ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

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1 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA A 11 luglio minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

2 A QUIZ Q1. Sia data la forma quadratica q(x, y, z) = x 2 2xy + 2y 2 2yz. (a) q è definita positiva. (b) q non è definita. (c) q è semidefinita positiva. (d) q è definita negativa. Q2. In R 4 siano dati i vettori v 1 = (1, 2, 3, π), v 2 = (4, 1, 0, 0), v 3 = (5, 0, 0, 1), v 4 = (6, 2, 3, π + 1). (a) dim L (v 1, v 2, v 3, v 4 ) = 4. (b) I vettori v 1, v 2, v 3, v 4 sono linearmente indipendenti. (c) dim L (v 1, v 3, v 4 ) = 2. (d) L (v 1, v 2, v 3, v 4 ) = L (v 1, v 2 ). Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia data la sfera S di equazione S : x 2 + y 2 + z 2 4x 2y + 2z + 1 = 0. (a) La misura del raggio di S è 2. (b) Il centro di S ha coordinate (2, 1, 1). (c) S passa per il punto di coordinate (1, 1, 1). (d) La retta d equazione (x, y, z) = (0, t, 0) interseca S in due punti. Q4. In R 4 si consideri il sottospazio V = { (x, y, z, w) x + y + z w = 0, x + 3y = 0 }, (a) V = R 4. (b) V = L ((3, 1, 0, 2), ( 3, 1, 2, 0)). (c) V è un sottospazio di dimensione 1. (d) V = L ((1, 1, 1, 1), (1, 3, 0, 0)). 2

3 A Q5. Sia ϕ: R 3 R 2 l applicazione lineare definita da ϕ(x, y, z) = (x + y + z, x + y). Siano poi e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) e f 1 = (1, 0), f 2 = (0, 1). (a) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (b) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 3, e 2, e 1 ) e (f 2, f 1 ) è ( ) A = (c) ϕ è iniettiva. (d) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 3, e 2, e 1 ) e (f 2, f 1 ) è ( ) A = Q6. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i vettori v = ı + j k, w = 2 ı j + k. (a) L angolo formato da v e w è ottuso. (b) I vettori v e w sono perpendicolari. (c) L angolo formato da v e w è acuto. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q7. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano date le rette r e s rispettivamente di equazioni: r : x = t y = t z = 2t, s : x = 1 + 2h y = 1 + 2h z = 0. (a) Non esiste un piano contenente sia r che s. (b) Esiste un piano π contenente sia r che s che ha equazione x + 3y + z = 0. (c) Esiste un piano contenente sia r che s che è ortogonale al vettore ı + j + k. (d) Esiste un piano contenente sia r che s che è parallelo al vettore ı + j + k. Q8. Sia A R 3,3 avente 1 e 2 come radici semplici del polinomio caratteristico. (a) A ha autovalori complessi non reali. (b) A non ha autovettori reali. (c) A è diagonalizzabile su R. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. 3

4 A ESERCIZIO Sia f: R 3 R 3 l endomorfismo associato alla matrice rispetto alle basi canoniche. (i) Determinare una base di ker(f). (ii) Determinare una base di Im(f) A = (iii) Verificare che 1 è autovalore di A e che t ( ) è nel corrispondente autospazio. (iv) Calcolare una base di ogni autospazio di A. Svolgimento dell esercizio: 4

5 A Svolgimento dell esercizio: 5

6 6 A

7 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA B 11 luglio minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

8 B QUIZ Q1. Sia ϕ: R 2 R 3 l applicazione lineare definita da ϕ(x, y) = (y, x + y, x + y). Siano poi e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1), f 1 = (1, 0, 0) e f 2 = (0, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1). (a) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 2, e 1 ) e (f 3, f 2, f 1 ) è 0 1 A = (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 2, e 1 ) e (f 3, f 2, f 1 ) è 1 1 A = (d) ϕ è suriettiva. Q2. Sia A R 3,3 avente 1 e 2 come radici semplici del polinomio caratteristico. (a) A ha autovalori complessi non reali. (b) A ha solo autovettori reali. (c) A non è diagonalizzabile su R. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q3. Sia data la forma quadratica q(x, y, z) = x 2 2xy + 2y 2 2yz + z 2. (a) q non è definita. (b) q è definita positiva. (c) q è definita negativa. (d) q è semidefinita positiva. Q4. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia data la sfera S di equazione S : x 2 + y 2 + z 2 2x 4y + 2z + 3 = 0. (a) La misura del raggio di S è 2. (b) Il centro di S ha coordinate (2, 1, 1). (c) S passa per il punto di coordinate (1, 1, 1). (d) La retta d equazione (x, y, z) = (0, t, 0) interseca S in due punti. 2

