Soluzioni foglio 6. Pietro Mercuri. 24 ottobre 2018

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1 Soluzioni foglio 6 Pietro Mercuri 4 ottobre 08 Esercizio Data la matrice A, calcolare se esiste) la matrice inversa A e verificare che AA = A A = I, dove I è la matrice identità cioè la matrice quadrata diagonale con tutti sulla diagonale principale). 6. A = ; 6. A = ;. A = ; 5 4. A = ; A = 0 0 ; 5 6. A = 0 ;. A = 0 ; 8. A = ; A =

2 Soluzione esercizio Si ricordi che una matrice quadrata è invertibile cioè esiste l inversa) se e solo se ha erminante non zero. In questo caso si dice anche che la matrice è non singolare. ) a b Si ricordi anche che se A = è una matrice con erminante c d non nullo, l inversa è A = d b A. c a In generale l inversa di una matrice A è A = A cofa)t, dove cofa) è la matrice dei cofattori di A ta anche matrice dei complementi algebrici di A). 6. Si ha che A = = = 9 0, quindi A è invertibile. L inversa è A = 6 = Si ha che A = = + = 9 0, quindi A è invertibile. L inversa è A = 6 = 9 ) Si ha che A = = + = 0, quindi A non è invertibile Si ha che A = = 0, quindi A è invertibile. L inversa è A = 0 = Si ha che A = 0 0 = 0 0, quindi A è invertibile. 5 La matrice dei complementi algebrici è 0 ) + ) ) cofa) = 0 ) + ) + ) ) ) = ) 0 ) + 0 ) 0 = ) 0 ) + 0

3 Quindi la matrice inversa è A = = Si ha che A = 0 = = 0, quindi A è invertibile. La matrice dei complementi algebrici è 0 0 ) + ) ) cofa) = 0 ) + ) ) = ) 0 ) + ) ) =. Quindi la matrice inversa è A = = Si ha che A = 0 = 6 0, quindi A è invertibile. La matrice dei complementi algebrici è 0 0 ) + ) 0 ) 0 cofa) = ) + ) 0 ) 0 = ) ) + ) ) = 4 0. Quindi la matrice inversa è A = = 0 6.

4 8. Si ha che A = = = 0, 5 9 quindi A non è invertibile. 9. Si ha che A = 0 = = 0, 0 0 quindi A è invertibile. La matrice dei complementi algebrici è ) + ) 0 ) 0 cofa) = 0 0 ) + ) 0 ) 0 = ) 0 0 ) + ) ) =. 0 Quindi la matrice inversa è A = =. 0 Esercizio Dati i punti A, B e P nel piano cartesiano indicato anche con R ) si ermini l equazione della retta r passante per i punti A e B, si verifichi se P r oppure no, si trovino le equazioni delle rette s e t passanti per P tali che s sia parallela ad r e t sia perpendicolare a r. Infine disegnare sul piano cartesiano i punti dati e le rette trovate.. A =, ), B =, ), P = 0, 0);. A = 0, ), B =, 5), P =, );. A =, ), B =, ), P =, ); 4. A =, ), B = 5, ), P =, 0). Soluzione esercizio Si ricordi che l equazione generica della retta nel piano cartesiano con esclusione delle rette verticali che hanno equazione x = h, con h R) è y = mx + q, con m, q R, dove m è to coefficiente angolare della retta ed è legato all angolo che la retta forma con l asse delle ascisse se si indica tale angolo 4

5 con α la relazione tra m e α è m = tan α, dove tan è la tangente goniometrica), mentre q è to intercetta ed è l ordinata del punto di intersezione della retta con l asse delle ordinate. La precedente equazione è anche ta equazione della retta in forma esplicita e due rette coincidono se e solo se hanno equazioni in forma espicita uguali, cioè se le due rette hanno equazioni y = mx + q e y = m x + q rispettivamente, esse sono uguali se e solo se m = m e q = q. Due rette sono parallele se hanno uguali i coefficienti angolari. Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei coefficienti angolari è uguale a. Si ricordi infine che per due punti passa una e una sola retta.. Sostituiamo le coordinate dei punti A =, ) e B =, ) nell equazione generica della retta che sappiamo non essere verticale in quanto i due punti hanno ascissa diversa) ottenendo un sistema di due equazioni e due incognite: m r e q r. Risolviamo dunqua il seguente sistema = mr + q r = m r + q r mr = q r =. Quindi l equazione della retta r passante per A e B è y = x +. Per verificare se P = 0, 0) l origine degli assi) appartiene a r oppure no è sufficiente sostituire le coordinate di P nell equazione della retta e vedere se l uguaglianza risultante è vera o falsa. Poiché 0 = =, si ha che l uguaglianza ottenuta è falsa e quindi P / r. Per trovare l equazione della retta s passante per P e parallela a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m s = m r = e imporre che la retta passi per P cioè sostituire le coordinate del punto P nell equazione generica della retta), ottenendo il sistema ms = 0 = 0 m s + q s ms =. q s = 0 5

