Polinomi di Taylor. Hynek Kovarik. Università di Brescia. Analisi Matematica 1

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1 Polinomi di Taylor Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 1 / 18

2 Introduzione Sia f : I R e sia x 0 I. Problemi: come approssimare f nell intorno di x 0 con un polinomio? come stimare l ordine di infinitesimo della differenza fra la funzione e il polinomio approssimante? La risposta a questi problemi è legata a proprietà di regolarità di f ordine di derivabilità di f Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 2 / 18

3 1 troveremo un polinomio P n di grado n tale che f (x) = P n (x) + o ((x x 0 ) n ) per x x 0, 2 esprimeremo P n mediante le derivate di f in x 0 fino all ordine n. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 3 / 18

4 Il polinomio di Taylor con il resto di Peano Siano f : I R, x 0 I, e supponiamo che una f sia derivabile n volte in x 0, con n N. Allora esiste un unico polinomio P n di grado n tale che f (x) = P n (x) + o ((x x 0 ) n ) per x x 0. Vale P (k) n (x 0 ) = f (k) (x 0 ) per k = 0,..., n, quindi P n è dato da P n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k. k! P n : polinomio di Taylor di f di ordine n e di centro x 0 e indicato con T n x 0 f. Se x 0 = 0, P n è detto polinomio ditaylor di f di ordine n e di centro 0 e indicato con T n f. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 4 / 18

5 Conseguenza Da f (x) = P n (x) + o ((x x 0 ) n ) per x x 0 si ricava la formula di Taylor con il resto di Peano: f (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o ((x x 0 ) n ) per x x 0. k! Attenzione!!!!!! a non confondere i due concetti ordine del polinomio di Taylor n k=0 è l indice n fino al quale sommo f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! grado del polinomio di Taylor: è il grado effettivo del polinomio, è dell ordine, e può essere < dell ordine. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 5 / 18

6 Esempio: sviluppo di Taylor di cos per x 0 Calcoliamo Si ha j N Quindi T n 0 (cos(x)) = n k=0 cos (k) (0) cos (4j) (x) = cos x, cos (4j+1) (x) = sin x, cos (4j+2) (x) = cos x, cos (4j+3) (x) = sin x. cos (4j) (0) = 1 cos (4j+1) (0) = 0 cos (4j+2) (0) = 1 cos (4j+3) (0) = 0 allora nella formula per T0 n (sin(x)) sopravvivono solo in contributi con indice k PARI!! k! x k Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 6 / 18

7 Per esempio T 1 0 (cos(x)) = 1 T 2 0 (cos(x)) = x 2 T 4 0 (cos(x)) = x x 4 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 7 / 18

8 Polinomi di Taylor notevoli (di centro x 0 = 0) T n (e x ) T n (log(1 + x)) T 2n+1 (sin x) T 2n (cos x) T 2n+1 (sinh x) T 2n (cosh x) = n k=0 xk k!, = n ( 1) k+1 x k k=1 k, x 1 = n ( 1) k x 2k+1 k=0 (2k+1)!, = n ( 1) k x 2k k=0 (2k)!, n k=0 x2k+1 (2k+1)!, = n k=0 x2k (2k)!, Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 8 / 18

9 T n ((1 + x) α ) = 1 + αx + α(α 1) x per x > 1, α R, dove ( ) α α(α 1) (α n + 1) = n n! ( ) α x n n n T n ((1 x) 1 ) = x k, per x 1 k=0 T 2n+1 (arctan)(x) = n k=0 ( 1) k x 2k+1. (2k + 1) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 9 / 18

10 Sviluppi di Taylor notevoli Esempio Per x 0 si ha e x = 1 + x + x x 3 3! x n n! + o(x n ) Esempio Per x 0 si ha (1 + x) α = 1 + αx + α(α 1) x ( ) α x n + o(x n ) n Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 10 / 18

11 Calcolo di polinomi di Taylor: esempio 1. Calcoliamo il polinomio di Taylor di ordine 6 e centro 0 di f (x) = e x2 x R. Si ha T0 6 (f (x)) = 1 + x 2 + x x Calcoliamo il polinomio di Taylor di ordine 6 e centro 0 di f (x) = log(2 + x 2 ) x R. Si ha T0 6 (f (x)) = log 2 + x 2 2 x x 6 24 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 11 / 18

12 Applicazioni al calcolo dei limiti Esempio Calcolare il limite Si ha x sin x L = lim x 0 x(1 cos x). sin x = x x o(x 3 ), cos x = 1 x o(x 3 ) Quindi L = 1 3 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 12 / 18

13 Esempio Calcolare il limite L = lim x 0 x 2 cos x log(1 + x 2 ) 7x 2 tan(x 4 ) Si ha ( x 2 cos x log(1 + x 2 ) = x 2 1 x x 4 ) 24 + o(x 4 ) x 2 + x 4 2 x o(x 6 ) = 7 24 x 6 + o(x 6 ) Siccome x 2 tan(x 4 ) = x 6 + o(x 6 ) per x 0, ne segue che L = 1 24 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 13 / 18

14 Esercizi Calcolare i seguenti limiti e x cos(x) sin(x) lim [1] x 0 e x2 e x3 sin 2 (x) sin(x 2 ) lim x 0 x 2 log(cos(x)) [ ] 2 3 lim x 0 cos(x 4 ) x x 8 [ 3] Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 14 / 18

15 Formula di Taylor con il resto di Lagrange Sia I un intervallo e sia f C n+1 (I ). Allora x 0, x I tale che con x > x 0, esiste t [x 0, x], con x < x 0, esiste t [x, x 0 ], f (x) = T n x 0 (f (x)) + f (n+1) (t) (n + 1)! (x x 0) n+1, cioè il resto della formula di Taylor si può esprimere nella forma (detta di Lagrange) f (n+1) (t) (n + 1)! (x x 0) n+1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 15 / 18

16 Dimostrazione: senza ledere la generalità possiamo supporre che x 0 < x. Allora f (x) f (x 0 ) = x x 0 f (s) ds. Integrando per parti usando (s x) come una primitiva di 1 si ottiene [ ] x x f (x) f (x 0 ) = (s x) f (s) (s x) f (s) ds x 0 x 0 = f (x 0 )(x x 0 ) E dopo un altra integrazione per parti: [ (s x) f (x) = f (x 0 ) + f 2 (x 0 )(x x 0 ) 2 x (s x) 2 + f (3) (s) ds x 0 2 x x 0 (s x) f (s) ds ] x f (s) x 0 = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0) 2 2 x (s x) 2 + f (3) (s) ds x 0 2 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 16 / 18

17 Ripetendo l integrazione per parti n volte si arriva all equazione f (x) = T n x 0 (f (x)) + ( 1) n 1 n! x x 0 (s x) n f (n+1) (s) ds Ora siccome la funzione f (n+1) è continua per ipotesi e (s x 0 ) n non cambia segno in (x 0, x), possiamo applicare il primo teorema della media integrale e dedurne che esiste un t [x 0, x] tale che x x 0 (s x) n f (n+1) (s) ds = f (n+1) (t) x x 0 (s x) n ds = f (n+1) (t) ( 1) n (x x 0) n+1 n + 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 17 / 18

18 Quindi f (x) = T n x 0 (f (x)) + f (n+1) (t) (x x 0) n+1 (n + 1)! da cui la tesi Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi Matematica 1 18 / 18