Campo Elettrico Statico e Potenziale Elettrostatico

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1 Campo Elettico Statico e Potenziale Elettostatico Ricodae la Meccanica e in paticolae il III Pincipio che isulta valido poiché stiamo consideando ifeimenti ineziali. Ricodando la legge di gavitazione univesale F G M M Quindi dalla meccanica sappiamo (anche se è stato poco sviluppato) che le foze si attuano sempe a coppie (o meglio un ossevatoe ineziale vede le inteazioni a coppie).

2 Possiamo alloa avee un equazione analoga pe le caiche elettiche? F K qq Stoicamente e speimentalmente fu Coulomb nel 785 a postulae la legge omonima Legge di Coulomb la foza che si esecita fa due caiche puntifomi (nel vuoto) q e q vale in modulo F costante q q q q è il valoe assoluto del podotto delle caiche e la loo distanza.. Nel S.I. l unità di misua della caica è il Coulomb (C), che può essee definito sulla base della caica e dell elettone e.6-9 C ( la caica dell elettone è convenzionalmente scelta come negativa).

3 Dalla legge di Coulomb [costante] N m /C Se il mezzo inteposto fa le due caiche è il vuoto, il valoe della costante è costante 9. 9 m C Due caiche di C, poste nel vuoto, a distanza di m inteagiscono con una foza pai a 9 9 N Pe semplificae alcune fomule dell elettostatica costante 4πε ε C m costante dielettica ( o pemettività elettica) del vuoto

4 Legge di Coulomb pe due caiche puntifomi nel vuoto: F 4πε qq F attattiva se q e q hanno segno opposto F epulsiva se q e q hanno lo stesso segno. Legge di Coulomb pe due caiche puntifomi in un mezzo: F 4πε ε qq ε numeo puo costante dielettica elativa del mezzo Pe l'acqua a C ε 8.4.

5 Il campo elettico La legge di Coulomb come la legge di gavitazione pe le masse, espime la foza che si esecita fa due caiche, a una ceta distanza. La legge di Coulomb descive le caatteistiche della cosiddetta azione a distanza. In questo schema concettuale, la foza che si esecita su una caica dipende dalla posizione di una seconda caica. Si può tuttavia ifomulae la legge di Coulomb in modo che la foza che agisce su una caica dipenda dalla posizione di tale caica. Possiamo cioè intodue il concetto di campo

6 y q F Q z x La foza che si esecita su q dipende dalla sua posizione (inteazione epulsiva) La foza (in modulo, diezione e veso) F che Q esecita su q è data da F 4πε qq vesoe dietto come il vettoe che espime la posizione di q.

7 Riscivendo : F q 4πε Q La pesenza di Q modifica le popietà dello spazio cicostante, nel senso che,, in assenza di Q,, la caica q in non isentiebbe di alcuna foza.. La pesenza di Q ende lo spazio cicostante sede di un campo di foze nel senso che la caica q isente di una foza che dipende dalla sua posizione. F qe E E( ) 4πε Q E è il campo elettico dovuto a Q, che espime quantitativamente le popietà che lo spazio assum a causa della pesenza di Q.

8 R R R Q q F 4 πε q F z x y R Q R R R R Q E 4 ) ( πε

9 Nel caso che siano pesenti n caiche Q, Q,..., Q n ispettivamente nei punti R, R,...R n, il campo elettico complessivo è la somma vettoiale dei campi dovuti a ciascuna caica ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( E E E E E n n i i L ) ( R R R Q E πε 4 ) ( R R R Q E πε n n n n R R R Q E 4 ) ( πε ) ( ) ( qe F Pincipio di sovapposizione dei campi elettici e la foza che agisce su q è

10 Se F( ) qe( ) se q C F E Il campo elettico può anche essee definito come la foza che agisce su una caica unitaia esploatice, una caica cioè che ivela e misua il campo attaveso E la foza che agisce su di esse quando viene posta in vaie posizioni. La fomulazione della legge di Coulomb in temini di campo è del tutto equivalente a quella che fa ifeimento all azione a distanza. In elettostatica non esistono vantaggi sostanziali, ma, come vedemo il concetto di campo è suscettibile di genealizzazioni ed estensioni impensabili in uno schema di azione a distanza. Pe queste agioni esso è stato intodotto fin d oa.

11 Rappesentazione del campo elettostatico Abbiamo visto che si può palae di campo elettostatico ogni volta che una zona dello spazio possiede delle popietà che si manifestano come una foza che agisce su una paticella caica. L intensità, la diezione e il veso di questa foza dipendono dalla posizione in cui viene posta la paticella esploatice di caica q, cioè F F F( ) E E E ( ) q cioè le caatteistiche del campo (intensità, diezione e veso) vaiano da punto a punto. Queste caatteistiche possono essee appesentate, come oiginaiamente poposto da Faaday, mediante le cosiddette linee di foza.