9 B Q5. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano date le rette r e s rispettivamente di equazioni: r : x = t y = t z = 2t, (a) Non esiste un piano contenente sia r che s. s : x = 1 + 2h y = 1 + 2h z = 1 (b) Esiste un piano π contenente sia r che s che ha equazione x + 3y + z = 0. (c) Esiste un piano contenente sia r che s che è ortogonale al vettore ı + j + k. (d) Esiste un piano contenente sia r che s che è parallelo al vettore ı + j + k. Q6. In R 4 siano dati i vettori v 1 = (1, 2, 3, π), v 2 = (4, 1, 0, 0), v 3 = (5, 0, 0, 1), v 4 = (6, 2, 3, π 3). (a) I vettori v 1, v 2, v 3, v 4 sono linearmente dipendenti. (b) dim L (v 1, v 2, v 3, v 4 ) = 3. (c) L (v 1, v 2, v 3, v 4 ) = L (v 1, v 2 ). (d) dim L (v 1, v 2, v 3 ) = 3. Q7. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i vettori v = ı + j k, w = ı j + 2 k. (a) L angolo formato da v e w è ottuso. (b) I vettori v e w sono perpendicolari. (c) L angolo formato da v e w è acuto. (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q8. In R 4 si consideri il sottospazio V = { (x, y, z, w) 3x 2y + w = 0, z + w = 0 }, (a) V è l insieme vuoto. (b) V = L((3, 1, 0, 2), ( 3, 1, 2, 0)). (c) V è un sottospazio di dimensione 3. (d) V = L((1, 1, 1, 1), (2, 3, 0, 0)). 3

10 B ESERCIZIO Sia f: R 3 R 3 l endomorfismo associato alla matrice rispetto alle basi canoniche. (i) Determinare una base di ker(f). (ii) Determinare una base di Im(f) A = (iii) Verificare che 1 è autovalore di A e che t ( ) è nel corrispondente autospazio. (iv) Calcolare una base di ogni autospazio di A. Svolgimento dell esercizio: 4

11 B Svolgimento dell esercizio: 5

12 6 B

13 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA C 11 luglio minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

14 C QUIZ Q1. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia data la sfera S di equazione S : x 2 + y 2 + z 2 4x + 2y 2z + 5 = 0. (a) La misura del raggio di S è 2. (b) Il centro di S ha coordinate (2, 1, 1). (c) S passa per il punto di coordinate (1, 1, 1). (d) La retta d equazione (x, y, z) = (0, t, 0) interseca S in due punti. Q2. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i vettori v = ı + j k, w = 2 ı j + k. (a) L angolo formato da v e w è acuto. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) L angolo formato da v e w è ottuso. (d) I vettori v e w sono perpendicolari. Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano date le rette r e s rispettivamente di equazioni: r : x = t y = t z = 2t, s : x = 1 + 2h y = 1 + 2h z = 0. (a) Esiste un piano contenente sia r che s che è ortogonale al vettore ı + j + k. (b) Esiste un piano contenente sia r che s che è parallelo al vettore ı + j + k. (c) Non esiste un piano contenente sia r che s. (d) Esiste un piano π contenente sia r che s che ha equazione x + 3y + z = 0. Q4. Sia A R 3,3 avente 1 e 2 come radici semplici del polinomio caratteristico. (a) A è diagonalizzabile su R. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) A ha autovalori complessi non reali. (d) A non ha autovettori reali. 2

15 C Q5. In R 4 si consideri il sottospazio V = { (x, y, z, w) x + y + z w = 0, x + 3y = 0 }, (a) V è un sottospazio di dimensione 1. (b) V = L ((1, 1, 1, 1), (1, 3, 0, 0)). (c) V = R 4. (d) V = L ((3, 1, 0, 2), ( 3, 1, 2, 0)). Q6. Sia data la forma quadratica q(x, y, z) = x 2 2xy + 2y 2 2yz. (a) q è semidefinita positiva. (b) q è definita negativa. (c) q non è definita. (d) q è definita positiva. Q7. In R 4 siano dati i vettori v 1 = (1, 2, 3, π), v 2 = (4, 1, 0, 0), v 3 = (5, 0, 0, 1), v 4 = (6, 2, 3, π + 1). (a) dim L (v 1, v 2, v 3 ) = 3. (b) dim L (v 1, v 2, v 3, v 4 ) = 4. (c) I vettori v 1, v 2, v 3, v 4 sono linearmente indipendenti. (d) L (v 1, v 2, v 3, v 4 ) = L (v 1, v 2 ). Q8. Sia ϕ: R 3 R 2 l applicazione lineare definita da ϕ(x, y, z) = (x + y + z, x + y). Siano poi e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1) e f 1 = (1, 0), f 2 = (0, 1). (a) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 3, e 2, e 1 ) e (f 2, f 1 ) è ( ) A = (b) ϕ è iniettiva. (c) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 3, e 2, e 1 ) e (f 2, f 1 ) è ( ) A = (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. 3

