1 Analisi mat. I - Esercizi del 13/10/99

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1 Analisi mat. I - Esercizi del //99 ES. Delle seguenti funzioni determinare: il dominio l immagine gli eventuali asintoti l insieme dove sono continue e quali siano estendibili per continuita. Determinare inoltre quali di esse siano pari dispari periodiche invertibili invertibili se ristrette alla semiretta positiva. Di quelle invertibili determinare l inversa. e(2) e (2 ) + log(2 + ) log( 2 + ) + arcsin π/2 arcsin + π/2 ( 2 4 ) π (2 6 ) 2 arctan + π/2 arctan π/2 8 ( + ) 2 + log ( 2 + 2) arcsin /2 2 tan( + ) log(sin( )) arcsin /2 2 e arctan(+) arccos() [] sin() [sin()] e( / ) (log( + 2 )) + e ( ) ln +2 log + cos 2 + ( 2 ) arccos() 4 sin cos() [] { sin() se se = { sin() se se = ES.2 Disegnare il grafico delle seguenti funzioni (usare soltanto la conoscienza dei grafici delle funzioni elementari) ma{ /} [(e )] [] sin() [sin()] [log()] [log()] cos(2) cos() + tan( + ) cotan() sin( + ) sin() + (.5) + log + e se ( ) / se [ ) sin() se [ + ) ES. Siano date determinare f g f : + 4 g : 2 g f il loro dominio e la loro immagine. ES.4 Sia a R e sia B = { a R : a A}. Dimostrare che sup A = y R = inf B = y. Es 5) (test del 2//98) a) Definiamo f : a + b c 2.

2 Determinare al variare dei parametri: dominio di f l equazione degli eventuli asintoti verticali orizzontali e obliqui. b) Determinare al variare dei parametri i valori k R che rendono continua su tutto R la funzione { k se b g() = a 2n se > b c) Della funzione g determinata all esercizio b) disegnare il grafico e calcolare gli estremi superiore e inferiore massimo e minimo. d) Data f : ep(arctan( 2 + b + c )) calcolare al variare dei parametri i limiti: a lim f() a + ES.6 Per ogni n N n > definiamo lim f() a lim f(). a I n = [ ( + n)/(n)] ( /n ) [ + /n] ( /n /n) Determinare n N I n ES.7 Determinare gli estremi inferiore e superiore dei seguenti insiemi { 7 n + n n N n > } {2 n n + n N} + n2 { n N n > } n ES.8 Determinare per quali valori dei parametri le seguenti funzioni sono continue { sin a+cos() se > 2 2 se < b2 se a se [ 2] se > 2 ES.9 i) Determinare i valori a b R che rendono continua su tutto R la funzione e se f() = a 2 + b se < < arctan() se Per la funzione determinata al punto i) : ii) determinare eventuali asintoti verticali e gli intervalli di crescenza o decrescenza (usare le proprieta delle funzioni elementari) iii) disegnare il grafico e determinare se esistono massimo e minimo iv) la f e invertibile? Lo e qualche sua restrizione? In caso affermativo determinare l inversa. ES. Usando la definizione verificare che lim = e /2 ES. Dimostrare usando la definizione che se lim f() = allora lim e f() =. a a Quanto vale lim a (.5)f() 2

3 2 Anal. mat. I - Esercizi del 8//99 ES. Determinare gli eventuali limiti delle seguenti successioni 2 n n ( + /n) /n n arctan n 2 n ep(( /n)2 ) n log(n 2 2n) n e (n ) 2 n + sin(π/2 + n π) n n ( 2/n) arctan(n) n ES.2 Determinare per quali delle funzioni che compaiono nei precedenti esercizi posso decidedere sull esistenza di massimo e minimo in base al calcolo dei limiti e alle proprietà delle funzioni continue su intervalli. ES. Sia f : (a b) R una funzione crescente (decrescente) la cui immagine e ( + ). Calcolare lim a f() e lim b f(). Giustificare il fatto che la funzione e continua in (a b). ES.4 Provare che non esiste una funzione continua f : R R tale che e trovarne una tale che sin = f() sin = 2 + f(). ES.5 Per quali valori di λ R le seguenti funzioni ammettono asintoti obliqui? sin + ( λ 2 ) 2 + λ4 + (2 + λ) 2 2 I seguenti esercizi sono parte di prove di esame per l Anno Accademico 97/98 ES.6 Definiamo f : / sin. Determinare il dominio di f. Determinare le equazioni degli eventuali asintoti. Determinare massimo e minimo di f [ π 4 5π 6 ES.7 ] ( ) + 5 Definiamo f : arctan. + 5 Determinare il dominio di f. Determinare le equazioni degli eventuali asintoti. Determinare gli eventuali punti di discontinuita e classificarli ES.8 Definiamo f : 2 +. Calcolare il massimo e minimo globale di f. ES.9 Sia ( ) log +2 f : e Determinare il dominio ed eventuali asintoti verticali orizzontali e obliqui Giustificare l affermazione: f ha massimo e minimo assoluti in [2 ] ES. Sia sin cos ( π/2 π/2). Determinare il dominio di f. Determinare le equazioni degli eventuali asintoti. Determinare gli eventuali punti di discontinuita e classificarli ES. Determinare il dominio e le equazioni degli eventuali asintoti di f : sin ( π 2π). cos

