Registro di Matematica /19 - F. Demontis 2

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1 Registro delle lezioni di MATEMATICA 1 Corso di Laurea in Chimica 6 CFU - A.A. 2018/2019 docente: Francesco Demontis ultimo aggiornamento: 11 gennaio Mercoledì 03/10/2018, ore: 2(2) Linguaggio logico-matematico e elementi di teoria degli insiemi [In particolare: concetto (primitivo) di insieme. Insieme vuoto. Principali operazioni insiemistiche: Unione, Intersezione, Differenza e Prodotto Cartesiano fra due insiemi. Esempi ed esercizi.] 2. Lunedì 08/10/2018, ore: 2(4) Insiemi numerici. Insieme dei numeri naturali. Cenni sugli assiomi di Peano. Principio di induzione e suo utilizzo nelle dimostrazioni. Dimostrazione, tramite il principe di induzione, della formula che fornisce la somma dei primi n numeri naturali. Numeri razionali. Conversione di numeri periodici in numeri razionali. Dimostrazione (usando la tecnica del ragionamento per assurdo) del fatto che 2 non è un numero razionale. I numeri reali e loro rappresentazione geometrica sulla retta. 3. Martedì 09/10/2018, ore: 2(6) Il concetto di funzione: Definizione ed esempi. Funzioni iniettive, suriettive e bigettive: Definizioni ed esempi. Introduzione alla geometria analitica: Sistemi di riferimenti cartesiani ortogonali, distanza fra due punti e punto medio di un segmento. 4. Lunedì 15/10/2018, ore: 2(8) Geometria Analitica nel piano. Circonferenze nel piano cartesiano: definizione ed equazione. Rette nel piano cartesiano: equazione in forma esplicita di una retta passante per l origine. Equazione di una retta passante per un punto nel piano e parallela ad una retta data. Equazione in forma esplicita di una retta passante per due punti dati.

2 Registro di Matematica /19 - F. Demontis 2 5. Martedì 16/10/2018, ore: 2(10) Geometria Analitica nel piano. Dimostrazione (costruttiva) della relazione che intercorre fra i coefficienti angolare di due rette fra loro ortogonali. Equazione di una retta passante per un punto e ortogonale a una retta data. Equazione di una retta in forma implicita. Distanza di un punto da una retta. Valore assoluto di un numero reale: definizione ed esempi. Linguaggio logico-matematico. Proposizioni: Tavole di verità dei connettivi logici AND, OR E IMPLICAZIONE. 6. Lunedì 22/10/2018, ore: 2(12) Linguaggio logico-matematico. Proposizioni. Tavola di verità della DOPPIA IMPLICAZIONE. Tautolgie. Dimostrazioni per contrapposizione. Esempio di dimostrazione per contrapposizione: provare che se n 2 è un numero pari anche n è pari. Geometria Analitica nel piano. Grafico di una funzione: definizione ed esempi. Grafico di un polinomio di secondo grado. Analisi della iniettività e surgettività di una funzione per via grafica. 7. Martedì 23/10/2018, ore: 2(14) Grafico della funzione valore assoluto. Esercizi sul tracciamento di grafico di funzioni in cui appare qualche termine in valore assoluto. Funzioni pari: definizione ed esempi. Funzioni dispari: definizioni ed esempi. 8. Lunedì 5/11/2018, ore: 2(16) Grafici di funzioni: Traslazioni in senso verticale e orizzontale. Disequazioni intere di primo e secondo grado: risoluzione algebrica e per via grafica. Disequazioni razionali fratte (con il numeratore e denominatore che sono polinomi di primo o secondo grado). Esercizi su parabola e retta in preparazione della prova parziale.

3 Registro di Matematica /19 - F. Demontis 3 9. Mercoledì 14/11/2018, ore: 2(18) Disequazioni intere e razionali fratte. Disequazioni in cui figura qualche termine in valore assoluto. Polinomi: Definizione. Somma e prodotto di polinomi. Radici di un polinomio e molteplicità algebrica di una radice: Definizione ed esempi. Divisione fra polinomi: polinomio quoziente e polinomio resto. 10. Giovedì 15/11/2018, ore: 2(20) Esercizi sulla divisione di polinomi e sulla molteplicità algebrica delle radici di un polinomio. Formula per la risoluzione di equazioni algebriche di secondo grado a coefficienti reali. Polinomi di secondo grado a coefficienti reali irriducibili: Definizione ed esempi. Teorema sulla fattorizzazione di polinomi in campo reale (senza dimostrazione): enunciato ed esempi. Criterio per la determinazione di eventuali radici razionali di un polinomio di grado n a coefficienti interi (senza dimostrazione): Enunciato ed esempi. 11. Lunedì 19/11/2018, ore: 2(22) Esercizi sulla scomposizione in fattori dei polinomi. Definizione di composizione di funzioni. Esempi ed esercizi sulla composizione di funzioni. Definizione di funzione inversa. Esempi sull inversa di una funzione. 12. Giovedì 22/11/2018, ore: 2(24) Esercizi su disequazioni intere (e fratte) con polinomi di grado superiore al secondo. Le funzioni radici quadrate e cubiche come funzioni inverse,rispettivamente, delle funzioni f(x) = x 2, (x > 0) e f(x) = x 3, x R.