12 Una linea di foza è una cuva oientata dello spazio che ha come tangente in ogni punto il vettoe campo elettico in quel punto Si intoduce un secondo citeio, sempe dovuto a Faaday, in base al quale l intensità del campo è popozionale alla densità delle linee di foza. Dove cioè le linee di foza si avvicinano, il campo è più intenso di dove si allontanano.

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15 Consevatività del campo elettico statico Il campo elettico geneato da caiche è un campo consevativo come il campo gavitazionale. Nello spostamento di una caica q dal punto a al punto b il lavoo compiuto dal campo elettico dipende solo dalle posizioni a e b. Enegia potenziale gavitazionale e elettica. La massa m e la caica q si muovono nella diezione in cui il potenziale diminuisce Si può definie una funzione enegia potenziale la cui vaiazione dà il lavoo Es:lavoo pe spostae una caica lungo le linee di foza del campo elettico L U ( U U ) b a U a U b

16 Consevatività del Campo Elettico: Cicuitazione Fds qeds C( E) Il lavoo su un pecoso chiuso è nullo. Nel caso Couloumbiano, si sceglie un pecoso ad hoc.

17 Lavoo meccanico infinitesimo: F( ) qe( ) Lavoo meccanico e lavoo elettico dl F( ) d dl qe( ) d dl E E( ) d lavoo elettico infinitesimo dl qdl E Poichè la foza di Coulomb è consevativa, il lavoo dl può essee espesso come l opposto della vaiazione di enegia potenziale dl du

18 Sempe in analogia alla Meccanica KqQ L d KqQ Petanto avendo posto dl E V U( ) 4πε qq dl du U d dv q q q U q V si dice potenziale del campo elettico e il lavoo del campo elettico è uguale alla vaiazione di potenziale. Questo isultato vale anche nel caso in cui il campo elettico sia dovuto a una qualunque distibuzione di caiche. In questo caso il potenziale V è la somma dei potenziali dei campi elettici geneati dalle singole caiche.

19 Quindi, Indipendentemente dalla taiettoia, il lavoo compiuto dal campo di foze L U ( ) U( ) i f Diffeenza di enegia potenziale Lavoo compiuto dal campo elettico L E U ( ) U( ) i q f V ( ) V( ) i f Diffeenza di potenziale [ ] [ L] [ q] Joule V Volt Coulomb Il valoe assoluto del potenziale V in un punto non ha significato fisico. Ciò che è fisicamente ( cioè, speimentalmente) deteminabile è il lavoo del campo elettico diffeenza di potenziale.

20 Usando le elazioni tovate finoa: Oppue: L E q V F U s gadv E F q Volt meto U [ E] C E [ E] J L m F q F s Volt meto [ F] [ q] U U q s C C m m V s C

21 E( ) 4πε Q U( ) 4πε Q E possibile calcolae campo e potenziale pe una qualunque distibuzione di caica, ma, in patica, questi calcoli possono isultae estemamente complicati. La conoscenza dettagliata del campo o del potenziale in ogni punto dello spazio può non essee inteessante, essendo sufficiente la loo conoscenza a distanze elativamente gandi dalla distibuzione di caica.

22 Esempio: inteazione fa atomi e molecole: Ione Na+: un nucleo positivo e,concentato in un volume di aggio -5 m immeso in una nuvola negativo e, distibuita su un volume di aggio - m. A gandi distanze, i dettagli della distibuzione di caica sono iilevanti e il campo è sostanzialmente quello dovuto alla caica netta +e. Molte molecole hanno caica totale nulla, ma la paticolae distibuzione di caica (positiva e negativa) daà comunque luogo a un campo elettico. Esempio: due caiche puntifomi +Q e Q poste a distanza a. Questa distibuzione pende il nome di dipolo elettico, il potenziale a distanza >> a può essee facilmente calcolato intoducendo il vettoe detto momento di dipolo elettico, il cui modulo è: p Qa p dipolo elettico dietto dalla caica Q alla caica +Q

23 V ( ) p p Il potenziale di dipolo elettico in 4πε πε 4 Il potenziale a gandi distanze non dipende dai p dettagli della distibuzione di caica, ma solo da La molecola d acqua può essee appossimata da un dipolo p 6. 3 C m

24 Se un dipolo elettico viene immeso in un campo elettico esteno unifome E le foze che si esecitano sulle caiche +Q e Q, tendeanno a fae uotae il dipolo in modo da allinealo al campo. L enegia potenziale U p E p // isulta minima pe E

25 Teoema di Gauss Il calcolo del campo elettico E tamite la legge di Coulomb si effettua attaveso una somma vettoiale su tutte le caiche che, in alcuni casi può pesentae delle difficoltà (ad esempio nel caso di distibuzioni continue). La pubblicazione della teoia di Newton sulla gavitazione univesale fu itadata di qualche tempo poiché egli cecò di deteminae la foza isultante da una distibuzione sfeica di massa (non aveva il Teoema di Gauss). Esiste un teoema che, fa le alte cose pemette di calcolae in modo molto semplice il campo elettico associato a cete distibuzioni simmetiche di caiche : IL TEOREMA DI GAUSS

