PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 14 Febbraio 2017

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1 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 14 Febbraio 2017 La prova orale deve essere sostenuta entro il 28 Febbraio 2017 A Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si consideri la quadriche Q di equazione x 2 + ay 2 + z 2 + 2bxy + 4 = 0, a,b R. a) [3 punto] Per quali valori di a,b è una sfera? Trovarne centro e raggio. b) [5 punti] Per quali valori di a,b è un ellissoide di rotazione? c) [2 punti] Per quali valori di a,b è degenere e di che quadrica si tratta d) [2 punti] Posto a = 4,b = 0, classificare la conica che si ottiene intersecando la quadrica col piano z = 1. B [8 punti] Determinare la parabola γ passante pr i punti (1, ±1), (4, ±2). Determinare la circonferenza C di centro (1,0) e raggio 1. Studiare il fascio di coniche generato da γ e da C. Si studi la conica del fascio passante per il punto (4,0) C a) [4 punti] Si determini il fascio di coniche F tangenti in B(2,2) alla retta di equazione x + 2y 6 = 0 e passanti per i punti A(0,2) e O(0,0) b) [3 punti] si determinino le parabole e le coniche degeneri di F e si determini, se esiste, una conica non degenere i cui asintoti sono perpendicolari. c) [5 punti] Si determini e si studi la conica C luogo dei centri di simmetria delle coniche di F.

2 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 26 Gennaio 2017 La prova orale deve essere sostenuta entro il 28 Febbraio 2017 A Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si consideri la quadriche Q di equazione 2x 2 + y 2 + z 2 2yz 4y + 3z + 1 = 0 a) [3 punto] Riconoscere Q. b) [5 punti] Scrivere l equazione canonica di Q e le equazioni di una roto-traslazione che porta Q in forma canonica. c) [2 punti] Stabilire se Q è di rotazione e, in caso affermativo, determinare l asse di rotazione. B [8 punti] Determinare la parabola γ avente vertice nel punto V (1,1) asse coincidente con la bisettrice del primo quadrante e passante per il punto P(3, 1). Determinare la circonferenza C di centro l origine e raggio 2. Studiare il fascio di coniche generato da γ e da C. C a) [4 punti] Si determini il fascio di coniche F tangenti in B(2,2) alla retta di equazione x + y 4 = 0 e passanti per i punti A(0,2) e O(0,0) b) [3 punti] si determinino le parabole e le coniche degeneri di F e si determini, se esiste, una conica non degenere i cui asintoti sono perpendicolari. c) [5 punti] Si determini e si studi la conica C luogo dei centri di simmetria delle coniche di F.

3 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 12 Settembre 2016 La prova orale deve essere sostenuta entro il 30 Settembre 2016 A Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si consideri il fascio di quadriche Q k, k R,di equazione (k 3)x 2 + (k 4)y 2 + (k + 3)z 2 + 2(k 2)zy + 2z + k + 3 = 0 A1 [4 punti] Classificare i paraboloidi del fascio. A2 [4 punti] Sia α il piano z = 0. Dopo aver scritto l equazione della conica C k = Q k α, rispetto a delle coordinate cartesiane del piano α, classificare la conica C k al variare di k. A3 [4 punti] Sia r k il fascio di rette ottenuto considerando, al variare di k, la polare di P = (0,1) rispetto alla conica C k. Si determini il tipo di fascio. B Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxy e fissato un parametro reale h, si consideri il fascio di coniche Q h di equazione x 2 + λ(h 1)xy + y 2 hx + λy 1 = 0, λ R B1 Si determini l equazione del luogo γ h descritto dal centro delle coniche del fascio. B2 Si classifichi la curva γ h. B3 Si studi γ 2 C Fissato nello spazio un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, si considerino le due rette r e r di equazioni (h 2)x y z + 2 = 0 r = r x + y + z 2 = 0 = (5h 2)x y + z 2 = 0 x + (2k 3)y z + 2 2k = 0 C1 Al variare di h (rispettivamente di k) la retta r (risp. r ) descrive un fascio di rette che giace sul piano π (risp. π ). Si determini il tipo di fascio e le equazioni di π e π. C2 Si discuta la mutua posizione (complanarità o meno, e, nel primo caso, incidenza, parallelismo, coincidenza) di r e r al variare di h e k. C3 Si studi il luogo (del piano) descritto da un punto P di coordinate (h,k) legate da un vincolo che esprima la perpendicolarità di r e r.

