Controlli Automatici 2 27 Settembre 2007 COGNOME...NOME... MATR...CDL (ELETTR, GEST, MECC)
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1 Controlli Automatici 2 27 Settembre 27 COGNOME...NOME... MATR...CDL (ELETTR, GEST, MECC) Per il processo descritto dalla funzione di trasferimento P(s) = s + 4 (s + )(s +.) a.) Si tracci il diagramma di Bode di modulo e fase e a.2) si tracci il diagramma di Nyquist. a.3) Si determini un controllore, da utilizzarsi in retroazione, di modo che la banda passante del sistema ad anello chiuso sia non inferiore a 5 rad/s e l errore di regime permanente in risposta al gradino sia nullo. a.3) RISPOSTA: Per annullare l errore il controllore deve contenere un azione integrale, C(s) = K s C (s), con C (s) privo di poli e zeri nell origine e C () = (parte dinamica del controllore). Dal grafico di Bode di P(s) é immediato notare che l introduzione dell integratore non é tale da portare il sistema K s P(s) in instabilitá (margine di fase sempre positivo) e dunque, per un opportuna scelta di K tale da portare la pulsazione di attraversamento a valori superiori a 5 rad/s, é possibile soddisfare i requisiti. Una possibile scelta di K é K = 5. In alternativa, per non avere un margine di fase cosí ridotto, é possibile introdurre uno zero a bassa frequenza (magari a cancellare il polo a bassa frequenza di P(s)), ovvero utilizzare il controllore dinamico C (s) = + s. Con tale scelta il controllore C(s) risulta pari a C(s) = K(+s) s. Anche in questo caso occorre determinare il valore di K per avere pulsazione di attraversamento superiore a 5 rad/s. Una possibile scelta é K =. a.4) In corrispondenza al controllore C(s) = s si valuti, in maniera approssimata 2, la massima sovraelongazione e il tempo di assestamento all % della risposta al gradino del sistema ad anello chiuso. Dal diagramma di Bode di CP si vede che la pulsazione di attraversamento é circa.2 rad/s e il margine di fase é di circa 3. Con tale margine i poli dominanti ad anello chiuso, aventi pulsazione naturale ω n circa pari alla pulsazione di attraversamento, risultano complessi coniugati ed associati ad uno smorzamento ξ sin( φm 2 ) = In corrispondenza a tali valori il tempo di assestamento T a 5 ξπ ξω n = 96.5s e la sovraelongazione massima S% = e ξ 2 = 43%. Tali valori sono in accordo con quelli effettivamente ottenibili valutando la risposta al gradino del sistema retroazionato, riportata in figura. a.5) Si consideri il controllore C(s) = s e si supponga che il canale di retroazione non sia unitario (ovvero T(s) = ), ma pari ad una costante positiva: T(s) = K. Si valuti la posizione dei poli del sistema retroazionato con la suddetta T(s) al variare di K >. si utilizzi la griglia nella pagina seguente 2 si ipotizzi una funzione di trasferimento ad anello chiuso priva di zeri e con una sola coppia di poli complessi coniugati
2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Il sistema é equivalente a quello riportato in figura (lo si vede anche analiticamente dato che i poli di C(s)P(s) +KC(s)P(s) sono gli stessi di KC(s)P(s) +KC(s)P(s) ) e dunque basta studiare il luogo delle radici di C(s)P(s), riportato in figura a.6) Si fornisca l approssimazione di Pade P ade (s) del primo ordine di e 2s. a.6) RISPOSTA: Si veda il libro di testo per la dimostrazione: P ade (s) =.5τs +.5τs = s + s a.7) Si valuti, giustificando la risposta, la stabilitá della funzione di trasferimento P(s) F (s) = + e s P(s) a.7) RISPOSTA: Il margine di fase di P(s) si ottiene ponendo P(jω) =. Si ricava ω c =.3889 rad/s e margine di fase pari a m φ = π + atan(ω c /4) atan(ω c /) atan(ω c /.) =.885 rad = Il sistema risulta stabile per ritardi inferiori a τ max = φm ω c = 4.83s e dunque F (s) é stabile perchè il ritardo presente é inferiore a τ max. 2
3 Step Response.5 Amplitude Time (sec) C(s) P(s) K /K 3 Root Locus 2 Imaginary Axis Real Axis 3
4 2 Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) 4
5 Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis 5
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