6 Quindi l equazione della retta s è y = x. Per trovare l equazione della retta t passante per P e perpendicolare a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m t = m r = e imporre che la retta passi per P cioè sostituire le coordinate del punto P nell equazione generica della retta), ottenendo il sistema mt = Quindi l equazione della retta t è 0 = 0 m t + q t mt = q t = 0. y = x.. Sostituiamo le coordinate dei punti A = 0, ) e B =, 5) nell equazione generica della retta che sappiamo non essere verticale in quanto i due punti hanno ascissa diversa) ottenendo un sistema di due equazioni e due incognite: m r e q r. Risolviamo dunqua il seguente sistema = 0 mr + q r 5 = m r + q r mr = q r =. Quindi l equazione della retta r passante per A e B è y = x. Per verificare se P =, ) appartiene a r oppure no è sufficiente sostituire le coordinate di P nell equazione della retta e vedere se l uguaglianza risultante è vera o falsa. Poiché = =, si ha che l uguaglianza ottenuta è falsa e quindi P / r. Per trovare l equazione della retta s passante per P e parallela a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m s = m r = e 6

7 imporre che la retta passi per P cioè sostituire le coordinate del punto P nell equazione generica della retta), ottenendo il sistema ms = Quindi l equazione della retta s è = m s + q s ms = q s = 0. y = x + 0. Per trovare l equazione della retta t passante per P e perpendicolare a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m t = m r = e imporre che la retta passi per P cioè sostituire le coordinate del punto P nell equazione generica della retta), ottenendo il sistema mt = Quindi l equazione della retta t è = m t + q t mt = q t = 4. y = x Sostituiamo le coordinate dei punti A = ) e B =, ) nell equazione generica della retta che sappiamo non essere verticale in quanto i due punti hanno ascissa diversa) ottenendo un sistema di due equazioni e due incognite: m r e q r. Risolviamo dunqua il seguente sistema = m r + q r = m r + q r m r = 4+ + = q r =., Quindi l equazione della retta r passante per A e B è y = )x +. Per verificare se P =, ) appartiene a r oppure no è sufficiente sostituire le coordinate di P nell equazione della retta e vedere se

8 l uguaglianza risultante è vera o falsa. Poiché = ) + =, si ha che l uguaglianza ottenuta è vera e quindi P r. Per trovare l equazione della retta s passante per P e parallela a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m s = m r = e imporre che la retta passi per P cioè sostituire le coordinate del punto P nell equazione generica della retta), ottenendo il sistema m s = = m s + q s ms = q s =. Quindi l equazione della retta s è Cioè r e s coincidono. y = )x +. Per trovare l equazione della retta t passante per P e perpendicolare a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m t = m r = + e imporre che la retta passi per P cioè sostituire le coordinate del punto P nell equazione generica della retta), ottenendo il sistema m t = + = m t + q t m t = + q t = +5 Quindi l equazione della retta t è y = +. x Sostituiamo le coordinate dei punti A =, ) e B = 5, ) nell equazione generica della retta che sappiamo non essere verticale in quanto i due punti hanno ascissa diversa) ottenendo un sistema di due equazioni e due incognite: m r e q r. Risolviamo dunqua il seguente sistema = mr + q r = 5 m r + q r mr = 0 q r =. 8

9 Quindi l equazione della retta r passante per A e B è y =. Per verificare se P =, 0) appartiene a r oppure no è sufficiente sostituire le coordinate di P nell equazione della retta e vedere se l uguaglianza risultante è vera o falsa. Poiché 0 =, si ha che l uguaglianza ottenuta è falsa e quindi P / r. Per trovare l equazione della retta s passante per P e parallela a r è sufficiente osservare che il coefficiente angolare m s = m r = 0 e imporre che la retta passi per P cioè sostituire le coordinate del punto P nell equazione generica della retta), ottenendo il sistema ms = 0 Quindi l equazione della retta s è 0 = m s + q s ms = 0 q s = 0. y = 0. Cioè s coincide con l asse delle ascisse. Per trovare l equazione della retta t passante per P e perpendicolare a r è sufficiente osservare che la retta r è orizzontale, quindi t è verticale quindi ha equazione x = h) e imporre che la retta passi per P cioè sostituire le coordinate del punto P nell equazione generica delle rette verticali), ottenendo Quindi l equazione della retta t è = h. x =. Esercizio Dati i seguenti insiemi erminare, quando esistono: l insieme dei maggioranti, l insieme dei minoranti, l estremo superiore e inferiore, il massimo, il minimo, l insieme dei punti interni, l insieme dei punti di frontiera, l insieme dei punti di accumulazione e l insieme dei punti isolati. Inoltre dire se l insieme dato è limitato eventualmente solo superiormente o inferiormente), se è aperto e se è chiuso.. A =, ) 6};. A = ) n, n Z >0 };. A = n, n Z >0 }. 9

10 Soluzione esercizio. Si ha che MinorA =, ] ; MaggA = [6, + ) ; inf A = ; sup A = 6; min A = ; max A = 6; inta =, ); A =,, 6}; AccA = [, ]; IsolA = 6}. L insieme A è limitato poiché ha almeno un minorante e un maggiorante), non è aperto e non è chiuso.. Si ha che A =, }, da cui MinorA =, ] ; MaggA = [, + ) ; inf A = ; sup A = ; min A = ; max A = ; inta = ; A = A; AccA = ; IsolA = A. L insieme A è limitato poiché ha almeno un minorante e un maggiorante), non è aperto ma è chiuso poiché A A). 0

11 . Si ha che MinorA =, ] ; MaggA = ; inf A = ; sup A = min A = ; max A = ; inta = ; A = A; AccA = ; IsolA = A. + ); L insieme A è limitato inferiormente poiché ha almeno un minorante ma non ha maggioranti), non è aperto ma è chiuso poiché A A).

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