4 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 15 Luglio 2016 La prova orale deve essere sostenuta entro il 4 Settembre 2016 A Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si consideri la quadrica Qdi equazione 2x 2 y 2 + 2x z 2 = 0 A1 Dopo aver determinato il tipo si determini l equazione canonica euclidea. A2 Siano P 1 e P 2 i punti di intersezione di Q con la retta di equazione x = y,z = 0. Determinare l equazione cartesiana dei piani α 1 e α 2 passanti per il centro di Q e paralleli, rispettivamente, ai piani tangenti alla quadrica nei punti P 1 e P 2. A3 Determinare, nel fascio generato da α 1 e α 2, l equazione del piano α perpendicolare alla direzione principale di Q corrispondente all unico autovalore con molteplicità geometrica 1. A4 Determinare un movimento dello spazio che, ristretto al piano α, fissi un solo punto. B Fissato un sistema di riferimento cartesiano nel piano si consideri il fascio di coniche Q k x 2 y 2 + 2kx 2ky + k = 0, k R B1 Calcolare, al variare di k 0, centro, assi ed asintoti. Disegnare la conica al variare di k 0. B2 Determinare k in modo che la polare del punto P = (k,1) formi con gli assi coordinati un triangolo isoscele. B3 Determinare un movimento del piano che mandi il centro di Q k nell origine e viceversa. C C1 Nel fascio di coniche passanti per i punti P 1 = ( 1, 1), P 2 = (1,1), P 3 = (1/2,2) e P 4 = ( 1/4, 4) si determini, se esiste, una conica non degenere i cui asintoti sono perpendicolari. C2 Si consideri lo spazio vettoriale dei polinomi in una variabile di grado 2 definiti in [0,1]. Determinare, rispetto al prodotto scalare standard in C([0,1],R) (< P(x),Q(x) >= 1 0 P(x)Q(x)dx), una base ortonormale. C3 Verificare se le due rette r = x y 1 = 0 x + y + z = 0 sono sghembe e calcolarne la distanza. x = t s = y = t z = t

5 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 4 Luglio 2016 La prova orale deve essere sostenuta entro il 4 Settembre 2016 (1) Fissato nello spazio un sistema di riferimento Oxyz sia Q la quadrica di equazione x 2 +y 2 +2z 2 +2xy 4x = 0. a) [1 punto] Riconoscere Q. b) [2 punti] Scrivere l equazione canonica di Q. c) [2 punti] Scrivere le equazioni di una rototraslazione che porta Q in forma canonica. d) [2 punti] Stabilire se Q è di rotazione e, in caso affermativo, determinare l asse di rotazione. (2) [6 punti] Fissato nello spazio un sistema di riferimento Oxyz sia γ la conica di equazioni x 2 xy + 2y 2 3x + 1 = 0 z = 0 Si determinino il cono Γ ed il cilindro aventi γ come direttrice e, rispettivamente, vertice in V (1,1, 1) e generatrici parallele alla retta x = y = z 1 (3) [6 punti] Fissato nel piano PROVA unscritta sistemadi di GEOMETRIA riferimento (C.L. cartesiano Fisica) 13 Luglio ortogonale, 2012 siano γ la circonferenza con La prova orale deve essere sostenuta entro 18 Settembre 2012 centro l origine e raggio unitario, δ l iperbole equilatera avente per asintoti gli assi coordinati e passante per (1) a) [3 punti] Si discuta al variare γ R il sistema A(1/4,1) ed F il fascio di coniche individuato da γ e δ. Si determinino per quale valore del parametro x +8y + z =0 utilizzato si abbiano nel fascio conichex degeneri +(7 γ)y +(γ e 1)z per = γ quali 1 valori ellissi, iperboli o parabole. x +(γ 7)y z = 1 b) [1 punti] Detta rγ la retta rappresentata dalle prime due equazioni e detto πγ il piano rappresentato dalla terza equazione, si dica per quali valori di γ la retta è incidente, parallela (4) [6 punti] Sia P, l ulteriore intersezione della parabola y 2 o contenuta nel piano. c) [3 punti] Determinare una base per lo spazio vettoriale V = (x, y, z, = t) x Rcon la generica retta r, uscente dal suo vertice 4 /x +8y + z =0,x+ t y =0} 2Consideriamoivettoriu =(0, 1, 1), v =(2, 0, 1), w =(1, 9, 3). Sia f : R e sia R l intersezione di r con la retta x = y + 1. Determinare 3 R e 3 l applicazione lineare per la quale il vettore u è u n a u t o v e t t o r e r e l a t i v o a l l a u t o v a l o r e 6, f(1, 0, 0) = (1, 0, 0) e f(v) studiare =w. Determinare: il luogo descritto dal punto M di a) [2 punti] la matrice associata a f rispetto alla base canonica; intersezione della parallela all asse x per P con la parallela all asse y per R. b) [3 punti] Dire se f è i n i e t t i v a e / o s u r i e t t i v a. c) [3 punti]una base di Ker f e una base di Im f. d) [3 punti] Gli autovalori e gli autovettori di f. 3 [7 punti] Sia P,l ulterioreintersezionedellaparabolay (5) [5 punti] Determinare il raggio del cerchio, rappresentato 2 = x con la generica retta r, uscente dal suo vertice e sia nel disegno seguente, sapendo che il lato del R l intersezione di r con la retta x = y +1. DeterminareestudiareilluogodescrittodalpuntoM di intersezione della parallela all asse x per P con la parallela all asse y per R. quadrato vale 8 4 [5 punti] Determinare il raggio del cerchio, rappresentato nel disegno seguente, sapendo che il lato del quadrato vale 8

