Esercizi Analisi 1. Foglio 1-19/09/2018. n(n + 1)(2n + 1) 6. (3k(k 1) + 1) = n 3. a n = 1 + a k

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1 Esercizi Analisi Foglio - 9/09/208 Dimostrare che per ogni a, b e per ogni n N si ha: n a n b n = (a b) a n j b j j= Dimostrare che per ogni n N si ha: n j 2 = j= n(n + )(2n + ) 6 Dimostrare che per ogni n N il numero 7 n é divisibile per 6. Dimostrare che per ogni n N si ha: n (3k(k ) + ) = n 3 k= Esercizio 5 Data la successione di Fibonacci cosí definita: a 0 = 0, a = e, per n 2, a n = a n + a n 2. Dimostrare che per ogni n 3 si ha: n 2 a n = + k= a k

2 Foglio 2-25/09/208 Calcolare le potenze z 2 e z 6 dei seguenti numeri complessi: z = 2 3 i + i ; z = + i 2 2i Calcolare le seguenti radici e rappresentarle nel piano complesso: ( i 3) /2 ; ( ) /4 + i i 2

3 Foglio 3-02/0/208 Determinare estremo superiore ed inferiore dei seguenti insiemi: C = { ( )n n, n N} E = { n2 n + 3, n N} F = [ n, ] n n 2 l insieme é denso in R. Data la funzione ϕ : R R, iniettiva, suriettiva e monotona, si dimostri che ϕ(q) = {ϕ(x) : x Q} Calcolare il dominio della funzione: x f(x) = x + + 2x + 2, e mostrare che é monotona crescente. Disegnare il grafico della funzione: f(x) = x 2 4x 3 3

4 Foglio 4-09/0/208 ( ) x 2 + x 6 x 2 x 2 Utilizzando la definizione di ite, verificare che ( ) 8x 4 = 0 x 2 Sia a n una succezzione di numeri reali cosí definita: a 0 =, a n+ = + a n. Dimostrare che la successione converge e trovarne il ite. ( + ) 3x x + 2x Calcolare i seguenti iti: x 4 x 3 + x + x + x2 x 3 x( x + x) x + x (n + 2)! n! (n + )!(2n + ) 4

5 Foglio 5-23/0/208 ( π ) x sin x + x 2x 2 + tan(x 3 ) sin 2 (x) e 2x sin(3x) Esercizio 5 sin x x, cos(3x) x 2 Dire quali dei seguenti iti non esiste: sin x, x sin x x, sin x, x sin x x + x, x + sin x. x 5

6 Foglio 6-29/0/208 ( ) x 2 x x + 2x + ( ) 3π tan x 2 x ln x e sin x x ln(cos x) ln(x 2 sin 2 x + ) e x2 x 2 Esercizio 5 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni: f(x) = cos x + cos x f(x) = log(sin 2 (2x)) 6

7 Foglio 7-30/0/208 cos 3 (x) 3x 2 ln(ln(x + )) + ln x x + ( 2x + 2x ) 6x ln(e + x) tan x Esercizio 5 x e x e + (x ) Esercizio 6 ( ) x 2 log x x log x 7

8 Foglio 8-06//208 sin(log( + 3x)) e x ( π ) x x arctan x arcsin x π/2 x x sin(π3 x ) x Esercizio 5 x x x + cos(πx) Esercizio 6 e 2x+3 ln(+x) x Esercizio 7 sin x cos x x π/4 π 4x 8

9 Foglio 9-3//208 cosí definita [Compito del 0/07/207] Per p(x) polinomio da definire si consideri f(x) + x 2 se x 0 f(x) = p(x) se 0 < x < e x se x a) Determinare il grado minimo di p(x) tale che f C (R). b) Verificare che con la scelta precedente di p(x) risulta che f é strettamente crescente. c) Si scriva l equazione della retta tangente a y = f(x), nel punto (, f()). cosí definita [Compito del 22/0/208] Per p(x) polinomio da definire si consideri f(x) ( ) x 2 sin x f(x) = p(x) sin(x) se x < 0 se 0 x π se x > π a) Si determini un polinomio p(x) tale che f sia derivabile. b) Si stabilisca se esiste un polinomio p(x) tale che f(x) C (R. definita [Compito del 0/02/206] Per (a, b) R 2, si consideri la funzione f(x) cosí f(x) = { ae x + b sin 2 (x) se x > 0 cosh x se x 0 a) Si determinino tutti gli (a, b) R 2 per i quali f C 0 (R). b) Si determinino tutti gli (a, b) R 2 per i quali f C (R). c) Si determinino tutti gli (a, b) R 2 per i quali f C 2 (R). Calcolare il polinomio di Mc Laurin di ordine 5 della funzione f(x) = x + x + x 2 9

10 Foglio 0-27//208 Utilizzando lo sviluppo di Taylor, calcolare i seguenti iti e x + ln( x) tan x x e x2 cos x 3 2 x2 x 4 log( + x arctan x) + e x2 + 2x4 5 +tan2 x 5 cos x Studiare la seguente funzione f(x) = x x 2 x 6 0

11 Foglio - 04/2/208 Utilizzando lo sviluppo di Taylor, calcolare i seguenti iti x 2 sin 2 x (e x x) 2 log( + x ) 2 sin 3x x + x2 sin x ( + x 2 ) x x 3 5 +tan2 x 5 cos x Studiare la seguente funzione f(x) = 3 x 2 e x

12 Foglio 2 - /2/208 indefinito Utilizzando la decomposizione di Hermite, calcolare il seguente integrale x 2 (x 4 + 2x 2 + ) dx Calcolare il seguente integrale indefinito e 2x sin x dx Calcolare il seguente integrale indefinito x cos x sin 3 x dx Studiare la seguente funzione f(x) = e x e 3x Esercizio 5 Studiare la seguente funzione f(x) = x + e (x+) Esercizio 6 Studiare la seguente funzione f(x) = x 3 (ln x ) 2

13 Foglio 3-8/2/208 Studiare il segno della funzione F (x) = x t 2 e (t 2)2 dt Determinare l ordine infinitesimo, per x 0, della funzione F (x) = x 0 arctan(t 2 ) 4 + 2t 3 dt [0, + ) : Determinare per quali valori di k R la seguente funzione é crescente in F (x) = x 0 (t 2 + ( k)t + ) dt Dimostrare che la funzione F (x) = arctan x e t2 t dt é invertibile e data x = g(y) la funzione inversa, calcolare g (0). Esercizio 5 Data la funzione F (x) = x 2 t 8 + dt scrivere l equazione della retta tangente al grafico di F in x 0 =. Esercizio 6 funzione Scrivere lo sviluppo di Taylor al II ordine, centrato in x 0 = 0, per la F (x) = x+ sin(πt 2 ) dt 3