4 Anal. mat. I - Esercizi del 29//99 ES. Definiamo ( ) 7 + arctan. 7 Determinare il dominio di f. Determinare le equazioni degli eventuali asintoti. Determinare gli eventuali punti di discontinuita e classificarli ES.2 Definiamo f() = 6 e + 4 e 2. Determinare il dominio di f e le equazioni degli eventuali asintoti. Giustificare l affermazione : f [ ] ha massimo e minimo assoluti e calcolarli. Giustificare senza usare la nozione di derivata l affermazione : l immagine di f e un intervallo del tipo ( b]. Determinare gli eventuali punti di ma e min relativo e assoluto. Disegnare il grafico della funzione. Determinare al variare di a R il numero ed il segno delle soluzioni di f() = a Disegnare il grafico della funzione g() = f() [f()] si ricordi che [y] e la parte intera di y. ES. Determinare al variare dei parametri a b c d l insieme in cui la seguente funzione e continua e quello su cui e derivabile. { d sin( ) f : + c < a 2 + b + 2 ES. 4 Determinare al variare dei parametri a b c n numero e segno delle radici del polinomio a n + b n + c n 2 + d ES.5 Determinare immagine estremo superiore estremo inferiore ed gli eventuali massimi e minimi relativi e assoluti delle funzioni che compaiono nei precedenti esercizi. ES.6 Determinare l insieme in cui le seguenti funzioni sono derivabili e calcolare la derivata. Calcolare inoltre le eventuali derivate destre e sinistre ed gli eventuali punti a tangente verticale tutte le funzioni devono intendersi estese per continuita ove e possibile. ( + / ) / arctan 2 2 ep(( /)2 ) log( 2 2) e ( ) sin(π/2 + π) ( 2/) arctan() ep( ) ep( sin ) ES.7 Sia f : (a b) R continua e derivabile dimostrare che se lim f() = lim f() = + a b 7 + allora f ha un punto con derivata zero. ES.8 Sia f : (a b) R una funzione crescente (decrescente) e derivabile posso affermare che la sua derivata non si annulla?. ES Sia f() = lg 4

5 a) Giustificare l affermazione: f ha massimo e minimo in [ ] e calcolarli b) Disegnare il grafico della funzione e determinarne l immagine e gli eventuali punti di massimo e minimo relativo e assoluto ES. Determinare al variare di a R numero e segno delle radici reali del seguente polinomio a. ES. Determinare al variare di a R numero e segno delle radici reali del seguente polinomio a + 6. ES.2 L affermazione: Sia f : I R derivabile allora f é strettamente decrescente se e solo se f < su I é vera o falsa? ES. f : I R si dice Lipschitziana in I se esiste k > tale che f() f(y) k y y I. Dimostrare che se f : [a b] R è C allora è Lipschitziana (usare il teorema di Lagrange). Verificare che il valore assoluto è Lipschitziana in [ 7 7]. ES.4 Verificare che la funzione f : [ ] R ( 2 + ) (+2) è invertibile e determinare il dominio di f Df () Df (25) Df (2) ES.5 { Sia f() = lg(cos(sen )) se > 4 se Determinare il massimo k per cui f C k in un intorno di ES.6 Determinare il numero e il segno delle soluzioni della seguente equazione ( )lg( + /2) = ES.7 Studiare e disegnare il grafico in ( ] della funzione ( ) f() = cos lg(2) ES.8 Data la funzione ( ) 2 + ( ) 4 i) verificare che e continua su tutto R e determinare dove e positiva negativa o nulla ii) calcolare i limiti per ± iii) dedurre che la funzione ammette ma e min assoluti e calcolarli iv) disegnare il grafico ES.9 Sia f : R R derivabile e tale che Provare che lim f () =. + lim (f( + ) f( 2)) = + ES.2 Trovare l insieme dei λ R per i quali la seguente equazione ha almeno una soluzione positiva e + 2λ = 5

6 4 Anal. mat. I - Esercizi del 8//99 ES. Determinare per quali valoridei parametri h k α la seguente funzione e continua su tutto R e per quali e derivabile. ( 4 f : ( ) α ( )2 + o( ) 2) + h < k. ES.2 Determinare dominio e immagine di f : arcsin a2 + b c 2 + d. ES. Trovare l equazione della tangente al grafico della funzione f : a 2 + b + c 2 t (t ) π dt nel punto di ascissa = c. ( ) ES.4 Calcolare l area della figura piana delimitata dalla curva y = λ cos π dall asse delle ascisse e dalle rette = π = 2π. ES.5 Si consideri la funzione a) Disegnare il grafico di se < f : 25 se = 2 se > F : f(t)dt senza calcolare l integrale mettendo in evidenza i risultati usati in particolare giustificare il fatto che F e definita su R. b) Calcolare F (). c) In generale cosa si puo dire della funzione F : f(t)dt sapendo che la funzione f e C su R {} ha una discontinuita di salto in = e positiva su ( ) ( + ) e negativa su ( )? Illustrare la risposta con grafici. ES.6 Considerare la funzione f : log a) Verificare che la funzione si annulla in un unico punto. b) Scegliere un valore approssimato per usando alcuni passi dell algoritmo di bisezione. Spiegare i presupposti teorici del calcolo fatto e specificare l intervallo di errore relativo alla scelta fatta. ES.7 Determinare il dominio e gli eventuali punti di massimo e minimo relativo delle funzioni F : G : sin(t) dt t sin(t) t 2 dt ES. 8 Determinare il dominio e gli eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione G : 4 + sin(t) t dt. Determinare la tangente al grafico nel punto di ascissa. Determinere l insieme in cui la funzione e continua e quello in cui e derivabile. 6

