2. Fra tutti i rettangoli inscritti in una circonferenza, determinare quello di area massima.

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1 2. Fra tutti i rettangoli inscritti in una circonferenza, determinare quello di area massima. 3. Fra tutti i cilindri a base rotonda inscritti in una sfera, determinare quello di volume massimo. 4. Dimostrare che per ogni x, y 0 si ha (x + y) p 2 p 1 (x p + y p ) se p 1, (x + y) p x p + y p se 0 p Provare che: (i) x e 1/x > 1 x > 0; (ii) 2 sin x + tan x > 3x x 0, π/2[; 2x (iii) 2 x > tan x x 0, 2[; 2 (iv) 0 arctan x x x 2 x2 1 + x 2 x R. 6. Provare che se f : [a, b R è derivabile ed ha un massimo (minimo) relativo nell estremo a, allora f (a) 0 (f (a) 0). Enunciare l analogo risultato nel caso in cui f ha un massimo (minimo) relativo nell estremo b Forme quadratiche Nel caso delle funzioni di più variabili, le condizioni perché un punto x 0 sia di massimo o di minimo relativo per una funzione f sono opportune generalizzazioni di quelle del teorema 4.9.4, e coinvolgono, in luogo di f e di f, il gradiente di f e la matrice Hessiana (cioè la matrice delle derivate seconde) di f nel punto x 0 ; per enunciare tali condizioni, è però necessario uno studio preliminare delle cosiddette forme quadratiche in R m. Data una matrice A = {a ij }, m m, reale e simmetrica, la funzione Φ : R m R definita da Φ(v) = Av, v m = a ij v i v j, v R m, 315

2 è detta forma quadratica associata ad A. Una forma quadratica è dunque un polinomio di secondo grado in m variabili, privo di termini di grado inferiore; viceversa, un qualunque polinomio di questo tipo è una forma quadratica la cui matrice associata A = {a ij } è univocamente determinata dai coefficienti del polinomio (esercizio ). In particolare, risulta Φ(tv) = t 2 Φ(v) t R, v R m, cosicché Φ è una funzione omogenea di grado 2 (esercizio 4.4.3). ovviamente, si ha Φ C (R m ); verifichiamo che risulta Inoltre, Φ(v) = 2Av v R m. In effetti, indicato con δ ij il generico elemento della matrice identità I (cosicché δ ij = 0 se i j e δ ij = 1 se i = j), se k = 1, 2,..., m si ha per ogni v R m : ( ) D k Φ(v) = a ij D k (v i v j ) = a ij δik v j + v i δ jk = = a kj v j + a ik v i = a kj v j + a jk v j = 2 Definizione Una forma quadratica Φ : R m R si dice: a jk v j = 2(Av) k. definita positiva, se Φ(v) > 0 per ogni v R m \ {0}; definita negativa, se Φ(v) < 0 per ogni v R m \ {0}; semidefinita positiva, se Φ(v) 0 per ogni v R m ; semidefinita negativa, se Φ(v) 0 per ogni v R m ; indefinita, se Φ assume sia valori positivi che negativi. Esempi Poniamo [ 1 0 A 1 = 0 1 [ 1 0 A 4 = 0 0, A 2 =, A 5 = [ [ , [ 0 0, A 3 = 0 1,