4 Registro di Matematica /19 - F. Demontis Lunedì 26/11/2018, ore: 2(26) Relazioni fra i grafici di due funzioni che siano l una l inversa dell altra (con dimostrazione). Esercizi sulla determinazione analitica dell inversa di una funzione. Potenze con esponente intero, razionale e reale. Proprietà delle potenze. Funzioni esponenziali. Proprietà delle funzioni esponenziali. Grafico(i) della(e) funzione(i) esponenziale. Definizione di funzione strettamente crescente (o decrescente). 14. Mercoledì 28/11/2018, ore: 2(28) L inversa della funzione esponenziale: la funzione logaritmo. Proprietà del logaritmo e loro dimostrazione. Grafico(i) della(e) funzione(i) logaritmo. Equazioni esponenziali: esercizi. 15. Giovedì 29/11/2018, ore: 2(30) Equazioni logaritmiche: esercizi. Disequazioni esponenziali: esercizi. 16. Lunedì 03/12/2018, ore: 2(32) Disequazioni logaritmiche: esercizi. Misura degli angoli in radianti. Definizione delle funzioni seno e coseno. Determinazione di alcuni valori delle funzioni seno e coseno in corrispondenza di archi notevoli (0, π, π, π, π, π, 3π ). Periodicità e limitatezza delle funzioni seno e coseno. Grafici delle funzioni f(x) = sin x e f(x) = sin x. 17. Mercoledì 05/12/2018, ore: 2(34) Valori delle funzioni f(x) = sin x e f(x) = cos x in corrispondenza di angoli supplementari e complementari. Risoluzione di triangoli rettangoli. La funzione f(x) = tan x. Grafico e ulteriori proprietà (periodicità, non limitatezza e dispari) della funzione f(x) = tan x. Relazione fra coefficiente angolare di una retta e la tangente dell angolo individuto da tale retta con l asse x.

5 Registro di Matematica /19 - F. Demontis Giovedì 06/12/2018, ore: 2(36) Ulteriori esempi di identità trigonometriche: formule di addizione e sottrazione (con dimostrazione). Formule di duplicazione (con dimostrazione). Condizioni affinchè un equazione del tipo sin x = y (y numero reale assegnato) ammetta soluzioni. 19. Lunedì 10/12/2018, ore: 2(38) Ulteriori formule trigonometriche: formule di prostaferesi (con dimostrazione), formule di Werner (con dimostrazione), formule parametriche (con dimostrazione). Esempi di applicazione di tali formule. Applicazioni della trigonometria alla risoluzione di triangoli qualunque: teorema di Carnot (senza dimostrazione) e teoremi dei seni (senza dimostrazione). Funzione inversa della funzione f(x) = sin x: la funzione f(x) = arcsin x e il suo grafico. 20. Martedì 11/12/2018, ore: 2(40) Funzione inversa della funzione f(x) = cos x: la funzione f(x) = arccos x e il suo grafico. Funzione inversa della funzione f(x) = tan x: la funzione f(x) = arctan x e il suo grafico. Equazoni goniometriche. Equazioni goniometriche elementari: esempi ed esercizi. Equazioni goniometriche lineari in sin x e cos x: esempi ed esercizi. 21. Giovedì 13/12/2018, ore: 2(42) Equazioni goniometriche omogenee di secondo grado: esempi ed esercizi. Esempi ed esercizi sulla risoluzione equazioni e disequazioni goniometriche dei tipi precedentemente incontrati e/o in cui compaiono dei termini in valore assoluto.

6 Registro di Matematica /19 - F. Demontis Martedì 18/12/2018, ore: 2(44) Numeri complessi. Forma algebrica dei numeri complessi. Rappresentazione di numeri complessi nel piano di Gauss. Operazioni di somma, prodotto e quoziente di due numeri complessi in forma algebrica. Complesso coniugato di un numero complesso. Forma trigonometrica dei numeri complessi. Operazioni di somma, prodotto e quoziente di due numeri complessi in forma trigonometrica. Formula di De Moivre. Esercizi. 23. Mercoledì 19/12/2018, ore: 2(46) Radici ennesime di un numero complesso. Esercizi sul calcolo delle radici ennesime di un numero complesso. Risoluzione di equazioni algebriche di primo e secondo grado a coefficienti complessi. 24. Giovedì 20/12/2018, ore: 2(48) Funzioni complesse di variabile complessa: definizione. La funzione esponenziale complessa e la formula di Eulero. Esercizi sulla formula di Eulero. Esercizi sulle disequazioni goniometriche. 25. Lunedì 07/01/2019, ore: 2(50) Grandezze scalari e grandezze vettoriali. Somma di due vettori. Proprietà della somma. Prodotto di uno scalare per un vettore e relative proprietà. Vettori nel piano e nello spazio. Vettori linearmente indipendenti: definizione ed esempi. Prodotto scalare fra due vettori e vettori ortogonali.