1 Esercizi 19. 2(3) 5( 2) + k = 0 (1) da cui ricaviamo k = 16 e la retta desiderata è 2x 5y 16 = 0.

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1 Esercizi 9. Scrivere l equazione cartesiana della retta per P (3, 2) parallela alla retta 2x y + 4 = 0. Soluzione. La retta cercata deve essere della forma 2x y + k = 0 con k da determinarsi imponendo il passaggio per P. Dunque 2(3) ( 2) + k = 0 () da cui ricaviamo k = 6 e la retta desiderata è 2x y 6 = Scrivere l equazione cartesiana della retta per P (3, 2) perpendicolare alla retta 2x y + 4 = 0. Soluzione. Possiamo prendere il fascio di centro P scrivendo λ(x 3) + µ(y + 2) = 0 (questo perché un fascio è determinato prendendo due rette qualunque che passano per il centro, per esempio le rette di equazione x 3 = 0 e y + 2 = 0 e prendendo una loro combinazione lineare). Semplificando dunque abbiamo che una retta del fascio ha

2 equazione λx+µy +( 3λ+2µ) = 0. La condizione di perpendicolarità è aa + bb = 0 cioè 2λ µ = 0 da cui prendiamo, tra le infinite possibilità, λ =, µ = 2 e la retta desiderata è x + 2y 3() + 2(2) = 0, ossia x + 2y. Osserviamo che altre scelte di λ e µ che soddisfano la relazione danno comunque luogo alla stessa retta soluzione. 3. Nel fascio di rette individuato dalle rette di equazioni x y + 3 = 0 e x + 3y = 0 determinare: (a) la retta per P (, ); (b) la retta parallela a quella di equazione -x+2y=0 Soluzioni. (a) Una retta generica del fascio è λ(x y + 3) + µ(x + 3y ) = 0. Questa equazione è soddisfatta dalle coordinate di P se λ + µ( 3) = 0. Prendendo λ = 3 e µ = abbiamo l equazione 3(x y + 3) + (x + 3y ) = 0 quindi 2x + 3y + = 0 2

3 (b) La condizione di parallelismo si può scrivere a b a b = 0 ossia ab a b = 0 Nel nostro caso: λ + µ λ + 3µ 2 = 0 ossia 2λ + 2µ λ + 3µ = 0 e semplificando: λ+µ, da cui λ =, µ =. La retta desiderata ha quindi equazione x 2y + 4 = 0 3

4 4. Dato il triangolo di vertici O, A(2, 0), B(, 2) verificare che le mediane si incontrano in un punto (baricentro). Soluzione. Verifichiamo che le mediane appartengono ad un fascio di rette. Le coordinate del punto medio di OA sono (, 0) e la mediana per B ha quindi equazione x =. Le coordinate del punto medio di OB sono ( x 2, ) e la relativa mediana ha equazione = y ossia x + 3y 4 = 0. Infine il punto medio di AB ha coordinate ( 3, ) 2 e quindi la mediana relativa ha equazione 2x 3y = 0. Verifichiamo infine l annullarsi del determinante: = = 2 ( 6 6) = 0 come richiesto.. Calcolare l angolo tra le seguenti rette orientate (a) r : x + 2y = 0 orientata nel verso delle x crescenti e s : 3x y + 7 = 0 orientata nel verso delle y decrescenti. Soluzione. Abbiamo ( ) 2 r = se però vogliamo che la retta sia orientata nel verso delle x crescenti dobbiamo prendere un vettore con componente x positiva e quindi prendiamo ( ) 2 r =. 4

5 Analogamente dobbiamo prendere per s il vettore con componente y negativa e quindi ( ) s =. Dobbiamo quindi calcolare 3 l angolo tra i vettori r e s : cos α = r s r s = da cui α = arccos( 34 ) rad gradi. (b) r : x + 2y = 0 orientata nel verso delle x decrescenti e l asse delle x. Soluzione. Abbiamo ( ) 2 r = che effettivamente dà l orientazione nel verso delle x decrescenti. Per l asse delle x prendia- mo il vettore ( ) i = come vettore, anzi versore, di direzione. 0 Dobbiamo quindi calcolare l angolo tra i vettori r e i : cos α = r i r i = 2 da cui α = arccos( 2 ) rad gradi.

6 (c) r : x + 2y = 0 orientata nel verso delle x decrescenti e l asse delle y. Soluzione. Abbiamo ( ) 2 r = come nell esercizio precedente. Per l asse delle y prendiamo il vettore ( ) 0 j = come versore di direzione. Calcoliamo l angolo tra i vettori r e j : cos β = r j r j = da cui α = arccos( ).07 rad gradi. 6

7 (d) Osserviamo che negli ultimi due esercizi si poteva procedere anche così. I versori di direzione della retta di equazione x + 2y = 0 sono i due seguenti: ( ) ( ) 2 2 Prendiamo in considerazione il secondo perché è quello che ci dà l orientazione desiderata (x decrescenti). Osserviamo che le sue componenti, che sono dette coseni direttori, indicano proprio il coseno dell angolo con l asse delle x il primo, e il coseno dell angolo con l asse delle y il secondo. (e) Calcolare i coseni direttori della retta di equazione 4x+3y = e disegnare su un grafico la retta e i corrispondenti angoli. ( ) 3 Soluzione. La retta ha i due versori di direzione ±. Se ( ) 4 3 scegliamo il segno + abbiamo e i coseni degli angoli che la retta forma con l asse delle x e delle y sono, rispettivamente, cos α = 3 e cos β = 4 da cui gli angoli (approssimati) α = gradi e β = 43.3 gradi. 4 7

8 ( 3 ) Se invece scegliamo il segno abbiamo 4 e i coseni degli angoli che la retta forma con l asse delle x e delle y sono, rispettivamente, cos α = 3 e cos β = 4 da cui gli angoli (approssimati) α = 3.3 gradi e β = gradi. 8