Problema y = { x = 15. y =

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1 Problema 2 Indicando con x il numero di casse di tipo C 1 e con y il numero di casse di tipo C 2 che costituiscono il carico, la funzione da ottimizzare (in questo caso da massimizzare) è data da f(x, y) = 5x + 8y I vincoli sono espressi dal seguente sistema di disequazioni: 240x + 210y volume massimo di carico 25x + 28y 6000 portata dell automezzo x 15 y 20 Si rappresentano sul piano cartesiano le equazioni delle rette che descrivono i vincoli, in modo da determinare poi la regione ammissibile: x = 15 (retta a) y = 20 (retta b) 240x + 210y = x + 7y = 1700 y = 8 7 x (retta c) 7 25x + 28y = 6000 y = x (retta d) 7 I vincoli tecnici legati alla portata e al volume massimo di carico impongono di accettare le coppie di valori (x, y) che giacciono al di sotto delle rette corrispondenti. La regione ammissibile risulta pertanto individuata dai punti A, B, C, D rappresentati in figura (Grafico 4), le cui coordinate sono ancora da determinare. Per evitare calcoli inutili, conviene ragionare innanzitutto sull andamento (ovvero sulla pendenza ) delle linee di livello che rappresentano la funzione obiettivo da massimizzare. Si considera dunque il fascio di rette di equazione 5x+8y = k. La retta guida del fascio stesso (corrispondente al valore k = 0) è la retta e di equazione 5x + 8y = 0 y = 5 x, che passa per l origine e presenta una pendenza negativa e qualitativamente inferiore a quelle delle due rette c e d 8 considerate in precedenza (m c < m d < m e ovvero m e < m d < m c, ossia 5 < 25 < 8 ). Al crescere di k la retta si sposta progressivamente verso l alto, e dal grafico (Grafico 4) si osserva immediatamente che, viste le diverse pendenze delle rette in gioco, l ultima retta del fascio che attraversa la regione ammissibile è quella passante per B. Il punto B stesso rappresenta dunque la condizione ottimale cercata, ed è l unico tra i quattro vertici di cui occorra effettivamente determinare le coordinate. Per far ciò basta risolvere il semplice sistema 25x + 28y = y = y = 6000 y = = = Dal momento che le variabili x e y possono evidentemente assumere soltanto valori interi, bisognerà pertanto scegliere come valori ottimali x = 15 e y = 200. In realtà, guardando attentamente il dettaglio della zona interessata (Grafico 5), ci si accorge che è possibile, con y = 200, aumentare di una unità il valore di x senza uscire dalla regione ammissibile, in quanto il punto (16, 200) giace esattamente sulla retta d. La risposta corretta al problema è pertanto la coppia di valori x = 16 e y = 200 (ovvero un carico costituito da 16 casse di tipo C 1 e 200 casse di tipo C 2 ), cui corrisponde un guadagno massimo di = 1680 e.

2 Grafico 4 (Problema 2)

3 Grafico 5 (Problema 2)

4 Problema 3 Indicando con x il numero di panettoni e con y il numero di pandori prodotti dall azienda, la funzione da ottimizzare (in questo caso da minimizzare) è data da f(x, y) = 0.8x + 0.5y I vincoli sono espressi dal seguente sistema di disequazioni: 3x + y 750 2x + 3y 850 x y 500 y x 500 x 0 0 y 900 Si rappresentano sul piano cartesiano le equazioni delle rette che descrivono i vincoli, in modo da determinare poi la regione ammissibile: x = 0 (retta a) y = 0 (retta b) y = 900 (retta c) 3x + y = 750 y = 3x (retta d) 2x + 3y = 850 y = 2 3 x (retta e) 3 x y = 500 y = x 500 (retta f) I vincoli tecnici impongono di accettare le coppie di valori (x, y) che giacciono al di sopra delle rette corrispondenti (d, e, f). La regione ammissibile risulta pertanto individuata dai punti A, B, G, C, D, E rappresentati in figura (Grafico 6), le cui coordinate sono ancora da determinare. Per evitare calcoli inutili, conviene ragionare innanzitutto sull andamento (ovvero sulla pendenza ) delle linee di livello che rappresentano la funzione obiettivo da minimizzare. Si considera dunque il fascio di rette di equazione 0.8x + 0.5y = k. La retta guida del fascio stesso (corrispondente al valore k = 0) è la retta g di equazione 0.8x + 0.5y = 0 y = 8 x, che passa per 5 l origine e presenta una pendenza negativa e qualitativamente intermedia fra quelle delle due rette d ed e considerate in precedenza (m d < m g < m e ovvero m e < m g < m d, ossia 2 < 8 < 3). Al 3 5 crescere di k la retta si sposta progressivamente verso l alto, e dal grafico (Grafico 6) si osserva immediatamente che, viste le diverse pendenze delle rette in gioco, la prima retta del fascio che attraversa la regione ammissibile è quella passante per B. Il punto B stesso rappresenta dunque la condizione ottimale cercata, ed è l unico tra i sei vertici di cui occorra effettivamente determinare le coordinate. Per far ciò basta risolvere il semplice sistema { 3x + y = 750 2x + 3y = 850 { y = 750 3x 2x + 3(750 3x) = 850 { 2x 9x = y = 750 3x { 7x = 1400 y = 750 3x { x = 200 y = = 150 Per sostenere la minima spesa l azienda dovrà quindi produrre 200 panettoni e 150 pandori. In tali condizioni la spesa ammonta a = 235 e.

5 Grafico 6 (Problema 3) * * *

6 Il guadagno sui panettoni è dato da = 4 e, mentre il guadagno sui pandori è dato da = 5 e. Si tratta allora di minimizzare e massimizzare la funzione f(x, y) = 4x + 5y sulla medesima regione ammissibile considerata nel caso precedente (in quanto i vincoli non sono cambiati). Anche in questo caso, per evitare calcoli inutili, conviene ragionare innanzitutto sull andamento (ovvero sulla pendenza ) delle linee di livello che rappresentano la funzione obiettivo da minimizzare e massimizzare. Si considera dunque il fascio di rette di equazione 4x+5y = k. La retta guida del fascio stesso (corrispondente al valore k = 0) è la retta g di equazione 4x+5y = 0 y = 4x, 5 che passa per l origine e presenta una pendenza negativa e qualitativamente intermedia fra quelle delle due rette d ed e considerate in precedenza (m d < m h < m e ovvero m e < m h < m d, ossia 2 < 4 < 3). Al crescere di k la retta si sposta progressivamente verso l alto, e dal grafico 3 5 (Grafico 7) si osserva immediatamente che, viste le diverse pendenze delle rette in gioco, la prima retta del fascio che attraversa la regione ammissibile è ancora quella passante per B, mentre l ultima retta del fascio che attraversa la regione ammissibile è quella passante per D. Il punto B già determinato (x = 200 e y = 150) rappresenta dunque la situazione di minimo guadagno, mentre il punto D, le cui coordinate sono ancora da determinare, corrisponde alla situazione di massimo guadagno. Per determinare le coordinate di D basta risolvere il semplice sistema { { y = 900 x = y = 1400 x y = 500 y = 900 In corrispondenza del punto B (x = 200, y = 150) si avrà dunque un guadagno minimo pari a = 1550 e, mentre in corrispondenza del punto D (x = 1400, y = 900) si avrà un guadagno massimo pari a = e. Grafico 7 (Problema 3)