7 5 Anal. mat. I - Esercizi del 24//99 ES. Determinare il dominio e gli eventuali punti di massimo e minimo relativo della funzione F : cos(t) e t dt. a) Verificare che la funzione e crescente e positiva per >. b) Dedurre dal punto precedente che ha limiti per ± c) Usando la monotonia dell integrale verificare che ha un asintoto orizzontale destro. ES. 2 Data la funzione sin(t) G : 4( )) + (t ) 2 dt determinarne il dominio verificare che e positiva e decrescente per <. Seguendo uno schema di ragionamento analogo a quello suggerito nel precedente esercizio dimostrare che la funzione ha un asintoto obliquo sinistro parallelo alla retta y = 4. ES. Sapendo che f C (R) e che f() = + + o(4 ) a) Determinare f () () b) Quante derivate di (f()) 2 in = posso determinare? c) Esprimere in forma di Lagrange f() / ES.4 Sapendo che f C (R) e che f() = 2( ) ( )4 + o(( ) 6 ) a) Determinare f (4) () b) Determinare f (5) () c) Quante derivate in = posso determinare? d) Esprimere in forma di Lagrange f(2) ES.5 a) Determinare il polinomio di Taylor di grado 4 in della funzione f() = e /4 b) Posso decidere se f() e massimo o minimo relativo per la funzione usando la risposta al punto a)? In caso affermativo indicare cosa sia. ES.6) a) Determinare il polinomio di Taylor di grado 4 in della funzione f() = cos( ) + 2 / /24 b) Posso decidere se f() e massimo o minimo relativo per la funzione usando la risposta al punto a)? In caso affermativo indicare cosa sia. ES.7) Calcolare al variare di α R α > ES.8) Calcolare f (5) ( ) se lim n + ( cos( ) n n α ) f() = ( + ) + ( + ) 5 cos(π) 2 + ( + ) 9 e. 7

8 ES.9) Studiare la convergenza delle seguenti successioni ( n n n 2 sen(/n) ( n log(n + n 2 ) n 2 n cos(n) ne n ES.) Studiare al variare di α R la convergenza delle successioni ) ) n n n α( (cos( 2 n ))tan(/n)) n (α 2 ) n 2α n + α 2 n ES.) Calcolare al variare di d R ( ep(n ) sin(n ) d n 2 ) lim n + n log cos(n /2 ) ES.2) Calcolare l area della figura piana delimitata dalla curva ( ) y = cos 2 π dall asse delle ascisse e dalle rette = 2π/ = 2π. ES.) Calcolare l area della figura piana delimitata dalla curva y = (2 + ) ep(λ) dall asse delle ascisse e dalle rette = 5 =. 8

9 6 Anal. mat. I - Esercizi del //99 ES.) Studiare la continuita e la derivabilita in della seguente funzione al variare di α h R cos(( )) f : ( ) α + 2 < 2 + h. ES.2) Determinare il dominio eventuali asintoti ma e min relativi e disegnare il grafico della seguente funzione F : 2 (sin(t)) (e t ) 4 dt t ES. Disegnare l area della parte di piano compresa fra il grafico della funzione f : sin() 2 e la semiretta positiva dell asse che ha come estremo = π. Esprimere in forma di integrale improprio la precedente area e definirne il significato in termini di limite. Verificare che la precedente area e finita e trovarne una limitazione superiore. ES.4 Determinare quali dei seguenti integrali impropri convergono e quando e possibile determinarli π ( / ) sin() d ES.5 Si consideri l integrale improprio arctan() + 2 d e t (t 4 + ) t 2 d t e t (t 4 + ) t 2 d t + 2 2π ( ) n d ( / 4 ) cos() d e t (t 4 + ) t 2 d t e t (t 4 + ) t 2 d t e t (t 4 + ) t 2 d t b) Calcolare il piu piccolo n intero per cui l integrale converge usando il criterio del confronto asintotico. c) Calcolare l integrale del punto b) ES.6 Determinare numero e segno delle soluzioni delle seguenti equazioni log = log = ES.7 Determinare per quali valori di α R convergono i seguenti integrali impropri + log( + /) (2 + ) d log( + /) α (2 + ) d α ES.8 Calcolare i polinomi di Taylor centrati in di gradi delle seguenti funzioni log( + 2 ) cos() cos() log( + ) 2 9