16 C ESERCIZIO Sia f: R 3 R 3 l endomorfismo associato alla matrice rispetto alle basi canoniche. (i) Determinare una base di ker(f). (ii) Determinare una base di Im(f) A = (iii) Verificare che 1 è autovalore di A e che t ( ) è nel corrispondente autospazio. (iv) Calcolare una base di ogni autospazio di A. Svolgimento dell esercizio: 4

17 C Svolgimento dell esercizio: 5

18 6 C

19 ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA D 11 luglio minuti Istruzioni: Scrivere cognome, nome, matricola in STAMPATELLO negli appositi spazi. Per ogni quiz nella prima parte, indicare l affermazione giudicata corretta nella tabella in questa pagina. Trascrivere la risposta alle singole domande dell esercizio della seconda parte nelle pagine con l indicazione svolgimento. Per la brutta utilizzare i fogli distribuiti dal docente. COGNOME, NOME: MATRICOLA: DOCENTE: Q1 a b c d Q5 a b c d Q2 a b c d Q6 a b c d Q3 a b c d Q7 a b c d Q4 a b c d Q8 a b c d Non scrivere in questo spazio QUIZ ESERCIZIO TOTALE

20 D QUIZ Q1. In R 4 si consideri il sottospazio V = { (x, y, z, w) 3x 2y + w = 0, z + w = 0 }, (a) V è un sottospazio di dimensione 3. (b) V = L((1, 1, 1, 1), (2, 3, 0, 0)). (c) V è l insieme vuoto. (d) V = L((3, 1, 0, 2), ( 3, 1, 2, 0)). Q2. Sia data la forma quadratica q(x, y, z) = x 2 2xy + 2y 2 2yz + z 2. (a) q è semidefinita positiva. (b) q è definita negativa. (c) q non è definita. (d) q è definita positiva. Q3. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano dati i vettori v = ı + j k, w = ı j + 2 k. (a) L angolo formato da v e w è acuto. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) L angolo formato da v e w è ottuso. (d) I vettori v e w sono perpendicolari. Q4. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale siano date le rette r e s rispettivamente di equazioni: r : x = t y = t z = 2t, s : x = 1 + 2h y = 1 + 2h z = 1 (a) Esiste un piano contenente sia r che s che è ortogonale al vettore ı + j + k. (b) Esiste un piano contenente sia r che s che è parallelo al vettore ı + j + k. (c) Non esiste un piano contenente sia r che s. (d) Esiste un piano π contenente sia r che s che ha equazione x + 3y + z = 0. 2

21 D Q5. Nello spazio con fissato sistema di riferimento cartesiano ortogonale sia data la sfera S di equazione S : x 2 + y 2 + z 2 4x + 2y 2z + 2 = 0. (a) La misura del raggio di S è 2. (b) Il centro di S ha coordinate (2, 1, 1). (c) S passa per il punto di coordinate (1, 1, 1). (d) La retta d equazione (x, y, z) = (0, t, 0) interseca S in due punti. Q6. Sia ϕ: R 2 R 3 l applicazione lineare definita da ϕ(x, y) = (y, x + y, x + y). Siano poi e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1), f 1 = (1, 0, 0) e f 2 = (0, 1, 0), f 3 = (0, 0, 1). (a) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 2, e 1 ) e (f 3, f 2, f 1 ) è 1 1 A = (b) ϕ è suriettiva. (c) La matrice di ϕ rispetto alle basi (e 2, e 1 ) e (f 3, f 2, f 1 ) è 0 1 A = (d) Nessuna delle altre affermazioni è vera. Q7. Sia A R 3,3 avente 1 e 2 come radici semplici del polinomio caratteristico. (a) A non è diagonalizzabile su R. (b) Nessuna delle altre affermazioni è vera. (c) A ha autovalori complessi non reali. (d) A ha solo autovettori reali. Q8. In R 4 siano dati i vettori v 1 = (1, 2, 3, π), v 2 = (4, 1, 0, 0), v 3 = (5, 0, 0, 1), v 4 = (6, 2, 3, π 3). (a) L (v 1, v 2, v 3, v 4 ) = L (v 1, v 2 ). (b) dim L (v 1, v 2, v 3, v 4 ) = 4. (c) I vettori v 1, v 2, v 3, v 4 sono linearmente dipendenti. (d) dim L (v 1, v 3, v 4 ) = 2. 3

22 D ESERCIZIO Sia f: R 3 R 3 l endomorfismo associato alla matrice rispetto alle basi canoniche. (i) Determinare una base di ker(f). (ii) Determinare una base di Im(f) A = (iii) Verificare che 1 è autovalore di A e che t ( ) è nel corrispondente autospazio. (iv) Calcolare una base di ogni autospazio di A. Svolgimento dell esercizio: 4

23 D Svolgimento dell esercizio: 5

24 6 D