Analisi Matematica III 04 Novembre In coordinate polari l insieme K è rappresentabile come unione dei seguenti insiemi normali

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1 . ( punti) Si determini il valore dell integrale della funzione f(, y) + y, sull insieme di integrazione K {(, y) R : ( ) + y, + (y ) }. In coordinate polari l insieme K è rappresentabile come unione dei seguenti insiemi normali K {(r, θ) : θ [, π/4], r [, sin θ]} K + {(r, θ) : θ [π/4, π/], r [, cos θ]}. Per cui π/4 sin θ + y dy r drdθ + r drdθ dθ r dr + K K K + [ 8 π/4 ] π/ (sin θ) dθ + (cos θ) dθ π/4 [ 8 π/4 ] π/ sin θ( cos θ) dθ + cos θ( sin θ) dθ π/4 { [cos 8 ] θπ/4 [ ] θπ/ } θ cos θ + sin θ sin θ θ θπ/4 4 ( 8 5 ). 9 π/4 cos θ dθ r dr

2 . ( punti) Si consideri il seguente insieme in R con R >. Ω R {(, y, z) R : 4 + 9y + R (z ) }, (4 punti) Si determini il volume di Ω R, utilizzando la formula definente vol (Ω R ) Ω R e si confronti il risultato con il volume ottenuto per altra via, se noto. Determinare il valore del volume nel caso estremo in cui R. (6 punti) Inoltre, determinare il volume del seguente insieme Ω {(, y, z) R : 4 + 9y + 9(z ), + y + z }. L insieme fr(ω R ) è un ellissoide con semiassi a /, b /, c /R, per cui il volume è noto dalla geometria elementare e vale vol (Ω R ) 4πabc 4 π π. Vediamo se otteniamo lo stesso 6R 9R risultato con l integrazione esplicita. Allora, poiché la proiezione sul piano z è limitata dall ellisse E di equazione 4 + 9y si ha + R 4 9y dy Ω R E R 4 9y R dy E π r dθ R 6 4π 8R π 9R, 4 9y dz dr ( (cos θ)/, y (sin θ)/) che coincide col valore determinato dalla geometrica classica. Il limite vale, concorde con l intuizione perché se uno dei semiassi tende a zero allora l ellissoide tende ad un insieme, un ellisse, tutto interno ad un piano ed in questo caso sappiamo che ha volume nullo.

3 Il secondo insieme ha un volume presto determinato poiché, per simmetria, si tratta della differenza tra il volume dell ellissoide di semiassi a /, b / e c / ed 8 volte il volume del tetraedro T determinato dal piano + y + (z ) con, y, z. Quest ultimo vale, per il teorema dell iterazione unidimensionale, vol (T ) / / / 8, ( )/ ( )/ dy ( ( ) (4 y)/ ( ) y dz ) dy per cui il volume totale del tetraedro T T dentro l ellissoide vale vol (T T ) 8/8 /7 ed in finale vol (Ω) vol (Ω R ) vol (T T ) (π ). 7

4 . ( punti) Si calcoli il seguente integrale doppio A y dy, dove la regione di integrazione è A A + A con A + {(, y) R :, y, y, + y 4} A {(, y) R :, y, y, + y 4}. Si tratta di un integrale con una funzione non limitata su una parte della frontiera dell insieme A (y ). L integrando è positivo e ha gli stessi valori per A + e A, inoltre A + e A si trasformano l uno nell altro sotto la trasformazione (, y) (, y), per cui se l integrale esiste (anche infinito!), deve avere lo stesso valore in entrambi gli insiemi. È quindi sufficiente studiare uno dei due. Per semplicità prendiamo A + e consideriamo la successione di compatti lontani dalla parte singolare y, ossia {(, y) R :, y, y, + y 4}, con > che dovrà tendere a. Quindi, dobbiamo calcolare y dy e alla fine prendere il limite. L insieme non è normale ma possiamo vederlo cone una unione di insiemi normali, ovvero, { [,, y [, ]} { [, ], y [, 4 ]}. Poiché la funzione integranda è continua e l insieme è un compatto rettificabile, allora possiamo

5 usare Fubini e l additività dell integrazione e scrivere y dy log y dy + ( ) + [ ( ) ] log 9 log log da quest ultima espressione è chiaro che 4 y dy ( ) 4 log sostituzione nel secondo 4 t [ ( )] t t t + log t t t dt ) (, lim y Quindi l integrale non è assolutamente convergente. dy +.