 A è una matrice quadrata di ordine n 1 deta 1 a 11 A è una matrice quadrata di ordine n 2 deta 2 a 11 a 22 a 12 a 21 21

22 A è una matrice quadrata di ordine n 3 Sarrus Laplace A è una matrice quadrata di ordine n 4 (n 4, 5, 6, ) Laplace 22

23 Esempio n 3 Sarrus det

24 fissiamo, ad esempio, la prima riga per la regola dei segni

25 Laplace det ( 1) ( ) 2 ( 25 6) + ( 1) ( 35 12) Se l ordine della matrice è 3 risulta sempre possibile calcolare il suo determinante applicando indifferentemente Sarrus o Laplace 25

26 A 4 Esempio n 4 fissiamo, ad esempio, la terza riga A

27 per la regola dei segni A Laplace deta ( ) ( 2 2) 0 ( 2 + 2) + ( 1) ( 1 2 3) + ( 1) ( 2 4 6)

28 Osservazioni! I determinanti del terzo ordine dell esempio 2 possono essere calcolati utilizzando indifferentemente Sarrus o Laplace Nell esempio 2 è stato sufficiente calcolare gli ultimi due determinanti del terzo ordine (gli altri sono moltiplicati per 0!!!) Quando si utilizza Laplace conviene fissare sempre una riga (o una colonna) nella quale ci sia un maggior numero di zeri (i calcoli si semplificano!!!) 28