3 e indichiamo con Φ 1, Φ 2, Φ 3, Φ 4 e Φ 5 le forme quadratiche corrispondenti: Φ 1 (x, y) = x 2 + y 2, Φ 2 (x, y) = x 2 y 2, Φ 3 (x, y) = y 2, Φ 4 (x, y) = x 2, Φ 5 (x, y) = x 2 + y 2. Allora Φ 1 è definita positiva, Φ 2 è definita negativa, Φ 3 è semidefinita positiva, Φ 4 è semidefinita negativa, Φ 5 è indefinita. Qualunque sia la matrice A reale e simmetrica, la forma quadratica associata ad A, essendo una funzione di classe C, per il teorema di Weierstrass assume massimo M 0 e minimo m 0 sulla frontiera Γ della palla unitaria di R m, la quale è un insieme compatto. Esistono dunque v 0, w 0 Γ tali che m 0 = Φ(v 0 ) Φ(v) Φ(w 0 ) = M 0 v Γ. Dato che Φ è una funzione omogenea di grado 2, possiamo scrivere ( ) v Φ(v) = Φ v R m \ {0}, v m e di conseguenza si ottiene m 0 Φ(v) M 0 v R m. Ricordiamo ora che un numero complesso λ si dice autovalore per la matrice A se esiste un vettore x C m \ {0} (detto autovettore relativo all autovalore λ) tale che Ax = λx. Dato che tale equazione vettoriale è un sistema lineare omogeneo nelle incognite x 1,..., x m, l esistenza di una sua soluzione x 0, ossia il fatto che λ sia autovalore per la matrice A, equivale alla condizione det(a λi) = 0. Quindi gli autovalori di A sono le m soluzioni (in C, ciascuna contata con la sua molteplicità) dell equazione det(a λi) = 0. Si vede facilmente, però, che se A è reale e simmetrica tutti i suoi autovalori sono reali: infatti se Ax = λx con x C m \ {0}, allora moltiplicando scalarmente per x (rispetto al prodotto scalare di C m ) si ha, essendo A reale e simmetrica: λ x 2 m = Ax, x m = x.a x m = x, Ax m = Ax, x m, ove A = {b ij } è la matrice i cui elementi sono b ij = a ji. In particolare Ax, x m è un numero reale e quindi λ = Ax,x m è reale. Si noti che, di x 2 m conseguenza, l autovettore x appartiene a R m, dato che il sistema Ax = λx è a coefficienti reali. 317

4 Proposizione Sia A una matrice m m reale e simmetrica e sia Φ la forma quadratica associata ad A. I numeri m 0 = Φ(v 0 ) = min Γ Φ e M 0 = Φ(w 0 ) = max Γ Φ, ove Γ = {v R m : v m = 1}, sono rispettivamente il minimo ed il massimo autovalore di A. In particolare si ha m 0 Φ(v) M 0 v R m. Dimostrazione Consideriamo la funzione F : R m \ {0} R definita da In virtù dell omogeneità di Φ, si ha F (v) = Φ(v) m 0 = F (v 0 ) F (v) F (w 0 ) = M 0 v R m \ {0}. Dall esercizio segue che F (v 0 ) = F (w 0 ) = 0; d altra parte se k = 1,..., m si ha per ogni v R m \ {0}: D k F (v) = D kφ(v) Φ(v)D k v 4 m = 2 (Av)k Φ(v) 2vk v 4 m. = = 2 ( (Av) k F (v)v k), ossia F (v) = 2 (Av F (v)v) v R m \ {0}. Dunque, ricordando che v 0, w 0 Γ, 0 = 1 2 F (v 0 ) = Av 0 F (v 0 )v 0 = Av 0 m 0 v 0, 0 = 1 2 F (w 0 ) = Aw 0 F (w 0 )w 0 = Aw 0 M 0 w 0. Ciò prova che m 0, M 0 sono autovalori di A. Resta da far vedere che se λ è autovalore di A risulta m 0 λ M 0 : sia u 0 R m \{0} tale che Au 0 = λu 0 ; moltiplicando scalarmente per u 0 otteniamo e pertanto Dato che u 0 0, ne segue la tesi. Φ(u 0 ) = Au 0, u 0 m = λ u 0 2 m m 0 u 0 2 m Φ(u 0 ) = λ u 0 2 m M 0 u 0 2 m. 318

5 Corollario La forma quadratica Φ, generata da una matrice reale e simmetrica A, è: definita positiva, se e solo se tutti gli autovalori di A sono positivi; definita negativa, se e solo se tutti gli autovalori di A sono negativi; semidefinita positiva, se e solo se tutti gli autovalori di A sono non negativi; semidefinita negativa, se e solo se tutti gli autovalori di A sono non positivi; indefinita, se e solo se A ha sia autovalori positivi, sia autovalori negativi. Dimostrazione Se Φ è definita positiva, si ha Φ(v) > 0 per ogni v R m \ {0}; in particolare m 0 = min Γ Φ è positivo, e quindi tutti gli autovalori di A, che per la proposizione sono non inferiori a m 0, sono positivi. Viceversa, se tutti gli autovalori di A sono positivi, il minimo m 0 della forma quadratica Φ su Γ è positivo in quanto, sempre per la proposizione , m 0 è un autovalore di A. Per omogeneità, si ha allora Φ(v) m 0 > 0 per ogni v R m \ {0}, ossia Φ è definita positiva. Discorso analogo per le altre proprietà. Osservazione Una forma quadratica è semidefinita positiva e non definita positiva se e solo se il minimo autovalore di A è esattamente 0. Similmente, una forma quadratica è semidefinita negativa e non definita negativa se e solo se il massimo autovalore di A è esattamente 0. Due criteri pratici per stabilire la natura di una forma quadratica senza calcolare gli autovalori della matrice (impresa difficoltosa quando m > 2) sono descritti negli esercizi e Esercizi Sia A = {a ij } una matrice m m, sia v C m. Provare che Av m A v m, ove A = a ij 2. [Traccia: utilizzare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. 319