6 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 16 Giugno 2016 La prova orale deve essere sostenuta entro il 16 Luglio 2016 A Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si consideri il fascio di quadriche Q k, k R,di equazione (k 3)x 2 + (k 4)y 2 + (k + 3)z 2 + 2(k 2)zy + 2z + k + 3 = 0 A1 [4 punti] Classificare i paraboloidi del fascio. A2 [4 punti] Sia α il piano z = 0. Dopo aver scritto l equazione della conica C k = Q k α, rispetto a delle coordinate cartesiane del piano α, classificare la conica C k al variare di k. A3 [4 punti] Sia r k il fascio di rette ottenuto considerando, al variare di k, la polare di P = (0,1) rispetto alla conica C k. Si determini il tipo di fascio. B [10 punti] Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, siano r e s le rette di equazione 2x y + 1 = 0 e x + y 2 = 0 rispettivamente. Si studi l iperbole avente centro in O, asintoti paralleli ad r ed s e passante per P(0,1) C C1 [4 punti] Trovare delle equazioni parametriche e delle equazioni cartesiane della retta r di R 3 passante per P = (1, 1, 0) e perpendicolare al piano di equazione x + 2y + 3z = C2 [4 punti] Sia s la retta di equazioni cartesiane 2x y z 2 = x + y + z 1 = 0. Si calcoli la distanza tra le rette e si stabilisca se r e s sono sghembe ( rispettivamente incidenti, parallele, ortogonali).

7 PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA 2 16 Giugno 2016 La prova orale deve essere sostenuta entro il 16 Luglio 2016 A Fissato un sistema di riferimento cartesiano nello spazio si consideri il fascio di quadriche Q k, k R,di equazione (k 3)x 2 + (k 4)y 2 + (k + 3)z 2 + 2(k 2)zy + 2z + k + 3 = 0 A1 [3 punti] Classificare i paraboloidi del fascio. A2 [3 punti] Sia α il piano z = 0. Dopo aver scritto l equazione della conica C k = Q k α, rispetto a delle coordinate cartesiane del piano α, classificare la conica C k al variare di k. A3 [3 punti] Sia r k il fascio di rette ottenuto considerando, al variare di k, la polare di P = (0,1) rispetto alla conica C k. Si determini il tipo di fascio. B [7 punti] Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, siano γ la parabola di equazione y x 2 = 0, r la retta di equazione x y 1 = 0 ed s la generica retta per O Denotata con A l intersezione, distinta da O, di s e γ e con B l intersezione di r e s, si determini l equazione cartesiana del luogo Λ descritto, al variare di s nel fascio di centro O, dal punto medio M del segmento AB. C [7 punti] Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, si determini e si studi l iperbole equilatera tangente alla conica x 2 + xy + y 2 x + y 1 = 0 nei punti in cui questa incontra la retta x y = 0 D Sia Q la quadrica di equazione 3x 2 z 2 4xy 4x + 2z = 0 a) [2 punti] Riconoscere Q. b) [2 punti] Scrivere l equazione canonica di Q. c) [2 punti] Determinare (se esiste) il centro di Q. d) [2 punti] Scrivere le equazioni di una rototraslazione che porta Q in forma canonica. e) [2 punti] Stabilire se Q è di rotazione e, in caso affermativo, determinare l asse di rotazione.