26 IL TEOREMA DI GAUSS Questo teoema è una conseguenza dietta della legge di Coulomb ( o meglio della dipendenza dall inveso del quadato della distanza) ma ha una potata molto più geneale ( come alla situazione di caiche elettiche in moto ) e, ancoa una volta evidenzia le analogie fa fenomeni elettici e dinamica dei fluidi.. Il teoema di Gauss ( anche nel caso del campo magnetico B ) è una pate fondamentale delle equazioni di Maxwell che danno una descizione unitaia dell Elettomagnetismo e che pongono le basi pe le onde elettomagnetiche

27 Collegamenti della legge di Gauss con la dinamica dei Fluidi Analogie eletticità-fluidi leggi dell idodinamica e dell eletticità. (Legge di Poiseuille Legge di Ohm, linee di velocità in egime laminae e flusso di un vettoe) Il campo elettico nasce dalle caiche positive e muoe su quelle negative che abbiamo definito in analogia con i fluidi sogenti (ubinetti puntifomi ) e pozzi (scaichi puntifomi). Se consideiamo una singola sogente in un fluido infinito incompessibile possiamo chiedeci quali caatteistiche avà il flusso di liquido, e cioè: Ci aspettiamo un flusso adiale? Come vaieà la velocità del fluido al vaiae della distanza dalla sogente?

28 Sogente puntifome in un fluido pefetto infinito icodae la definizione di potata Q va Notiamo la somiglianza con il campo elettico Coulumbiano geneato da una caica puntifome q posta nel vuoto ad una distanza Q v A E 4 π 4πε Q q

29 Si può quindi pensae a v come un campo vettoiale: Il campo di velocità di un fluido costituito dalle linee di velocità nelle quali il suo moto può essee scomposto

30 Due concetti elativi al campo delle velocità di un fluido possono tasfeisi ai fenomeni elettici: )La densità delle linee di foza del campo è una misua del modulo della velocità del fluido ) Il flusso netto attaveso una qualsiasi supeficie chiusa è una misua dell intensità della sogente che si tovi all inteno di quella supeficie

31 Potata Flusso Q Φ L espessione pe il volume di fluido nell unità di tempo è data dalla potata Q va che indicheemo con il temine di flusso di fluido e con la lettea Φ. Nel caso in cui la supeficie non è pependicolae alla supeficie è necessaio tenee conto dell angolo fa la nomale alla supeficie e il campo di velocità : Φ Avcos( θ)

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36 Il teoema di Gauss In condizioni di paticolae simmetia si può utilizzae il teoema di Gauss pe il calcolo del campo elettico. Il flusso del campo elettico dφ E nds E cosαds n v α E v Φ Q ε int Φ E( )4π

37 Q R Q R Q nds E S int π π 3 3 int )4 ( ε ε π Q R Q E Φ Q R E 3 4 ) ( πε Q Q int Se > R 4 ) ( Q E πε Se < R

38 Conduttoi Nei conduttoi (ad es. metalli) esistono degli elettoni libei di muovesi. Ne consegue che l esistenza di un campo elettico in un qualunque punto inteno a un conduttoe povocheebbe una foza (e quindi un acceleazione) sugli elettoni e veebbeo meno le condizioni di stabilità. Se ne conclude che, in elettostatica, il campo elettico all inteno di un conduttoe è nullo. E U( B) U( A) Ed B A le caiche si dispongono sulla supeficie. Questo isulta esta valido nel caso di un conduttoe cavo: le caiche statiche si accolgono sulla supeficie estena

39 Applicando ipetutamente il teoema di Gauss si può vedee che il campo elettico nelle immediate vicinanze di un conduttoe è pependicolae al conduttoe e vale, in modulo: E 3 σ 3 E σ ε E σ σ E dove σ è la densità supeficiale di caica ( cioè la caica pe unità di supeficie) nella zona inteessata Effetto Punta

40 Condensatoi Condensatoe piano Capacità del condensatoe, che dipende solo dalla geometia; l unità di misua Faad (F) :FC/V q C V E σ ε C ε A d Condensatoe cilindico C πε LA lg ( R / ) C ε R Pe il condensatoe sfeico

41 C C + C C C + C

42 Enegia accumulata in un condensatoe Supponiamo che fa le amatue di un condensatoe in cuoi sono depositate le caiche +q e q cia sia una diffeenza di potenziale V. Se si sposta una quantità di caica infinitesima dq da una placca all alta, si deve compiee un lavoo dl Vdq L dl qdq qdq C C qdq C Q Q Q C CV Poiché V q/c

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44 E D E + E' E D E E' < E VD EDd < Ed C K Q V D V V D > Q V D > C V Costante dielettica elativa

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49 Campi Elettici in BioMedicina Conduzione nevosa Contazione muscolae Elettofoesi su gel Elettocadiogamma Elettoencefalogamma Elettomiogamma

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