6 [ a b 2. Sia A = b c ad A: Si provi che: con a, b, c R, e sia Φ la forma quadratica associata Φ(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2. (i) Φ è definita positiva se e solo se ac b 2 > 0, a > 0, c > 0; (ii) Φ è definita negativa se e solo se ac b 2 > 0, a < 0, c < 0; (iii) Φ è semidefinita positiva se e solo se ac b 2 0, a 0, c 0; (iv) Φ è semidefinita negativa se e solo se ac b 2 0, a 0, c 0; (v) Φ è indefinita se e solo se ac b 2 < Sia A una matrice m m reale e simmetrica, siano λ 1,..., λ m i suoi autovalori (non necessariamente tutti distinti). Si provi che: (i) risulta ( 1) m det(a λi) = ove a 1 = a 3 = m (λ λ i ) = λ m + λ i, a 2 = 1 i<j<h m 1 i<j m λ i λ j, (ii) la forma quadratica Φ(v) = Av, v m è: a i λ m i λ C, m λ i λ j λ h,..., a m = ( 1) m λ i ; definita negativa se e solo se a i > 0 per i = 1,..., m; definita positiva se e solo se ( 1) i a i > 0 per i = 1,..., m; semidefinita negativa se e solo se a i 0 per i = 1,..., m; semidefinita positiva se e solo se ( 1) i a i 0 per i = 1,..., m; indefinita in tutti gli altri casi. 4. Sia P (v) un polinomio di secondo grado in R m, privo di termini di grado inferiore. Provare che P (v) è la forma quadratica associata alla matrice A di coefficienti a ij = 1 2 D id j P. 320

7 5. Determinare, al variare del parametro a R, la natura delle seguenti forme quadratiche: (i) Φ(x, y, z) = x 2 + 2axy + y 2 + 2axz + z 2, (ii) Φ(x, y, z, t) = 2x 2 + ay 2 z 2 t 2 + 2xz + 4yt + 2azt Massimi e minimi relativi per funzioni di più variabili Per le funzioni di più variabili la ricerca dei massimi e dei minimi relativi si basa su risultati che sono in stretta analogia con quelli validi per funzioni di una variabile (teorema 4.9.4). Si ha infatti: Teorema Sia f C 2 (A), ove A è un aperto di R m, e sia x 0 A. Valgono i seguenti fatti: (i) se x 0 è un punto di massimo relativo per f, allora f(x 0 ) = 0 e la forma quadratica associata alla matrice Hessiana H(x 0 ) è semidefinita negativa, ma il viceversa è falso; (ii) se x 0 è un punto di minimo relativo per f, allora f(x 0 ) = 0 e la forma quadratica associata alla matrice Hessiana H(x 0 ) è semidefinita positiva, ma il viceversa è falso; (iii) se f(x 0 ) = 0 e se la forma quadratica associata a H(x 0 ) è definita negativa, allora x 0 è punto di massimo relativo per f, ma il viceversa è falso; (iv) se f(x 0 ) = 0 e se la forma quadratica associata a H(x) è definita positiva, allora x 0 è punto di minimo relativo per f, ma il viceversa è falso. Premettiamo alla dimostrazione del teorema due risultati che useremo ripetutamente anche in seguito. Lemma Sia B(x 0, r) una palla di R m e sia f C 2 (B(x 0, r)). Fissato x B(x 0, r), la funzione F : [ 1, 1 R definita da F (t) = f (x 0 + t(x x 0 )) 321